基于單元教學(xué)視角的章節(jié)起始課
——以“直線(xiàn)和圓的方程”為例

柴麗妮 陳家盼 胡 明

（安徽省合肥市第十中學(xué)，安徽 合肥 230011）

起始課是指每章開(kāi)始的第一節(jié)課。在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往直接開(kāi)始本章第一節(jié)新課內(nèi)容的講授。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，從這個(gè)角度考慮，以“直線(xiàn)和圓的方程”這一單元為例，精心設(shè)計(jì)了一節(jié)章節(jié)起始課。

一、提出問(wèn)題

單元教學(xué)是新一輪課程改革的特色，它要求教師在備課時(shí)整體把握教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)時(shí)力爭(zhēng)使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以此體現(xiàn)出“數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性”，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑，它搭建起了幾何與代數(shù)之間的橋梁。解析幾何的主要內(nèi)容是借助平面直角坐標(biāo)系，建立起曲線(xiàn)和方程的對(duì)應(yīng)，進(jìn)而將研究幾何圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)代數(shù)方程的研究。在高中階段，學(xué)生將系統(tǒng)學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)五種曲線(xiàn)。每種曲線(xiàn)都按照相同的思路研究：確定幾何要素—幾何要素代數(shù)化—建立曲線(xiàn)方程—研究方程—解釋方程的幾何意義（如下圖）。在實(shí)際教學(xué)中如何讓學(xué)生整體把握解析幾何的研究框架，而不是直接陷入繁雜的運(yùn)算？筆者嘗試以解析幾何的起始課為抓手，充分利用教材上的章引言和閱讀材料，構(gòu)建解析幾何的知識(shí)框架，幫助學(xué)生宏觀理解單元結(jié)構(gòu)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）1.創(chuàng)設(shè)情境，引入本章學(xué)習(xí)內(nèi)容

（播放“福建艦”的下水視頻）

引導(dǎo)語(yǔ)：2022 年 6 月 17 日，由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)建造的首艘彈射型航空母艦“福建艦”下水?！案＝ㄅ灐钡某晒ο滤畼?biāo)志著我國(guó)已基本追平了美國(guó)的航母發(fā)展水平，標(biāo)志著我國(guó)在實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的道路上又向前邁了一大步。近些年來(lái)，我國(guó)周邊海上爭(zhēng)端頻發(fā)，發(fā)展并壯大海軍隊(duì)伍是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要一部分。

問(wèn)題1：我國(guó)一艘軍艦從港口出發(fā)向北偏東45°方向直線(xiàn)行駛（記為直線(xiàn)l1）進(jìn)行日常巡邏。若在港口正北方向40km處有一信號(hào)干擾器，且以該點(diǎn)為圓心，半徑為30km 的圓形區(qū)域都會(huì)受到影響。若這艘軍艦不改變航向，那么它是否會(huì)受到影響？若受影響，你能確定受影響的具體位置嗎？若干擾器的影響區(qū)域是橢圓呢？

設(shè)計(jì)意圖：中國(guó)夢(mèng)引領(lǐng)強(qiáng)軍夢(mèng)，強(qiáng)軍夢(mèng)支持中國(guó)夢(mèng)！“福建艦”的成功下水激動(dòng)人心，以此作為引入，在拉開(kāi)本章大幕的同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的愛(ài)國(guó)主義情感和民族自豪感?，F(xiàn)實(shí)情境中抽象出來(lái)的問(wèn)題涉及到三個(gè)研究對(duì)象——直線(xiàn)、圓與橢圓。學(xué)生用初中學(xué)的方法可以解決直線(xiàn)與圓的問(wèn)題，但受影響的具體位置難以描述；而且當(dāng)影響區(qū)域變成橢圓，學(xué)生無(wú)法用初中知識(shí)解決。在此情況下提出坐標(biāo)法，可以讓學(xué)生感知學(xué)習(xí)解析幾何的價(jià)值。

（二）數(shù)學(xué)閱讀，構(gòu)建解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

請(qǐng)閱讀教材第二章和第三章的章引言以及閱讀與思考“笛卡兒與解析幾何”，回答下列問(wèn)題。

問(wèn)題2：原來(lái)研究幾何圖形用的什么方法？這兩章將用什么方法？這種方法主要是以什么為工具？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}2 難度不大，略讀教材就可解答。本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)一方面是為了讓學(xué)生重視教材回歸教材，另一方面是為了強(qiáng)調(diào)解析幾何的核心方法——坐標(biāo)法和核心工具——平面直角坐標(biāo)系。

問(wèn)題3：這兩章統(tǒng)稱(chēng)為解析幾何，它的內(nèi)涵是什么？溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)部哪兩大學(xué)科？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

追問(wèn)：曲線(xiàn)屬于幾何領(lǐng)域，方程屬于代數(shù)領(lǐng)域，那“曲線(xiàn)的方程”的含義是什么？

教師以平面直角坐標(biāo)系中到軸距離為2 的直線(xiàn)為例解釋。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}3 難度有所升級(jí)，觸及到了解析幾何的基本內(nèi)涵及其蘊(yùn)含的思想方法，學(xué)生精讀教材可以得到答案。章引言中出現(xiàn)了一個(gè)詞“曲線(xiàn)的方程”，它是解析幾何的一個(gè)核心概念，在后續(xù)的教學(xué)中反復(fù)出現(xiàn)，但細(xì)究起來(lái)并不容易理解，需要從完備性和純粹性?xún)蓚€(gè)方面加以說(shuō)明。對(duì)比舊教材，新教材降低了抽象難度，刪掉了“曲線(xiàn)與方程”一節(jié)，轉(zhuǎn)而在每次曲線(xiàn)的方程建立之后進(jìn)行解釋說(shuō)明，通過(guò)邊用邊學(xué)來(lái)加深學(xué)生的理解。為了符合新教材的理念，本節(jié)課不打算給出曲線(xiàn)的方程的定義，只是借助具體的例子幫助學(xué)生直觀感知并嘗試?yán)斫膺@個(gè)概念，初次體會(huì)曲線(xiàn)與方程之間的充要關(guān)系，為后續(xù)的正式學(xué)習(xí)做好鋪墊。

問(wèn)題4：這兩章將分別研究哪些曲線(xiàn)？小組合作畫(huà)出這兩章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，每個(gè)小組請(qǐng)代表展示并解讀各自的作品。

設(shè)計(jì)意圖：將第二章“直線(xiàn)和圓的方程”以及第三章“圓錐曲線(xiàn)的方程”放在一起是因?yàn)樗鼈兌紝俳馕鰩缀危@五種曲線(xiàn)的研究方法是相同的，能很好地體現(xiàn)出“思想的一致性、方法的普適性”。同時(shí)也是為了與問(wèn)題1 相呼應(yīng)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到坐標(biāo)法不僅僅可以用來(lái)研究直線(xiàn)與圓這兩種熟悉的圖形，更能夠在復(fù)雜圖形的研究中發(fā)揮巨大作用，凸顯了坐標(biāo)法的魅力與威力；但是從后續(xù)的教學(xué)中可以看出，本節(jié)課的重點(diǎn)依然在第二章。畫(huà)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖圖對(duì)學(xué)生要求較高，要充分調(diào)動(dòng)起眼耳手口腦，小組一齊出力協(xié)同合作完成。學(xué)生動(dòng)手畫(huà)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖可以進(jìn)一步梳理解析幾何的基本內(nèi)涵，使研究思路可視化，強(qiáng)化直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)在研究過(guò)程和思想方法上的同構(gòu)性。

（三）結(jié)合實(shí)例，體驗(yàn)解析幾何學(xué)習(xí)的基本方法

引導(dǎo)語(yǔ)：按照知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，五種曲線(xiàn)的研究思路基本相同，下面就借助直線(xiàn)來(lái)完整系統(tǒng)地體驗(yàn)解析幾何學(xué)習(xí)的基本方法。

1.探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素

問(wèn)題5：確定一條直線(xiàn)的幾何要素是什么。

追問(wèn)1：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)可以如何轉(zhuǎn)化？

追問(wèn)2：在問(wèn)題1 中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系（為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，取10km為單位長(zhǎng)度），并判斷軍艦行駛所形成的直線(xiàn)是否確定？

追問(wèn)3：確定一條直線(xiàn)的幾何要素除了兩個(gè)點(diǎn)還可以是什么？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”，因此他們很直接地認(rèn)為確定一條直線(xiàn)的幾何要素是兩個(gè)點(diǎn)。在平面直角坐標(biāo)系中需要知道這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。問(wèn)題1 中的直線(xiàn)明顯是確定的，但是沒(méi)有直接給出直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，以此引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線(xiàn)”，而且這兩種幾何要素可以相互轉(zhuǎn)化，為正式教學(xué)中斜率與兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系、點(diǎn)斜式與兩點(diǎn)式的關(guān)系做好鋪墊。

2.建立直線(xiàn)的方程

問(wèn)題6：給定直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)或者一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與一個(gè)確定的方向，你能表示出直線(xiàn)上任意一點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)嗎？以直線(xiàn)l1為例（為研究問(wèn)題的統(tǒng)一，以干擾器為圓心，正北方向?yàn)閥 軸建立平面直角坐標(biāo)系）。

提示：可以參照“空間向量與立體幾何”的相關(guān)內(nèi)容。

設(shè)計(jì)意圖：在“空間向量與立體幾何”中，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)如果知道了直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)或者直線(xiàn)的方向向量，可以引入?yún)?shù)λ 再借助共線(xiàn)定理表示出直線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)。以直線(xiàn)l1為例，若學(xué)生根據(jù)情境判斷出直線(xiàn) l1過(guò) A（0，-4），B（4，0），則，故 P（4λ，4λ-4）；若學(xué)生根據(jù)“北偏東45°方向”寫(xiě)出直線(xiàn)的方向向量

追問(wèn)：你能用一個(gè)等式表示直線(xiàn)l1上任意一點(diǎn) P（x，y）的橫坐標(biāo) x 與縱坐標(biāo) y之間的關(guān)系嗎？

3.應(yīng)用直線(xiàn)的方程

問(wèn)題7：若在上述平面直角坐標(biāo)系中另有一條直線(xiàn)l2的方程為試判斷與這兩條直線(xiàn)的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：寫(xiě)出曲線(xiàn)的方程是為了使用它解決問(wèn)題，所以此處設(shè)計(jì)了一個(gè)不便利用綜合法解決的問(wèn)題。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題學(xué)生在系統(tǒng)把握坐標(biāo)法流程的同時(shí)也為以后學(xué)習(xí)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)打下了基礎(chǔ)。

（四）課堂小結(jié)，總結(jié)回顧并引出下一節(jié)內(nèi)容

問(wèn)題8：通過(guò)本節(jié)課，你學(xué)到了什么？

在學(xué)生發(fā)言之后老師補(bǔ)充并指出：計(jì)算機(jī)的普及使得坐標(biāo)法具有了更大的威力，在這個(gè)過(guò)程中我國(guó)數(shù)學(xué)家也做出了舉世矚目的成績(jī)，請(qǐng)大家課后閱讀“坐標(biāo)法與數(shù)學(xué)機(jī)械化”，了解吳文俊等數(shù)學(xué)家做出的卓越貢獻(xiàn)。

思考：既然借助了坐標(biāo)系，那么能否給出一個(gè)新的定義，使得直線(xiàn)的方向的描述脫離東西南北呢？從下一節(jié)開(kāi)始我們將按照知識(shí)結(jié)構(gòu)圖詳細(xì)地研究直線(xiàn)及其方程。

設(shè)計(jì)意圖：課堂的最后讓學(xué)生暢所欲言，在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上，歸納解析幾何的研究?jī)?nèi)容和核心方法。課后閱讀可以激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。最后的思考是為了后面的正式學(xué)習(xí)做鋪墊，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生感悟坐標(biāo)系在解析幾何中的作用。

三、課后反思

（一）章起始課要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?/h3>

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展與情境有密不可分的關(guān)系，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境一方面可以激發(fā)學(xué)生的興趣，另一方面也可以為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆。本課例選擇了從最近熱門(mén)的航空母艦下水入手，問(wèn)題情境指出強(qiáng)軍夢(mèng)的實(shí)現(xiàn)離不開(kāi)數(shù)學(xué)的發(fā)展，說(shuō)明數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又高于生活；提出的問(wèn)題可以用純幾何方法解決，但稍微改變一下條件就暴露了綜合法的不足，讓學(xué)生意識(shí)到解析幾何學(xué)習(xí)的價(jià)值。

（二）章起始課要回歸教材本身，重視數(shù)學(xué)閱讀

教材是教學(xué)之本，教師在備課之時(shí)要緊抓教材，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中也不能脫離教材。然而在實(shí)際教學(xué)中重教輔的現(xiàn)象比比皆是，這樣輕視教材其實(shí)就丟掉了理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的大好機(jī)會(huì)。章引言里往往概述了整章的知識(shí)內(nèi)容、研究方法、歷史地位和應(yīng)用價(jià)值，用好章引言能起到領(lǐng)航全章的重要作用；“閱讀與思考”介紹了與本章相關(guān)的拓展內(nèi)容，用好它們既增加了課堂的趣味性，也培養(yǎng)了學(xué)生有效提取信息的能力。在數(shù)學(xué)閱讀過(guò)程中，教師要注意做好指導(dǎo)，不能將閱讀變成單純的故事賞析。教師可以嘗試借助問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生將略讀、精讀、串讀相結(jié)合，以此促進(jìn)概念的建構(gòu)、理解和內(nèi)化。

（三）章起始課要注意與前后內(nèi)容的聯(lián)系

任何新知識(shí)的建構(gòu)都建立在對(duì)舊知識(shí)掌握和理解的基礎(chǔ)之上，所以在教授新知識(shí)的同時(shí)要注意與原有的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系。章起始課作為新一章的第一節(jié)課，不能完全另起爐灶，要注意與前后內(nèi)容的聯(lián)系。例如本節(jié)課直線(xiàn)的方程的建立過(guò)程中應(yīng)用了上一章“空間向量與立體幾何”中的共線(xiàn)定理，使學(xué)生接受起來(lái)不突兀。

（四）章起始課要引導(dǎo)學(xué)生整體把握全章內(nèi)容

開(kāi)設(shè)章起始課的目的在于讓學(xué)生了解全章的內(nèi)容背景、研究方法、知識(shí)結(jié)構(gòu)、現(xiàn)實(shí)意義等，同時(shí)為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好充足的鋪墊和心理準(zhǔn)備。在本節(jié)課之前學(xué)生沒(méi)有系統(tǒng)地接觸過(guò)解析幾何，整體把握解析幾何的研究對(duì)象、基本內(nèi)涵和方法是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。為了達(dá)成這個(gè)目標(biāo)，本節(jié)課首先讓學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上小組合作畫(huà)出知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，然后再帶領(lǐng)學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例來(lái)完整系統(tǒng)地體驗(yàn)一遍解析幾何的研究方法，幫助學(xué)生整體把握知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系和走向，理解知識(shí)的來(lái)龍去脈。

四、結(jié)語(yǔ)

上好章起始課對(duì)于學(xué)生整體把握全章內(nèi)容有著重大意義，尤其是在目前單元教學(xué)的大背景之下。如何設(shè)計(jì)才能讓學(xué)生更好地體會(huì)到數(shù)學(xué)的整體性？如何設(shè)計(jì)出一節(jié)既有趣味性又不失數(shù)學(xué)性的章節(jié)起始課？章節(jié)起始課和后面的正式教學(xué)如何平衡和兼顧？上好一節(jié)課并非易事，這些問(wèn)題值得我們一線(xiàn)老師思考。