基于混沌BBO算法的非線性模型參數(shù)整定

張滋雨，高岳林+，武宏光

(1.北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021； 2.北方民族大學(xué) 寧夏智能信息與大數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，寧夏 銀川 750021)

0 引 言

生物地理學(xué)優(yōu)化算法(biogeography-based optimization，BBO)[1]在后期的收斂速度非常緩慢，容易陷入局部極小值。為提升算法性能，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究。例如，文獻(xiàn)[2]提出的WRBBO算法在遷移算子中加入更有效的隨機(jī)尺度差分變異算子以獲得全局搜索能力。文獻(xiàn)[3]將遺傳算法集成到BBO中，得到基于遺傳變異的GBBO算法。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于改進(jìn)變異算子和CMA-ES的混合生物地理學(xué)優(yōu)化算法(HBBO-CMA)，提高了算法對(duì)不可分離問(wèn)題的求解能力。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了混合可變鄰域搜索策略作為局部搜索方法，以改善BBO局部搜索能力。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)的交叉遷移算子，并引入動(dòng)態(tài)高斯變異算子，增強(qiáng)了BBO的新解開(kāi)采能力。

針對(duì)BBO開(kāi)發(fā)能力弱、后期收斂速度慢、易陷入局部極值等缺點(diǎn)，作者設(shè)計(jì)了一種嵌入動(dòng)態(tài)遷移算子和混合變異策略的混沌BBO算法(DmHmBBO)。采用Tent映射生成混沌初始種群；將反向?qū)W習(xí)機(jī)制和差分算子集成到原始BBO遷移算子中，得到基于迭代次數(shù)而動(dòng)態(tài)調(diào)整的遷移算子，提升了算法向最優(yōu)解移動(dòng)速度。為增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)解的能力，將高斯變異算子和柯西變異算子進(jìn)行“凸組合”，得到混合變異算子。在驗(yàn)證DmHmBBO算法的優(yōu)越性和先進(jìn)性后，將改進(jìn)算法應(yīng)用于非線性Richards模型的參數(shù)整定，對(duì)谷氨酸菌體生長(zhǎng)濃度進(jìn)行預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，DmHmBBO算法對(duì)Richards模型的參數(shù)整定有較好的適用性和表現(xiàn)力。

1 標(biāo)準(zhǔn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法

原始BBO算法在求解問(wèn)題時(shí)，表現(xiàn)好的個(gè)體被看作是棲息地適宜度指數(shù)(habitat suitability index，HSI)高的島嶼。HSI高的島嶼容易向HSI低的島嶼遷移物種,從而改善棲息地的各適宜度指數(shù)變量(suitability index variables，SIVs)。BBO模擬這一過(guò)程,尋找問(wèn)題最優(yōu)解。主要過(guò)程包括以下3步。

1.1 初始化

標(biāo)準(zhǔn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法的初始化步驟包含兩部分內(nèi)容：初始化參數(shù)與初始化種群。初始化參數(shù)是設(shè)置最大遷入率I、最大遷出率E、最大物種數(shù)Smax以及最大變異率mmax。初始化種群是隨機(jī)產(chǎn)生搜索范圍內(nèi)的NP個(gè)候選個(gè)體

xi(k)=lk+rand(0,1)·(uk-lk)

(1)

其中，i∈{1,2,…,NP},k∈{1,2,…,D}， 而lk和uk是第k維獨(dú)立變量的下屆和上屆，rand(0,1) 用來(lái)避免取值超界。

1.2 遷 移

BBO算法在進(jìn)行遷移操作時(shí),首先需要計(jì)算出各棲息地xi的物種數(shù)量Si。 而物種數(shù)量Si基于棲息地的適宜度排名

Si=Smax-i

(2)

在計(jì)算出各棲息地的物種數(shù)后,可計(jì)算出各xi的遷入率λi與遷出率μi[1]。由于復(fù)雜遷移率模型的適用性比線性遷移率模型更佳，本文在實(shí)現(xiàn)所有BBO算法時(shí)，均采用文獻(xiàn)[7]中的余弦遷移率模型計(jì)算λi與μi

(3)

在遷移時(shí)，首先利用遷出率λi選擇出待遷入個(gè)體xi中將要被替換的第k維變量；其次利用輪盤(pán)賭算法，在剩下的NP-1個(gè)個(gè)體中，根據(jù)遷出率μi隨機(jī)選擇出待遷出的個(gè)體xj； 最后將xj的第k維變量復(fù)制給xi的第k維變量。

1.3 變 異

BBO采用變異來(lái)模擬棲息地發(fā)生環(huán)境突變的情況[1]。首先根據(jù)λi和μi計(jì)算出各棲息地xi的物種概率Pi

(4)

個(gè)體xi的變異率mi與其Pi成反比[1]。因此，變異率計(jì)算公式為

(5)

變異算子具體操作是對(duì)棲息地xi的每一維變量隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)(0,1)間隨機(jī)數(shù)，若某維變量的隨機(jī)數(shù)小于變異率mi，則對(duì)該維變量按照式(1)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)范圍以內(nèi)的數(shù)替換掉原來(lái)變量值。

2 新型生物地理學(xué)優(yōu)化算法

2.1 基于Tent映射的種群初始化

原始BBO隨機(jī)初始化種群，這樣得到的種群整體質(zhì)量較低，多樣性較差，不具較好的遍歷性，容易造成算法早熟。許多學(xué)者采用Logistic映射初始化種群，但Logistic映射遍歷不均勻，且影響算法收斂速度。從文獻(xiàn)[8]可發(fā)現(xiàn)Tent映射比Logistic映射更具遍歷性，可令種群個(gè)體在問(wèn)題的解空間中更加均勻地分布?；诖?，作者在算法設(shè)計(jì)時(shí)，采用Tent映射產(chǎn)生DmHmBBO算法的混沌初始種群。

Tent映射數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

(6)

采用Tent映射初始化種群，既能使提高種群遍歷性，又能提升種群多樣性。具體步驟為：

(7)

2.2 動(dòng)態(tài)遷移算子

首先，將反向?qū)W習(xí)策略集成到遷移操作中。原始BBO容易選出差的個(gè)體進(jìn)行遷出，導(dǎo)致遷入個(gè)體變得更差。為避免這種情況，本文對(duì)待遷出棲息地xj的遷出率μj設(shè)定閾值τ， 當(dāng)輪盤(pán)賭選擇出的待遷出棲息地xj的遷出率μj小于閾值τ時(shí)，對(duì)待遷入棲息地xi采用反向?qū)W習(xí)機(jī)制進(jìn)行遷入。由于文獻(xiàn)[9]證明了擬反射反向個(gè)體有更大概率接近最優(yōu)解，因此采用擬反射反向進(jìn)行遷移

(8)

其次，利用凸遷移代替原始BBO的直接遷移模式。當(dāng)待遷出棲息地xj的遷出率μj大于閾值τ時(shí)，對(duì)待遷入棲息地xi進(jìn)行基于迭代次數(shù)的凸遷移

(9)

其中，g是當(dāng)前迭代次數(shù)，MaxIt是算法的最大迭代次數(shù)，xb是第g代種群中的最優(yōu)個(gè)體。式(9)的好處是好的個(gè)體因?yàn)檫w移而退化的可能性較小，遷移會(huì)保留它們最初的一部分特征，而差的個(gè)體會(huì)擁有來(lái)自好的個(gè)體一部分特征。并且式(9)可以使種群快速向最優(yōu)解移動(dòng)，提升收斂速度。而基于迭代次數(shù)調(diào)整遷出棲息地特征與最優(yōu)個(gè)體特征的權(quán)重，可以有效平衡種群在不同進(jìn)化時(shí)期的遷移壓力。在進(jìn)化前期，種群整體質(zhì)量較低，式(9)可使種群快速向最優(yōu)解移動(dòng)，提升種群質(zhì)量；在進(jìn)化后期，種群整體已經(jīng)靠近最優(yōu)解，式(9)可以讓較優(yōu)解也具有一定生存能力,避免整個(gè)解集陷入局部最優(yōu)解中，可幫助算法提高收斂精度。

最后，將基于局部最優(yōu)個(gè)體的差分算子融入到遷移操作中，增強(qiáng)算法的搜索能力。具體操作是當(dāng)個(gè)體xi在某一維變量上所產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)大于λi時(shí)，仍然要對(duì)該維變量進(jìn)行遷移。隨機(jī)選擇4個(gè)種群個(gè)體：xr1，xr2,xr3,xx4, 其中,r1≠r2≠r3≠r4≠i。 利用式(10)進(jìn)行遷移

xi(k)=xbr1-r4+F·(xr1(k)-xr2(k)+xr3(k)-xr4(k))

(10)

其中，xbr1-r4是4個(gè)隨機(jī)個(gè)體中的最優(yōu)個(gè)體，F(xiàn)是縮放因子。使用局部最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行差分計(jì)算可以防止算法陷入局部最優(yōu)值，避免種群多樣性隨迭代次數(shù)急劇下降。此外，局部差分算子可以提高算法的局部搜索能力，特別是在后期迭代時(shí)，種群可以在最優(yōu)解域進(jìn)行局部搜索，有效提高算法收斂精度。算法1給出了DmHmBBO的遷移操作計(jì)算流程。

算法1：DmHmBBO遷移算子計(jì)算流程

(1) for 每一個(gè)xi

(2) for 每一維變量k

(3) if rand(0,1)<λi

(4) 利用輪盤(pán)賭選擇待遷出個(gè)體xj

(5) ifμj<τ

(6) 利用式(8)進(jìn)行遷移

(7) else

(8) 利用式(9)進(jìn)行遷移

(9) end if

(10) else

(11) if rand(0,1)<0.5

(12) 利用式(10)進(jìn)行遷移

(13) end if

(14) end if

(15) end for

(16) end for

2.3 混合變異算子

原始BBO采用隨機(jī)變異增加新個(gè)體，很可能會(huì)使HSI較高的棲息地遭到破壞，發(fā)生“反作用”[1]。改進(jìn)時(shí)，比較廣泛的是利用高斯變異或柯西變異進(jìn)行修正[10,11]。但高斯分布隨機(jī)數(shù)搜索范圍較小，不能有效幫助算法跳出局部最優(yōu)；而柯西分布隨機(jī)數(shù)搜索范圍較大，在進(jìn)化后期不易于算法搜尋最優(yōu)值，提升收斂精度。為平衡兩種改進(jìn)策略對(duì)變異算子的影響，本文提出了一種混合變異算子，將高斯變異算子與柯西變異算子進(jìn)行基于迭代次數(shù)的凸組合，用式(11)作為變異算子

(11)

其中，N(0,1) 是0均值單位方差的高斯分布隨機(jī)數(shù)，C(0,1) 是0均值單位方差的柯西分布隨機(jī)數(shù)。在進(jìn)化前期，柯西變異權(quán)重較大，可以使算法在進(jìn)化前期進(jìn)行大范圍的搜索，尋找適宜度較高的個(gè)體；進(jìn)化后期，高斯變異權(quán)重較大，可幫助算法在最優(yōu)值附近進(jìn)行小范圍搜索，提升收斂精度。

2.4 DmHmBBO計(jì)算流程

本文在算法改進(jìn)上，還加入了精英策略，保留上一代中最優(yōu)的兩個(gè)個(gè)體，替換掉下一代中最差的兩個(gè)個(gè)體，進(jìn)入到再下一代的初始種群中。算法2給出了DmHmBBO算法的計(jì)算流程，由于個(gè)體的遷入率、遷出率和變異率都是基于排名的，所以將它們的計(jì)算步驟移至迭代以外。

算法2：DmHmBBO計(jì)算流程

(1) 初始化參數(shù)：I,E,Smax,mmax,τ

(2) 計(jì)算各xi的HSI并排序

(3) 按照式(1)初始化種群

(4) 按照式(2)計(jì)算物種數(shù)量Si

(5) 按照式(3)計(jì)算遷入率λi和遷出率μi

(6) 根據(jù)式(4)、 式(5)計(jì)算變異率

(7) while(不滿足終止條件)

(8) 根據(jù)算法2進(jìn)行遷移操作

(9) for 每一個(gè)xi

(10) for 每一維變量k

(11) ifmi

(12) 利用式(11)進(jìn)行變異操作

(13) end if

(14) end for

(15) end for

(16) 實(shí)施精英策略，重新排序

(17) end

2.5 DmHmBBO收斂性證明

本文采用Markov模型來(lái)證明DmHmBBO的算法收斂性。需進(jìn)行以下說(shuō)明：①本文所提出的DmHmBBO算法是基于實(shí)數(shù)編碼的，即針對(duì)于連續(xù)變量提出，所以在證明全局收斂性時(shí)，算法的搜索空間是一個(gè)連續(xù)狀態(tài)空間。②本文所改進(jìn)的生物地理學(xué)優(yōu)化算法由選擇、遷移和變異等步驟組成，與最大迭代次數(shù)無(wú)關(guān),并且算法的種群規(guī)模固定。因此，可認(rèn)為DmHmBBO的尋優(yōu)過(guò)程滿足有限齊次Markov模型。

定理1 可歸約隨機(jī)矩陣穩(wěn)定性定理[12]。

n階矩陣Q是一個(gè)可歸約矩陣，如果Q可以通過(guò)相同的行變換和列變換得到

(12)

其中，C是一個(gè)m(m≤n) 階本原矩陣，而R和T為n-m階的非零矩陣。如果

(13)

則矩陣Q∞是一個(gè)穩(wěn)定的隨機(jī)矩陣，并且Q∞=1′Q∞,Q∞=Q0·Q∞唯一確定，且與初始分布無(wú)關(guān)[12]。

若Q∞是一個(gè)穩(wěn)定的隨機(jī)矩陣，則Q∞滿足條件

(14)

將DmHmBBO種群隨機(jī)均分為k個(gè)子集，則迭代次數(shù)為g時(shí)，種群可表示為：X(g)={x1(g),x2(g),…,xk(g)}。 根據(jù)上述說(shuō)明可知，對(duì)于子種群xi(g),i=1,2,…,k， 可等價(jià)于有限次Markov鏈上的一個(gè)狀態(tài)，用pi(g) 表示處于xi(g) 的概率。則從狀態(tài)xi(g) 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)xj(g) 的概率，可用pij表示

(15)

由此，可知基于DmHmBBO算法的Markov鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P是一個(gè)下三角矩陣

(16)

令

(17)

S2=(p21,p31,…,pk1)T

(18)

則

(19)

根據(jù)式(15)～式(18)可知，S1,S2均為非零矩陣。Markov轉(zhuǎn)移矩陣的每一行概率之和為1[12]，則p11=1,即p11為1階本原矩陣。因此，Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P滿足定理1的條件要求，故P為可歸約隨機(jī)矩陣。

所以，下式成立

(20)

(21)

(22)

其中，fitness(g) 為子種群xi(g) 的最優(yōu)適應(yīng)度值，f(*) 為全局最優(yōu)值，P(·) 就表示算法第g代的最優(yōu)值收斂到全局最優(yōu)值的概率。由式(22)可知，本文所提出的DmHmBBO算法在經(jīng)過(guò)若干次迭代后一定能收斂到全局最優(yōu)值，算法具有全局收斂性，證畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為驗(yàn)證DmHmBBO的可靠性和先進(jìn)性，本文進(jìn)行了一系列仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。除原始BBO外，本文還選取DEBBO[13]、HSBBO[14]、PSOBBO[15]、NFBBO[16]、GBBO[3]、DCGBBO[6]等6種改進(jìn)BBO算法進(jìn)行比較，以充分驗(yàn)證本文算法的有效性。目前，算法的測(cè)試函數(shù)主要來(lái)源于進(jìn)化算法大會(huì)(congress on evolutionary computation，CEC)，應(yīng)用廣泛且較新的是CEC2017[17]、CEC2019[18]以及CEC2020[19]，本文總結(jié)選取了17個(gè)不同類(lèi)型的測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真，具體信息見(jiàn)表1。

表1 測(cè)試函數(shù)

其中，f1-f5為單峰函數(shù)，用來(lái)測(cè)試算法收斂速度快慢；f6-f17為多峰函數(shù)，用來(lái)測(cè)試算法的全局收斂能力。

3.1 參數(shù)設(shè)置

為體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的公平性和科學(xué)性，8種對(duì)比算法的部分參數(shù)初始化如下：種群規(guī)模NP=50；最大遷入率I=1；最大遷出率E=1；最大變異率mmax=0.05(NFBBO中mmax=0.1)；最大物種數(shù)Smax=2NP。

此外，在DEBBO中，縮放因子F=rand(0.1,1)； 交叉率Cr=0.9；在HSBBO中，記憶考慮率HMCR=0.9，音高調(diào)整率PAR=0.1；在PSOBBO中，個(gè)體控制因子c1=0.5，群體控制因子c2=2；在NFBBO中，領(lǐng)域大小r=[0.15·NP]； 在GBBO中，高斯變異率也設(shè)為0.05，精英保留個(gè)數(shù)為2；在DmHmBBO中，φ=0.5， 閾值τ=0.5， 縮放因子F=rand(0.2,0.6)； 精英保留個(gè)數(shù)也為2。

3.2 改進(jìn)效果研究

本組實(shí)驗(yàn)旨在比較8種算法在17個(gè)測(cè)試函數(shù)上的尋優(yōu)能力與收斂精度。為避免偶然性，各算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行51次。通過(guò)計(jì)算8種算法在17個(gè)函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行51次后所求得的51個(gè)全局最優(yōu)值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行Friedman檢驗(yàn)，以比較和研究8種算法的收斂性能。

設(shè)置每個(gè)測(cè)試函數(shù)的最大評(píng)價(jià)次數(shù)(MNFE)，設(shè)置函數(shù)f1-f11的MNFE=6000；函數(shù)f12，f13，f15-17的MNFE=400；f14的MNFE=2000。各算法運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)表2，其中加粗?jǐn)?shù)據(jù)為8種算法中的最優(yōu)值。

從表2可以看出，DmHmBBO在12個(gè)測(cè)試函數(shù)上得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都優(yōu)于其它對(duì)比算法。而原始BBO在17個(gè)測(cè)試函數(shù)上的結(jié)果均沒(méi)有DmHmBBO理想，可見(jiàn)本文算法有效地提升了原始算法的收斂精度和尋優(yōu)能力，使算法性能得到極大改善。對(duì)比算法DEBBO、HSBBO和DCGBBO僅在1個(gè)測(cè)試函數(shù)上表現(xiàn)出優(yōu)于DmHmBBO的性能，NFBBO在2個(gè)測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果與DmHmBBO相同，展現(xiàn)出相近的性能，在1個(gè)測(cè)試函數(shù)上的尋優(yōu)結(jié)果優(yōu)于DmHmBBO。而PSOBBO與GBBO在17個(gè)函數(shù)上的性能均劣于本文DmHmBBO算法。此外，根據(jù)表2還可知，DmHmBBO在單峰函數(shù)上的收斂效果非常理想，在f1-f5都精確或高精度地收斂到全局最優(yōu)值，比其它7種對(duì)比算法收斂結(jié)果高出至少20個(gè)指數(shù)級(jí)。而在多峰函數(shù)f9，f12-f14，f17上，DmHmBBO都精確地尋找到了理論最優(yōu)值，并且在f12，f17上標(biāo)準(zhǔn)差為零，說(shuō)明本文算法穩(wěn)定性強(qiáng),能夠成功地跳出局部最優(yōu)解。雖然在f7，f10，f11上收斂結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差在8種對(duì)比算法中不是最優(yōu)，但其數(shù)值結(jié)果也非常接近，其它算法并沒(méi)有展現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)。

表2 Friedman檢驗(yàn)結(jié)果

表2(續(xù))

根據(jù)Friedman檢驗(yàn)結(jié)果，在表2中計(jì)算出了8種對(duì)比算法的平均排名。顯然，本文所提出的DmHmBBO算法獲得了第1名，超過(guò)了其它7種對(duì)比算法，而其后依次是DEBBO、NFBBO、HSBBO、PSOBBO、DCGBBO、GBBO、BBO。從17個(gè)測(cè)試函數(shù)中獲得第1名的情況看，DmHmBBO獲得12次第1，其次是NFBBO，獲得3次，DEBBO、HSBBO、DCGBBO各獲得1次，而B(niǎo)BO、PSOBBO、GBBO獲得0次。因此,DmHmBBO在8種對(duì)比算法中，尋優(yōu)能力更強(qiáng)，收斂精度更高，具有更好的全局優(yōu)化性能。

3.3 收斂速度對(duì)比

本組實(shí)驗(yàn)用收斂情況圖來(lái)比較8種算法在不同測(cè)試函數(shù)上的收斂情況。設(shè)置最大進(jìn)化代數(shù)MaxIt=1000，各算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行51次，取尋優(yōu)結(jié)果最好的一次作為收斂結(jié)果，作出8種算法在不同測(cè)試函數(shù)上的收斂情況圖。由于文章篇幅限制，篩選出具有代表性的8個(gè)測(cè)試函數(shù)的收斂情況圖進(jìn)行分析。如圖1所示，給出了8種對(duì)比算法在單峰函數(shù)f1-f4，多峰函數(shù)f6-f9上的收斂情況。

從圖1可觀察出，本文所提出的DmHmBBO算法在單峰函數(shù)f1-f3上收斂速度明顯優(yōu)于其它算法，收斂精度在隨著迭代次數(shù)而不斷提高。在單峰函數(shù)f4和多峰函數(shù)f8，f9上，DmHmBBO收斂到最優(yōu)解所用的迭代次數(shù)比另外7種對(duì)比算法少了至少600次。此外，DmHmBBO算法在這些函數(shù)上沒(méi)有像其余進(jìn)化算法一樣出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)的情況，而是從進(jìn)化伊始就向全局最優(yōu)值方向快速收斂。此外，NFBBO在函數(shù)f8上始終無(wú)法跳出局部最優(yōu)，算法不收斂，由此可知NFBBO并不滿足全局收斂性證明。在f6和f7上，8種對(duì)比算法都在進(jìn)化初期陷入了局部最優(yōu)值，但在種群進(jìn)化中后期，DmHmBBO有效地跳出了局部最優(yōu)值，并快速地向全局最優(yōu)解收斂。綜上所述，DmHmBBO算法在8種對(duì)比算法中，收斂精度最高，收斂速度最快，整體性能最優(yōu)，能有效跳出局部最優(yōu)解，算法具備有效性和先進(jìn)性。

圖1 8種算法在不同測(cè)試函數(shù)上的收斂情況

4 Richards模型參數(shù)整定

簡(jiǎn)言之，Richards模型可理解為是一個(gè)非線性的回歸方程，廣泛被應(yīng)用于預(yù)測(cè)。Richards模型通過(guò)控制離散時(shí)間變量t來(lái)預(yù)測(cè)和描述生物菌體的生長(zhǎng)過(guò)程，因此常用來(lái)預(yù)測(cè)一些生物菌體的生長(zhǎng)過(guò)程情況。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(23)

式中：t為離散時(shí)間取值，yt代表t時(shí)刻的生物菌體的生長(zhǎng)濃度值。而α表示菌體生長(zhǎng)濃度的最大值，β表示菌體生長(zhǎng)濃度的初始值，γ表示菌體的生長(zhǎng)速度，δ代表菌體生長(zhǎng)曲線的形狀。對(duì)Richards模型進(jìn)行參數(shù)整定的任務(wù)就是估計(jì)式(23)中參數(shù)α、β、γ和δ的值。

以谷氨酸菌體為例，利用本文提出的DmHmBBO算法估計(jì)其Richards模型參數(shù)，預(yù)測(cè)出谷氨酸菌體的生長(zhǎng)過(guò)程。其中，算法的每一個(gè)棲息地代表一組參數(shù)估計(jì)值，即每個(gè)個(gè)體有4個(gè)獨(dú)立變量，分別代表參數(shù)α、β、γ和δ。非線性回歸模型參數(shù)整定往往是用一組實(shí)際觀測(cè)值估計(jì)出各個(gè)參數(shù)值，本文在進(jìn)行Richards模型參數(shù)整定時(shí)，其谷氨酸菌體生長(zhǎng)濃度觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自于文獻(xiàn)[22]。由于在預(yù)測(cè)菌體生長(zhǎng)過(guò)程時(shí)，常用偏差平方和評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值之間的誤差[21]，因此DmHmBBO的適應(yīng)度函數(shù)采用偏差平方和表示

(24)

函數(shù)Fitness值越小，表明誤差越小，預(yù)測(cè)值更接近觀測(cè)值，即參數(shù)估計(jì)值越準(zhǔn)確。使用DmHmBBO算法對(duì)Richards模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，估計(jì)出的最優(yōu)參數(shù)取值分別為：α=0.8978,β=5.5796,γ=0.6619,δ=3.7048。得到對(duì)應(yīng)的最小偏差平方和為0.008 927 5，比文獻(xiàn)[22]中的最優(yōu)值0.0114和文獻(xiàn)[20]中的最優(yōu)值0.009 091 1均更小，說(shuō)明利用DmHmBBO算法得到的預(yù)測(cè)值更接近于觀測(cè)值，參數(shù)估計(jì)值比同類(lèi)文獻(xiàn)更準(zhǔn)確。同時(shí)，圖2給出了利用本文算法得到的谷氨酸菌體生長(zhǎng)濃度曲線。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間t的增長(zhǎng)，谷氨酸菌落的生長(zhǎng)濃度預(yù)測(cè)曲線與實(shí)際觀測(cè)值之間的誤差逐漸越小，在t=10 h時(shí)，曲線和觀測(cè)值已基本重合，說(shuō)明了Richards模型通過(guò)DmHmBBO算法得到的結(jié)果較可靠，效果良好。圖3給出了DmHmBBO算法在進(jìn)行Richards模型參數(shù)估計(jì)時(shí)的偏差平方和變化曲線。從圖3種可以看出，DmHmBBO算法收斂到最優(yōu)值0.008 927 5只用了20次不到的迭代次數(shù)，而文獻(xiàn)[22]收斂到最優(yōu)值0.0114用了近1000次迭代才達(dá)到穩(wěn)定。說(shuō)明DmHmBBO算法用更少的迭代次數(shù)和計(jì)算代價(jià)收斂到了更精確的最優(yōu)值，比同類(lèi)文獻(xiàn)中的算法更具有效性和先進(jìn)性。

圖2 谷氨酸菌體生長(zhǎng)過(guò)程擬合曲線

圖3 偏差平方和變化曲線

本文為進(jìn)一步充分說(shuō)明DmHmBBO在Richards模型參數(shù)整定中的適用性，將DmHmBBO與其它群智能進(jìn)化算法進(jìn)行預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比,選取了粒子群算法(PSO)、遺傳算法(GA)、改進(jìn)的果蠅算法(VS-FOA)作為對(duì)比算法。表3展示了4種對(duì)比算法計(jì)算得到的谷氨酸菌體生長(zhǎng)濃度預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)值之間的比較結(jié)果。表3中，實(shí)際觀測(cè)值和對(duì)比算法的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)均來(lái)自文獻(xiàn)[22]。

表3給出了谷氨酸菌體生長(zhǎng)濃度觀測(cè)值與各算法預(yù)測(cè)值,但并不能從表中直觀地判別出各算法預(yù)測(cè)效果的優(yōu)良。為便于和同類(lèi)文獻(xiàn)進(jìn)行數(shù)據(jù)比較,本文選用均方根誤差(RMSE)、決定系數(shù)(R2)以及絕對(duì)誤差均值(MAE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo),判斷各對(duì)比算法在谷氨酸菌體生長(zhǎng)濃度預(yù)測(cè)上的準(zhǔn)確性與有效性。

表3 谷氨酸菌體生長(zhǎng)濃度觀測(cè)值與各算法預(yù)測(cè)值

均方根誤差(RMSE)

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決定系數(shù)(R2)

(26)

絕對(duì)誤差均值(MAE)

(27)

表4 各對(duì)比算法的不同指標(biāo)值

由表4可知，本文所提出的DmHmBBO算法得到的均方根誤差(RMSE)、決定系數(shù)(R2)以及絕對(duì)誤差均值(MAE)均比另外3種對(duì)比算法更優(yōu)，說(shuō)明其預(yù)測(cè)精度、擬合優(yōu)度和預(yù)測(cè)質(zhì)量都比另外3種算法更好。因此，采用DmHmBBO進(jìn)行Richards模型參數(shù)整定以預(yù)測(cè)菌體的生長(zhǎng)過(guò)程，比同類(lèi)文獻(xiàn)中的算法更具有效性和先進(jìn)性。DmHmBBO為Richards模型參數(shù)整定的方法提供了參考，是一種值得采納和推廣的算法。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文為進(jìn)一步改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)BBO算法的收斂性能，在原有進(jìn)化機(jī)制的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種性能先進(jìn)的生物地理學(xué)優(yōu)化算法變體，并將其命名為DmHmBBO。仿真結(jié)果表明，DmHmBBO在8種對(duì)比算法中整體性能最優(yōu)，算法具備先進(jìn)性。將DmHmBBO應(yīng)用于谷氨酸菌體生長(zhǎng)的Richards模型參數(shù)整定，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了DmHmBBO比同類(lèi)文獻(xiàn)中的方法更具適用性，為非線性模型的參數(shù)估計(jì)提供了參考方法。但從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出,DmHmBBO在個(gè)別測(cè)試函數(shù)上仍然不能精確地收斂到全局最優(yōu)解，其算法性能仍可進(jìn)一步提升。因此，下一步將對(duì)DmHmBBO算法進(jìn)行深入研究，使其適用于更廣泛的尋優(yōu)問(wèn)題。此外，在今后的工作中，可重點(diǎn)將BBO改進(jìn)算法應(yīng)用于谷氨酸菌發(fā)酵過(guò)程的軟測(cè)量，實(shí)現(xiàn)對(duì)發(fā)酵過(guò)程重要生化參數(shù)的預(yù)測(cè)估計(jì)。