基于無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)模型的鐵路客運(yùn)量預(yù)測(cè)研究

柴乃杰，周文梁

(中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075)

引言

近些年，隨著鐵路建設(shè)的不斷加快，鐵路運(yùn)輸工具成為供人們出行選擇的最主要交通方式之一，鐵路客運(yùn)量呈逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)[1-2]。對(duì)此，在保證滿足旅客需求的前提下，為有效地降低鐵路運(yùn)輸成本，迫切需要對(duì)鐵路運(yùn)營(yíng)實(shí)施精細(xì)化管理。其中，客運(yùn)量預(yù)測(cè)作為運(yùn)營(yíng)管理的重要依據(jù)之一，正發(fā)揮著越來(lái)越大的作用，它不僅能夠準(zhǔn)確反映當(dāng)前鐵路運(yùn)輸發(fā)展水平，還可以預(yù)測(cè)未來(lái)鐵路發(fā)展趨勢(shì)，為鐵路新線建設(shè)、舊線技術(shù)設(shè)備改造以及列車(chē)運(yùn)行方案編制提供了重要的參考依據(jù)，同時(shí)它在很大程度上還對(duì)運(yùn)輸企業(yè)內(nèi)部的投資結(jié)構(gòu)、資金優(yōu)化配置以及經(jīng)營(yíng)決策發(fā)揮著重大作用[3]。

目前，關(guān)于鐵路客運(yùn)量預(yù)測(cè)方法的研究，國(guó)內(nèi)外應(yīng)用較廣泛的有支持向量機(jī)法[4-5]、線性回歸分析法[6]、灰色模型法[7]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[8-9]、SARIMA模型[10-11]以及IOWA組合模型[12-14]等，上述方法為客運(yùn)量預(yù)測(cè)研究奠定了重要的理論基礎(chǔ)，但它們本身也存在著一些局限性，若單獨(dú)使用往往會(huì)使得預(yù)測(cè)精度不高，達(dá)不到預(yù)期的預(yù)測(cè)效果。對(duì)此，為提高預(yù)測(cè)結(jié)果的精度和可靠性，已有不少學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)將多個(gè)單一模型優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，如芮海田[15]提出了一種新的基于指數(shù)平滑法和馬爾科夫模型客運(yùn)量組合預(yù)測(cè)方法，結(jié)果表明，該組合方法比單一方法更具優(yōu)越性，其分兩步實(shí)現(xiàn)，第一步運(yùn)用指數(shù)平滑方法對(duì)客運(yùn)量進(jìn)行初步擬合，第二步通過(guò)馬爾科夫方法對(duì)初步擬合結(jié)果進(jìn)行修正；侯麗敏[16]運(yùn)用灰色預(yù)測(cè)理論構(gòu)建灰色線性回歸的組合模型，既能反映原線性回歸模型中沒(méi)有指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)的情況，也能彌補(bǔ)基本灰色預(yù)測(cè)模型中沒(méi)有線性因素的不足；賀曉霞[17]通過(guò)分析鐵路客運(yùn)量的非線性動(dòng)態(tài)變化的特點(diǎn)，建立了灰色GM-周期擴(kuò)展組合模型，不但能實(shí)現(xiàn)客運(yùn)量趨勢(shì)預(yù)測(cè)，而且也能充分考慮鐵路客運(yùn)量呈非線性周期波動(dòng)這一特征；馮冰玉[18]通過(guò)構(gòu)建灰色理論和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型，一方面加快神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)速度，另一方面避免在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的過(guò)擬合、局部極小值和“維數(shù)災(zāi)難”等問(wèn)題；劉琳玥[19]基于PCA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐵路客運(yùn)量預(yù)測(cè)模型，提出利用主成分分析法消除原始鐵路客運(yùn)量影響因素之間相關(guān)性，運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行學(xué)習(xí)，進(jìn)而使得預(yù)測(cè)結(jié)果更加準(zhǔn)確；賈金平[20]將灰色GM(1，1)模型預(yù)測(cè)方法和馬爾科夫鏈相結(jié)合，以構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為基礎(chǔ)，獲得有效的滯時(shí)階數(shù)，建立灰色加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型；ZHAO[21]根據(jù)過(guò)去10年的客運(yùn)量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)序列構(gòu)建三次平滑指數(shù)預(yù)測(cè)模型，并采用馬爾科夫法進(jìn)行改進(jìn)，取得了95%的統(tǒng)計(jì)信度的準(zhǔn)確率。上述研究成果為鐵路客運(yùn)量預(yù)測(cè)提供了方法及理論基礎(chǔ)，本文提出一種基于無(wú)偏灰色Verhulst-Markov組合預(yù)測(cè)動(dòng)態(tài)模型，運(yùn)用無(wú)偏Markov鏈預(yù)測(cè)方法對(duì)無(wú)偏灰色Verhulst模型的擬合結(jié)果進(jìn)行修正。換言之，傳統(tǒng)灰色Verhulst模型一般僅適用于擬合短期變化趨勢(shì)較平穩(wěn)的數(shù)據(jù)序列，尤其是呈S型增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列，但該方法本身也存在一些缺陷；相反，馬爾科夫模型更適合于擬合長(zhǎng)期波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)序列。因此，本文將利用兩種模型各自的優(yōu)勢(shì)，構(gòu)建出一種組合預(yù)測(cè)動(dòng)態(tài)模型，既能克服原單一模型使用的局限性，實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)短期波動(dòng)差異性較大的數(shù)據(jù)序列擬合，又能消除傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的自身偏差，提高擬合的精度。

1 無(wú)偏灰色組合預(yù)測(cè)模型建立

1.1 傳統(tǒng)灰色Verhulst模型建立

設(shè)X(0)為原始數(shù)據(jù)序列，X(1)為X(0)的一次累加生成1-AGO序列，即

X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…x(0)(k)，…，x(0)(n))

(1)

X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…x(1)(k)…，x(1)(n))

(2)

Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，則有

Z(1)=(z(1)(1)，z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))

(3)

定義1：稱x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))α為GM(1，1，α)冪模型。

1.2 無(wú)偏灰色Verhulst模型建立

(1)無(wú)偏GM(1，1)模型的建模思想[22-23]

傳統(tǒng)EDGM(1，1)模型的離散時(shí)間響應(yīng)式為

k=1，2，…，n

(4)

將傳統(tǒng)EDGM(1，1)模型的時(shí)間響應(yīng)式作如下恒等式變換為

k=1，2，…，n-1

(5)

由于原始序列X(0)非負(fù)，兩邊同時(shí)取1-Y次方得到

(6)

即可得到無(wú)偏GM(1，1)模型的表達(dá)式為

k=2，3，…，n

(7)

式中，-a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。

(8)

為計(jì)算簡(jiǎn)便，上式(7)可表示為

k=2，3，…，n

(9)

綜上可得，無(wú)內(nèi)在偏差的GM(1，1)模型是以傳統(tǒng)EDGM(1，1)模型為基礎(chǔ)，直接建模，且使用遞推法求解得到的。同理，無(wú)內(nèi)在偏差的灰色Verhulst模型也可按照相同的方法推導(dǎo)出。

(2)改進(jìn)的無(wú)偏灰色Verhulst模型

灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)式為

(10)

將式(10)的時(shí)間響應(yīng)式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，即得到

(11)

通過(guò)觀察上式(11)，發(fā)現(xiàn)它正好是關(guān)于k的非齊次指數(shù)函數(shù)，故借鑒EDGM(1，1)模型的改進(jìn)思想，對(duì)原始數(shù)據(jù)作倒數(shù)生成，然后再根據(jù)無(wú)偏GM(1，1)模型直接建模法的思路，生成無(wú)偏灰色Verhulst模型。具體地：

定義Y(1)為X(1)的倒數(shù)生成序列，則有

Y(1)=(y(1)(1)，y(1)(2)，…，y(1)(k)，…，y(1)(n))，y(1)(k)=1/x(1)(k)，k=1，2，…，n；

然后，稱

(12)

其中

(13)

并稱上式(13)為無(wú)偏灰色Verhulst模型。

1.3 馬爾科夫修正預(yù)測(cè)模型建立

運(yùn)用馬爾科夫(Markov)預(yù)測(cè)方法[24-25]進(jìn)行擬合結(jié)果修正的基本思路是：以通過(guò)原始數(shù)據(jù)序列求得的無(wú)偏灰色Verhulst預(yù)測(cè)曲線為基準(zhǔn)，確定序列狀態(tài)劃分以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并依據(jù)所構(gòu)建的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，估計(jì)出更精確的預(yù)測(cè)值。

(1)狀態(tài)劃分

⊕i=[⊕i1，⊕i2]

(14)

(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算

設(shè)系統(tǒng)中由狀態(tài)⊕i經(jīng)過(guò)m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)⊕j的次數(shù)為nij(m)，且⊕i出現(xiàn)的次數(shù)為ni(m)，則可推算出由狀態(tài)⊕i經(jīng)過(guò)m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)⊕j的概率為

pij(m)=nij(m)/ni(m)

(15)

由此形成相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下

(16)

通過(guò)式(16)可反映出系統(tǒng)中各狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)移的規(guī)律。因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的構(gòu)建是實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的關(guān)鍵步驟。

(3)預(yù)測(cè)值確定

通過(guò)分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，一旦確定了轉(zhuǎn)移狀態(tài)，也就得知了灰元⊕i1和⊕i2、預(yù)測(cè)值的變動(dòng)灰區(qū)間[⊕i1，⊕i2]以及各狀態(tài)的中值⊕imid，進(jìn)而得到修正后的預(yù)測(cè)模型為

(17)

1.4 無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型的構(gòu)想

鐵路客運(yùn)量數(shù)據(jù)序列往往具有一定的時(shí)效性，因?yàn)榭土髁渴遣粩喟l(fā)展變化的。因此，對(duì)于預(yù)測(cè)模型構(gòu)建而言，距預(yù)測(cè)年限更近時(shí)期的數(shù)據(jù)信息對(duì)預(yù)測(cè)模型的貢獻(xiàn)越大，而越久遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)信息對(duì)其貢獻(xiàn)越小?；谏鲜鏊枷?，本文模型將在擬合過(guò)程中不斷更新信息數(shù)據(jù)，一直以最新確定的初始序列來(lái)建立模型?？傮w思路為：利用無(wú)偏灰色組合模型每擬合出一個(gè)新值，則將其替換原始數(shù)據(jù)序列中最舊的一個(gè)數(shù)據(jù)，記為數(shù)列X0中，而且始終保持前后數(shù)列等維是相等的；然后以更新后的數(shù)據(jù)序列為基礎(chǔ)，重新建立無(wú)偏灰色組合預(yù)測(cè)模型，繼續(xù)擬合下一個(gè)新值，并發(fā)生替換。如此不斷更新與替換數(shù)據(jù)序列，直到實(shí)現(xiàn)預(yù)期的預(yù)測(cè)目標(biāo)或滿足一定的精度要求為止。采用的循環(huán)模型為

(18)

綜上，按照第1.1～1.4節(jié)步驟方法，以不斷更新方式不斷修正傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型，構(gòu)建無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型。下節(jié)內(nèi)容是將所構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型應(yīng)用于具體實(shí)例，驗(yàn)證是否可以提高擬合結(jié)果的精度。

2 預(yù)測(cè)模型的應(yīng)用

為驗(yàn)證本文模型的預(yù)測(cè)精度及可靠性，擬采用我國(guó)蘭青鐵路蘭州站—河口南站區(qū)段2010—2019年共10年的客運(yùn)量數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)原始數(shù)列(原始數(shù)據(jù)來(lái)自中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)(http://db.cei.gov.cn))，見(jiàn)表1。分別通過(guò)傳統(tǒng)EDGM(1，1)模型、灰色Verhulst模型、無(wú)偏灰色Verhulst模型和無(wú)偏灰色Verhulst-Markov組合預(yù)測(cè)模型進(jìn)行客運(yùn)量預(yù)測(cè)，對(duì)各種模型的擬合結(jié)果及精度進(jìn)行對(duì)比分析。

表1 2010—2019年客運(yùn)量原始數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

(19)

(20)

(21)

(4)無(wú)偏灰色組合預(yù)測(cè)模型建模過(guò)程，即以式(13)無(wú)偏灰色Verhulst模型為基礎(chǔ)，運(yùn)用Markov鏈預(yù)測(cè)方法進(jìn)行修正，并稱這種模型為無(wú)偏灰色Verhulst-Markov組合預(yù)測(cè)動(dòng)態(tài)模型。首先，根據(jù)式(14)和原始數(shù)據(jù)(表1)，將系統(tǒng)劃分成3個(gè)區(qū)域，分別記為⊕1、⊕2和⊕3，各狀態(tài)曲線如圖1所示。

圖1 各狀態(tài)對(duì)比曲線

其狀態(tài)⊕1、⊕2和⊕3分別表示為

(22)

最后，依據(jù)式(22)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與式(17)Markov鏈預(yù)測(cè)模型，修正無(wú)偏灰色Verhulst模型的擬合結(jié)果，建立無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型。

3 評(píng)價(jià)結(jié)果分析

(1)運(yùn)用式(19)～式(22)分別求得傳統(tǒng)EDGM(1，1)、灰色Verhulst模型、無(wú)偏灰色Verhulst模型和無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型的2010—2019年客運(yùn)量擬合值、相對(duì)誤差、平均絕對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差，其結(jié)果如表2所示。

(2)為更加直觀地反映上述4種模型從2010—2019年的擬合值與實(shí)際值的對(duì)比情況，繪制出圖2。

表2 4種預(yù)測(cè)模型的擬合結(jié)果對(duì)比分析

圖2 4種預(yù)測(cè)模型擬合值與實(shí)際值對(duì)比曲線

由圖2可以看出，4種預(yù)測(cè)模型擬合曲線總體上均保持一致的增長(zhǎng)趨勢(shì)，但在不同年份的4種預(yù)測(cè)模型的擬合值存在一定的差異，雖然圖中顯示的差異性較小且不明顯，主要是由于縱坐標(biāo)單位量綱較大，若換算成較小單位的量綱，則可明顯反映出它們之間擬合結(jié)果的差異性。

(3)根據(jù)預(yù)測(cè)有效性判斷標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)表2與圖2中4種模型的擬合結(jié)果及精度作對(duì)比分析，結(jié)果表明，無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度得到明顯提高，由此驗(yàn)證了本文所提模型在預(yù)測(cè)精度方面更凸顯優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文集成傳統(tǒng)EDGM(1，1)、灰色Verhulst模型與馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)方法的優(yōu)點(diǎn)，運(yùn)用優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)原理，建立無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)客運(yùn)量預(yù)測(cè)模型，主要結(jié)論如下。

(1)借鑒EDGM(1，1)模型的改進(jìn)思想，對(duì)傳統(tǒng)灰色Verhulst模型進(jìn)行修正，得到無(wú)偏灰色Verhulst模型，消除了傳統(tǒng)灰色Verhulst模型自身固有的偏差，明顯提高了預(yù)測(cè)精度。

(2)利用馬爾科夫鏈方法對(duì)無(wú)偏灰色Verhulst的擬合結(jié)果進(jìn)行修正，同時(shí)兼顧原始數(shù)據(jù)序列具有一定的時(shí)效性，提出在預(yù)測(cè)過(guò)程中需不斷更新信息數(shù)據(jù)，反復(fù)模擬得到無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型。

(3)將本文模型應(yīng)用于我國(guó)蘭青鐵路蘭州站—河口南站區(qū)段2010-2019年鐵路客運(yùn)量預(yù)測(cè)，結(jié)果表明，無(wú)偏灰色組合動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型比傳統(tǒng)EDGM(1，1)、灰色Verhulst模型以及無(wú)偏灰色Verhulst模型在鐵路客運(yùn)量預(yù)測(cè)中更具優(yōu)越性。