基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維動力吸振器各向同性設(shè)計及減振特性研究

董成林 蔡龍奇 李 毅 路 彤 張路科

中國核動力研究設(shè)計院核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都,610213

0 引言

動力機(jī)械設(shè)備的振動問題是影響核動力裝置安全性與可靠性的重要因素之一。目前，對動力機(jī)械設(shè)備的振動控制主要是從振動傳遞路徑入手，如采用雙層隔振、浮筏隔振等技術(shù)，可有效減小設(shè)備的振動能量傳遞，在中高頻段起到很好的寬頻減振效果，但對低頻特征線譜的減振效果并不明顯。

動力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)是一種通過自身振動抑制主系統(tǒng)振動的裝置，具有對環(huán)境依賴小、安裝簡單，以及可針對性地控制線譜振動等優(yōu)點(diǎn)，為解決動力機(jī)械設(shè)備低頻線譜振動問題提供了一種重要技術(shù)選擇。國內(nèi)外學(xué)者對此開展了大量研究，研發(fā)出形式各樣的動力吸振器[1-11]。例如，賀輝雄等[1]針對船舶輔機(jī)設(shè)備引起的振動問題，應(yīng)用有理分式多項(xiàng)式法識別出安裝位置處主系統(tǒng)等效參數(shù)，并通過定點(diǎn)理論設(shè)計出組合式動力吸振器，可將20～60 Hz頻段內(nèi)的合成聲功率降低9.55 dB。SNOWDON等[2]提出了十字懸臂梁結(jié)構(gòu)的連續(xù)型動力吸振器，通過改變質(zhì)量塊位置調(diào)節(jié)固有頻率，可以同時衰減多個峰值。王文初等[4]基于Euler-Bernoulli梁假設(shè)推導(dǎo)了頻率方程的解析解，將懸臂梁上的質(zhì)量塊簡化成質(zhì)點(diǎn)，并據(jù)此設(shè)計出三向管路動力吸振器，在水泵50 Hz軸頻上，管路的三向減振效果均在5 dB以上。

值得指出的是，動力機(jī)械設(shè)備的線譜振動在垂向、水平方向往往是相互耦合的，需采用多維動力吸振器(multi-dimensional dynamic vibration absorber，MDDVA)對其進(jìn)行治理?，F(xiàn)有的動力吸振器多為單向動力吸振器，少數(shù)多維動力吸振器本質(zhì)上也是由多個單向動力吸振器組合而成的。此類動力吸振器僅利用了吸振振子的單向運(yùn)動來抑制振動，雖具有設(shè)計簡單、安裝方便等優(yōu)點(diǎn)，但存在空間尺寸大、引入附件質(zhì)量大等不足。事實(shí)上，吸振振子相對于主系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)六維運(yùn)動(三轉(zhuǎn)動三平動)，故理論上通過合理設(shè)計能夠同時抑制主系統(tǒng)多個方向的線譜振動[12]。因此，針對動力機(jī)械設(shè)備多維線譜耦合振動問題，充分發(fā)揮吸振振子的多維運(yùn)動能力，研發(fā)新型多維動力吸振器，提高吸振效率，是一項(xiàng)頗具挑戰(zhàn)性的工作。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種由兩個或兩個以上分支運(yùn)動鏈并聯(lián)而成的多環(huán)機(jī)構(gòu)[13]，具有結(jié)構(gòu)緊湊、精度高、動態(tài)特性好等優(yōu)點(diǎn)，其動平臺可實(shí)現(xiàn)多維運(yùn)動，若采用彈簧阻尼系統(tǒng)安裝于驅(qū)動關(guān)節(jié)，并將動平臺視為公共振子，則整個并聯(lián)機(jī)構(gòu)即為一個多維動力吸振器。據(jù)此，本文突破現(xiàn)有動力吸振器的設(shè)計思路，提出一種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的新型三維動力吸振器，并開展其動力學(xué)各向同性設(shè)計研究，在此基礎(chǔ)上探討該動力吸振器在動力機(jī)械設(shè)備線譜振動控制應(yīng)用中的效果與優(yōu)勢，為其研發(fā)與工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 新型三維動力吸振器簡介及動力學(xué)建模

1.1 吸振器簡介

圖1所示為本文所提新型三維動力吸振器的CAD模型，該吸振器由機(jī)架、振子以及三個機(jī)架與振子的相同支鏈組成，每條支鏈包含一個滑鞍、兩個平行布置的連桿與一組彈簧。其中，連桿兩端通過球鉸分別與滑鞍、振子連接，滑鞍通過直線軸承與彈簧、機(jī)架連接，相對機(jī)架僅做沿上下方向的彈性運(yùn)動。值得指出的是，該新型三維動力吸振器本質(zhì)上是3-P(SS)2并聯(lián)機(jī)構(gòu)，P、S分別表示移動副與球鉸。根據(jù)旋量理論，吸振器中的振子(即動平臺)具有三個平動自由度，故該吸振器可抑制振源設(shè)備沿三個垂直方向的振動。與采用多個單向動力吸振器組合而成的多維動力吸振器相比，本文所提新型三維動力吸振器充分利用了吸振振子的多維運(yùn)動能力，具有模塊化程度高、附加質(zhì)量小等優(yōu)點(diǎn)。

圖1 新型三維動力吸振器CAD模型

1.2 雅可比矩陣構(gòu)造

雅可比矩陣構(gòu)造的目的在于建立關(guān)節(jié)運(yùn)動(彈簧振動)與末端操作運(yùn)動(振子振動)之間的映射關(guān)系。考慮到每條支鏈中兩個平行布置的連桿運(yùn)動規(guī)律相同，故可在運(yùn)動學(xué)分析時將動力吸振器簡化為圖2所示的等效機(jī)構(gòu)。為便于描述各參考點(diǎn)位置矢量，在機(jī)架底面形心處建立固定參考系Bxyz。在該坐標(biāo)系下，動平臺參考點(diǎn)A的位矢rA可表示為

圖2 動力吸振器等效機(jī)構(gòu)

(1)

bi=BBi=b(cosγi，sinγi，0)T

ai=AAi=a(cosγi，sinγi，0)T

于是，給定rA可求解出：

(2)

將式(1)等號兩端對時間求導(dǎo)，有

(3)

(4)

式中，J為該動力吸振器所采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。

1.3 動力學(xué)建模與模態(tài)解析

忽略連桿質(zhì)量，同時僅計及彈簧的形變，則動力吸振器的總動能和總彈性勢能可分別表示為

(5)

式中，ms、mp分別為滑鞍質(zhì)量和動平臺(即振子)質(zhì)量；k為與滑鞍連接的彈簧組的剛度。

將式(4)代入式(5)，并計及P副處的阻尼，則可整理得到動力吸振器的三自由度微幅振動微分方程：

(6)

MDVA=mpJTJ+msE3KDVA=diag[kkk]

CDVA=diag[ccc]

式中，E3為三階單位陣；fq為振動主系統(tǒng)傳遞到P副(彈簧組)的激振力矢量；c為P副處的阻尼。

容易發(fā)現(xiàn)，動力吸振器的剛度矩陣KDVA是常數(shù)矩陣，但質(zhì)量矩陣MDVA是機(jī)構(gòu)位形的函數(shù)。因此，該裝置嚴(yán)格來說是一非線性系統(tǒng)，其動態(tài)特性除了與系統(tǒng)尺度參數(shù)、質(zhì)量和剛度參數(shù)有關(guān)外，還取決于機(jī)構(gòu)的初始位形。然而，考慮到該裝置作為動力吸振使用，各彈簧在選定的平衡位置附近做微幅振動，故可將MDVA視為常數(shù)矩陣，系統(tǒng)近似處理為線性系統(tǒng)。

特殊地，當(dāng)rA=(0，0，z)T時，有

(7)

θ=arccos((b-a)/l)

其中，θ表示連桿與動平臺平面的夾角。據(jù)此，可寫出質(zhì)量矩陣MDVA的顯示表達(dá)式：

(8)

通過求解廣義特征值問題‖KDVA-ω2MDVA‖=0，可得到動力吸振器的三階模態(tài)固有頻率：

(9)

所對應(yīng)的振型向量為

(10)

根據(jù)關(guān)節(jié)空間與操作空間微分運(yùn)動之間的雅可比映射關(guān)系，吸振振子在參考系Bxyz下的振型向量為

(11)

由式(9)～式(11)可見，動力吸振器的三階模態(tài)振型分別表現(xiàn)為動平臺沿z方向的平動，以及沿平行于xy坐標(biāo)平面的兩個正交方向的平動，前者由三組彈簧的同向振動引起，后兩者由三組彈簧中的兩組的反向振動引起。其中，z向振動的模態(tài)固有頻率f1僅與彈簧剛度、慣性參數(shù)有關(guān)；兩階橫向振動的模態(tài)固有頻率f2、f3大小相等，不僅與彈簧剛度、慣性參數(shù)有關(guān)，還與機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)相關(guān)。

2 動力吸振器各向同性設(shè)計

合理設(shè)計三維動力吸振器的尺度參數(shù)及彈性/慣性參數(shù)，使其具有各向同性的動力學(xué)性能，是有效抑制振源設(shè)備在多個方向上相同頻率線譜振動的關(guān)鍵。本節(jié)開展三維動力吸振器動力學(xué)各向同性設(shè)計，并借助有限元驗(yàn)證其有效性，進(jìn)而為動力吸振器的應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)。

一方面考慮到動力吸振器的幾何尺寸大多會受到安裝空間的約束，且振子質(zhì)量需滿足與主系統(tǒng)質(zhì)量的比值關(guān)系，故靜平臺尺寸b、振子質(zhì)量mp為設(shè)計輸入?yún)?shù)。另一方面為保證吸振器機(jī)械結(jié)構(gòu)的緊湊性，滑鞍質(zhì)量ms與動平臺尺寸a一般在完成初步機(jī)械結(jié)構(gòu)方案設(shè)計后即可確定。就設(shè)計目標(biāo)而言，為有效抑制振源設(shè)備在多個方向上相同頻率線譜振動，動力吸振器的三階固有頻率應(yīng)相等，同時要與振源設(shè)備所產(chǎn)生的特征線譜頻率fobj接近。于是，三維動力吸振器的參數(shù)設(shè)計問題可歸納如下：給定靜平臺尺寸b、動平臺尺寸a及滑鞍質(zhì)量ms、振子質(zhì)量mp，設(shè)計連桿長度l、彈簧剛度k，使得系統(tǒng)的動力學(xué)各向同性，且固有頻率等于特征線譜頻率fobj。據(jù)此，通過求解f1=f2與f1=fobj可得

(12)

不難發(fā)現(xiàn)，動力學(xué)各向同性僅取決于機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)，與彈簧剛度及振子質(zhì)量均無關(guān)。

當(dāng)給定b=130 mm、a=40 mm、mp=35 kg、ms=1.5 kg以及fobj=50 Hz時，根據(jù)式(7)可計算出l≈110.2 mm、k≈1304 N/mm，此時動力吸振器動力學(xué)性能各向同性，且固有頻率與特征線譜頻率fobj接近。采用上述參數(shù)后，三維動力吸振器的各階模態(tài)振型和模態(tài)固有頻率如圖3所示。顯見，動力吸振器的三階模態(tài)振型與2.3節(jié)中的解析解一致。圖4進(jìn)一步給出了根據(jù)上述參數(shù)所設(shè)計三維動力吸振器有限元模型的模態(tài)分析結(jié)果?？梢姡c理論分析結(jié)果相比，各階模態(tài)振型均一致，模態(tài)固有頻率誤差小于0.6%。同時，有限元分析所得的三階模態(tài)固有頻率均接近50 Hz。上述分析結(jié)果有效驗(yàn)證了設(shè)計方法的有效性。

(a)一階f1=50 Hz (b)二階f2=50 Hz

(a)一階 (b)二階

為證明將該三維動力吸振器簡化為線性系統(tǒng)的合理性，在水平方向位移量為±0.5 mm、z軸方向位移量為±1 mm的范圍內(nèi)，系統(tǒng)三階模態(tài)固有頻率隨機(jī)構(gòu)位形變化的分布規(guī)律如圖5所示?？梢?，各階模態(tài)固有頻率均呈空間三對稱分布，一、二、三階固有頻率的變化范圍分別為49.6～50.1 Hz、49.9～50.4 Hz、50.1～50.6 Hz，相對于設(shè)計位形處固有頻率的波動幅度均低于0.5 Hz。因此，本文將系統(tǒng)近似處理為線性系統(tǒng)是合理的。

(a)一階

3 動力吸振器減振效果分析

為驗(yàn)證第2節(jié)設(shè)計的新型動力吸振器對動力設(shè)備線譜振動的抑制效果，將其應(yīng)用于一種動力機(jī)械設(shè)備隔振裝置中，借助商用有限元軟件ANSYS開展減振效果分析，并將其與單向動力吸振器進(jìn)行對比。

如圖6所示，動力設(shè)備機(jī)組安裝在底部的托架上，托架底部由4個均布的隔振器支承，在托架上與每個隔振器連接處均安裝一個三維動力吸振器。其中，動力設(shè)備機(jī)組及托架質(zhì)量約1700 kg，底部隔振器的剛度、阻尼參數(shù)如下：kx=ky=3406 N/mm，kz=4657 N/mm，cx=cy=6.6 N·s/mm，cz=5.97 N·s/mm。此外，在有限元建模中，采用Bushing單元模擬隔振器的剛度與阻尼，并將動力機(jī)械設(shè)備作為剛體處理，忽略其內(nèi)部機(jī)械結(jié)構(gòu)的影響。

圖6 動力機(jī)械設(shè)備減振裝置

有限元掃頻分析結(jié)果表明，上述隔振裝置共有18階模態(tài)固有頻率低于100 Hz，各階固有頻率見表1。其中，前6階主要表現(xiàn)為動力機(jī)械設(shè)備機(jī)組的六階剛體模態(tài)，由隔振器彈性引起的，第7～18階均為動力吸振器的局部振動。

表1 安裝三維動力吸振器的隔振裝置模態(tài)固有頻率

為評價吸振器的減振效果，采用基于振動加速度響應(yīng)的插入損失構(gòu)造以下單向減振指標(biāo)：

(13)

式中，A′x、A′y、A′z與Ax、Ay、Az分別為安裝動力吸振器前后，托架上4個隔振器支承點(diǎn)沿x、y、z三向加速度響應(yīng)的均方根。LAx、LAy、LAz可理解為吸振器對動力設(shè)備機(jī)組的三向減振效果。

假設(shè)作用在動力機(jī)械設(shè)備機(jī)組質(zhì)心的載荷f=f(1，1，1)Tejωt，在該載荷作用下，安裝本文所設(shè)計三維動力吸振器后的減振效果如圖7所示?？梢姡涸诩ふ耦l率50 Hz附近，吸振器沿橫向(x向、y向)的最大減振效果均達(dá)15 dB，且可在2 Hz的帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)12 dB的減振效果；吸振器沿垂向(z向)的減振效果接近10 dB，在2 Hz的帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)7 dB的減振效果。

圖7 三維動力吸振器減振效果

與之對比，將系統(tǒng)中的4個三維動力吸振器替換為4個剛度為3912 N/mm、吸振質(zhì)量為39.5 kg的單向動力吸振器。模態(tài)分析結(jié)果表明，采用單向動力吸振器后，系統(tǒng)僅有10階模態(tài)固有頻率低于100 Hz，各階模態(tài)固有頻率見表2。其中，前6階同樣主要表現(xiàn)為動力設(shè)備機(jī)組的六階剛體模態(tài)，是由隔振器彈性引起的，第7～10階為動力吸振器的局部振動，可見在50 Hz附近由吸振器局部振動引起的模態(tài)數(shù)顯著減少。圖8進(jìn)一步給出了單向動力吸振器對動力設(shè)備機(jī)組的三向減振效果。可見，在50 Hz附近單向動力吸振器僅對z向的振動有減振效果，減振效果與三維動力吸振器接近，然而沿x與y向的減振效果不到2 dB。

表2 安裝單向動力吸振器的減振裝置模態(tài)固有頻率

圖8 單向動力吸振器減振效果

考慮到振動的傳遞本質(zhì)上是能量的傳遞，故進(jìn)一步采用基于振動功率流理論[14]的方法來分析新型動力吸振器的減振效果。定義功率流傳遞率為

ηP=10log(P′/P)

(14)

在動力機(jī)械設(shè)備機(jī)組質(zhì)心的作用載荷為f=f(1，1，1)Tejωt時，安裝三維動力吸振器、單向動力吸振器的功率流傳遞率對比如圖9所示。可見：在50 Hz附近2 Hz的帶寬范圍內(nèi)，三維動力吸振器的功率流傳遞率要高于單向動力吸振器4 dB左右。這意味著安裝三向動力吸振器后，傳遞至隔振器的功率流要小于安裝單向動力吸振器后所傳遞的功率流，且兩者均小于未安裝動力吸振器的情況。

圖9 功率流傳遞率對比

綜上，可得到本文所提新型三維動力吸振器與單向動力吸振器綜合性能的對比情況，見表3?？梢姡啾葐蜗騽恿ξ衿?，本文所提新型三維動力吸振器在吸振質(zhì)量相同的前提下，可同時有效抑制振源設(shè)備三個垂直方向的線譜振動，吸振效率更高，在動力機(jī)械設(shè)備的多線譜振動控制中具有顯著優(yōu)勢。

表3 三維動力吸振器與單向動力吸振器的性能對比

4 結(jié)論

(1)本文提出一種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的新型三維動力吸振器，充分利用了吸振振子的多維運(yùn)動能力，具有模塊化程度高、附加質(zhì)量小等優(yōu)點(diǎn)。

(2)提出一種可實(shí)現(xiàn)新型三維動力吸振器動力學(xué)各向同性的設(shè)計方法，該方法將參數(shù)設(shè)計問題歸納為：給定靜、動平臺尺寸及滑鞍、振子質(zhì)量，設(shè)計連桿長度、彈簧剛度，使得系統(tǒng)的三階固有頻率與特征線譜頻率接近。在此基礎(chǔ)上，通過算例分析驗(yàn)證了設(shè)計方法的有效性。

(3)探討了該新型動力吸振器在動力機(jī)械設(shè)備多維線譜振動控制中的有效性及優(yōu)勢。分析結(jié)果表明：采用本文所提新型三維動力吸振器，在激振頻率50 Hz附近，三個方向的減振效果均高于10 dB，且可在2 Hz的帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)7 dB以上的減振效果；與單向動力吸振器相比，在吸振質(zhì)量相同的前提下可同時有效抑制振源設(shè)備3個垂直方向的線譜振動，且功率流傳遞率對比分析結(jié)果表明其吸振效率更高，在動力機(jī)械設(shè)備的多維線譜耦合振動控制中具有顯著優(yōu)勢。