楔形體上復(fù)合液滴潤濕鋪展行為的格子Boltzmann 方法研究*

張曉林 黃軍杰2)?

1) (重慶大學(xué)航空航天學(xué)院,重慶 400044)

2) (重慶大學(xué),非均質(zhì)材料力學(xué)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044)

固壁上液滴的潤濕鋪展行為是自然界中普遍存在的現(xiàn)象,針對(duì)楔形體上的復(fù)合液滴,采用基于相場(chǎng)理論的格子Boltzmann 方法對(duì)其潤濕鋪展行為進(jìn)行探究.通過理論分析和數(shù)值模擬,發(fā)現(xiàn)液滴潤濕面積隨接觸角、楔形體頂角的減小而增大,液滴也越容易分裂.處于理論分裂臨界狀態(tài)附近的液滴,在一定密度比、黏度比條件下將沿楔形體壁面分裂.基于模擬結(jié)果生成以密度比、黏度比為坐標(biāo)的液滴分裂狀態(tài)相圖,比較發(fā)現(xiàn)相同條件下初始狀態(tài)為平衡態(tài)的復(fù)合液滴更不易發(fā)生分裂.另外模擬還表明非對(duì)稱界面張力及非對(duì)稱運(yùn)動(dòng)黏度比也是影響液滴分裂結(jié)果的重要因素.

1 引言

由于固液、液液和氣液分子之間的不同相互作用,固壁上的流動(dòng)界面存在豐富獨(dú)特的自然現(xiàn)象,在固體表面的眾多性質(zhì)中,浸潤性是一個(gè)非常重要的特性.探究固壁上流體的潤濕和鋪展,能促進(jìn)人們對(duì)固液相互作用的理解,這對(duì)于相關(guān)基礎(chǔ)科學(xué)研究和前沿技術(shù)應(yīng)用的發(fā)展都具有特殊意義.尤其是隨著仿生材料制造技術(shù)的進(jìn)步,已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了獨(dú)特的液滴濕潤和鋪展行為,推動(dòng)著自清潔表面[1]、涂裝[2,3]、微液滴定向操作[4]和油水分離[5]等相關(guān)領(lǐng)域的快速發(fā)展.

液滴在固體壁面上的潤濕鋪展行為研究,主要涉及兩類表面: 一類是光滑表面,如一般的平面和曲面;另一類是含奇異點(diǎn)的非光滑表面,如簡單的楔形/矩形槽面、臺(tái)面和復(fù)雜的微結(jié)構(gòu)表面.對(duì)于一般光滑平面來說,對(duì)應(yīng)的就是楊氏方程[6]所描述的理想情況,在忽略重力時(shí)液滴平衡呈球帽形狀.Sui 等[7]從理論和實(shí)驗(yàn)方面分析流體與球形固體之間的潤濕結(jié)果,發(fā)現(xiàn)接觸角與楊氏接觸角一致,液滴或氣泡體積無窮大時(shí),存在極限潤濕位置.Li 等[8]研究了圓錐狀基底的曲率比對(duì)其上液滴自發(fā)定向運(yùn)動(dòng)的影響,當(dāng)曲率比超過臨界值時(shí),液滴就會(huì)停滯.Han 等[9]研究了二維液滴在兩側(cè)壁接觸角不同的圓角V 形槽上的潤濕行為,發(fā)現(xiàn)液滴的形態(tài)除與槽體開角、接觸角相關(guān)外,還依賴于液滴體積和圓角半徑.Wang 等[10]采用格子Boltzmann 方法(LBM)對(duì)兩平行圓柱纖維上液滴的形態(tài)進(jìn)行了模擬,確定了不同纖維間距和液滴體積下的完整形態(tài)圖,存在三種可能的平衡構(gòu)型: 桶形液滴、液滴橋和液柱,并提出了液滴形態(tài)轉(zhuǎn)變的能量和力的解釋.對(duì)于非光滑的表面,Herminghaus 等[11]討論了液滴在楔形、矩形槽上的潤濕,發(fā)現(xiàn)同一結(jié)構(gòu)表面可以存在多種液滴形態(tài).Chang 等[12]從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面驗(yàn)證了錐臺(tái)表面角點(diǎn)對(duì)液滴潤濕鋪展所起的抑制作用.Zhou 等[13]探究了液滴在狹窄矩形臺(tái)面上的潤濕鋪展.Ma 等[14]則考慮了液滴在圓形、三角形以及方形柱上的釘扎現(xiàn)象.對(duì)于其他微結(jié)構(gòu)表面上液滴的潤濕鋪展研究[15?17],不再詳述.

上述均是固壁上單液滴的潤濕鋪展研究,而復(fù)合液滴的潤濕鋪展屬于三相流問題,相較于單液滴的二元流情形存在更多流動(dòng)界面,同時(shí)流體和固體之間相互作用也更加復(fù)雜,因此相關(guān)數(shù)值研究更具挑戰(zhàn)性.Said 等[18]對(duì)平壁面上復(fù)合液滴的潤濕鋪展行為進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和數(shù)值探究.Weyer 等[19]研究了圓柱纖維上油水復(fù)合液滴的形態(tài)及液滴分離的相關(guān)影響因素.Zhang 等[20]分析了平壁面和毛細(xì)管中復(fù)合液滴的平衡構(gòu)型.He 等[21]和Li 等[22]模擬了圓形界面上復(fù)合液滴的潤濕鋪展.Huang[23]研究了圓形和橢圓形界面上液滴的潤濕平衡形態(tài),并討論了圓柱纖維上兩液滴的吞噬包裹過程.由于液滴的潤濕鋪展行為與固壁形態(tài)存在很強(qiáng)關(guān)聯(lián),而目前還沒有楔形體上復(fù)合液滴潤濕鋪展行為的相關(guān)研究,因此我們將就其開展探究,以提高對(duì)固壁上液滴微操作(如復(fù)合微液滴的分裂)的認(rèn)知.

2 數(shù)值方法及理論模型

LBM 在誕生的30 多年里已經(jīng)取得了長足的發(fā)展,具有許多優(yōu)點(diǎn),諸如算法的簡單性、并行性,同時(shí)能夠處理復(fù)雜的邊界條件[24].由于LBM 的介觀特性,在處理多相流問題時(shí)展現(xiàn)出了相當(dāng)?shù)膬?yōu)勢(shì).本文采用混合LB-有限差分方法[23]進(jìn)行數(shù)值模擬研究,流場(chǎng)方程采用LBM 求解,基于Cahn-Hilliard 相場(chǎng)理論的界面演化方程,則采用二階有限差分法進(jìn)行空間離散和二階Runge-Kutta 法進(jìn)行時(shí)間推進(jìn).

2.1 數(shù)值方法

2.1.1 三元流體相場(chǎng)理論

對(duì)于三元流系統(tǒng),自由能泛函定義為

其中系數(shù)ai為常量.σij為流體i和流體j之間的界面張力,γ1,γ2,γ3為與界面張力相關(guān)的參數(shù):

系數(shù)ai,κi與參數(shù)γi、界面厚度W之間的關(guān)系為:ai=3γi/(4W) ,κi=3γiW/8 .化學(xué)勢(shì)可表示為

其中,

可進(jìn)一步得到

其中δi=γT/γi.Cahn 和Hilliard 將擴(kuò)散通量近似為與化學(xué)勢(shì)梯度成正比的量[25],得到Cahn-Hilliard方程(CHE).對(duì)于三元流體,有兩個(gè)獨(dú)立方程:

三相流體交界處的界面角φi(見補(bǔ)充材料A圖S1)滿足

在固壁上對(duì)于CHE,化學(xué)勢(shì)μi應(yīng)滿足無通量邊界條件

nS為固壁上指向流體的單位法向量;而潤濕邊界條件用于求固壁內(nèi)與流體點(diǎn)相鄰的虛擬點(diǎn)處的相序參數(shù)?,以計(jì)算??(x,t) 和?2?(x,t) .采用文獻(xiàn)[26]發(fā)展的幾何潤濕邊界條件,假設(shè)擴(kuò)散界面附近?的等值線相互平行,同時(shí)接觸線處界面切線與接觸角一致,隨后建立與該切線平行的過虛擬點(diǎn)的特征線,并利用相序參數(shù)在界面法向滿足雙曲正切函數(shù)分布的特征來計(jì)算此點(diǎn)的?值.該方法在曲面附近無需采用復(fù)雜的插值計(jì)算,也不用判斷界面和網(wǎng)格的相對(duì)構(gòu)型,實(shí)施起來較為方便.另外上述潤濕邊界條件使用的是文獻(xiàn)[20]中提出的加權(quán)接觸角:

其中θij(ij) 表示流體i-j界面與固壁之間的接觸角,處于流體i一側(cè),具體見補(bǔ)充材料圖S1.接觸角θij和θji互為補(bǔ)角,即θij=π?θji.而且三個(gè)接觸角不相互獨(dú)立,由靜力學(xué)平衡滿足如下關(guān)系:

對(duì)于??的計(jì)算,基于LBM 中D2Q9 模型使用的各向同性離散格式,在楔形體邊界處采用二階精度:

在離開楔形體邊界的地方采用四階精度[27]:

而?2?的計(jì)算在全域均采用二階精度:

其中δx為網(wǎng)格尺寸,δt為時(shí)間步長,格子速度為c=δx/δt,el為格子速度矢量,wl為權(quán)系數(shù).

2.1.2 LBM 求解Navier-Stokes 方程

使用單松弛碰撞模型時(shí)的格子Boltzmann 方程為[28]

通過相序參數(shù)可以計(jì)算流體密度和運(yùn)動(dòng)黏度:

其中ρi和νi分別為流體i的密度和運(yùn)動(dòng)黏度(相應(yīng)的動(dòng)力黏度ηi=ρiνi).宏觀物理量的計(jì)算為

通過Chapman-Enskog 分析,(13)式在宏觀尺度近似下列方程:

對(duì)于任意形狀的固壁邊界,采用插值回彈方法[29]求解未知的分布函數(shù)fl.為提高穩(wěn)定性,模擬采用多松弛碰撞模型[30].

2.2 物理模型

本文主要研究楔形體上二維復(fù)合液滴(實(shí)際上對(duì)應(yīng)第三維度無限長的復(fù)合液柱)的潤濕鋪展問題.在液滴尺寸較小、表面張力相對(duì)較大的情況下可以忽略重力的影響.物理模型如圖1所示,計(jì)算域?yàn)長x×Ly的矩形,楔形體頂角為χ,兩側(cè)壁長b.初始狀態(tài)的復(fù)合液滴為Janus 狀液滴,由關(guān)于過楔形體頂點(diǎn)的豎直線對(duì)稱的兩個(gè)半圓形液滴組成,半徑為r0,其中左側(cè)液滴為流體1 (Fluid1),右側(cè)液滴為流體2 (Fluid2),周圍環(huán)境為流體3 (Fluid3).計(jì)算域四周均采用周期邊界條件.對(duì)稱參數(shù)條件下σ12:σ13:σ23=1:1:1,接觸角θ13=θ23(根據(jù)(9)式,θ12=90?),流體1 與流體2 的密度比=1,運(yùn)動(dòng)黏度比=1,流體1 與流體3 的密度比為,運(yùn)動(dòng)黏度比為,動(dòng)力黏度比為.文中取ρr=ρ1,νr=ν1,Lr=r0,Ur=σ12/η1,則有Tr=r0η1/σ12,Re=,模擬中Re=100.部分非對(duì)稱情況的參數(shù)見4.4 節(jié).

圖1 物理模型圖示Fig.1.Physical model illustration.

3 網(wǎng)格密度和計(jì)算域大小檢驗(yàn)

模擬中將Lr用NL個(gè)網(wǎng)格離散,Tr用Nt個(gè)時(shí)間步離散,可得網(wǎng)格尺寸δx=Lr/NL、時(shí)間步長δt=Tr/Nt.相場(chǎng)模擬中有無量綱參數(shù)Cn=W/Lr=(W/δx)/NL,在給定NL的條件下,應(yīng)保證界面厚度W足夠小,但W過小時(shí)又無法精確捕捉界面,同時(shí)考慮到計(jì)算資源的消耗,取W/δx=4 .為減小棋盤效應(yīng)的影響[31],計(jì)算域采用奇數(shù)網(wǎng)格離散.為計(jì)算穩(wěn)定,取P e=2×104.

3.1 網(wǎng)格密度檢驗(yàn)

網(wǎng)格數(shù)量的選擇需要考慮計(jì)算資源消耗和計(jì)算精度兩方面因素,我們?cè)诮佑|角θ13=105?,楔形體頂角χ=90?的情況下,考察網(wǎng)格密度對(duì)液滴潤濕鋪展模擬結(jié)果的影響.液滴潤濕平衡形態(tài)的理論解推導(dǎo)見補(bǔ)充材料A.對(duì)于靜態(tài)問題,計(jì)算域大小不影響液滴的最終平衡形態(tài),選用Lx×Ly=5×5的計(jì)算域,網(wǎng)格密度為NL=30.2,40.2,60.2,80.2,100.2,相應(yīng)的Nt=302,402,602,802,2004.不同網(wǎng)格密度下液滴平衡形態(tài)的模擬結(jié)果見圖2(對(duì)稱性圖中只給出一側(cè)液滴的情形,后同),可見除三相點(diǎn)和接觸線位置附近的差別稍大外,界面其余位置的結(jié)果基本一致.我們還監(jiān)測(cè)了接觸線位置隨時(shí)間的變化過程,由于初始時(shí)刻接觸線處于楔形體頂點(diǎn)處,因此以接觸線到楔形體頂點(diǎn)的距離dCL來表征接觸線的位置,相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果如圖3(a)所示.在液滴未分裂時(shí),dCL還反映了其在楔形體表面的潤濕面積.相較NL=30.2,40.2,在NL=60.2,80.2,100.2 時(shí),接觸線位置隨時(shí)間的變化比較接近,而在趨近平衡時(shí),5 種網(wǎng)格密度下液滴的接觸線位置基本一致,綜合考慮,在靜力學(xué)計(jì)算中采用NL=40.2.對(duì)于動(dòng)力學(xué)問題,針對(duì)Lx×Ly=5×5的計(jì)算域考察了=10,=10的液滴的動(dòng)態(tài)潤濕鋪展過程,此時(shí)還采用了更大的網(wǎng)格密度NL=120.2,相應(yīng)的各種網(wǎng)格分別對(duì)應(yīng)Nt=302,402,1204,1604,2004,2404.液滴接觸線位置的演化如圖3(b)所示,可以看出在NL=100.2,120.2時(shí)的計(jì)算結(jié)果很接近,總體趨于收斂.但采用較大的網(wǎng)格密度對(duì)計(jì)算資源消耗巨大,同時(shí)接觸線位置演化的誤差主要存在于部分時(shí)刻(dCL為極值附近),且NL=60.2,120.2 時(shí)的相對(duì)誤差約為2.1%,故后面動(dòng)力學(xué)問題中的計(jì)算采用NL=60.2.

圖2 不同網(wǎng)格密度下液滴的平衡形態(tài)Fig.2.Equilibrium morphology of the droplet at different mesh densities.

圖3 不同網(wǎng)格密度下液滴接觸線位置的演化 (a) ==1;(b) ==10Fig.3.Evolution of the contact line position of droplet under the different mesh densities: (a) ==1 ;(b) ==10 .

3.2 計(jì)算域大小檢驗(yàn)

對(duì)于液滴分裂動(dòng)力學(xué)問題,計(jì)算域大小將會(huì)影響液滴分裂的模擬結(jié)果,因此我們關(guān)注=10和=10的液滴在χ=90?和θ13=80?的楔形體上的潤濕鋪展,考察了5 種計(jì)算域大小(Lx×Ly=5×5,7.5×5.0,10×5,12.5×5.0,10×10,對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格數(shù)量分別為Nx×Ny=301×301,451×301,601×301,751×301,601×601)對(duì)模擬結(jié)果的影響.圖4 為上述5 種計(jì)算域中模擬得到的液滴最終平衡形態(tài),比較發(fā)現(xiàn)計(jì)算域?yàn)長x×Ly=7.5×5.0,10×5,12.5×5.0,10×10 時(shí)的液滴形態(tài)一致,且較Lx×Ly=5×5 的結(jié)果更準(zhǔn)確.圖5 為上述不同計(jì)算域尺寸下液滴潤濕鋪展過程中接觸線位置隨時(shí)間演化的曲線,可見對(duì)于液滴動(dòng)態(tài)演化過程也有類似的結(jié)果.因此取計(jì)算域x軸方向尺寸Lx≥7.5,同時(shí)y軸方向尺寸Ly≥5 對(duì)動(dòng)力學(xué)模擬是合適的,本文采用Lx×Ly=10×5 的計(jì)算域.

圖4 不同計(jì)算域 Lx×Ly 下液滴的平衡形態(tài)Fig.4.Equilibrium morphology of droplets in different computational domains of Lx×Ly .

圖5 不同計(jì)算域Lx×Ly 下液滴接觸線位置的演化Fig.5.Evolution of the contact line position of the droplet in different computational domains of Lx×Ly .

4 結(jié)果與分析

4.1 楔形體頂角、壁面潤濕性對(duì)液滴平衡形態(tài)的影響

本節(jié)關(guān)注液滴潤濕的平衡態(tài)問題,主要討論楔形體頂角及壁面潤濕性對(duì)未分裂復(fù)合液滴平衡形態(tài)的影響.因流體物性對(duì)本節(jié)考慮的液滴最終平衡形態(tài)無影響,為簡單起見,模擬中選用的流體密度比、運(yùn)動(dòng)黏度比均為1∶1∶1 (即=1 和=1),計(jì)算域大小為Lx×Ly=5×5,其他相關(guān)參數(shù)為NL=40.2,Nt=402,C n=0.1 .首先探究楔形體頂角一定時(shí),不同接觸角下液滴平衡形態(tài)的差異.圖6 為楔形體頂角χ=90?時(shí)隨接觸角變化的液滴平衡形態(tài)圖,能看到此時(shí)液滴的潤濕特性與平壁面類似,即接觸角越大,壁面越疏水,液滴潤濕面積越小,三相點(diǎn)到楔形體頂點(diǎn)處的距離就越大.在此給出各種接觸角下液滴三相點(diǎn)到楔形體頂點(diǎn)處的距離hnum,并與對(duì)應(yīng)的理論值htheo(見補(bǔ)充材料A)進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)接觸角θ13接近臨界值2π/3?χ/2和 2π/3+χ/2 時(shí),計(jì)算誤差稍大,而其余情況則比較吻合(圖7).

圖6 不同接觸角下的液滴平衡形態(tài)Fig.6.Equilibrium morphology of droplets at different contact angles.

圖7 h 隨接觸角的變化曲線Fig.7.Variation of h with the contact angle.

需要注意的是,接觸角為理論臨界分裂值時(shí)(2π/3?χ/2=75?),得到hnum>0,此時(shí)液滴并沒有分裂.我們還討論了楔形體頂角對(duì)液滴平衡形態(tài)的影響,圖8 為θ13=90?時(shí)三種不同頂角 (χ=75?,90?,105?) 楔形體上液滴的平衡形態(tài),對(duì)應(yīng)的液滴潤濕面積s分別為1.82,1.72,1.66,可知在壁面潤濕特性一定時(shí),楔形體頂角越小,被潤濕的固壁面積就越大.根據(jù)理論分析我們?cè)诟鞣N楔形體頂角、接觸角下給出了液滴的臨界分裂界線(圖9),當(dāng)液滴處于臨界分裂界線左下方時(shí)對(duì)應(yīng)分裂狀態(tài),處于臨界分裂界線右上方時(shí)對(duì)應(yīng)不分裂狀態(tài).(90?,80?)表示楔形體頂角χ=90?,接觸角θ13=80?,此時(shí)理論預(yù)測(cè)液滴未分裂.分析表明接觸角、楔形體頂角越小,液滴越容易處于分裂狀態(tài).

圖8 不同頂角楔形體上液滴的平衡形態(tài)Fig.8.Equilibrium morphology of droplets on wedges with different vertex angles.

圖9 液滴分裂/不分裂理論臨界界線Fig.9.Theoretical critical boundary of droplet splitting/non-splitting state.

4.2 密度比、黏度比對(duì)液滴潤濕分裂行為的影響

從4.1 節(jié)的分析可知,接觸角和楔形體頂角是影響液滴潤濕行為的兩個(gè)重要因素,而對(duì)于動(dòng)態(tài)潤濕鋪展過程,當(dāng)接觸角處于理論臨界分裂值附近時(shí),其動(dòng)力學(xué)結(jié)果可能不同,故本節(jié)探究楔形體頂角χ=90?,接觸角θ13=80?下密度比、黏度比對(duì)復(fù)合液滴潤濕分裂行為的影響.計(jì)算域大小為Lx×Ly=10×5,取NL=60.2,Nt=1204,則C n=0.07,Nx×Ny=601×301.圖10 給出兩種典型的液滴不分裂和分裂的潤濕鋪展過程,分別對(duì)應(yīng)=50,=1和=50 ,=5 .從圖10 可以看到在演化的初期,液滴界面發(fā)生了扭曲變形,當(dāng)三相點(diǎn)接近楔形體頂點(diǎn)時(shí),在=1 的情況下液滴發(fā)生了回縮,最終不能分裂,而=5 時(shí)的液滴則發(fā)生了分裂.從速度場(chǎng)分布圖10 中可知,在演化過程中液滴界面附近產(chǎn)生了渦,隨著演化趨于平衡,渦逐漸遠(yuǎn)離液滴,并隨黏性耗散而衰弱,直至消失.考慮液滴分裂與不分裂兩種結(jié)果,在圖11(a)建立了不同密度比、運(yùn)動(dòng)黏度比下楔形體上復(fù)合液滴潤濕鋪展的分裂狀態(tài)相圖,發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)黏度比≥3時(shí),考慮的大部分密度比下的液滴發(fā)生了分裂,只是在小密度比=1 時(shí),液滴沒有分裂,分裂發(fā)生在運(yùn)動(dòng)黏度比稍大的情況下.可見當(dāng)較小時(shí),液滴慣性較小,不利于實(shí)現(xiàn)液滴分裂,同時(shí)液滴密度一定時(shí),在較大黏度比的情況下,環(huán)境流體黏度較小,對(duì)液滴潤濕鋪展的阻礙作用就越小,則液滴更容易分裂.圖11(a)稍做調(diào)整便得到了密度比、動(dòng)力黏度比條件下的液滴分裂狀態(tài)相圖,如圖11(b)所示.

圖10 初始狀態(tài)為非平衡態(tài)Janus 狀液滴的潤濕鋪展過程及速度場(chǎng)分布 (a) =50 ,=1 ;(b) =50 ,=5Fig.10.Wetting and spreading process and velocity field distribution of Janus-like droplet with non-equilibrium initial state:(a) =50,=1 ;(b) =50 ,=5 .

圖11 初始狀態(tài)為非平衡態(tài)Janus 狀液滴的潤濕分裂狀態(tài)相圖 (a) rv13 -rρ13;(b) rη13 -rρ13Fig.11.Split/Non-split phase diagram of Janus-like droplets with non-equilibrium initial state: (a) rv13 vs. rρ13;(b) rη13 vs. rρ13.

在上述探究參數(shù)范圍內(nèi),我們還考慮液滴潤濕演化過程中的能量變化.圖12 為不同密度比液滴在潤濕鋪展過程中所達(dá)到的系統(tǒng)動(dòng)能最大值Ek,max隨運(yùn)動(dòng)黏度比的變化曲線(小圓圈代表分裂,“+”符號(hào)代表未分裂),其中插圖為演化過程中系統(tǒng)動(dòng)能的變化曲線,其表達(dá)式為

圖12 初始狀態(tài)為非平衡態(tài)時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能最大值隨運(yùn)動(dòng)黏度比的變化曲線Fig.12.Variation of the maximum kinetic energy of the system with the kinematic viscosity ratio under the nonequilibrium initial state.

4.3 液滴初始形態(tài)對(duì)其潤濕分裂行為的影響

前面討論的是初始條件為非平衡態(tài)Janus 狀液滴的情形,本節(jié)將探究初始形態(tài)為平衡態(tài)的復(fù)合液滴在楔形體上的潤濕鋪展行為.平衡態(tài)的復(fù)合液滴由非平衡態(tài)Janus 狀液滴演化而來,其半徑為r=0.7884r0,具體推導(dǎo)見補(bǔ)充材料B.初始時(shí)刻平衡態(tài)復(fù)合液滴的下三相點(diǎn)位于楔形體頂點(diǎn)處,其余參數(shù)與4.2 節(jié)一致,我們?nèi)躁P(guān)注該情況下密度比、黏度比對(duì)液滴潤濕分裂行為的影響.圖13 為此初始條件下液滴分裂、不分裂的兩種典型過程,分別對(duì)應(yīng).與圖10 比較,發(fā)現(xiàn)=5時(shí)初始形態(tài)為非平衡的液滴發(fā)生了分裂,而初始形態(tài)為平衡態(tài)的液滴卻沒有分裂,分裂發(fā)生在=10 .以密度比、黏度比為坐標(biāo)軸生成的液滴分裂狀態(tài)相圖如圖14 所示,比較圖11(a)和圖14(a)可知,此時(shí)液滴分裂發(fā)生在運(yùn)動(dòng)黏度比更大的情況;比較圖11(b)和圖14(b),發(fā)現(xiàn)復(fù)合液滴的分裂界線相較于初始狀態(tài)為非平衡態(tài)的情況更加緩和,說明在相同密度比的條件下,初始狀態(tài)為平衡態(tài)的復(fù)合液滴的分裂發(fā)生在動(dòng)力黏度比更大的情況.總之,對(duì)于初始形態(tài)為平衡態(tài)的液滴,其界面能較低,系統(tǒng)總勢(shì)能較小,在相同的條件下更不容易突破能量壁壘而發(fā)生分裂.要使液滴分裂,應(yīng)該提高潤濕鋪展前期的慣性作用,可以通過減小環(huán)境流體(或增大液滴)的密度或黏度來實(shí)現(xiàn).

圖13 初始狀態(tài)為平衡態(tài)復(fù)合液滴的潤濕鋪展過程及速度場(chǎng)分布 (a) rρ13=50 ,rν13=5 ;(b) rρ13=50 ,rν13=10Fig.13.Wetting and spreading process and velocity field distribution of compound droplet with equilibrium initial state:(a) r ρ13=50,r ν13=5 ;(b) r ρ13=50 ,r ν13=10 .

圖14 初始狀態(tài)為平衡態(tài)復(fù)合液滴的潤濕分裂狀態(tài)相圖 (a) rv13 -rρ13;(b) rη13 -rρ13Fig.14.Split/non-split phase diagram of compound droplets with equilibrium initial state: (a) rv13 vs. rρ13;(b) rη13 vs. rρ13.

4.4 非對(duì)稱條件下復(fù)合液滴的潤濕鋪展行為

前面討論的均是對(duì)稱參數(shù)下復(fù)合液滴的潤濕鋪展行為,本節(jié)研究非對(duì)稱參數(shù)下復(fù)合液滴的潤濕鋪展.在研究分裂問題時(shí),根據(jù)4.3節(jié)的結(jié)果,將討論的參數(shù)選取在分裂狀態(tài)相圖分界線附近.考慮界面張力不對(duì)稱時(shí)的兩種情形,分別對(duì)應(yīng)σ12:σ13:σ23=1.000:1.115:0.816(?1=135?,?2=105°,?3=120?)以及σ12:σ13:σ23=1.000:1.155:0.577 (?1=150?,?2=90?,?3=120?),平衡時(shí)兩側(cè)液滴具有形狀上的非對(duì)稱性,相關(guān)推導(dǎo)見補(bǔ)充材料B.在此我們采用稍小的接觸角θ13=θ23=75?,根據(jù)(9)式可得θ12分別為 85.564?和 81.406?.初始時(shí)刻平衡態(tài)復(fù)合液滴的下三相點(diǎn)位于楔形體頂點(diǎn)處,其余參數(shù)與4.2 節(jié)一致.在對(duì)稱和非對(duì)稱界面張力的條件下,我們觀察了rρ13=50 和rν13=7 液滴的潤濕鋪展過程,其左右側(cè)接觸線位置隨時(shí)間的演化如圖15 所示(圖例中LS 表示左側(cè)液滴接觸線,RS 表示右側(cè)液滴接觸線).在該條件下發(fā)生分裂的臨界值為dCL=2.35,當(dāng)dCL>2.35 時(shí)說明液滴發(fā)生了分裂.圖15 還給出t=0,2,4,30 時(shí)刻液滴的形態(tài),可以看到在σ12:σ13:σ23=1:1:1 和σ12:σ13:σ23=1.000:1.115:0.816兩種情況下,液滴均發(fā)生了分裂,但相較于對(duì)稱情形,非對(duì)稱界面張力下液滴的分裂程度較低;在σ12:σ13:σ23=1.000:1.155:0.577時(shí),液滴沒有分裂.根據(jù)上述三種界面張力下的模擬結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn)隨某一界面角的減小,一側(cè)液滴被另一側(cè)液滴包裹的程度更大,相應(yīng)地就越不容易發(fā)生分裂.

圖15 左右側(cè)液滴接觸線位置的演化Fig.15.Evolution of the position of the left and right droplet contact lines.

圖16 左右側(cè)液滴接觸線位置的演化Fig.16.Evolution of the position of the left and right droplet contact lines.

5 結(jié)論

本文對(duì)楔形體上復(fù)合液滴的潤濕鋪展行為進(jìn)行了數(shù)值研究.對(duì)于固壁上液滴潤濕的靜態(tài)問題,理論分析表明接觸角、楔形體頂角越小,液滴越容易分裂.在不發(fā)生分裂的情況下,楔形體頂角一定時(shí),液滴的潤濕特性與平壁面類似,即接觸角越大,壁面越疏水,液滴潤濕面積越小;壁面潤濕特性一定時(shí),楔形體頂角越大,被潤濕的固壁面積就越小.對(duì)液滴潤濕鋪展的動(dòng)態(tài)問題,當(dāng)液滴處于理論臨界分裂接觸角附近時(shí),在一定的密度比、黏度比條件下會(huì)沿楔形體壁面發(fā)生分裂.基于模擬結(jié)果生成以密度比、運(yùn)動(dòng)黏度比為坐標(biāo)的液滴分裂狀態(tài)相圖,通過能量分析表明密度比、運(yùn)動(dòng)黏度比越大時(shí),潤濕鋪展過程中的慣性效應(yīng)越大,液滴就更容易分裂.對(duì)比液滴的分裂狀態(tài)相圖,發(fā)現(xiàn)在相同的條件下初始形態(tài)為平衡態(tài)的復(fù)合液滴更不易發(fā)生分裂.對(duì)于非對(duì)稱情況,我們發(fā)現(xiàn)左右側(cè)液滴運(yùn)動(dòng)黏度差的增加有利于液滴分裂,同時(shí)界面張力不對(duì)稱導(dǎo)致的液滴被包裹程度越大,液滴越不易分裂.本研究只討論了對(duì)稱參數(shù)和部分非對(duì)稱參數(shù)下楔形體上二維復(fù)合液滴的潤濕鋪展行為,對(duì)于三維問題,將在以后的工作中進(jìn)一步探討.