離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征的常見題型及處理策略

郭興甫

(云南省曲靖市會澤縣東陸高級中學(xué))

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征是高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容,也是每年高考命題的熱點內(nèi)容,題目難度中等偏上,題型多以解答題的形式出現(xiàn),分值在12至17分之間.為幫助各位讀者能在高考復(fù)習(xí)中更好地掌握這部分內(nèi)容,本文以近年的高考及模擬題為例說明這部分內(nèi)容的常見題型及處理策略,供復(fù)習(xí)參考.

1 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用

例1(1)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

(2)(多選題)已知m,n均為正數(shù),隨機(jī)變量X的分布列如表1所示,則下列結(jié)論一定成立的是( ).

表1

A.P(X＝1)＜P(X≠1)

B.E(X)＝1

D.D(X＋1)＜1

綜上,選BCD.

2 求離散型隨機(jī)變量的分布列

例2已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.

(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;

(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求X的分布列.

(2)X的可能取值為200,300,400,則

故X的分布列如表2所示.

表2

3 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差

例32022年世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽于9 月30日至10月9日在成都舉行.近年來,乒乓球運(yùn)動已成為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動之一.今有甲、乙兩位選手爭奪乒乓球比賽冠軍,比賽采用三局兩勝制,即某位選手率先獲得兩局勝利時比賽結(jié)束.根據(jù)以往經(jīng)驗,甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為,且每局比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲獲得乒乓球比賽冠軍的概率;

(2)比賽開始前,工作人員買來兩盒新球,分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒.每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出1個球用于比賽,且局中不換球,該局比賽后,直接丟棄.裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致,且第一局從白盒中取球.記甲、乙決出冠軍后,兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

記事件A:“甲奪得冠軍”,則

記Wi表示第i局從白盒中抽取的白色球,Yi表示第i局從黃盒中抽取的黃色球,X的所有可能取值為1,2,3,所以

綜上,X的分布列如表3所示.

表3

例4教育部門出臺了“雙減”政策,即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān),持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)(包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)).“雙減”政策的出臺對校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險,尋求發(fā)展制訂科學(xué)方案,工作人員對2022年前200名報名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計整理,其中數(shù)據(jù)如表4所示.

表4

(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移.為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好,工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為[9,11)和[11,13)的學(xué)員中抽取了5人,再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎問卷調(diào)查,求抽取的3人中消費(fèi)金額為[11,13)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)以頻率估計概率,假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2022年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布N(μ,σ2),μ,σ2分別為前200名報名學(xué)員消費(fèi)金額的平均數(shù)ˉx以及方差s2(同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點值替代).

(ⅰ)試估計該機(jī)構(gòu)學(xué)員2022 年消費(fèi)金額為[5.2,13.6)的概率(保留一位小數(shù));

(ⅱ)若從該機(jī)構(gòu)2022年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人,記消費(fèi)金額為[5.2,13.6)的人數(shù)為η,求η的方差.

X的分布列如表5所示.

表5

(2)(ⅰ)由題意得

4 隨機(jī)變量均值與方差在決策中的應(yīng)用

例5某公司圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù),為答謝員工的辛勤努力,公司決定在聯(lián)歡晚會后,擬通過摸球兌獎的方式對500位員工進(jìn)行獎勵,規(guī)定:每位員工從一個裝有4種面值的獎券的箱子中,一次隨機(jī)摸出2張獎券,獎券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額.

(1)若箱子中所裝的4種面值的獎券中有1張面值為80元,其余3張均為40元,試比較員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率的大小;

(2)公司對獎勵總額的預(yù)算是6萬元,預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎券有兩種方案:第一種方案是2張面值20元和2張面值100元;第二種方案是2張面值40元和2張面值80元.為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡,請問選擇哪一種方案比較好? 并說明理由.

所以P(X＝80)＝P(X＝120),故員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等.

(2)第一種方案為(20,20,100,100),設(shè)員工所獲得的獎勵額為X1,則X1的可能取值為40,120,200,所以

所以X1分布列如表6所示.

表6

第二種方案為(40,40,80,80),設(shè)員工所獲得的獎勵額為X2,則X2的分布列如表7所示.

表7

又因為500E(X1)＝500E(X2)＝60000元,所以兩種方案獎勵額的數(shù)學(xué)期望都符合要求,但第二種方案的方差比第一種方案的小,故應(yīng)選擇第二種方案.

例6在中國共產(chǎn)黨的正確領(lǐng)導(dǎo)下,我國順利實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標(biāo)——全面建成小康社會.某地為了鞏固扶貧成果,決定繼續(xù)對甲、乙兩家鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進(jìn)行指導(dǎo).指導(dǎo)方式有兩種,一種是精準(zhǔn)指導(dǎo),一種是綜合指導(dǎo).已知對甲企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時,投資50萬元,增加100萬元收入的概率為0.2,增加200萬元收入的概率為0.8,采用綜合指導(dǎo)時,投資100萬元,增加200萬元收入的概率為0.6,增加400萬收入的概率為0.4;對乙企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時,投資50萬元,增加100萬元收入的概率為0.3,增加200萬元收入的概率為0.7,采用綜合指導(dǎo)時,投資100萬元,增加200萬元收入的概率為0.7,增加400萬元收入的概率為0.3.指導(dǎo)結(jié)果在兩家企業(yè)之間互不影響.

(1)若決策部門對甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo),設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為X萬元,求X的分布列;

(2)若有150萬元無息貸款可供甲、乙兩家企業(yè)使用,對兩家企業(yè)應(yīng)分別進(jìn)行哪種指導(dǎo)總收入最高?請說明理由.

故當(dāng)決策部門對甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)時,兩家企業(yè)增加的總收入X的分布列如表8所示.

表8

(2)指導(dǎo)方案1:對甲、乙兩家企業(yè)均進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo).設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為Y萬元,則Y的可能取值為200,300,400,且

指導(dǎo)方案2:對甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo).

由(1)可得E(X)＝300×0.14＋400×0.56＋500×0.06＋600×0.24＝440.

指導(dǎo)方案3:對甲企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo).

設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為Z,則Z的可能取值為300,400,500,600,且

因為350＜440＜450,故選擇指導(dǎo)方案3,即對甲企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)總收入最高.

5 分布列、均值與方差的創(chuàng)新應(yīng)用

例7某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖1所示的頻率分布直方圖.

圖1

(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值xˉ(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

(2)根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航量程X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2),經(jīng)計算第(1)問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為μ的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值,現(xiàn)任取一輛汽車,求它的單次最大續(xù)航里程恰在250km 到400km 之間的概率;

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎”活動,客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn),若遙控車最終停在“勝利大本營”,則可獲得購車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車開始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動一次,若擲出正面,遙控車向前移動一格(從k到k＋1),若擲出反面,遙控車向前移動兩格(從k到k＋2),直到遙控車移到第49格(勝利大本營)或第50格(失敗大本營)時,游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第n格的概率為Pn,試證明{Pn－Pn－1}(1≤n≤49,n∈N?)是等比數(shù)列,并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則

(2)由(1)及條件可得X～N(300,502),所以

(3)遙控車開始在第0格為必然事件,P0＝1,第一次擲硬幣出現(xiàn)正面,遙控車移到第一格,其概率為

遙控車移到第n(2≤n≤49)格有兩種可能:①遙控車先到第n－2格,又?jǐn)S出反面,其概率為②遙控車先到第n－1 格,又?jǐn)S出正面,其概率為,所以

鏈接練習(xí)

1.已知隨機(jī)變量X～B(6,p),Y～N(μ,σ2),且P(Y≥2)＝,E(X)＝E(Y),則p＝( ).

2.某圍棋學(xué)校選拔參加圍棋大賽選手的規(guī)則如下:①每位參加者都要依次和A,B,C,D四位大師進(jìn)行四場比賽;②每場比賽參賽選手只有獲勝和失敗兩種結(jié)果,若獲勝,則該場比賽依次得1分,1分,1分,3分;若失敗,則該場得0分;③四場比賽結(jié)束后,累計得分大于或等于5分,則成為圍棋大賽選手;小于5分時,則不能成為圍棋大賽選手.學(xué)生甲和A,B,C,D四位大師進(jìn)行比賽,獲勝的概率依次為,且各場比賽相互之間沒有影響.

(1)求學(xué)生甲成為圍棋大賽選手的概率;

(2)設(shè)學(xué)生甲最后累計得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

鏈接練習(xí)參考答案

1.B.

(2)隨機(jī)變量X的分布列如表9所示.

表9

(完)