多目標(biāo)博弈加權(quán)納什平衡點(diǎn)集的通用穩(wěn)定性

楊 林, 丘小玲

貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴陽 550025

1 引 言

Von Neumann和Morgenstern在1944年完成的論文《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》，把博弈論研究推向系統(tǒng)化和公理化；1950年，Nash在論文《Equilibrium Points Inn-Person Games》中提出Nash平衡的概念，內(nèi)涵是在其他局中人不改變當(dāng)前策略時，局中人獨(dú)自改變自己的策略并不能獲得比當(dāng)前更大的收益，Nash平衡的研究逐漸成為博弈論研究的核心；多人多目標(biāo)非合作博弈模型的建立和Pareto-Nash平衡策略的提出擴(kuò)展了博弈論研究領(lǐng)域，多目標(biāo)博弈也更好地應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中，引起很多學(xué)者的關(guān)注和研究，并取得很多顯著成果。

文獻(xiàn)[1]利用不動點(diǎn)方法研究n人多目標(biāo)博弈的Pareto-Nash平衡點(diǎn)和加權(quán)納什平衡點(diǎn)的存在性，并給出了Pareto-Nash 平衡點(diǎn)存在的幾個充分條件，同時闡明了Pareto-Nash 平衡點(diǎn)與加權(quán)納什平衡點(diǎn)的關(guān)系，為以后學(xué)者的研究提供了理論依據(jù)和方法的實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[2]受文獻(xiàn)[1]啟發(fā)，從不動點(diǎn)理論(Fan-Glicksberg不動點(diǎn)和Fan-Browder不動點(diǎn))和Ky Fan 不等式兩種途徑研究多目標(biāo)博弈的Pareto-Nash平衡點(diǎn)和加權(quán)納什平衡點(diǎn)的存在性，建立了在加權(quán)后支付函數(shù)連續(xù)性和凹性條件下多目標(biāo)博弈的Pareto-Nash 平衡點(diǎn)和加權(quán)納什平衡點(diǎn)的存在性結(jié)果。關(guān)于平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，許多研究學(xué)者已經(jīng)取得一些成果，文獻(xiàn)[3]利用集值分析工具建立了非線性問題解集的通有穩(wěn)定性框架，討論了多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)的通有穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[4,5]研究了多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)的本質(zhì)連通區(qū)及向量擬平衡問題本質(zhì)解和本質(zhì)連通區(qū)；文獻(xiàn)[6-13]得到了一些關(guān)于通有穩(wěn)定性的研究成果。

本文的工作是構(gòu)建偽連續(xù)向量值支付函數(shù)的博弈問題空間，給出加權(quán)Nash平衡點(diǎn)的定義，建立偽連續(xù)向量值支付函數(shù)下多目標(biāo)博弈的問題空間，并討論博弈加權(quán)納什平衡點(diǎn)的存在性，通過定義博弈的集值映射，應(yīng)用相關(guān)定理和引理證明集值映射是非空的、凸的、usco映射；應(yīng)用Fan-Glicksberg不動點(diǎn)定理、Fort 定理以及本質(zhì)平衡點(diǎn)定義，討論權(quán)向量和支付函數(shù)及策略集三者同時擾動下加權(quán)納什平衡點(diǎn)集的通有穩(wěn)定性情況。

2 預(yù)備知識

本節(jié)先回憶一些定義和定理，給出文中需要的若干引理。

定義1[3]設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g，集值映射F:X→P0(Y)，其中P0(Y)表示Y的所有子集的集合，對x∈X，有

1) 如果對Y中的任意開集G，G?F(x)(或G∩F(x)≠?)，存在x的開鄰域O(x)，使得?x′∈O(x)，有G?F(x′)(或G∩F(x')≠?)，則稱集值映射F在x處是上半連續(xù)的(或下半連續(xù)的)；

2) 如果F在x處既是上半連續(xù)的又是下半連續(xù)的，則稱集值映射F在x上是連續(xù)的；

3) 如果?x∈X，集值映射F在x上是連續(xù)的(或上半連續(xù)的，或下半連續(xù)的)，則F在X上是連續(xù)的(或上半連續(xù)的，或下半連續(xù)的)；

4) 如果?x∈X,集值映射F是上半連續(xù)的，并且F(x)是非空緊集，則稱集值映射F是usco映射。

設(shè)Y是Hausdorff拓?fù)淇臻g，Q?Y，如果Q包含一列在Y中稠密開集的交，稱Q是Y中的一個剩余集(residual set)。

定義2[5]設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，f:X→R是一個實(shí)值函數(shù)，有

2) 稱f在X上是上(弱)偽連續(xù)的，如果f對每一個x∈X都是上(弱)偽連續(xù)的；

4) 稱f在X上是下(弱)偽連續(xù)的，如果f對每一個x∈X都是下(弱)偽連續(xù)的；

5) 稱f在x∈X處是(弱)偽連續(xù)的，如果f在x∈X處既是上(弱)偽連續(xù)的又是下(弱)偽連續(xù)的；稱f在X上是(弱)偽連續(xù)的，如果f在X中的每一點(diǎn)x∈X處都是(弱)偽連續(xù)的。

引理1 如果X是緊Hausdorff拓?fù)淇臻g，函數(shù)f:X→R是上(下)偽連續(xù)的，那么函數(shù)f在X上可取到最大(小)值。

引理2 設(shè)X和Y是兩個Hausdorff拓?fù)淇臻g，而Y是緊空間，如果集值映射F:X→P0(Y)是閉的，則F在X上必是上半連續(xù)的。

定理1(Fan-Glicksberg不動點(diǎn)定理)[3]設(shè)X是一個Hausdorff局部凸空間E中的非空凸緊集，集值映射F:X→P0(X)在X上是上半連續(xù)的，?x∈X，F(xiàn)(x)是X中的非空閉凸集，則存在x*∈X，使得x*∈F(x*)。

定理2(Fort定理)[3]設(shè)X是一個Hausdorff拓?fù)淇臻g，Y是一個度量空間，集值映射F:X→P0(Y)是一個usco映射，則存在X中的一個剩余集Q，使得?x∈Q，F(xiàn)在x處是下半連續(xù)的，從而是連續(xù)的。

定理3[3]設(shè)X是一個Baire空間，Y是一個度量空間，集值映射F:X→P0(Y)是一個usco映射，則存在X中的一個稠密剩余集Q，使得?x∈Q，F(xiàn)在x處是下半連續(xù)的，從而是連續(xù)的。

接下來考慮多目標(biāo)博弈模型:

G={Xi,Fi}i∈N

在整篇文章中，給定m∈N+，記

其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是由歐氏距離誘導(dǎo)得到的，內(nèi)部記為

文獻(xiàn)[1]的定理3考慮了SW(x,y)在X×X上連續(xù)和SW(x,y)關(guān)于y擬凹的條件下博弈G的關(guān)于權(quán)向量W的加權(quán)Nash平衡點(diǎn)，現(xiàn)在，考慮更一般的情況。

證明定義映射

由定理1和引理3，只需要證明集值映射MW(x)是上半連續(xù)的緊映射。

既然SW(x,y)在X×X上是偽連續(xù)的，根據(jù)引理1，可知MW(x)非空，首先證其是閉集，設(shè){yn}?MW(x),yn→y0，需證明y0∈MW(x)。如若y0?MW(x)，則存在y1∈X，使得SW(x,y1)>SW(x,y0)，由于SW(x,y)在X×X上是上偽連續(xù)的，有

矛盾。因此y0∈MW(x)，即MW(x)為X中的閉子集，又由于X為緊集，所以MW(x)為緊集。

最后證MW(x):X→P0(X)是上半連續(xù)的，即證?xn∈X,xn→x,有?yn∈MW(xn),yn→y。需要證明y∈MW(x)。反證：假設(shè)y?MW(x)，則存在y1∈X，使得SW(x,y1)>SW(x,y)，由于yk∈MW(xk),?k∈N+，有SW(xk,yk)≥SW(xk,y1)，由于SW(x,y)在X×X上是下偽連續(xù)的，令k→∞，有SW(x,y)≥SW(x,y1)，矛盾。因此MW(x)是上半連續(xù)的。

根據(jù)Fan-Glicksberg不動點(diǎn)定理，存在點(diǎn)x*使得x*∈MW(x*)，再由引理3，x*為博弈G的關(guān)于權(quán)向量W的加權(quán)Nash平衡點(diǎn)。

3 通有穩(wěn)定性分析

如前所述，多目標(biāo)博弈的平衡點(diǎn)存在但是未必是穩(wěn)定的，并且多目標(biāo)博弈的穩(wěn)定性與研究條件有關(guān)，不同的條件下會有不同的結(jié)論?，F(xiàn)在，分別構(gòu)建多目標(biāo)博弈在權(quán)向量擾動、權(quán)向量和支付函數(shù)同時擾動、權(quán)向量和支付函數(shù)以及策略集三者同時擾動情況下的博弈問題空間，定義相應(yīng)的集值映射，并討論加權(quán)Nash平衡點(diǎn)集在權(quán)向量和支付函數(shù)及策略集三者同時擾動情況下的穩(wěn)定性情況。

首先在只考慮權(quán)向量擾動情況下構(gòu)造問題空間：

(1)

再考慮權(quán)向量和支付函數(shù)同時擾動情況下構(gòu)造問題空間：

(2)

引理4 考慮權(quán)向量和支付函數(shù)同時擾動時，(Y2,ρ2)空間是完備度量空間。

證明設(shè){φn}是Y2中的柯西點(diǎn)列，{φn}=(Wn,Fn)，即?ε>0，存在正整數(shù)N(ε)，使得?m,n≥N(ε)，使得

最后在考慮權(quán)向量和支付函數(shù)以及策略集三者同時擾動的情況下，構(gòu)造問題空間：

(3)

引理5 在權(quán)向量和支付函數(shù)以及策略集三者同時擾動情況下，(Y3,ρ3)空間是一個完備度量空間。

證明顯然(Y3,ρ3)是一個度量空間，只需證明(Y3,ρ3)是完備的。記K(X)表示X中所有非空緊子集組成的集合，其拓?fù)涫怯蒃中范數(shù)誘導(dǎo)的Hausdorff距離，則(K(X),H)是一個完備度量空間。

記Y3=Y0×K(X)，且ρ3是由權(quán)向量和支付函數(shù)同時擾動情況下定義的距離和Hausdorff距離誘導(dǎo)得到的，既然權(quán)向量和支付函數(shù)同時擾動情況下的空間和(K(X),H)都是完備的，因此(Y3,ρ3)也是完備的。

引理6 設(shè)A和An(n=1,2,…)是Hausdorff拓?fù)淇臻gX的所有非空緊子集，An→A，則

(2)如果xn∈An,xn→x，那么x∈A。

對于?u=(W,F,A)∈Y,由u可以確定一個權(quán)向量為W、支付向量為F、策略集為A的多目標(biāo)博弈，其中，?i∈N，第i個局中人的向量值支付函數(shù)為Fi。這樣，Y3可看作是由權(quán)向量和向量值支付函數(shù)以及策略集所確定的多目標(biāo)博弈的集合，是一個博弈空間。?u∈Y3，用N(u)表示權(quán)向量為W、支付函數(shù)向量為F、策略集為A的多目標(biāo)博弈的所有加權(quán)Nash平衡點(diǎn)，根據(jù)定理4，N(u)≠?，這樣，定義了一個集值映射N:Y3→P0(X)。

定理5N在Y3上是一個usco 映射。

證明先證N(u)是緊集，由于N(u)表示權(quán)向量為W、支付向量為F、策略集為A的多目標(biāo)博弈的所有加權(quán)Nash平衡點(diǎn)，對于?u=(W,F,A)∈Y3，有

定義4[3]?u∈Y3,x∈N(u)，如果對x的任意開鄰域U(x)，存在u的開鄰域O(u)，使得?u′∈O(u),?x′∈N(u′)，而x′∈U(x)，則稱x為多目標(biāo)問題u的本質(zhì)解。如果?x∈N(u)，x都是多目標(biāo)問題u的本質(zhì)解，則稱多目標(biāo)問題u是本質(zhì)的；如果?x∈N(u)，而x是本質(zhì)的，則稱多目標(biāo)問題u是弱本質(zhì)的。

定理6 (1) 多目標(biāo)問題u是本質(zhì)的當(dāng)且僅當(dāng)集值映射N:Y3→P0(X)在u上是下半連續(xù)的；

(2) 多目標(biāo)問題u是弱本質(zhì)的當(dāng)且僅當(dāng)集值映射N:Y3→P0(X)在u上是弱下半連續(xù)的。

證明只證(1)。必要性:由于u∈Y3，對任何X中的開集G，G∩N(u)≠?，在集合G中取x∈G∩N(u)，則G是x的開鄰域，因問題u是本質(zhì)的，故x∈N(u)必是本質(zhì)的，存在u的開鄰域O(u)，使得?u′∈O(u),?x′∈N(u′)，而x′∈G。這樣G∩N(u)≠?，集值映射N:Y3→P0(X)在u下是下半連續(xù)的。

充分性:?u∈Y3,?x∈N(u)，對x的任意開鄰域U(x)，有N(u)∩U(x)≠?。因集值映射N:Y3→P0(X)在u下是下半連續(xù)的，存在u的開鄰域O(u)，?u′∈O(u)，N(u′)∩U(x)≠?，取x′∈N(u′)∩U(x)，則x′∈N(u)，而x′∈U(x)，且x是本質(zhì)的，從而問題u是本質(zhì)的。

定理7 ?i∈N，存在Y3的一個稠密剩余集Q，使得?u∈Q，多目標(biāo)博弈的問題u都是本質(zhì)的。

證明因Y3是一個完備度量空間，因而是一個Baire空間，而X是一個度量空間，根據(jù)定理5，集值映射N:Y3→P0(X)是一個usco映射，于是由Fort定理，存在Y3的一個稠密剩余集Q，使得?u∈Q，集值映射N在u處是下半連續(xù)的。再由定理6，?u∈Q，多目標(biāo)博弈的問題u都是本質(zhì)的。

定理8 ?u∈Y3，如果N(u)={x}，多目標(biāo)博弈的問題u必是本質(zhì)的。

證明對任何X中的開集G，G∩N(u)≠?，因N(u)={x}，則x∈G，從而G?N(u)。由定理5，集值映射N在u上是一個上半連續(xù)映射，存在u的開鄰域O(u)，使得?u′∈O(u)，有G?N(u′)，于是G∩N(u′)≠?，集值映射N在u上是一個下半連續(xù)映射。再由定理6，多目標(biāo)博弈的問題u必是本質(zhì)的。

注1 ?u∈Y3，因Q在Y3中是稠密的，則u可以由多目標(biāo)博弈的本質(zhì)問題做任意的逼近。也即在Baire分類意義下，對大多數(shù)的多目標(biāo)博弈問題u∈Y3，其問題u都是本質(zhì)的，或者說多目標(biāo)博弈問題u是本質(zhì)的，是Y3上通有的性質(zhì)。

推論1 ?i∈N，存在Y3的一個稠密剩余集Q，使得?u∈Q，其多目標(biāo)博弈的弱Pareto-Nash平衡點(diǎn)都是本質(zhì)的。

4 結(jié) 論

根據(jù)文獻(xiàn)[3]提出的通有穩(wěn)定性思想框架，在多目標(biāo)博弈加權(quán)納什平衡點(diǎn)在向量值支付函數(shù)連續(xù)條件下具有通有穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，提出向量值支付函數(shù)偽連續(xù)的情況，構(gòu)建了問題空間，討論了多目標(biāo)博弈加權(quán)納什平衡點(diǎn)的存在性結(jié)果，并應(yīng)用定理與引理推導(dǎo)權(quán)向量和支付函數(shù)以及策略集三者同時擾動情況下加權(quán)納什平衡點(diǎn)的通有穩(wěn)定性情況，得出在Baire分類意義下，所構(gòu)造的問題都是本質(zhì)的，即多目標(biāo)博弈加權(quán)納什平衡點(diǎn)具有通有穩(wěn)定性的結(jié)論。