淺析物理競賽對邁克爾遜干涉儀原理和實(shí)驗(yàn)的考查

何文明

（河北邯鄲市第一中學(xué)，河北 邯鄲 056002）

2021年第38屆全國中學(xué)生物理競賽有兩道關(guān)于邁克爾遜干涉儀的試題，其一是復(fù)賽（揚(yáng)州福建賽區(qū)）理論題，其二是決賽的實(shí)驗(yàn)題.同一年份在同一內(nèi)容處編寫兩道大題的情況并不多見，這提醒教練和考生，物理學(xué)發(fā)展過程中起到關(guān)鍵作用的新理論、新儀器的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)引起足夠的重視.

邁克爾遜干涉儀是1883年美國物理學(xué)家邁克爾遜和莫雷合作，為研究“以太”漂移而設(shè)計(jì)制造出來的精密光學(xué)儀器.它是利用分振幅法得到雙光束來實(shí)現(xiàn)的干涉.在近代物理（如引力波的測量）和近代計(jì)量技術(shù)（如標(biāo)定標(biāo)準(zhǔn)米單位、光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)）中邁克爾遜干涉儀有著精彩的表現(xiàn).邁克爾遜本人也因此榮獲1907年度諾貝爾物理學(xué)獎.

1 邁克爾遜干涉儀的工作原理

如圖1是邁克爾遜干涉儀的結(jié)構(gòu)，包括光源S、分束板G1、補(bǔ)償板G2、反射鏡 M1（固定）和 M2（可調(diào)）、觀察屏P.分束板后表面鍍有一層半透半反膜，當(dāng)光波入射到分束板上時(shí)，被分為兩束光1和2，光束1經(jīng)平面鏡M1反射，光束2經(jīng)平面鏡M2反射，最后兩束反射光在觀察屏P處相遇發(fā)生干涉.注意圖中的M2′不是干涉儀中的一個(gè)元件，而是M2相對分束板G1鍍膜的鏡像，正因?yàn)檫@樣，光束1、2也可看成經(jīng)M1和M2′之間形成的空氣薄膜反射后發(fā)生干涉.

圖1

（1）等傾干涉.

當(dāng)M1和M2′平行時(shí)，所觀察到的是等傾干涉條紋，如果光線在空氣薄膜中的折射角用θ表示，則明紋中心（注意：不是圓環(huán)中心）滿足光程差δ＝2nd cosθk＝kλ；暗紋中心滿足光程差δ＝2nd cosθk＝（2k＋1）λ／2.

等傾干涉條紋的特點(diǎn)：① 條紋為一系列同心圓；② 條紋內(nèi)疏外密，級次內(nèi)高外低；③ 圓環(huán)中心處不一定是明條紋或暗條紋中心，即光束1、2光程差不一定是光波長的整數(shù)倍或半整數(shù)倍；④ 當(dāng)d變大時(shí)，圓形干涉條紋更高級次的環(huán)從中心冒出，所有的環(huán)都向外擴(kuò)；反之，當(dāng)d減小時(shí)，原更高級次的環(huán)從中心縮進(jìn)，所有的環(huán)都向中心收縮.隨著M1和M2′的間距d改變，觀察屏上的條紋變化情況為如圖2所示.

（2）等厚干涉.

當(dāng)M1和M2′不平行時(shí)，形成劈尖，干涉條紋為等厚干涉條紋.這里有一個(gè)問題應(yīng)當(dāng)注意，就是用白光實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于白光的光譜范圍大，相干長度很小，等厚條紋主要出現(xiàn)在M1和M2′的交棱位置附近，所以實(shí)驗(yàn)時(shí)尋找等光程交棱位置必不可少.但不能用單色光尋找交棱位置，因?yàn)橛脝紊鈱?shí)驗(yàn)時(shí)總有幾條暗線位置，無法確定哪條暗線對應(yīng)等光程交棱位置，而且用單色光實(shí)驗(yàn)不必使用補(bǔ)償板G2.使用白光來精確定位交棱這個(gè)等光程位置，必有補(bǔ)償板G2，因?yàn)橹挥屑由纤裙獬探焕馕恢贸蔀槲ㄒ坏陌禇l紋位置.等厚干涉隨間距變化如圖3所示.

圖3

2 競賽真題賞析

題1.（第38屆中學(xué)生物理競賽復(fù)賽揚(yáng)州福建賽區(qū)第七題）邁克爾遜干涉儀的光路原理圖如圖4所示.在焦距為f的透鏡L的焦平面上放置觀察屏，觀察到的干涉圖樣是一系列同心圓環(huán).

圖4

（1）此干涉圖樣是等傾干涉還是等厚干涉？設(shè)光源的波長為λ，兩臂上反射鏡M1和M2到半反半透鏡M的距離之差為t.試求屏上k級亮環(huán)的半徑rk.條紋疏密分布如何？

（2）若用鈉光燈（含有λ1＝589 nm 和λ2＝589.6 nm兩條分立的譜線）照明邁克爾遜干涉儀，只考慮中心附近的干涉條紋.首先調(diào)整干涉儀得到最清晰的干涉條紋，然后移動M1，干涉圖樣逐漸變得模糊.至第一次干涉現(xiàn)象消失時(shí)，M1由原來位置移動了多少距離？

（3）若光源的光譜為589 nm到589.6 nm的連續(xù)譜，只考慮中心附近的干涉條紋，則能看到的最高干涉級數(shù)為多少？此時(shí)兩臂的距離差是多少？（光路如圖5所示）

圖5

解析：（1）根據(jù)前面對邁克爾遜干涉儀知識的講解，可知干涉圖樣是一系列同心圓環(huán)時(shí)，屬于等傾干涉.在 M1和 M2′空氣薄膜處光程差2t cosθ，θ為空氣薄膜內(nèi)折射角.

賞析：第（1）問屬于基本問題，考生應(yīng)當(dāng)熟練掌握.第（2）（3）問實(shí)際上是以邁克爾遜干涉儀為載體考核干涉的基礎(chǔ)理論，請注意，第（2）問考核的是兩單色光譜干涉消失問題，第（3）問改為連續(xù)光譜求最大干涉消失的級次問題，所要求的光程差條件完全不同.這些內(nèi)容比較抽象，需要考生仔細(xì)研讀相關(guān)教材，真正弄懂才能順利求解.

題2.（第38屆中學(xué)物理競賽決賽實(shí)驗(yàn)題試題的B部分）如圖6所示，邁克爾遜干涉儀利用分束鏡G1將入射光束分成兩束，兩束光分別經(jīng)過兩個(gè)反射鏡M1和M2反射到分束鏡處合束后，在空間相干疊加形成干涉圖樣.反射鏡M1可沿導(dǎo)軌前后移動改變位置.圖7為其實(shí)物圖.如用白光擴(kuò)展光源照射并適當(dāng)調(diào)節(jié)干涉儀，可實(shí)現(xiàn)白光的等厚干涉.

圖6 邁克爾遜干涉儀光路圖

圖7 邁克爾遜干涉儀實(shí)物圖

B1.在反射鏡M1和M2偏離相互垂直狀態(tài)一個(gè)微小角度α?xí)r，轉(zhuǎn)動大轉(zhuǎn)輪移動M1鏡，在兩路光束光程相等（此時(shí)M1鏡位置為d0）附近可觀察到白光等厚干涉的彩色直條紋.分別順時(shí)針和逆時(shí)針轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)輪尋找出現(xiàn)彩色直條紋的準(zhǔn)確位置，這兩種情況下圖7中大轉(zhuǎn)輪讀數(shù)窗的讀數(shù)是否相同？請說明原因.在d0位置時(shí)，調(diào)小夾角α，干涉條紋有何變化？

B2.在d0位置時(shí)，調(diào)節(jié)α角盡量小，再在M1鏡前平行放置一平板玻璃（忽略平板玻璃反射），白光的干涉條紋消失.此時(shí)換成激光擴(kuò)展光源照明，能觀察到圓環(huán)條紋，進(jìn)一步微調(diào)α角直至圓環(huán)條紋不隨眼睛觀察位置變動而發(fā)生吞吐.在放置平板玻璃前，通過眼睛看到的M1和M2鏡的相對位置為：（a）M1鏡離眼睛更近；（b）M2鏡離眼睛更近；（c）M1和M2鏡重合.放置平板玻璃后，通過眼睛看到的M1和M2鏡的相對位置為：（a）M1鏡離眼睛更近；（b）M2鏡離眼睛更近；（c）M1和M2鏡重合.

此時(shí)，若大范圍移動M1鏡遠(yuǎn)離觀察者，圓環(huán)條紋吞吐情況如何，兩臂之間的光程差如何變化？若反方向大范圍移動M1鏡，結(jié)果又是如何？

B3.假定移動M1鏡離開d0位置，使得條紋吞進(jìn)，直至整個(gè)視場呈現(xiàn)完全均勻亮度，此時(shí)M1鏡位置為d1，其位移量為Δ＝｜d1－d0｜，請給出折射率n用玻璃板厚度t和Δ表示的關(guān)系式.若分別用σt和σΔ表示t和Δ的不確定度，請給出用t、Δ、σt和σΔ表示的n的不確定度.已測得Δ＝（2.776±0.005）mm，平板玻璃厚度t用螺旋測微器測量結(jié)果如表1所示，螺旋測微器零點(diǎn)讀數(shù)為0.009 mm，允差為0.004 mm，允差滿足均勻分布.請分別計(jì)算出t和n的測量結(jié)果及其不確定度.

表1 平板玻璃厚度測量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

解析：B1.由于精密螺紋的螺紋間距（就是齒輪與齒輪之間由于咬合上存在空隙），往回倒轉(zhuǎn)大轉(zhuǎn)輪，就會造成回程誤差.所以順時(shí)針和逆時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)大轉(zhuǎn)輪讀數(shù)窗的讀數(shù)不同.在d0位置時(shí)，調(diào)小夾角α，由于微小放大作用，干涉條紋會變粗變稀疏.

B2.放置平板玻璃前，用白光進(jìn)行等厚干涉來確定等光程交棱位置，所以M1和M2鏡的相對位置為重合.放置平板玻璃后，相當(dāng)于拉近M1與分束板的位置（類似于河底變淺），所以M1鏡離眼睛更近.當(dāng)調(diào)節(jié)M1鏡遠(yuǎn)離觀察者，觀察者直觀上認(rèn)為空氣薄膜厚度先變小后變大，所以干涉條紋先吞后吐.如果單從光程角度分析，M1鏡前插入玻璃增大了該條光路的光程，所以當(dāng) M1鏡遠(yuǎn)離時(shí)，光程差一直增大.若開始向觀察者大范圍移動M1時(shí)，相當(dāng)于空氣薄膜間距一直增大，所以干涉條紋一直吐出，光程則先減小后增加.

賞析：這道實(shí)驗(yàn)題全面地考查了干涉儀的原理、操作和數(shù)據(jù)處理，對于考生有一定的難度.B1中的等厚干涉，當(dāng)平移反射鏡M1時(shí)，干涉條紋只有左右移動；當(dāng)改變鏡面間夾角時(shí)，干涉條紋既有疏密變化，又會看到整體平移效果.B2中插入玻璃板后，我們會感覺到調(diào)節(jié)M1在玻璃板中的視覺距離導(dǎo)致的圓環(huán)吞吐似乎與課堂上講的光程差的變化之間有矛盾，具體地說，就是從視覺上看，調(diào)節(jié)反射鏡M1的像與M2的像再次重合過程，實(shí)際是M1光路與M2光路的光程差不斷增大的過程，所顯示的現(xiàn)象是圓環(huán)吞進(jìn)，而我們課堂上分析和演示的現(xiàn)象卻是M1光路與M2光路的光程差減小時(shí)圓環(huán)吞進(jìn)，光程差增大圓環(huán)吐出.之所以這樣，是因?yàn)椴迦氩ＡО搴?，邁克爾遜干涉儀條紋級數(shù)不再是圓環(huán)中心最大，而是圓環(huán)邊緣更大，這就容易理解為什么光程變大條紋反被吞進(jìn)去的原因了.