南通市社會消費品零售總額的預測模型對比分析

陳書愉 劉雨晴 王曉燕(通訊作者)

(南通大學理學院 江蘇南通 226000)

隨著時代經(jīng)濟的不斷發(fā)展與進步，人們的消費需求不斷增長。新冠疫情對經(jīng)濟的沖擊下，刺激消費已經(jīng)成為拉動經(jīng)濟發(fā)展的一輛重要馬車，而社會消費品零售總額很好地反映了消費要素的特征。利用社會消費品零售總額可以了解國民需求，進而了解南通市的經(jīng)濟增長狀況。

本文分別選用因素分解模型和ARIMA乘積季節(jié)模型(SARIMA模型)對2010—2021年南通市社會消費品零售總額月度數(shù)據(jù)(以下簡稱“社消零”)進行建模分析并預測，比較在兩種模型下真實值與預測值的相對誤差大小，進而分析南通市社會消費水平發(fā)展趨勢。

1 樣本選擇與數(shù)據(jù)處理

本文選取南通市 2010年1月至2021年8月 的“社消零”月度數(shù)據(jù)為樣本，由于“社消零”月度數(shù)據(jù)為該年首月到當前月的累計值，并非當期值；以累計值做時間序列是不合理的，因為每個月的趨勢效應、隨機效應等均被累計，計算當期值。鑒于每年月度數(shù)據(jù)線性趨勢明顯，因此我們采用簡單的線性插值法補全缺省數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)繪制成時序圖1。從圖1粗略可見該時間序列具有明顯的長期遞增趨勢，并且隨著趨勢的遞增，每個周期的振幅逐漸增大(2020年數(shù)據(jù)的異常是由于疫情的影響)。此外，基本上每一年數(shù)據(jù)都呈現(xiàn)先上升再下降，這一現(xiàn)象反映出該序列的季節(jié)性。因為序列具有趨勢性和季節(jié)效應，故采用因素分解模和SARIMA模型兩種季節(jié)時間序列模型對序列進行建模分析。

圖1 2010年1月至2021年8月南通市“社消零”當期值時序

2 模型建立與分析

2.1 因素分解模型

從圖1可以看出：隨著趨勢的遞增，每個季節(jié)的振幅也隨之增加，即季節(jié)效應受到趨勢的影響，如虛線所示，周期波動范圍隨著趨勢增加而擴大，呈現(xiàn)喇叭形，因此選用因素分解的乘法模型。

2.1.1 利用R軟件對序列進行乘法模型的因素分解

由圖2可見：從現(xiàn)實出發(fā)2月為中國農(nóng)歷春節(jié)，消費者在此月會加大支出，消費額會大幅增加，故2月的季節(jié)指數(shù)理應最高；接著，3月、4月陸續(xù)上班，季節(jié)指數(shù)應逐步下降，而當5月時，勞動節(jié)來臨，市民外出旅游增加消費，季節(jié)指數(shù)達到階段性小高峰；此外，10月國慶長假消費者外出旅游加大消費，季節(jié)指數(shù)上升達到小高峰，12月年底市民開始陸續(xù)準備年貨，季節(jié)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢。故季節(jié)指數(shù)符合現(xiàn)實意義，分解得當。2010—2019年，南通市“社消零”呈現(xiàn)上升趨勢，但在2020年新冠疫情蔓延，南通實行封城居家隔離政策，因此趨勢下降；隨后疫情逐漸得到控制，常態(tài)化管理下居民得以外出工作、消費，故而趨勢又上升；分解出的趨勢效應符合現(xiàn)實意義，因此分解得當。此外分解后隨機序列在值1附件波動，可以認為其是白噪聲序列。

圖2 因素分解效果

2.1.2 基于Holt-Winters三參數(shù)指數(shù)平滑預測

由于上面因素分解可見時序既有趨勢又含有季節(jié)，下面利用Holt-Winters三指數(shù)平滑對序列進行預測?；谧顑?yōu)擬合原則計算出平滑系數(shù)，進而得到向前任意k期的預測值：

式(1)中j為t+k期對應的季節(jié)，Sj為季節(jié)因子。得到三個參數(shù)的最后迭代值a(t)=328.6404768,b(t)=1.6966638，Sj的最后的12個估計值對應的是12個月的季節(jié)指數(shù)，分別為0.990197、1.0542752、0.9669401、0.9889556、0.9388016、0.9959767、0.9919118、0.9411289、1.0146027、1.0605129、0.9645991、0.991402。從預測值來看，模型很好地反映的季節(jié)效應與趨勢效應，在1、2、5、10與12月均有明顯增加。

2.2 SARIMA模型

2.2.1 序列的平穩(wěn)化處理

根據(jù)圖1分析結(jié)果，對原序列做1階12步差分消除趨勢和季節(jié)效應，數(shù)據(jù)的趨勢性也已被基本消除，基本可視為平穩(wěn)序列，進一步對此做平穩(wěn)性的ADF檢驗。檢驗結(jié)果顯示P值均小于顯著性水平0.01，數(shù)據(jù)在1%檢驗水平下拒絕原假設，此時時間序列已經(jīng)平穩(wěn)，故差分后序列通過平穩(wěn)性檢驗。此外，通過純隨機檢驗，延遲6階和延遲12階LB檢驗統(tǒng)計量的P值都顯著小于0.05，該模型是非白噪聲序列。

2.2.2 模型定階和參數(shù)估計

為了給模型的定階，畫出其延遲36階的自相關與偏自相關圖(見圖3)。

圖3 自相關和偏相關

由圖3進行模型選擇，觀察非季節(jié)性部分：自相關系數(shù)(ACF)由圖顯示在一階顯著超出二倍標準差，其他階數(shù)均小于二倍標準差，可認為該序列自相關系數(shù)一階截尾；偏自相關系數(shù)(PACF)圖可見一階二階顯著超出二倍標準差，可判斷該序列偏自相關系數(shù)二階截尾，也可理解為均是拖尾的。觀察季節(jié)自相關和偏自相關特征：自相關圖顯示延遲36階和48階的自相關系數(shù)均顯著非零，偏自相關圖顯示延遲24階的偏自相關系數(shù)顯著非零，而延遲36階和48階的偏自相關系數(shù)均落入兩倍標準差內(nèi)，可以認為偏自相關系數(shù)2周期截尾。因此可以認為季節(jié)自相關系數(shù)是自相關拖尾(Q=0)，偏自相關2周期截尾(P=2)。通過以上分析，選SARIMA季節(jié)乘積模型ARIMA(1,1,2)×(P,D,Q)S來進行擬合，且根據(jù) AIC 準則進行模型篩選。我們在所定階數(shù)的附近采用逐次升階策略計算各模型的AIC準則，經(jīng)多次嘗試，模型的AIC相對于其他模型要小，且模型參數(shù)不能拒絕參數(shù)為 0 的假定，因此認為該模型優(yōu)于其他定階模型。模型擬合顯式表達為：

2.2.3 模型適應性檢驗與序列預測

經(jīng)過檢驗發(fā)現(xiàn)：模型系數(shù)均大于兩倍標準差，表示參數(shù)是顯著的；殘差序列的白噪聲檢驗結(jié)果可以看出各階延遲下白噪聲檢驗統(tǒng)計量的P值都顯著大于0.05，可以認為擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列，認為擬合模型顯著成立?？梢赃M行序列的預測，由圖4預測圖可見，模型的擬合值和實際的變動具有較好的一致性。

圖4 SARIMA季節(jié)乘法模型預測效果圖

2.3 模型對比

利用因素分解模型(1)對 2021年9月至2022年3月的“社消零”總額當期值進行預測，并將實際值與預測值進行比較。通過計算比較，從表1中可以看出預測值與實際值的相對誤差控制在10%以內(nèi)，通過計算得平均相對誤差為5.63%。在 SARIMA模型(2)下，數(shù)據(jù)的相對誤差控制在 7%以內(nèi)，平均相對誤差為4.62%。從預測的結(jié)果來看，雖然兩種模型都考慮到了時間序列數(shù)據(jù)趨勢性和季節(jié)性，但預測效果都一般。對比因素分解模型，SARIMA模型更能較為準確地預測南通的“社消零”的季節(jié)變化，相對誤差較小。從預測趨勢可見南通市未來短時間內(nèi)的“社消零”仍將保持高速增長，新冠疫情對南通消費水平影響不大。

表1 兩種模型預測結(jié)果

3 結(jié)語

本文運用因素分解模型和SARIMA模型對南通市城鎮(zhèn)居民社會消費品零售總額當期值進行預測，SARIMA模型預測的誤差較小，說明采用SARIMA模型預測南通市社會消費品零售總額當期值是可行的，短期預測具有一定的可信度，可為南通市宏觀經(jīng)濟決策提供參考，促進地方經(jīng)濟發(fā)展。