基于改進(jìn)灰狼算法和支持向量機(jī)的拱橋索力優(yōu)化模型

段君邦，王 華，郝天之，梁茜雪

(1.廣西交通投資集團(tuán)有限公司，廣西 南寧 530000；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，廣東 深圳 518055；3.廣西交科集團(tuán)有限公司 橋梁工程研究所，廣西 南寧 530001； 4.廣西北投交通養(yǎng)護(hù)科技集團(tuán)有限公司，廣西 南寧 530000)

0 引 言

求解實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，優(yōu)化程序往往需要調(diào)用有限元軟件進(jìn)行反復(fù)的迭代計(jì)算，當(dāng)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜時(shí)，有限元模型的龐大計(jì)算量會(huì)極大程度降低程序的尋優(yōu)效率，為解決這一問(wèn)題，部分專(zhuān)家學(xué)者選擇建立基于機(jī)器學(xué)習(xí)的近似預(yù)測(cè)模型代替有限元軟件進(jìn)行尋優(yōu)分析[1-3]。

支持向量機(jī)(support vector machine，SVM)算法[4-6]雖然對(duì)非線(xiàn)性數(shù)據(jù)具有較高的學(xué)習(xí)映射能力，但針對(duì)不同問(wèn)題，核參數(shù)的選擇一直是SVM預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵，目前對(duì)SVM關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的方法大多基于不同的群體智能優(yōu)化算法，典型的有遺傳算法、粒子群算法和模擬退火算法等，但不同優(yōu)化算法對(duì)于具體的優(yōu)化問(wèn)題均存在一定的局限性，且對(duì)SVM的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)涉及到樣本數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系，選擇針對(duì)性的算法和改進(jìn)方法可以大幅提高SVM預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。針對(duì)這一問(wèn)題，眾多專(zhuān)家展開(kāi)了分析與研究，部分研究顯示，智能群體優(yōu)化算法可有效提高支持向量機(jī)的預(yù)測(cè)精度，改進(jìn)后的算法相較于標(biāo)準(zhǔn)算法參數(shù)優(yōu)化的效果更好[7-10]。在拱橋線(xiàn)形的預(yù)測(cè)和索力的優(yōu)化問(wèn)題上，已有研究主要以傳統(tǒng)有限元軟件配合智能優(yōu)化算法為主[11-14]，對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)方法的應(yīng)用程度并不廣泛，這使得在大跨度拱橋索力優(yōu)化的實(shí)際問(wèn)題中，仍存在計(jì)算量大，優(yōu)化速度不理想等問(wèn)題。

基于此，本文以橋梁工程中拱橋的索力優(yōu)化問(wèn)題為例，提出了一種基于改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法建立的組合優(yōu)化模型，該模型可以在大幅降低計(jì)算時(shí)間成本的前提下達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)，明顯改善成拱線(xiàn)形，大幅度提高了復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的尋優(yōu)效率，可為類(lèi)似工程的優(yōu)化提供一定的參考。

1 改進(jìn)灰狼算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)灰狼算法

灰狼算法(grey wolf optimizer，GWO)是Mirjalili等提出的一種基于灰狼群體捕獵活動(dòng)的新型群體智能優(yōu)化算法，具有收斂能力強(qiáng)、算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)?；依侨后w中存在著嚴(yán)格的社會(huì)支配等級(jí)關(guān)系，如圖1所示，分別為社會(huì)等級(jí)最頂層的α狼，在算法中代表目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，社會(huì)等級(jí)第二層的β狼，在算法中代表目標(biāo)函數(shù)的次優(yōu)解，社會(huì)等級(jí)第三層的δ狼，在算法中代表目標(biāo)函數(shù)的第三優(yōu)解，社會(huì)等級(jí)最底層的ω狼，在算法中代表目標(biāo)函數(shù)的候選解。

圖1 灰狼種群等級(jí)分布

標(biāo)準(zhǔn)GWO優(yōu)化過(guò)程分為5個(gè)主要步驟，分別是社會(huì)等級(jí)分層、包圍獵物、狩獵、攻擊獵物和尋找獵物?；依侨后w的圍獵過(guò)程如圖2所示，β狼和δ狼在α狼的指揮下包圍獵物，在優(yōu)化問(wèn)題的D維決策空間中，假設(shè)前三階級(jí)狼群更接近獵物位置，并利用該三類(lèi)階級(jí)狼群的最優(yōu)位置強(qiáng)迫非最優(yōu)位置的狼群和ω狼向獵物方向逼近。

圖2 狼群圍獵過(guò)程

此時(shí)，狼群的圍獵過(guò)程可表示為式(1)所示

Xi(t+1)=Xp(t)-A|CXp(t)-Xi(t)|

(1)

A=2ar1-a

(2)

C=2r2

(3)

式中：t為算法迭代次數(shù)；Xi(t+1) 為狼群的目標(biāo)位置；Xi(t) 為狼群的當(dāng)前位置；Xp(t) 為獵物位置；A為收斂因子；C為擺動(dòng)因子；r1、r2分別為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；a為距離控制系數(shù)。

令α、β、δ狼與其它個(gè)體間的距離為Di=|CXp(t)-Xi(t)|， 則α、β、δ灰狼個(gè)體圍獵時(shí)的位置更新公式如下

(4)

ω狼的最終位置由前三階級(jí)灰狼的位置決定，其更新公式如式(5)所示

X(t+1)=(Xα+Xβ+Xδ)/3

(5)

1.2 改進(jìn)灰狼算法

群體智能優(yōu)化算法存在多種改進(jìn)方式，通常的改進(jìn)策略主要集中于兩方面：一是針對(duì)種群初始化策略的改進(jìn)，通過(guò)采用更加合理的映射方式降低隨機(jī)初始化種群帶來(lái)的分布不均造成的影響，保證種群在初始化階段盡可能的均勻分布在搜索空間內(nèi)，此種改進(jìn)策略可以使種群在進(jìn)行全局搜索的初期遍歷所有搜索空間，防止算法遺漏全局最優(yōu)解；另一種改進(jìn)策略主要是針對(duì)個(gè)體搜索方式和進(jìn)化策略的改進(jìn)，標(biāo)準(zhǔn)仿生優(yōu)化算法的個(gè)體搜索策略往往使用相同的或線(xiàn)性變化的搜索步長(zhǎng)，其缺陷為當(dāng)算法進(jìn)入搜索后期時(shí)極易陷入局部最優(yōu)解，且固定的或線(xiàn)性遞減的搜索步長(zhǎng)無(wú)法幫助個(gè)體跳出局部極值，使種群出現(xiàn)進(jìn)化停滯的現(xiàn)象。因此，對(duì)種群初始化策略和個(gè)體搜索策略同時(shí)進(jìn)行改進(jìn)可有效提高算法性能，本文采用兩種改進(jìn)策略同時(shí)對(duì)灰狼算法進(jìn)行改進(jìn)。

1.2.1 混沌映射初始化種群

GWO通常采用隨機(jī)的方式產(chǎn)生初始化種群，但此種方法難以維持灰狼的種群多樣性，且種群在算法搜索初期難以遍歷全部搜索空間，容易導(dǎo)致算法進(jìn)行搜索時(shí)陷入局部最優(yōu)解，為解決隨機(jī)產(chǎn)生初始化種群的弊端，保證算法對(duì)全局有較強(qiáng)的搜索能力，采用混沌映射的方法初始化種群可以使初始種群均勻分布在D維搜索空間內(nèi)。根據(jù)文獻(xiàn)[15]的研究，目前主流的混沌映射方式有Tent映射、Logistic映射，由于Tent映射的典型形式相較于Logistic映射具有更佳的遍歷均勻性[16]，且對(duì)不同參數(shù)具有較為一致的分布密度，因此本文采取Tent混沌映射的方式改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)灰狼算法隨機(jī)初始化種群的方式，映射公式如式(6)所示

(6)

Tent混沌映射初始化種群理論上能在[0,1]上產(chǎn)生分布均勻的初始值，有效提高算法前中期的全局搜索能力和尋優(yōu)速度，避免算法前中期陷入局部最優(yōu)解。

1.2.2 余弦收斂因子

GWO的收斂因子由距離控制系數(shù)a確定，根據(jù)距離控制系數(shù)a的表達(dá)式可知，隨著迭代次數(shù)的不斷增加，控制系數(shù)在算法中后期呈現(xiàn)出線(xiàn)性遞減的趨勢(shì)，嚴(yán)重影響算法后期狼群的種群多樣性和全局搜索能力，為避免種群在算法中后期無(wú)法跳出局部極值區(qū)域，本文采取余弦型收斂因子進(jìn)行改進(jìn)[17]，改進(jìn)后的收斂因子取值如式(7)所示

(7)

式中：amin、amax分別為收斂因子的最小值和最大值；n為遞減指數(shù);tmax為最大迭代次數(shù)。

1.2.3 算法性能驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)灰狼算法(improved grey wolf optimizer，IGWO)的尋優(yōu)性能，選取單峰測(cè)試函數(shù)Sphere，多峰測(cè)試函數(shù)Griewank、Rastrigin、Ackley測(cè)試算法在給定迭代次數(shù)下的收斂精度，各測(cè)試函數(shù)在定義域內(nèi)的理論最優(yōu)值均為0。設(shè)定空間維度D為30，種群規(guī)模取30，最大迭代次數(shù)取300，分別使用標(biāo)準(zhǔn)灰狼算法(GWO)、基于混沌映射改進(jìn)的灰狼算法(GWO1)、基于余弦收斂改進(jìn)的灰狼算法(GWO2)、基于混沌映射與余弦收斂雙策略改進(jìn)的灰狼算法(IGWO)和標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法(PSO)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行搜索，各算法獨(dú)立運(yùn)行30次，測(cè)試平臺(tái)基于Matlab 2019a，各測(cè)試函數(shù)下的算法尋優(yōu)結(jié)果見(jiàn)表1。

由表1可知，標(biāo)準(zhǔn)GWO算法、僅采用混沌映射初始化種群的GWO1算法和僅基于余弦收斂改進(jìn)的GWO2算法對(duì)單峰測(cè)試函數(shù)Sphere的收斂精度較高，都收斂至了理論最優(yōu)值，對(duì)比GWO、GWO1、GWO2、IGWO和PSO的單峰函數(shù)測(cè)試結(jié)果可知，基于混沌映射和余弦收斂的IGWO算法平均耗時(shí)最短，收斂速度最快。此外，標(biāo)準(zhǔn)GWO算法、僅采用混沌映射初始化種群的GWO1算法和僅基于余弦收斂改進(jìn)的GWO2算法對(duì)多峰測(cè)試函數(shù)Griewank、Rastrigin和Ackley的尋優(yōu)能力較差，灰狼種群經(jīng)過(guò)400次進(jìn)化后的平均值距離理論最優(yōu)值仍有一定的偏差，且多次運(yùn)行結(jié)果表明，種群分布較為分散，算法穩(wěn)定性較差。

表1 算法測(cè)試結(jié)果

本文融合混沌映射初始化種群和余弦收斂因子雙策略改進(jìn)的IGWO算法除了對(duì)單峰測(cè)試函數(shù)實(shí)現(xiàn)了精確收斂外，對(duì)多峰函數(shù)的搜索尋優(yōu)也有較好的適應(yīng)性，與僅做單一策略改進(jìn)的GWO1、GWO2和標(biāo)準(zhǔn)PSO算法相比，IGWO在多峰函數(shù)測(cè)試結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差均在10-10數(shù)量級(jí)以?xún)?nèi)，說(shuō)明算法在30次運(yùn)行下的結(jié)果較為一致，400代進(jìn)化后所有個(gè)體基本已集中于最優(yōu)值附近，算法穩(wěn)定性良好。綜上比較可知，相比于單一策略改進(jìn)形式，基于雙策略改進(jìn)后的IGWO算法性能得到大幅度提升，能有效跳出多峰函數(shù)的局部極值，完成目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)。

2 IGWO-SVM組合優(yōu)化模型

2.1 SVM原理

SVM是一種定義在特征空間上的最大線(xiàn)性分類(lèi)器，其基本原理是通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)將樣本數(shù)據(jù)在特征空間上進(jìn)行劃分以求取分離超平面的過(guò)程。相較于常用預(yù)測(cè)模型，SVM預(yù)測(cè)模型引入核函數(shù)將非線(xiàn)性數(shù)據(jù)映射至高維數(shù)據(jù)空間進(jìn)行回歸分析，有效解決了機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型在高維空間的計(jì)算問(wèn)題。

假設(shè)存在非線(xiàn)性數(shù)據(jù)樣本集合為 {(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi)}， 為實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)樣本x到y(tǒng)的映射關(guān)系，SVM將輸入向量X映射至高維空間D中進(jìn)行線(xiàn)性回歸，引入損失函數(shù)f(x)=ωφ(x)+b求解回歸問(wèn)題，其中ω為權(quán)向量，b為

擬合偏差，如式(8)所示建立求解關(guān)于損失函數(shù)最大超平面的優(yōu)化問(wèn)題

(8)

引入朗格朗日乘子αi和βi，同時(shí)引入核函數(shù)k(u,v)=φ(u)φ(v) 將非線(xiàn)性的數(shù)據(jù)樣本映射至高維數(shù)據(jù)空間，改造后的優(yōu)化問(wèn)題描述如式(9)所示

(9)

本文預(yù)測(cè)模型核函數(shù)采用RBF徑向基函數(shù)，RBF徑向基函數(shù)在對(duì)于非線(xiàn)性數(shù)據(jù)映射具有較高的擬合和預(yù)測(cè)精度，其表達(dá)式如下

(10)

2.2 IGWO-SVM組合優(yōu)化模型

傳統(tǒng)工程問(wèn)題的優(yōu)化模型往往存在一定的局限性，優(yōu)化程序調(diào)用有限元軟件進(jìn)行反復(fù)計(jì)算會(huì)消耗大量的時(shí)間成本，為解決這一問(wèn)題，本文采用IGWO算法分別建立SVM線(xiàn)形預(yù)測(cè)的關(guān)鍵參數(shù)優(yōu)化模型和考慮線(xiàn)形控制的索力優(yōu)化模型。首先使用有限元軟件建立一定的數(shù)據(jù)樣本供SVM模型進(jìn)行學(xué)習(xí)，采用IGWO算法對(duì)樣本數(shù)據(jù)下的SVM參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，直至建立起樣本數(shù)據(jù)的最佳映射關(guān)系。其次建立實(shí)際工程問(wèn)題的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，以某大跨徑鋼管混凝土拱橋的索力優(yōu)化問(wèn)題為例，建立考慮線(xiàn)形控制的目標(biāo)函數(shù)，將永久扣索力作為待優(yōu)化參數(shù)，使用IGWO算法進(jìn)行迭代尋優(yōu)，將每一代進(jìn)化后輸出的索力組合作為SVM的輸入向量進(jìn)行線(xiàn)形預(yù)測(cè)，輸出當(dāng)前索力下的種群適應(yīng)度值，如此反復(fù)降低優(yōu)化模型進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)價(jià)時(shí)的時(shí)間成本，實(shí)現(xiàn)基于IGWO的組合優(yōu)化效果。

優(yōu)化模型1：SVM核函數(shù)的參數(shù)(c,g)取值對(duì)SVM預(yù)測(cè)模型的精度影響很大，通常情況下核函數(shù)參數(shù)根據(jù)測(cè)試經(jīng)驗(yàn)取值，十分影響預(yù)測(cè)結(jié)果，因此需要對(duì)SVM內(nèi)部的(c,g)參數(shù)取值進(jìn)行優(yōu)化。將待優(yōu)化向量機(jī)參數(shù)(c,g)轉(zhuǎn)化為灰狼個(gè)體在搜索空間中的坐標(biāo)，在設(shè)計(jì)扣索張拉力的合理上下限區(qū)間隨機(jī)生成50組索力組合數(shù)據(jù)，代入拱橋有限元程序計(jì)算得到各標(biāo)高控制點(diǎn)拱肋節(jié)段的計(jì)算標(biāo)高。對(duì)索力—線(xiàn)形訓(xùn)練樣本進(jìn)行預(yù)處理后形成樣本集輸入SVM模型進(jìn)行學(xué)習(xí)，以索力組合作為輸入向量，如式(11)所示使用預(yù)測(cè)線(xiàn)形與計(jì)算線(xiàn)形偏差的均方誤差對(duì)灰狼種群的尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，最終得到IGWO迭代下的SVM最優(yōu)參數(shù)組合

(11)

優(yōu)化模型2：為得到考慮線(xiàn)形控制下的最優(yōu)索力組合，采用IGWO算法建立拱橋的索力優(yōu)化模型，優(yōu)化問(wèn)題的描述如式(12)所示。將扣索力組合X=(x1,x2,…,xj) 轉(zhuǎn)化為灰狼個(gè)體在搜索空間中的坐標(biāo)形成初始種群，利用優(yōu)化SVM的預(yù)測(cè)值計(jì)算狼群適應(yīng)度，判斷IGWO算法是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若達(dá)到則輸出IGWO迭代下的最優(yōu)索力組合。索力優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如式(12)所示

(12)

式中：X表示待優(yōu)化的索力輸入向量；ui表示第i個(gè)樣本的理論標(biāo)高設(shè)計(jì)值；Δ為索力均勻度評(píng)價(jià)閾值；xmin和xmax表示扣索張拉力的上下限。

基于IGWO-SVM的索力優(yōu)化流程如圖3所示，具體步驟如下：

圖3 IGWO-SVM組合優(yōu)化模型

步驟1 初始化SVM參數(shù)優(yōu)化模型1的IGWO參數(shù)，設(shè)定灰狼種群規(guī)模為n=100，最大迭代次數(shù)為tmax=300，將待優(yōu)化參數(shù)(c,g)編譯為狼群坐標(biāo)，根據(jù)式(6)混沌映射公式將灰狼種群均勻分布至搜索空間內(nèi)；

步驟2 根據(jù)式(7)更新收斂因子，計(jì)算灰狼種群適應(yīng)度值，并將最優(yōu)適應(yīng)度賦予α狼；

步驟3 判斷算法是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若未達(dá)到則返回步驟2，若達(dá)到則輸出SVM最優(yōu)參數(shù)組合，使用索力-線(xiàn)形訓(xùn)練樣本測(cè)試更新參數(shù)后的SVM預(yù)測(cè)精度；

步驟4 判斷更新參數(shù)后的SVM是否滿(mǎn)足精度要求，若未達(dá)到則返回步驟1重新尋優(yōu)，若達(dá)到則完成SVM線(xiàn)形預(yù)測(cè)模型優(yōu)化；

步驟5 初始化優(yōu)化模型2的IGWO參數(shù)，待優(yōu)化參數(shù)為數(shù)學(xué)模型式(12)中的索力組合X，設(shè)定灰狼種群規(guī)模為n=100，最大迭代次數(shù)為tmax=300，將索力組合X編譯為狼群坐標(biāo)，并對(duì)灰狼種群設(shè)置索力的約束條件，根據(jù)式(6)將灰狼種群混沌映射至搜索空間內(nèi)；

步驟6 根據(jù)式(7)更新余弦收斂因子，根據(jù)式(4)、式(5)更新狼群在搜索空間中的位置；

步驟7 反編譯狼群坐標(biāo)，并作為SVM輸入向量進(jìn)行線(xiàn)形預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)線(xiàn)形結(jié)果按式(12)中目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算方式返回優(yōu)化模型2更新灰狼種群適應(yīng)度值；

步驟8 判斷算法是否達(dá)到終止條件，算法終止條件為達(dá)到最大迭代次數(shù)，當(dāng)算法未達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)返回步驟6，以達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)輸出α狼坐標(biāo)并反編譯為索力組合X。

3 工程算例

3.1 工程背景與實(shí)驗(yàn)參數(shù)

以某大跨徑鋼管混凝土拱橋?yàn)楣こ瘫尘?，主拱采用?jì)算跨徑450 m的上承式鋼管混凝土變截面桁架拱，拱軸線(xiàn)系數(shù)為1.55，矢高100 m，矢跨比為1/4.5。拱圈采取斜拉扣掛纜索吊裝系統(tǒng)施工，主拱圈節(jié)段安裝采用兩岸對(duì)稱(chēng)懸拼，共分14個(gè)吊裝節(jié)段，全橋僅保留5個(gè)正式扣段。采用有限元軟件對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行全施工階段建模，根據(jù)各施工節(jié)段的實(shí)際工況激活對(duì)應(yīng)扣索?？鬯魇┕て矫娌贾萌?所示，有限元模型如圖5所示。

圖4 拱橋施工平面布置

圖5 有限元模型

實(shí)驗(yàn)采用IGWO算法、SVM與有限元計(jì)算聯(lián)合仿真形式，數(shù)值計(jì)算平臺(tái)采用Midas Civil 2019，IGWO算法和SVM平臺(tái)采用Matlab 2019a，計(jì)算環(huán)境基本配置如下：操作系統(tǒng)為Windows10，CPU為i7-8700U，內(nèi)存16 GB。建立兩個(gè)聯(lián)合仿真的子程序如下：

程序1：根據(jù)優(yōu)化模型1在Matlab中編寫(xiě)該大跨度鋼管混凝土拱橋的SVM線(xiàn)形預(yù)測(cè)模型參數(shù)優(yōu)化程序，通過(guò)該鋼管拱的有限元模型樣本數(shù)據(jù)對(duì)SVM最佳參數(shù)組合(c,g)尋優(yōu)；

程序2：根據(jù)優(yōu)化模型2在Matlab中編寫(xiě)該大跨度鋼管混凝土拱橋的索力優(yōu)化程序，調(diào)用程序1作為索力尋優(yōu)的適應(yīng)度求解器，求解最優(yōu)索力組合。

改進(jìn)灰狼算法與支持向量機(jī)的初始參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表2。

表2 初始實(shí)驗(yàn)參數(shù)

3.2 SVM優(yōu)化結(jié)果

為驗(yàn)證SVM參數(shù)優(yōu)化的效果，取一組新的樣本數(shù)據(jù)分別使用未優(yōu)化參數(shù)的SVM、基于IGWO優(yōu)化參數(shù)的SVM、基于粒子群算法(PSO)優(yōu)化參數(shù)的SVM和基于遺傳算法(GA)優(yōu)化參數(shù)的SVM分別進(jìn)行學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)，并計(jì)算線(xiàn)形預(yù)測(cè)結(jié)果與有限元仿真結(jié)果的線(xiàn)形偏差，取半結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不同算法的優(yōu)化的SVM線(xiàn)形預(yù)測(cè)結(jié)果如圖6所示，由圖可知，經(jīng)過(guò)群體智能算法優(yōu)化參數(shù)后的SVM預(yù)測(cè)精度明顯高于未經(jīng)參數(shù)優(yōu)化的原始SVM，原始SVM主拱拱肋第8、9、11、12節(jié)段線(xiàn)形預(yù)測(cè)偏差均大于10 mm，超過(guò)拱圈吊裝偏差的工程允許限值，而基于不同算法優(yōu)化后的SVM所有節(jié)段線(xiàn)形預(yù)測(cè)偏差均小于10 mm。優(yōu)化后的SVM主拱圈各階段的預(yù)測(cè)線(xiàn)形偏差均低于未優(yōu)化的SVM，說(shuō)明對(duì)核函數(shù)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整后可以有效提高SVM的預(yù)測(cè)精度。

圖6 預(yù)測(cè)精度對(duì)比

對(duì)比基于不同算法參數(shù)優(yōu)化后的SVM預(yù)測(cè)結(jié)果可知，基于IGWO參數(shù)優(yōu)化后的SVM線(xiàn)形預(yù)測(cè)精度明顯優(yōu)于基于PSO和GA優(yōu)化的SVM?；贗GWO優(yōu)化的SVM預(yù)測(cè)偏差最大值出現(xiàn)在拱肋第4節(jié)段，為4.62 mm，最小值出現(xiàn)在第6節(jié)段，為0.65 mm，預(yù)測(cè)方差為1.08；基于PSO優(yōu)化的SVM預(yù)測(cè)偏差最大值出現(xiàn)在拱肋第8節(jié)段，為7.32 mm，最小值出現(xiàn)在第4節(jié)段，為1.45 mm，預(yù)測(cè)方差為1.59；基于GA優(yōu)化的SVM預(yù)測(cè)偏差最大值出現(xiàn)在拱肋第9節(jié)段，為7.27 mm，最小值出現(xiàn)在第3節(jié)段，為3.22 mm，預(yù)測(cè)方差為1.16。相較于原始SVM，基于IGWO優(yōu)化后的SVM平均預(yù)測(cè)誤差下降69.2%，基于PSO優(yōu)化后的SVM平均預(yù)測(cè)誤差下降48.7%，基于GA優(yōu)化后的SVM平均預(yù)測(cè)誤差下降40.3%，由不同算法優(yōu)化后的SVM預(yù)測(cè)結(jié)果精度可知，基于IGWO優(yōu)化參數(shù)后的SVM相較于PSO和GA優(yōu)化后的SVM具有更高的預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)誤差的方差最小，具有最高的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性，對(duì)于樣本數(shù)據(jù)的泛化能力更強(qiáng)。

3.3 索力優(yōu)化結(jié)果

圖7給出了IGWO在進(jìn)行索力尋優(yōu)過(guò)程中的適應(yīng)度與迭代次數(shù)之間的關(guān)系曲線(xiàn)，由圖可知，灰狼種群進(jìn)化到第100代左右時(shí)收斂速度明顯降低，至第225代左右時(shí)已基本收斂至最優(yōu)解附近，并在最優(yōu)解局部呈現(xiàn)出一定的抖動(dòng)，說(shuō)明改進(jìn)后的灰狼優(yōu)化算法在灰狼種群在收斂至最優(yōu)解附近時(shí)仍然保留著一定的種群多樣性，維持算法在局部范圍內(nèi)一定的開(kāi)發(fā)能力。

圖7 適應(yīng)度曲線(xiàn)

圖8給出了永久扣索優(yōu)化結(jié)果，由圖可知，相較于永久扣索的原設(shè)計(jì)索力，基于IGWO優(yōu)化后的永久扣索索力在1號(hào)索和5號(hào)索有小幅度的提升，分別為107 kN和80 kN；2號(hào)索和3號(hào)索有小幅度的降低，分別為46 kN和43 kN，其中4號(hào)索索力降幅最大，由1860 kN降低至1669 kN，降幅約10.3%。優(yōu)化后的永久扣索索力分布均勻度得到了一定幅度的提升，在保證計(jì)算線(xiàn)形逼近目標(biāo)線(xiàn)形的前提下，結(jié)構(gòu)整體受力更為合理。

圖8 索力優(yōu)化結(jié)果

圖9給出了索力優(yōu)化前后的線(xiàn)形偏差計(jì)算結(jié)果，對(duì)比設(shè)計(jì)索力與優(yōu)化索力的線(xiàn)形計(jì)算結(jié)果可知，基于IGWO優(yōu)化后的索力組合大幅降低了拱肋各控制節(jié)段與理論標(biāo)高的線(xiàn)形偏差，各控制節(jié)段計(jì)算線(xiàn)形與目標(biāo)線(xiàn)形的相對(duì)偏差平均下降了5.25 mm，其中，拱頂處線(xiàn)形偏差平均降幅約為77%，驗(yàn)證了IGWO-SVM組合優(yōu)化模型的有效性。對(duì)比IGWO-SVM優(yōu)化結(jié)果與有限元優(yōu)化結(jié)果(FEM)可知，考慮到索力-線(xiàn)形為高度復(fù)雜的非線(xiàn)性映射關(guān)系，IGWO-SVM對(duì)優(yōu)化后的索力組合適應(yīng)性良好，預(yù)測(cè)結(jié)果與FEM計(jì)算結(jié)果保持了較高的一致性，平均相對(duì)誤差僅為9%。

圖9 線(xiàn)形偏差結(jié)果

傳統(tǒng)有限元法和IGWO-SVM組合優(yōu)化模型的計(jì)算耗時(shí)見(jiàn)表3，從兩種方法的總優(yōu)化耗時(shí)可以看出，在保證了優(yōu)化效果的前提下，相較于傳統(tǒng)有限元優(yōu)化方法，IGWO-SVM組合優(yōu)化模型利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法替代了有限元計(jì)算，極大縮短了優(yōu)化程序的計(jì)算時(shí)間，大幅度提升了結(jié)構(gòu)的優(yōu)化效率，驗(yàn)證了IGWO-SVM組合優(yōu)化模型在工程優(yōu)化問(wèn)題上的有效性。

表3 計(jì)算時(shí)間對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

(1)基于混沌映射初始化種群和余弦收斂因子改進(jìn)的IGWO算法相較于標(biāo)準(zhǔn)GWO算法性能得到大幅度提升，有效避免了算法陷入早熟，在4個(gè)測(cè)試函數(shù)中均收斂至理論最優(yōu)解；

(2)相較于PSO算法和GA算法，基于IGWO算法優(yōu)化后的SVM線(xiàn)形預(yù)測(cè)模型可以準(zhǔn)確模擬大跨徑拱橋索力與線(xiàn)形的非線(xiàn)性映射關(guān)系，預(yù)測(cè)誤差最小，具有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)泛化能力；

(3)基于IGWO-SVM建立的組合優(yōu)化模型可以有效解決斜拉扣掛法施工的拱橋索力優(yōu)化問(wèn)題，相較于傳統(tǒng)有限元優(yōu)化方法，大幅縮短了時(shí)間成本，提高了優(yōu)化效率；

(4)本文提到的組合優(yōu)化方法不一定對(duì)所有工程都具備良好的適應(yīng)性，針對(duì)其它工程問(wèn)題，未來(lái)可對(duì)SVM的核參數(shù)做出針對(duì)性的調(diào)整與改進(jìn)，以達(dá)到對(duì)特定工程最佳的優(yōu)化效果。