一種針對(duì)腦部圖像分割強(qiáng)度不均勻性的改進(jìn)方法

李 季， 胡錦萍， 喬 敏， 王 艷

1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067 2.電子科技大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，成都 611731 3.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 400067

1 引 言

眾所周知，圖像是用來(lái)反映外界事物的首要表現(xiàn)形式，外界的事物通過(guò)圖像進(jìn)入到人眼中，通過(guò)大腦的加工產(chǎn)生了對(duì)該事物的分析與了解。但是該種方式是最片面的，它還只停留于最淺顯的部分。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，外界的所有物體都可以被轉(zhuǎn)化為數(shù)字，通過(guò)數(shù)字圖像將其記錄儲(chǔ)存到計(jì)算機(jī)中。這項(xiàng)技術(shù)的產(chǎn)生使得所有物體都有了具體的表示方式，也使得圖像信息能夠盡快地被捕獲，促進(jìn)了人類(lèi)社會(huì)與科學(xué)技術(shù)的緊密聯(lián)系。

要想將圖像與技術(shù)結(jié)合起來(lái)需要借助一種工具——計(jì)算機(jī)視覺(jué)，即讓計(jì)算機(jī)代替肉眼，對(duì)所得到的事物進(jìn)行識(shí)別、探測(cè)、分析等任務(wù)。人類(lèi)之所以能夠輕易地讀出圖像的內(nèi)容,是因?yàn)槿梭w的各個(gè)器官都存在著相應(yīng)的聯(lián)系。按照人類(lèi)視覺(jué)的功能,外界物體轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)圖像處理算法可以分為許多種，這些分類(lèi)在以后的數(shù)字圖像發(fā)展過(guò)程中也起著至關(guān)重要的作用。

社會(huì)在不斷地進(jìn)步，科技也在不停地發(fā)展,圖像分割已成為一個(gè)較為熱門(mén)且急需深入研究的問(wèn)題,它引領(lǐng)著醫(yī)療、軍事、交通等多領(lǐng)域的發(fā)展。最簡(jiǎn)單的例子就是圖像分割在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。

醫(yī)學(xué)圖像的組織分割非常重要，本文主要提出了一種針對(duì)腦部圖像分割強(qiáng)度不均勻性的改進(jìn)方法。磁共振成像(MRI)的分割結(jié)果通常受強(qiáng)度不均勻性的影響，這種不均勻性表現(xiàn)為組織的強(qiáng)度在整個(gè)圖像域內(nèi)呈現(xiàn)緩慢變化的狀態(tài)。該性質(zhì)的產(chǎn)生會(huì)使得不同組織的強(qiáng)度范圍重疊，這就會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的后果，如組織的誤分割。因此，消除這種強(qiáng)度不均勻性，即偏移場(chǎng)的校正，就是MRI圖像處理(如MRI定量分析)的第一步和關(guān)鍵步驟。要想校正偏移場(chǎng)，就需要先找出致使MR圖像強(qiáng)度不均勻性的偏移場(chǎng)，然后再將圖像分離，用其估計(jì)出來(lái)的偏移場(chǎng)得到偏移場(chǎng)的校正圖像。在這里首先介紹一下活動(dòng)輪廓模型。

活動(dòng)輪廓模型可以分為兩大類(lèi)，分別是區(qū)域型和邊緣型，本文主要對(duì)區(qū)域型模型進(jìn)行闡述。傳統(tǒng)的基于區(qū)域的模型非常依賴(lài)于圖像強(qiáng)度均勻度，很明顯不適合強(qiáng)度不均勻的圖像。Chan等[1]提出了Chan-Vese(CV)模型或piecewise constant(PC)模型，用CV模型進(jìn)行圖像分割，原理就是利用了圖像的全局信息，該模型雖然對(duì)邊界辨識(shí)度低的圖像放寬了限制，可以對(duì)該種圖像進(jìn)行分割，但并沒(méi)有兼顧到強(qiáng)度不均勻的圖像。同樣地，PC模型也存在這一缺點(diǎn)。

為了獲得分割結(jié)果和偏移場(chǎng)校正，人們提出了很多方法[2-7]。Li等[2-3]提出了一種基于變分水平集的局部加權(quán)K均值強(qiáng)度聚類(lèi)(LIC)模型，用于圖像分割和偏移場(chǎng)估計(jì)，在LIC模型中，圖像強(qiáng)度被建模為真實(shí)圖像和偏置場(chǎng)的倍數(shù)，真實(shí)圖像近似于分段常數(shù)，偏移場(chǎng)緩慢變化，Zhou等[4]在LIC模型中引入了相關(guān)熵準(zhǔn)則，以增加接近強(qiáng)度均值的像素權(quán)重；從全局角度出發(fā)，Li等[5]將圖像分解為兩個(gè)固有分量(MICO)，即真圖像和偏置場(chǎng)，并提出了用于偏置場(chǎng)估計(jì)和組織分割的MICO模型；Pham等[8]使用了模糊C均值(FCM)算法用于分割和偏移場(chǎng)估計(jì)；為了保證擁有一個(gè)平滑的偏移場(chǎng)，Vovk等[9]在能量函數(shù)中引入了平滑項(xiàng)，但平滑項(xiàng)系數(shù)的實(shí)用性會(huì)因此大大降低，使算法得不到廣泛的應(yīng)用。

本文基于模糊C均值(FCM)的能量最小化方法，將全局聚類(lèi)和局部聚類(lèi)相結(jié)合，用于磁共振(MR)腦圖像的偏移場(chǎng)估計(jì)和分割。

單純使用全局聚類(lèi)或者局部聚類(lèi)方法，會(huì)使得對(duì)其研究更加深入，但是在解決實(shí)際問(wèn)題方面并不能得到很好的應(yīng)用，要么造成圖像分割的強(qiáng)度范圍重疊化，要么不能將目標(biāo)圖像進(jìn)行分割，本文的新方法不僅解決了這些問(wèn)題，而且加快了圖像分割的速度。

近年來(lái)，在圖像分割領(lǐng)域涌現(xiàn)出大量的學(xué)者，尤其是在基于水平集的圖像分割方法方面，他們將其用于醫(yī)學(xué)圖像中。但對(duì)于醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中病灶區(qū)域的圖像分割，需要考慮強(qiáng)度不均勻性的影響。新方法可以解決這一困難，未來(lái)它將還會(huì)被應(yīng)用到軍事、航天等更加廣泛的領(lǐng)域。

2 LIC和MICO模型介紹

2.1 LIC模型介紹

當(dāng)把圖像數(shù)字應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中，就會(huì)出現(xiàn)灰度不均勻的現(xiàn)象，在面對(duì)這種的情況時(shí)，曲線(xiàn)演化過(guò)程就會(huì)出現(xiàn)誤分割現(xiàn)象。為了能夠更好地解決這一類(lèi)圖像的問(wèn)題，在文獻(xiàn)[3]中，Li等人提出了一種圖像分割和變分水平集的方法，這兩種方法利用了強(qiáng)度不均勻性與偏移場(chǎng)估計(jì)的原理，強(qiáng)度不均勻性可以被定義為

I(x)=B(x)J(x)+N(x)

(1)

根據(jù)式(1)的模型，將偏移場(chǎng)估計(jì)B和偏移圖像J當(dāng)作圖像I的兩個(gè)分量，其中N是加性噪聲。假設(shè)偏移場(chǎng)是平滑的并且變化緩慢的，在即給定點(diǎn)的足夠小的圓形領(lǐng)域內(nèi)，B可以看作常數(shù)，同樣對(duì)于圖像中的每一個(gè)對(duì)象I，J也可以看作成常數(shù)，J(x)≈ci，看作是磁偏場(chǎng)。在這里，需對(duì)原圖像以及磁偏場(chǎng)做出如下假設(shè):

(1) 因?yàn)榇牌珗?chǎng)B的變化比較緩慢，可以使用一個(gè)常數(shù)來(lái)表示某一像素點(diǎn)及其鄰域的磁偏場(chǎng);

從假設(shè)(1)的條件可以推斷出，所有圓形鄰域中點(diǎn)y的偏置場(chǎng)B(y)與像素點(diǎn)x的偏置場(chǎng)非常接近，所以可以相互表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式：B(x)≈B(y)，y∈θx；由假設(shè)(2)可以推斷出，在第i個(gè)子區(qū)域θx∩Ψi中，可以用常數(shù)來(lái)表示偏置場(chǎng)B(y)和圖像J(y)的乘積，數(shù)學(xué)表達(dá)式為B(x)ci≈B(y)J(y)，y∈θx∩Ψi。此時(shí)，式(1)的模型可以表示為I(y)≈B(x)ci+N(x)，y∈θx∩Ψi。

利用K均值聚類(lèi)方法，此時(shí)LIC模型可以被定義為

當(dāng)引入水平集函數(shù)φ時(shí)，上述模型可以改寫(xiě)成

B(y)ci|2Mi(φ(x))dx)dy

其中，M1(φ(x))=H(φ(x))，M2(φ(x))=1-H(φ(x))，是每個(gè)集群的成員函數(shù)。

此時(shí)最好的ci和b可以通過(guò)以下方法獲得：

在上述的模型表示中，*代表的是卷積運(yùn)算。

在用LIC模型對(duì)偏移場(chǎng)的評(píng)價(jià)中，使用的方法是加權(quán)K均值聚類(lèi)，由于包括偏移校正標(biāo)準(zhǔn)，所以LIC模型的一個(gè)功能是可以先將那些強(qiáng)度不均勻性的圖像結(jié)合起來(lái)，對(duì)于這些具有特殊性質(zhì)的圖像進(jìn)行偏移場(chǎng)估計(jì)，但是該模型并不完善，對(duì)于圖像的初始輪廓位置，魯棒性并不強(qiáng)，尺度參數(shù)的選擇完全依靠經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)嚴(yán)重的強(qiáng)度不均勻性的性質(zhì)時(shí)，恒定的強(qiáng)度假設(shè)將不再保持不變。

2.2 MICO模型介紹

在磁共振成像(MRI)中，分割結(jié)果通常受強(qiáng)度不均勻性的影響，導(dǎo)致MRI該種性質(zhì)存在有多種原因，B1(振蕩磁場(chǎng))和B0(主磁場(chǎng))區(qū)域的不均勻性以及不同的患者都可能導(dǎo)致這種結(jié)果產(chǎn)生。該性質(zhì)的產(chǎn)生會(huì)使得不同組織的強(qiáng)度范圍重疊，這就會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的后果，如組織的誤分割。因此，在定量分析MRI數(shù)據(jù)之前的準(zhǔn)備工作就是使用合適的方法消除強(qiáng)度不均勻性，如通過(guò)偏移場(chǎng)校正。

LIC模型，是從局部角度研究強(qiáng)度不均勻性，它對(duì)初始曲線(xiàn)敏感。這一缺點(diǎn)成為人們需要加緊改進(jìn)的一個(gè)方面，許多學(xué)者在此也進(jìn)行了大量研究。在文獻(xiàn)[5]中，Li等提出了一種新的主動(dòng)輪廓模型，即MICO模型來(lái)解決全局視角的MR圖像的強(qiáng)度不均勻性，該方法是先將MR圖像分解為兩個(gè)乘法分量，一個(gè)分量表示該目標(biāo)組織物理特性的真實(shí)圖像，另外一個(gè)分量是強(qiáng)度不均勻性的偏場(chǎng)以及他們各自的空間特征。能量最小化過(guò)程可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)偏移場(chǎng)估計(jì)和圖像的組織分割，進(jìn)行這一過(guò)程的目的是優(yōu)化估計(jì)的兩個(gè)乘法分量的MR圖像。MICO模型在LIC模型的基礎(chǔ)上有了很大的改進(jìn)，它既可以實(shí)現(xiàn)偏磁場(chǎng)校正又能進(jìn)行圖像分割，大大地提高了模型的效率。有效的矩陣計(jì)算能夠驗(yàn)證偏移場(chǎng)的數(shù)值穩(wěn)定性，通過(guò)迭代可以?xún)?yōu)化偏場(chǎng)。并且給出公式中的能量在每個(gè)變量中都是凸的，這使得提出的能量最小化算法具有穩(wěn)定性。同時(shí)，MICO模型也可以通過(guò)空間擴(kuò)展到3D/4D圖像組織分割。與其他的方法進(jìn)行比較可知，MICO模型具有優(yōu)越的魯棒性和準(zhǔn)確性。

然而就目前來(lái)看，MICO模型同時(shí)也存在了一些缺點(diǎn)，它還不能解決噪聲等偽邊界的問(wèn)題。

MR圖像I可以被表示為I(x)=B(x)J(x)+n(x)，其中主要對(duì)B(x)進(jìn)行說(shuō)明，它是導(dǎo)致觀測(cè)圖像強(qiáng)度不均勻性的偏磁場(chǎng)。在上述介紹的MICO模型中，學(xué)者Li等人假設(shè)偏磁場(chǎng)B(x)通過(guò)能量最小化發(fā)現(xiàn)最佳偏移場(chǎng)估計(jì)B(x)，和真實(shí)圖像的像素點(diǎn)值J(X)，定義如下：

在MICO模型中，為了確保偏移場(chǎng)的平滑度，通過(guò)給定一組光滑基函數(shù)g1,g2,…,gM, 有：

其中，ci是分段近似常函數(shù)，ui是二元隸屬函數(shù)

G(x)=(g1,g2,…,gM)T,wT=(w1,w2,…,wM)T

最終，MICO模型中的能量函數(shù)可以寫(xiě)成：

3 模型的建立

如上所述，在本中主要考慮了LIC和MICO的優(yōu)點(diǎn)，并提出了以下能量函數(shù)：

(2)

其中，α和β是兩個(gè)正的常數(shù)。

3.1 能量最小化

在本文的MICO模型中，一共有4個(gè)變量，采用交替固定其中3個(gè)變量來(lái)進(jìn)行最小化J(c,w,b,u) ，具體方式如下：

3.1.1關(guān)于變量c的優(yōu)化

(3)

然后

(4)

3.1.2關(guān)于變量w的優(yōu)化和偏移場(chǎng)的計(jì)算

將變量c和u固定, 最小化關(guān)于w和b的能量項(xiàng)J(c,w,b,u), 可以得到:

(5)

(6)

偏移場(chǎng)的估計(jì)可以由下列式子表示：

(7)

3.1.3關(guān)于變量u的優(yōu)化

先考慮q>1的情況， 固定變量c，w和b，在u的約束條件下最小化能量項(xiàng)J(c,w,b,u) ，則

(8)

滿(mǎn)足

(9)

當(dāng)q=1時(shí)，u可以表示為

3.2 算 法

數(shù)值算法可以分成以下6個(gè)步驟進(jìn)行 (當(dāng)q>1時(shí)):

Step1 假設(shè)k=1 并且初始化u,c和b;

Step2 通過(guò)式(6)計(jì)算w;

Step3 通過(guò)式(4)計(jì)算c;

Step4 通過(guò)式(7)計(jì)算b;

Step5 通過(guò)式(8)計(jì)算u;

Step6 檢查是否收斂，如果沒(méi)有，令k=k+ 1并且返回重復(fù)Step2。

在上面描述的迭代過(guò)程中，4個(gè)變量中的每一個(gè)都與前一個(gè)迭代中計(jì)算的另外3個(gè)變量一起更新。因此，只需要初始化4個(gè)變量中的3個(gè)，如上面的迭代過(guò)程中的步驟1。

3.3 MICO模型引入正則化項(xiàng)的補(bǔ)充

在原來(lái)的MICO模型的公式中的隸屬函數(shù)上添加一個(gè)正則化項(xiàng)。其公式實(shí)現(xiàn)為

近年來(lái)，許多研究者提出了各種不同的數(shù)值格式[10]來(lái)解決圖像分割中的變分問(wèn)題，在0≤u(x)≤1的約束下，使用正則化項(xiàng)TV(u)來(lái)處理隸屬函數(shù)。這些方法只能將圖像分割成兩個(gè)互補(bǔ)區(qū)域，分別用隸屬度函數(shù)u和1-u表示。一般情況，要進(jìn)行N>2區(qū)域的分割，需要使用3個(gè)或更多的隸屬函數(shù)u1,u2,…,uN來(lái)表示。在文獻(xiàn)[11]中，Li等使用Lions和Mercier[12]提出的算子分裂方法，開(kāi)發(fā)了一種數(shù)值方案，解決了能量最小化問(wèn)題，并對(duì)隸屬函數(shù)進(jìn)行TV正則化。能量J關(guān)于隸屬函數(shù)u1,u2,…,uN的最小化可以使用文獻(xiàn)[11]中描述的數(shù)值格式來(lái)實(shí)現(xiàn)。相對(duì)于變量c,w和b的能量最小化，都是獨(dú)立于隸屬函數(shù)的正則化項(xiàng)。

4 算法改進(jìn)與實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析

本文用來(lái)做測(cè)試的圖像都真實(shí)的人工合成圖像，使用的是 MATLAB 2020b (64 bit) ，電腦配置為Intel Core i7-8550U, 1.80 GHz and 1.99 GHz CPU, 16 GB RAM, Windows 10(64 bit)。在此次實(shí)驗(yàn)中，除非特別指出，設(shè)定參數(shù)為α=0.85,β=0.15,所有的數(shù)據(jù)來(lái)源為 BrainWeb: Simulated Brain Database (mcgill.ca), 其中包含 181個(gè)圖像。 除非另做說(shuō)明，所有圖像都是使用的 40%的強(qiáng)度不均勻和 0% 的噪聲。

為了驗(yàn)證本文提出方法的優(yōu)勢(shì)，拿MICO的分割結(jié)果與本文提出的新方法的分割結(jié)果作對(duì)比。

圖1表示的是在No.40、No.50、No.60、No.80、No.100、No.120、No.130和No.140的分割圖像與MICO模型作比對(duì)，可以明顯地看到提出的新方法優(yōu)于MICO的方法 (例如第一列的第二個(gè)和第三個(gè)圖像，左下角分割明顯優(yōu)于MICO)。

為了更好地展示分割結(jié)果, 本文將腦灰質(zhì)和腦白質(zhì)分別分開(kāi)來(lái)進(jìn)行對(duì)比，如圖2所示。

圖2(a)為灰質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)分割，圖2(b)為MICO的灰質(zhì)分割結(jié)果，圖2(c)為提出的新方法的灰質(zhì)分割結(jié)果，圖2 (d)為白質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)分割，圖2(e)為MICO的白質(zhì)分割結(jié)果，圖2(f)為提出的新方法的白質(zhì)分割結(jié)果。再利用DC度量(dice coefficient)來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明分割結(jié)果，定義如下:

其中，S0表示目標(biāo)分割結(jié)果,Sg表示目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)分割。

DC值 (<=1) 常用來(lái)判斷分割結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)分割結(jié)果的相似性，DC值越大，說(shuō)明分割結(jié)果準(zhǔn)確性越高。

通過(guò)比較圖2中的灰質(zhì)和白質(zhì)的分割結(jié)果，根據(jù)MICO模型和提出的新方法分別得到其DC值，如表1所示，可以看到提出的新方法的DC值明顯高于MICO方法得到的DC值。

表1中，第一行是對(duì)應(yīng)圖1的層數(shù)(從左至右)，第二行和第三行分別是MICO和提出的新方法在灰質(zhì)上的DC值，第四行和第五行是白質(zhì)的DC值。

切片層數(shù)圖像類(lèi)別No.40No.50No.60No.80No.100No.120No.130No.140(a)原始圖像 (b) MICO分割結(jié)果(c)新方法分割結(jié)果

不同類(lèi)別分割結(jié)果分割層數(shù)(a)(b)(c)(d)(e)(f)No.40 No.50No.140

表1 MICO和提出的新方法分別在灰質(zhì)和白質(zhì)下的DC值

圖3中，分別選取20%和40%的強(qiáng)度不均勻和0%，3%，5%，7%和9%的噪聲，驗(yàn)證在不同強(qiáng)度和不同噪聲下兩者的DC值比較結(jié)果。10種不同條件下,每一組包含不同的兩個(gè)盒子，黑色是MICO的，灰色是提出的新方法，橫坐標(biāo)代表的是不同噪聲和強(qiáng)度的組合，可以看出提出的新方法明顯優(yōu)于MICO的方法。

(a) 灰質(zhì)DC值

5 結(jié) 論

MICO模型在能量最小化公式中用于MR圖像的偏場(chǎng)估計(jì)和分割。通過(guò)矩陣和向量的演算，導(dǎo)出了計(jì)算偏場(chǎng)的有效能量最小化方案，并利用矩陣分析驗(yàn)證了偏場(chǎng)優(yōu)化計(jì)算的數(shù)值穩(wěn)定性。通過(guò)與其他方法在綜合和真實(shí)MR數(shù)據(jù)上的評(píng)價(jià)和比較，證明了該方法的魯棒性、準(zhǔn)確性和有效性。并且該方法已成功地?cái)U(kuò)展到3D和4D的圖像分割中，具有良好的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法在分割精度和魯棒性方面均優(yōu)于目前常用的分割軟件。

本文提出的新方法結(jié)合MICO模型的優(yōu)點(diǎn)與不足，磁共振圖像分割和偏場(chǎng)估計(jì)模型，基于模糊C均值(FCM)的能量最小化方法，將全局聚類(lèi)和局部聚類(lèi)相結(jié)合，用于磁共振(MR)腦圖像的偏場(chǎng)估計(jì)和分割，得到了準(zhǔn)確的分割結(jié)果，通過(guò)合成圖像和真實(shí)圖像的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證得到的結(jié)果表明該模型是有效的。