改進(jìn)型預(yù)測(cè)函數(shù)在并聯(lián)DC-DC中的應(yīng)用

伍孟濤，王海生，閆小宇，劉 彬， 葛蘆生

安徽工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243000

1 引 言

DC-DC變換器是目前應(yīng)用最多的開(kāi)關(guān)電源之一，可以將直流輸入電壓轉(zhuǎn)變?yōu)橹绷鬏敵鲭妷篬1]。在航天及軍事領(lǐng)域中，為了能夠在低成本、可靠性高的基礎(chǔ)上，具有大容量、大功率的優(yōu)點(diǎn)，并聯(lián)電源技術(shù)就顯得格外重要。因此研究開(kāi)關(guān)電源的并聯(lián)均流對(duì)于提高電源系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，具有一定的意義。

本文選用較為典型的BUCK變換器，研究其在并聯(lián)狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)性能、均流效果與魯棒性。由于BUCK變換器屬于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，難以得到其準(zhǔn)確的模型，且一旦受到外部干擾，將會(huì)讓變換器產(chǎn)生非線性變化，傳統(tǒng)的PI控制并不能滿足實(shí)際需要[2]。1695年，Leibniz第一次提出關(guān)于微分階次從整數(shù)階推廣到非整數(shù)階，隨后就有國(guó)外學(xué)者將整數(shù)階的PID發(fā)展到分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域[3]。FOPID與傳統(tǒng)PID相比多了兩個(gè)可以調(diào)節(jié)的指數(shù)，讓參數(shù)的整定變得更加靈活，使得控制器的動(dòng)態(tài)性能大幅提升，但是針對(duì)階數(shù)改變引入的兩個(gè)參數(shù)的整定和優(yōu)化問(wèn)題并沒(méi)有提出一個(gè)有效的解決方案。文獻(xiàn)[4]提出將預(yù)測(cè)函數(shù)控制(PFC)成功應(yīng)用到機(jī)器人的控制上，很大程度解決了抗干擾能力差和穩(wěn)態(tài)下的誤差問(wèn)題，卻忽視了預(yù)測(cè)函數(shù)控制的動(dòng)態(tài)響應(yīng)較差，沒(méi)有進(jìn)一步研究與傳統(tǒng)PID結(jié)合的控制策略。預(yù)測(cè)函數(shù)控制(PFC)屬于MPC的一種，它與MPC相比的優(yōu)點(diǎn)是魯棒性強(qiáng)、在線計(jì)算量較低和跟蹤能力強(qiáng)，另外，PFC的核心思想是注重控制輸入的結(jié)構(gòu)化[5]，它將控制輸入用基函數(shù)的線性組合代替，使整個(gè)控制過(guò)程的在線計(jì)算量大大減少。文獻(xiàn)[6]在預(yù)測(cè)函數(shù)控制算法的目標(biāo)函數(shù)中引入分?jǐn)?shù)階PI算法，二者結(jié)合得到了分?jǐn)?shù)階PI預(yù)測(cè)函數(shù)控制算法，并將其應(yīng)用到逆變器中，通過(guò)仿真波形和實(shí)驗(yàn)波形表明逆變器的動(dòng)態(tài)性能得到了提升，但是面對(duì)擾動(dòng)，穩(wěn)定性仍存在不足，但該算法與單一的控制算法相比，具有更好的控制效果。

將預(yù)測(cè)函數(shù)的成本函數(shù)與分?jǐn)?shù)階PID的增量表達(dá)式相結(jié)合，得到一個(gè)新的控制算法預(yù)測(cè)函數(shù)分?jǐn)?shù)階(FOPID-PFC)。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了將BUCK變換器和這種新型控制算法結(jié)合的控制策略，在一定程度上保留了分?jǐn)?shù)階PID控制良好的動(dòng)態(tài)性能，也讓預(yù)測(cè)函數(shù)控制的魯棒性融合進(jìn)來(lái)，使得控制系統(tǒng)的可靠性大大提升，但針對(duì)解決新得到的成本函數(shù)參數(shù)在線計(jì)算量大的問(wèn)題，并沒(méi)有提出一個(gè)有效的改進(jìn)方法；文獻(xiàn)[8]在總結(jié)這種新型控制策略的同時(shí)，引入了優(yōu)化算法粒子群，通過(guò)粒子群在線整定成本函數(shù)參數(shù)，使得計(jì)算量大大降低，參數(shù)的選取也變得更加方便。上述兩個(gè)關(guān)于這種新型算法的文獻(xiàn)均只被用在單個(gè)BUCK電路中，在BUCK并聯(lián)系統(tǒng)中沒(méi)有得到應(yīng)用和驗(yàn)證。

實(shí)現(xiàn)均流技術(shù)的控制方法尤為重要，如果盲目將各個(gè)模塊進(jìn)行并聯(lián)，不僅會(huì)出現(xiàn)負(fù)載電流分布不均，而且還會(huì)影響系統(tǒng)的正常工作，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的損壞。結(jié)合一系列問(wèn)題，本文在上述文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出基于主從均流的方式，通過(guò)v步離散法得到較為精確的分段仿射模型(PWA)，并將這種新型控制算法預(yù)測(cè)函數(shù)分?jǐn)?shù)階，應(yīng)用到并聯(lián)BUCK變換器當(dāng)中，不僅解決了電感電流分配問(wèn)題，而且也大大提高了并聯(lián)系統(tǒng)在面對(duì)負(fù)載擾動(dòng)的情況下，整個(gè)BUCK變換器的輸出性能和穩(wěn)定性。

2 均流方法

對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)，輸出電感電流il的分配差異由各子模塊的外特性不同造成。以一個(gè)簡(jiǎn)單的均流系統(tǒng)為例，外部特性不同分為兩種：一是兩個(gè)模塊空載的電壓不同，輸出的負(fù)載阻抗相等；二是空載電壓相同，輸出的阻抗不同。

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，人們對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)存在的電流分配問(wèn)題，正在保持積極的研究，解決方法也是層出不窮。輸出阻抗法(下垂法)[9]，并聯(lián)的每個(gè)模塊外特性呈下垂?fàn)睿?fù)載阻抗大，輸出電壓Vo小。在并聯(lián)BUCK中，內(nèi)阻小的模塊輸出電流較大，而內(nèi)阻大的模塊輸出電流較小。此均流方法即將內(nèi)阻小的模塊外特性斜率調(diào)整至接近內(nèi)阻大的模塊，使得兩個(gè)模塊的電流分配較為均勻。文獻(xiàn)[10]提出的平均電流自動(dòng)均流法，即均流環(huán)參考電壓為各個(gè)模塊電流的平均值，但是當(dāng)母線發(fā)生短路或者一些模塊不能正常運(yùn)行時(shí)，母線電壓會(huì)下降，甚至?xí)档较孪薜拈撝?，?dǎo)致DC-DC變換器故障的發(fā)生[11]。

本文選用主從并聯(lián)方法，將一個(gè)模塊作為系統(tǒng)的主模塊，其余的為從模塊。用主模塊的電壓控制其他并聯(lián)模塊的電壓調(diào)整值，所有并聯(lián)子模塊均采用電流內(nèi)環(huán)控制，將主模塊的電感電流值i1作為從模塊的電流環(huán)參考值iref，從而實(shí)現(xiàn)主從電流一致，得到很好的電流分配精度[12]。圖1(a)為傳統(tǒng)PI的并聯(lián)BUCK結(jié)構(gòu)圖，圖(1b)為預(yù)測(cè)函數(shù)分?jǐn)?shù)階的并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖。

(a) 雙閉環(huán)PI控制

3 分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)算法

3.1 分段仿射(PWA)

針對(duì)像DC-DC這種由非線性功率開(kāi)關(guān)器件組成的模型，一般設(shè)計(jì)常見(jiàn)的線性模型控制器雖然比較簡(jiǎn)單，但是這些控制器在控制非線性模型對(duì)象時(shí)，很難準(zhǔn)確地表現(xiàn)出變換器系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。BUCK型DC-DC變換器屬于切換線性系統(tǒng)，本小節(jié)提出利用其改進(jìn)演變而來(lái)的分段仿射模型(PWA)[13]。先對(duì)BUCK變換器進(jìn)行分段仿射建模，然后在此基礎(chǔ)上提出分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)控制算法，并且在分段仿射模型(PWA)下，對(duì)分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)求得最優(yōu)控制量。其中分段仿射系統(tǒng)原理圖如圖2所示。

圖2 分段仿射系統(tǒng)原理圖Fig.2 Schematic diagram of piece-wise affine system

分段仿射系統(tǒng)中含有多個(gè)連續(xù)變量的動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，而且每個(gè)子系統(tǒng)中都含有一個(gè)附加常數(shù)項(xiàng)，這一點(diǎn)和其他切換系統(tǒng)是一致的，在圖2可以看出，其子系統(tǒng)按照切換的策略在1到N之間進(jìn)行切換[14]。雖然分段仿射的切換策略為離散狀態(tài)，但是不同開(kāi)關(guān)序列在同一個(gè)周期中1到N時(shí)處在連續(xù)的狀態(tài)。

普通仿射系統(tǒng)定義如式(1)所示:

(1)

其中，x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，函數(shù)f:Rn→Rn與g:R→Rn×m為連續(xù)函數(shù)，u∈Rm為控制向量，并且f(0)=0。

對(duì)于同步整流的BUCK變換器，電感電流一直處于導(dǎo)通狀態(tài)下，故本文只對(duì)CCM模式下的理想Buck變換器進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析。其狀態(tài)空間方程如式(2)、式(3)所示：

(2)

y(t)=Cx(t)

(3)

在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)，不同的數(shù)學(xué)模型會(huì)根據(jù)控制器提供的不同PWM信號(hào)，使系統(tǒng)的狀態(tài)變量發(fā)生改變，故如果能夠找到PWM信號(hào)即d(k)與狀態(tài)變量在不同開(kāi)關(guān)周期的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可建立Buck變換器的分析模型。本文利用v步離散方法[15]，對(duì)BUCK變換器進(jìn)行PWA建模，這里的v=3。

為了確定子區(qū)間類型，引入v個(gè)0和1變量并定義如下：

σn=1?d(k)≥n/ν,n=0,1,…,ν-1

(4)

式(4)為第n個(gè)子區(qū)間的狀態(tài)：當(dāng)σn和σn+1均為1時(shí)，子區(qū)間處于狀態(tài)Q1;當(dāng)σn為0時(shí)，子區(qū)間處于狀態(tài)Q2；當(dāng)σn為1，σn+1為0時(shí)，子區(qū)間處于Q1切換到Q2狀態(tài)。故在第n個(gè)子區(qū)間按式(4)、式(5)所示進(jìn)行狀態(tài)更新：

Ξ3(ξ(n)):=Φξ(n)+Ψ1(v×d(k)-n)

圖3 子區(qū)間占空比信號(hào)變化示意圖Fig.3 Schematic diagram of the change of the duty cycle signal of the sub-interval

最后得到PWA的BUCK變換器模型如式(5)所示：

(5)

其中：

A1=A2=A3=Φ3
B1=3Φ2Ψ1,B2=3ΦΨ1,B3=3Ψ1
f1=0,f2=Φ2Ψ1-ΦΨ1
f3=Φ2Ψ1+ΦΨ1-2Ψ1

則Buck變換器的PWA模型如式(6)所示：

x(k+1)=Anx(k)+Bnd(k)+fnn=1,2,3

(6)

3.2 分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)

本文所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)控制策略，是在預(yù)測(cè)函數(shù)的基礎(chǔ)上加入增量式分?jǐn)?shù)階PID，其算法具體流程與預(yù)測(cè)函數(shù)大體一致，也包含基函數(shù)的選取、參考軌跡、預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化以及誤差的校正。

PFC算法的目的是使控制優(yōu)化時(shí)域內(nèi)的參考軌跡與預(yù)測(cè)值盡可能接近，故本文選取二次型性能指標(biāo)函數(shù)的形式如式(7)所示：

(7)

其中,Qi,Ri為加權(quán)系數(shù)矩陣，P、H分別為預(yù)測(cè)時(shí)域及控制時(shí)域，yc(k+i|k)為k+i時(shí)刻的模型校正輸出，Δu為從當(dāng)前時(shí)刻起，M個(gè)連續(xù)控制增量。

PID的增量表達(dá)式如式(8)所示：

u(k)=u(k-1)+kpΔe(k)+kie(k)+kdΔ2e(k)

(8)

FOPID的增量表達(dá)式如式(9)所示：

Δu(k)=KpΔe(k)+

(9)

(10)

由式(7)的目標(biāo)函數(shù)和式(10)的FOPID增量式得到本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)的新目標(biāo)函數(shù)式(11)：

(11)

其中，i是預(yù)測(cè)步長(zhǎng)。為了找到最優(yōu)控制量，使目標(biāo)函數(shù)值最小，通過(guò)求極值得到控制量式(12)：

(12)

其中，q-1為位移算子。

4 并聯(lián)FOPIDPFC的仿真設(shè)計(jì)

本節(jié)將在Matlab/Simulink中搭建FOPIDPFC控制并聯(lián)Buck變換器的仿真模型，通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證主從FOPIDPFC控制器設(shè)計(jì)的可行性。仿真中的主從Buck電路參數(shù)為Vin=12 V,C1=C2=210 μF、L1=L2=15 μH,Rmax=0.5 Ω,Rmin=0.25 Ω。此外，主從FOPIDPFC控制器參數(shù)相同，均為T(mén)s=1×10-5s，Tr=6×10-5s，Kp=0.1，Ki=37.43，Kd=12.62,λ=26.86,μ=16.43,Q(2×2)=0.1×diag[1,1],h2×1=[2.04,2.37],R(2×2)=0.8×diag[1,1]。搭建的仿真模型如圖4、圖5所示。

圖4 主從FOPIDPFC控制并聯(lián)Buck仿真模型Fig.4 Master-slave FOPIDPFC control parallel Buck simulation model

圖5 主從FOPIDPFC控制器內(nèi)部仿真模型Fig.5 Internal simulation model of master-slave FOPIDPFC controller

傳統(tǒng)雙閉環(huán)PI控制的電流參考值iref的取值與其電壓外環(huán)緊密相關(guān)，輸出電壓的誤差值會(huì)影響電壓外環(huán)的輸入。另外，電流內(nèi)環(huán)的參考值由誤差值經(jīng)過(guò)電壓外環(huán)調(diào)節(jié)得到。本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)與傳統(tǒng)PI有所不同。在主從均流系統(tǒng)中，主FOPIDPFC控制器的輸入并不僅與輸出電壓誤差值有關(guān)，也與主變換器的電感電流值有一定聯(lián)系，因此FOPIDPFC控制器電流值的選取準(zhǔn)則不能和傳統(tǒng)的PI控制一致。這里將第二節(jié)FOPIDPFC控制器的輸出控制量表達(dá)式，計(jì)算簡(jiǎn)化，結(jié)合上面提到的雙閉環(huán)PI控制的電流參考值選取原則，從顯式中找出僅與輸出電壓差值相關(guān)的表達(dá)式，將其單獨(dú)作為從FOPIDPFC控制器的電流參考值。得到的電流參考值iref的表達(dá)式如式(13)、式(14)：

D=C(hi-Ai)A·[iL(k-1)vo(k-1)]T+

C(hi-Ai)B·u(k-1)-(hi-ai)·vo(k)+

(13)

iref=Q·S0·T1+Q·S1·T-Q·S2·T-1

(14)

式(14)中：T1表示的是開(kāi)關(guān)周期延時(shí)一個(gè)周期D(1，1)的值，且D(1，1)為第一行第一列的值。M(1,2)、M(2,2)與其表達(dá)意思相同，即矩陣?yán)锏哪承心沉袛?shù)值。

式(13)中：

L=[h1,h2，…，hp]TCm-

M=[h1,h2]TCmAmt-[CmAmt,CmAmt2]TAmt

S0=[K1·G1(1,2)+Ka·Gk(1,2)+Kp·ΔGk(1,2)]

S1=[Kp·ΔGk(1,1)-Kp·ΔGk(1,2)+Ka·Gk(1,1)]

S2=Kp·ΔGk(1,1)

5 結(jié)果分析

圖6為主從FOPIDPFC控制并聯(lián)Buck變換器的仿真結(jié)果。從圖6(a)中可以看出：主從FOPIDPFC控制的Buck變換器輸出電壓能夠達(dá)到設(shè)定值2.5V，并且在加減載時(shí)，主從FOPIDPFC控制器能夠快速地調(diào)節(jié)系統(tǒng)重新回到穩(wěn)態(tài)值且具有較小的超調(diào)量。其中在加載時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)70 μs的調(diào)節(jié)時(shí)間使得輸出電壓重新回到設(shè)定值，超調(diào)量為304 mV；在減載時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)100 μs的調(diào)節(jié)時(shí)間使得輸出電壓回到設(shè)定值，超調(diào)量為450 mV。從圖6(b)中可以看出：從Buck電感電流值與主Buck電感電流值始終保持相等，說(shuō)明主從FOPIDPFC控制器的設(shè)計(jì)很好地實(shí)現(xiàn)了并聯(lián)Buck變換器的均流效果。

(a) 并聯(lián)負(fù)載突變時(shí)輸出電壓波形

圖7為傳統(tǒng)雙閉環(huán)PI控制的主從均流控制BUCK變換器的仿真結(jié)果波形。圖7(a)中，負(fù)載在加載情況下，超調(diào)量為538 mv，調(diào)節(jié)時(shí)間為240 μs;系統(tǒng)減載時(shí)，超調(diào)量為671 mv，恢復(fù)時(shí)間為310 μs。

(a) 并聯(lián)負(fù)載突變時(shí)輸出電壓波形

從仿真結(jié)果可以看出：分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)控制的并聯(lián)BUCK變換器在面對(duì)負(fù)載加、減載的情況下，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間分別降低了234 mv、170 μs和221 mv、210 μs。因此，采用本文的基于主從均流的并聯(lián)方法分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)函數(shù)控制在電流的分配精度、動(dòng)態(tài)性能以及穩(wěn)定性上均比傳統(tǒng)雙閉環(huán)PI控制更好。

6 總 結(jié)

在并聯(lián)BUCK變換器的控制中，本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階預(yù)測(cè)控制策略，在負(fù)載受到加、減載的擾動(dòng)下，其輸出性能效果和動(dòng)態(tài)響應(yīng)均比PI控制優(yōu)越，在電感電流分配上，也更加均勻。

由于本文引入的分?jǐn)?shù)階思想導(dǎo)致參數(shù)從原本的3個(gè)變?yōu)榱?個(gè)，使得計(jì)算難度大大提高，未來(lái)可以在此基礎(chǔ)上，對(duì)參數(shù)的整定和優(yōu)化提出一種解決辦法，降低計(jì)算量。