基于粒子群灰狼混合算法的多目標(biāo)約束優(yōu)化問題求解

黃 星,盧 宇,申 亮,林 兵

1(福建師范大學(xué) 物理與能源學(xué)院,福州 350108)2(福建師范大學(xué) 協(xié)和學(xué)院,福州350117)3(福建商學(xué)院,福州 350506)4(福建省信息網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福州 350003)

1 引 言

現(xiàn)實(shí)世界中的焊接橋梁優(yōu)化設(shè)計(jì)、壓力容器優(yōu)化設(shè)計(jì)等領(lǐng)域會(huì)遇到很多優(yōu)化問題,例如焊接橋梁優(yōu)化設(shè)計(jì)需要在滿足切應(yīng)力、彎曲力、橋梁彎曲載荷等條件下,讓造價(jià)成本最小化.壓力容器優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)化目標(biāo)是壓力容器耐壓的前提下,總造價(jià)最小[1].這些問題包含若干等式約束和不等式約束,統(tǒng)稱為約束優(yōu)化問題(Constrained Optimizaiton Problems,COPs).解決此類約束優(yōu)化問題,將對(duì)焊接橋梁、壓力容器等領(lǐng)域的成本優(yōu)化問題產(chǎn)生積極影響.

COPs在20世紀(jì)90年代被提出[2,3],約束優(yōu)化問題通常是多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問題(Nondeterminism Polynomial-Hard,NP-Hard),NP-Hard問題會(huì)產(chǎn)生很大的算法時(shí)間復(fù)雜度,對(duì)于解決約束優(yōu)化問題,常用的方法是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問題或者多目標(biāo)優(yōu)化問題再進(jìn)行解決.由于進(jìn)化算法適合求解多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問題,所以多目標(biāo)進(jìn)化算法(Multi-objectives Evolutionary Algorithms,MOEAs)能夠通過進(jìn)化算法來解決多目標(biāo)優(yōu)化問題.當(dāng)帶有約束優(yōu)化的多目標(biāo)進(jìn)化算法被提出之后,運(yùn)用帶有約束優(yōu)化的多目標(biāo)進(jìn)化算法來解決某些領(lǐng)域的問題引起了眾多研究工作者的關(guān)注.劉敏等人提出了記憶增強(qiáng)的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)分解進(jìn)化算法[4],通過設(shè)計(jì)基于子問題的串式記憶方法來獲得最優(yōu)解.Askarzadeh提出了烏鴉搜索算法(Crow Search Algorithm,CSA)[5],通過基于烏鴉的智能行為來解決約束優(yōu)化問題.Hadi提出帶約束優(yōu)化的水循環(huán)算法(Constrained Water Cycle Algorithm,CWCA)[6],基于對(duì)水循環(huán)過程的觀察來解決問題.很多實(shí)驗(yàn)研究都證實(shí)了多目標(biāo)優(yōu)化方法的效率和問題的復(fù)雜度緊密相關(guān)[7-9],但確保多目標(biāo)EAs(Evolutionary Algorithms,EAs)優(yōu)于單目標(biāo)EA仍然是個(gè)嚴(yán)峻的工作[10].由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的復(fù)雜程度高并且難以均衡優(yōu)化,所以通過分解多目標(biāo)來降低問題的復(fù)雜度和達(dá)到均衡優(yōu)化是一股熱潮[11].例如,鄭金華等人提出基于權(quán)重迭代的偏好多目標(biāo)分解算法[12].張磊等人提出基于重新匹配策略的ε約束多目標(biāo)分解優(yōu)化算法[13].Xu等人通過帶靜態(tài)權(quán)值的加權(quán)法將問題分解為若干子問題[14].Wang等人通過動(dòng)態(tài)權(quán)重的方法分解目標(biāo)問題,在進(jìn)化過程中有所側(cè)重[11].為了更好的分解原目標(biāo),運(yùn)用輔助目標(biāo),該目標(biāo)的概念被Jensen首次提出[15].Jiao等人將輔助目標(biāo)添加到原始問題,將COP問題轉(zhuǎn)換為動(dòng)態(tài)雙目標(biāo)優(yōu)化問題[16].因?yàn)榈葍r(jià)目標(biāo)和輔助目標(biāo)的運(yùn)用能夠使群體進(jìn)化的過程更有側(cè)重點(diǎn),從而有效的提高組合優(yōu)化問題的性能[17].Xu提出等價(jià)和輔助目標(biāo)框架來解決多目標(biāo)問題,將原始目標(biāo)分解為等價(jià)目標(biāo)和輔助目標(biāo),利用動(dòng)態(tài)權(quán)重來調(diào)整搜索進(jìn)程中的側(cè)重方向[10].然而框架所涉及到的參數(shù)較多,在后續(xù)的算法使用過程中涉及到的參數(shù)數(shù)量較大,會(huì)造成實(shí)驗(yàn)較高的復(fù)雜度.所以本文考慮和粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimizaiton,PSO)相關(guān)的改進(jìn)算法.EAs算法普遍是受到自然界生物的啟發(fā)[18].粒子群優(yōu)化算法受到自然界鳥群捕食的啟發(fā)[19],PSO因?yàn)橛兄鴧?shù)少、收斂速度快等優(yōu)勢(shì),所以在各種領(lǐng)域都取得了一定的成功[20-22].雖然PSO的收斂速度快,但是平衡全局的能力差,容易陷入局部?jī)?yōu)化[23,24].最近興起的算法灰狼優(yōu)化器GWO(Grey Wolf Optimization,GWO)能夠避免局部?jī)?yōu)化的困境[1,25],但由于過程較為復(fù)雜,導(dǎo)致搜索的時(shí)間較長(zhǎng).所以?enel等人提出了HPSGWO,是一種混合的PSO-GWO算法[23].

為了更好的解決多目標(biāo)優(yōu)化問題,本文將采取以下措施:1)首先使用輔助目標(biāo)和等價(jià)目標(biāo)(Helper And Equivalent Objective,HECO)來分解已知的約束優(yōu)化問題,從而縮短粒子搜索過程中跨越“鴻溝”[26,27]的時(shí)間;2)通過參數(shù)自適應(yīng)的HPSGWO算法來解決分解后的子問題.

2 問題模型

定義1(單目標(biāo)約束優(yōu)化問題).數(shù)學(xué)模型中,只有一個(gè)目標(biāo)的約束優(yōu)化問題可以表述如下:

(1)

定義2(多目標(biāo)的優(yōu)化問題).對(duì)于解決約束優(yōu)化問題,常用的方法是多目標(biāo)優(yōu)化方法,多目標(biāo)優(yōu)化方法是將約束問題(COPs)轉(zhuǎn)化為無不等式或等式約束的問題.雙目標(biāo)約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型,表述如下:

(2)

(3)

(4)

(5)

式(5)中的ε是指對(duì)等式約束所能允許的誤差.

3 優(yōu)化方法

本文所運(yùn)用的HECO-HPSGWO優(yōu)化算法是結(jié)合了HECO框架和參數(shù)自適應(yīng)的HPSGWO算法.HECO框架能夠在進(jìn)化過程中平衡各個(gè)目標(biāo)的權(quán)重.HPSGWO算法是一種混合算法,采用了PSO算法和GWO算法,并且在算法進(jìn)行時(shí),進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)參,提高準(zhǔn)確性.

3.1 輔助目標(biāo)和等價(jià)目標(biāo)的方法

HECO是一種新型的框架,能夠通過輔助目標(biāo)來增加目標(biāo)函數(shù)的搜索方向和通過等價(jià)目標(biāo)來轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù).因?yàn)榈葍r(jià)目標(biāo)的最優(yōu)解集和原始的COP問題的最優(yōu)解集一致,所以等價(jià)目標(biāo)能夠提供算法中粒子搜索的主要方向并且等價(jià)目標(biāo)的解集能夠滿足原始COP問題的所有約束條件.而輔助目標(biāo)是由原目標(biāo)衍生而來,在算法進(jìn)化的過程中,提供多樣的進(jìn)化結(jié)果,防止算法陷入局部最優(yōu).由于HECO框架利用了動(dòng)態(tài)權(quán)重來均衡優(yōu)化等價(jià)目標(biāo)和輔助目標(biāo),所以性能超越可行性規(guī)則和死亡罰函數(shù)的進(jìn)化方式.下文將介紹死亡罰函數(shù)和可行性規(guī)則以此來體現(xiàn)HECO框架的優(yōu)點(diǎn).

死亡罰函數(shù)如式子(6)所示,其中ΩF表示可行解,ΩI表示不可行解.

(6)

死亡罰函數(shù)處理約束時(shí),當(dāng)解為非可行解的時(shí)候,則直接丟棄,會(huì)造成某個(gè)某個(gè)適應(yīng)度值優(yōu)良而處在約束邊緣化解的丟失,造成對(duì)解集不合理的評(píng)判.

可行性規(guī)則的運(yùn)用有著以下原則:1)適應(yīng)度較小的解優(yōu)于適應(yīng)度較大的解;2)可行解優(yōu)于不可行解;3)如果兩個(gè)解集都為可行解或者不可行解,通過對(duì)比兩者違反約束的值來選擇,較小的約束違反優(yōu)于較大的約束違反.根據(jù)可行以上的規(guī)則,等價(jià)函數(shù)可以表示為:

(7)

(8)

基于加權(quán)求和的方法,分解目標(biāo)問題可以轉(zhuǎn)換為:

(9)

(10)

(11)

其中i=1,…,λ,j>0,其中t為運(yùn)行的代數(shù).

(12)

(13)

(14)

(15)

根據(jù)公式(14)和公式(15),最小化問題可以被分解為基于加權(quán)求和的λ個(gè)子問題:

(16)

其中i=1,…,λ.

(17)

(18)

t為循環(huán)的代數(shù).在HECO-HPSGWO中,w1和w2被設(shè)計(jì)為線性增加而w3被設(shè)計(jì)為線性遞減.權(quán)重的規(guī)則表述如下:

(19)

(20)

(21)

其中λ為子問題的數(shù)量,γ∈(0, 1)是關(guān)于約束條件的常量偏差值,t是循環(huán)代數(shù),Tmax是最大循環(huán)代數(shù)的值.通過用動(dòng)態(tài)權(quán)重調(diào)整輔助目標(biāo)和等價(jià)目標(biāo)的HECO框架中各個(gè)子問題的收斂情況,能夠搜尋到更多的進(jìn)化方向,同時(shí)它明確了等價(jià)函數(shù),在進(jìn)化過程中的主方向不變.HECO的運(yùn)用結(jié)果能夠展現(xiàn)多目標(biāo)進(jìn)化算法在解決約束優(yōu)化問題的良好特性,從而促進(jìn)HPSGWO算法更準(zhǔn)確的解決目標(biāo)問題.

3.2 粒子群優(yōu)化算法(PSO算法)

Kennedy和Eberhart在1995年提出了一種新型的全局搜索方法即粒子群優(yōu)化算法[19].實(shí)踐證明,該方法在求解優(yōu)化問題中是有效的[28].粒子群優(yōu)化算法是一種具有個(gè)體改進(jìn)、種群合作和競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的啟發(fā)式算法,它受啟發(fā)于自然界中成群鳥類或成群魚類的捕食行為.每一個(gè)粒子都在決策空間中以可適應(yīng)的速度來更新自身的位置,以此來讓粒子靠近所要求的空間,每個(gè)粒子的最優(yōu)位置和粒子群中最優(yōu)粒子的位置信息共同引導(dǎo)著粒子群的搜索的位置.第i個(gè)粒子在第j維度決策空間中的速度和位置的更新采用以下表達(dá)式:

vij(t+1)=wvij(t)+c1r1(pij(t)-xij(t)+
c2r2(pgj(t)-xij(t))

(22)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(23)

其中i=1,2,…,N;j=1,2,…,n;w是慣性權(quán)重,公式(22)中的r1和r2的值采用的是自適應(yīng)更新的方法,具體的自適應(yīng)更新方法會(huì)在3.5節(jié)中進(jìn)行詳細(xì)介紹,c1和c2是加速常數(shù),分別決定了粒子向自身最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置的學(xué)習(xí)能力.

3.3 灰狼優(yōu)化器(Grey wolf optimizer,GWO)

灰狼優(yōu)化器受到灰狼群體的社會(huì)等級(jí)的啟發(fā)[29,30].灰狼有很嚴(yán)格的社會(huì)等級(jí)統(tǒng)治制度,灰狼群體一共有4種等級(jí)的狼,分別為alpha,beta,delta,omega.Alpha是狼群中的領(lǐng)導(dǎo)者,它負(fù)責(zé)下定決策和向狼群發(fā)號(hào)施令.Beta是第2階級(jí)的狼群,它負(fù)責(zé)幫助alpha號(hào)令其他狼.階級(jí)底層的狼群是Omega,它不得不聽從其他狼.

灰狼中的這4種狼彼此配合進(jìn)行捕獵,灰狼捕獵的步驟主要為以下3個(gè)步驟:1)追蹤、追逐、靠近獵物;2)追捕、包圍、不斷騷擾獵物直到獵物停止移動(dòng);3)攻擊獵物.根據(jù)灰狼狩獵的數(shù)學(xué)模型,可以得到如下方程:

(24)

(25)

(26)

(27)

由于灰狼狼群是由alpha,beta,delta3種狼來決定狼群的位置,所以利用這3種狼的位置,能夠判斷出獵物的位置,3種狼與獵物直接的距離的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

3.4 混合PSO-GWO(HPSGWO)

HPSGWO算法結(jié)合了PSO算法和GWO算法的優(yōu)勢(shì)[23].PSO算法能夠搜尋快速,但在現(xiàn)實(shí)運(yùn)用時(shí)容易陷入局部?jī)?yōu)化的困境中,GWO算法可以減少陷入局部?jī)?yōu)化的風(fēng)險(xiǎn),但是運(yùn)用GWO算法,運(yùn)行的時(shí)間將會(huì)延長(zhǎng).HPSGWO算法的偽代碼如算法1所示.

算法1.HPSGWO算法

輸入:(MAXITR,FES,Pop,FES_Pop,Prob)

輸出:種群粒子

1. 初始化種群粒子

2. Fori=1 to MAXITR:

3. Forj=1 to Pop:

4. 使用PSO來更新粒子的位置和速度

5. If rand(0,1) < prob:

7. Fork=1 to FES:

8. Form=1 to FES_Pop:

9. 運(yùn)行 GWO

10. 更新α,β,δ灰狼位置

12. End for

13. End for

14. End if

15. End for

16. End for

3.5 HPSGWO參數(shù)的調(diào)整

HPSGWO算法中的參數(shù)對(duì)算法的收斂性起著重要作用,如果參數(shù)過大那么則會(huì)導(dǎo)致收斂過快,陷入局部?jī)?yōu)化,如果參數(shù)過小那么則會(huì)導(dǎo)致收斂過慢,時(shí)長(zhǎng)較長(zhǎng).本文受到L-SHADE方法[31]的啟發(fā),L-SHADE方法調(diào)整參數(shù)是基于歷史記憶,通過對(duì)比父代的適應(yīng)度值和子代的適應(yīng)度值的優(yōu)劣,來判定這個(gè)參數(shù)的情況,如果進(jìn)化過程優(yōu)異,那么將參數(shù)的值保存進(jìn)歷史記憶的集合中,方便之后通過公式計(jì)算來更新參數(shù).所以同理本文控制HPSGWO算法中的部分參數(shù)也將通過歷史記憶集合的更新來更新參數(shù)的值.如表1所示算法設(shè)置了λ個(gè)位置來保存HPSGWO算法c1,c2,w的歷史記憶的值.在算法剛開始的時(shí)候,Mc1,i,Mc2,i,MW,i(i=1,2,…，λ)集合中的初始值都為0.5,c1,c2,w參數(shù)的值通過柯西分布計(jì)算得到.計(jì)算方法如下:

表1 歷史記憶Mc1,Mc2,MwTable 1 Historical memory of Mc1,Mc2,Mw

c1=randc(Mc1,0.1)

(35)

c2=randc(Mc2,0.1)

(36)

w=randc(Mw,0.1)

(37)

在每一代中,c1,c2,w通過歷史記憶值來更新自身的值,Mc1,Mc2,MW是用來存儲(chǔ)c1,c2,w的歷史記憶值的集合.更新c1,c2,w參數(shù)的值,是通過父代和子代之間的數(shù)值比較來調(diào)整,當(dāng)父代個(gè)體經(jīng)過HECO-HPSGWO算法更新后的子代個(gè)體,它的適應(yīng)度值優(yōu)于父代個(gè)體的適應(yīng)度值,說明粒子經(jīng)過算法后往更優(yōu)的空間發(fā)展,所以這一代的c1,c2,w的值是促進(jìn)粒子往更優(yōu)空間搜索,因此這一代的c1,c2,w被保存到記錄參數(shù)優(yōu)異的Sc1,Sc2,Sw集合中,Sc1,Sc2,Sw集合是用來算法更新使得子代更優(yōu)的c1,c2,w的值,并且Sc1,Sc2,Sw又通過公式(38)～公式(41)來計(jì)算得到Mc1,Mc2,MW,之后c1,c2,w又通過公式(35)～公式(37)得到.參數(shù)自適應(yīng)的偽代碼如算法2所示.

算法2.HPSGWO參數(shù)自適應(yīng)算法

輸入:(Mc1,i,G+1,Mc2, i,G+1,MW,i,G+1,Sc1,Sc2,Sw)

輸出:(Mc1,i,G+1,Mc2, i,G+1,MW,i,G+1)

17. IfSc1≠φandSc2≠φandSw≠φ:

18. IfMc1,i,G=⊥ orMc2,i,G=⊥:

19.Mw,i,G=⊥;

20. Else:

21.Mc1,i,G=meanWL(Sc1);

22.Mc2,i,G=meanWL(Sc2);

23.Mw,i,G=meanWL(Sw);

24.i++;

25. Ifi>λ,i=1;End if

26. End if

27. Else:

28.Mc1,i,G+1=Mc1,i,G;

29.Mc2,i,G+1=Mc2,i,G;

30.Mw,i,G+1=Mw,i,G

31. End if

在算法2中,i(1≤i≤λ) 是指參數(shù)更新的位置,在算法2循環(huán)剛開始的時(shí)候i的初始值為1,如果i>λ,那么i重置為1.算法2的規(guī)則如下:

Mi=meanWL(Si) ifSi≠Φ

(38)

(39)

(40)

Δfi=|f(xi,G)-f(xi-1,G-1)|

(41)

式(38)中的meanWL(S)(weighted Lehmer mean) 對(duì)于更新參數(shù)來說很重要,它具體是用來計(jì)算M的值.更新參數(shù)的原則是“實(shí)時(shí)改變參數(shù)”,這個(gè)原則會(huì)降低算法的收斂度,不易陷入局部?jī)?yōu)化,對(duì)于多維問題較為友好.

圖1為HECO-HPSWO算法流程圖.

圖1 HECO-HPSWO算法流程圖Fig.1 HECO-HPSWO algorithm flow chart

3.6 線性種群大小縮減

合適的種群大小可以有效的提高算法的性能,將種群大小縮減的方法融合到HPSGWO中能夠提高性能.線性種群大小縮減(Linear Population Size Reduction,LPSR)是用于動(dòng)態(tài)調(diào)整種群大小的適應(yīng)度評(píng)估數(shù)的函數(shù).初始的種群大小為Ninit,算法結(jié)束后的種群大小為Nmin.在每一代G中,種群大小NG的計(jì)算方法如下:

(42)

式(42)中FES為當(dāng)前適合度評(píng)估的數(shù)量,MAX_FES適應(yīng)度評(píng)估的最大數(shù)量的值.當(dāng)NG

4 實(shí)驗(yàn)與分析

本文通過IEEE CEC2017函數(shù)(1)https://github.com/P-N-Suganthan/CEC2017來評(píng)估HECO-HPSGWO.通過28個(gè)維度D=10,30,50的函數(shù)(共3×28個(gè)測(cè)試函數(shù)).實(shí)驗(yàn)結(jié)果主要受到子種群大小λ和約束違反偏差數(shù)γ的影響,為了討論參數(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響,所以本文首先基于D=10的情況分別定量觀測(cè)這兩個(gè)參數(shù).針對(duì)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行消融實(shí)驗(yàn).首先針對(duì)λ值對(duì)算法的影響進(jìn)行研究,取γ為固定值,λ值為5個(gè)不同的值來進(jìn)行比較,結(jié)果如表2-表6所示.表2-表6通過比較相同γ和不同λ的rank值來說明,隨著λ值的增大,rank趨于穩(wěn)定狀態(tài).其次針對(duì)γ值對(duì)算法的影響進(jìn)行研究,取λ為固定值,γ值為5個(gè)不同的來進(jìn)行比較,結(jié)果如表7-表11表示,明顯可以觀察到γ=0.1的情況表現(xiàn)優(yōu)良且較為穩(wěn)定.

表2 gamma=0.0的CEC2017結(jié)果Table 2 CEC2017 results for gamma=0.0

表3 gamma=0.1的CEC2017結(jié)果Table 3 CEC2017 results for gamma=0.1

表4 gamma=0.2的CEC2017結(jié)果Table 4 CEC2017 results for gamma=0.2

表5 gamma=0.3的CEC2017結(jié)果Table 5 CEC2017 results for gamma=0.3

表6 gamma=0.4的CEC2017結(jié)果Table 6 CEC2017 results for gamma=0.4

表7 lambda=10的CEC2017結(jié)果Table 7 CEC2017 results for lambda=10

表8 lambda=15的CEC2017結(jié)果Table 8 CEC2017 results for lambda=15

表9 lambda=20的CEC2017結(jié)果Table 9 CEC2017 results for lambda=20

表10 lambda=25的CEC2017結(jié)果Table 10 CEC2017 results for lambda=25

表11 lambda=30的CEC2017結(jié)果Table 11 CEC2017 results for lambda=30

為了更好的設(shè)置實(shí)驗(yàn)參數(shù),本文通過以下過程來獲得γ和λ參數(shù)的取值,如表12所示,HECO-HPSGWO取固定λ的值,γ的值取5個(gè)不同的來進(jìn)行比較.如表13所示,HECO-HPSGWO取固定γ的值,λ的值取5個(gè)不同的來進(jìn)行比較.

表12 λ為固定值時(shí)CEC2017參數(shù)設(shè)置Table 12 Parameter setting in CEC2017

表13 γ為固定值時(shí)CEC2017參數(shù)設(shè)置Table 13 Parameter setting in CEC2017

為了更好的測(cè)試HECO-HPSGWO的性質(zhì),對(duì)于λ和γ值的選取參考了rank的結(jié)果.為了得到合理的λ的選取,先取gamma=0.0的值作為觀察,結(jié)果位于表14,如表14所示,當(dāng)gamma值取最小的時(shí)候,lambda=20的rank值最大,表現(xiàn)最差.在選取γ值得時(shí)候,令lambda為最小值,lambda=10來作為觀察,結(jié)果位于表15,如表15所示,gamma=0.1得時(shí)候rank值最小,表現(xiàn)最好.當(dāng)HECO-HPSWO的gamma和lambda參數(shù)選擇rank最好的情況,會(huì)降低算法性能優(yōu)良的說服力,所以綜合表14和表15的情況,在后期的實(shí)驗(yàn)中,本文選取gamma=0.1和lambda=20來評(píng)測(cè)HECO-HPSGWO算法的性能.

表14 在gamma=0.0時(shí)不同lambda值的HECO-HPSGWO的排序情況Table 14 Total ranks of HECO-HPSGWO with varying λ values on gamma=0.0

表15 在lambda=10時(shí)不同gamma值的HECO-HPSGWO的排序情況Table 15 Total ranks of HECO-HPSGWO with varying λ values on lambda=10

根據(jù)CEC2017比賽的規(guī)則,本文實(shí)驗(yàn)在D=10,30,50下,使用28個(gè)基準(zhǔn)函數(shù),根據(jù)函數(shù)的平均值和中位值結(jié)果進(jìn)行排序.計(jì)算各算法在各維度上的秩值規(guī)則如下:

(43)

如表16所示,gamma=0.1的時(shí)候,不同lambda值得排序結(jié)果,表格中較優(yōu)的結(jié)果已用加粗表現(xiàn)出來.表16中不同維度rank值的變化原因可從表18中得出,表18展示了不同lambda不同維度中的rank值的變化,從中位數(shù)的rank和平均數(shù)的rank兩方面來展現(xiàn).根據(jù)表16,可以看出當(dāng)函數(shù)維度為10D的時(shí)候lambda=15的秩值為136為最好的結(jié)果,它小于函數(shù)維度為10D是lambda=10的秩值為153.在函數(shù)為10D的結(jié)果中,發(fā)現(xiàn)隨著lambda步長(zhǎng)為5的變化中,算法的rank值成下降趨勢(shì).但觀察表18,在lambda=10,維度為30D的時(shí)候,平均數(shù)的rank最小,但中位數(shù)的rank第2小,說明在該情況下,測(cè)試函數(shù)的適應(yīng)度值結(jié)果雖然優(yōu)良,但不夠穩(wěn)定,造成結(jié)果之間的方差較大.在表16中,lambda=10,15,20時(shí),rank值逐漸遞減,但在lambda=25的時(shí)候,rank值達(dá)到最大,而lambda=30時(shí)候的rank值小于lambda=25時(shí)候的rank值,說明rank值并非隨著lambda的增大而線性增大.在函數(shù)維度為D=30的時(shí)候,lambda=10的秩值最小為146,lambda=20的秩值第2小為148,D=30的時(shí)相較于D=10的情況下,rank的方差減少了41%,說明算法對(duì)于計(jì)算D=30的函數(shù)更具備穩(wěn)定性.然而在D=50的時(shí)候,lambda=10的秩值最小為122,相較于lambda=10在10D和30D上面的表現(xiàn)更加優(yōu)良,表現(xiàn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他的lambda的值,造成秩的總值在對(duì)比其他lambda值有較大的差距.說明在解決低維度問題的時(shí)候,算法中可以設(shè)置lambda=15來計(jì)算函數(shù)適應(yīng)度會(huì)取得較好的效果,在維度較高的時(shí)候,算法中設(shè)置lambda=10所得結(jié)果較為準(zhǔn)確.同時(shí)從表16可以看出,隨著維度的升高,lambda=10情況下HECO-HPSGWO的秩值逐步遞減,說明參數(shù)設(shè)置合理的情況下,本文所提出的HECO-HPSGWO能夠解決高維度函數(shù)的難題.

表16 在CEC2017測(cè)試函數(shù)中不同lambda值的HECO-HPSGWO的排序情況Table 16 Total ranks of HECO-HPSGWO with varying λ values on CEC2017 benchmarks

表17 在CEC2017測(cè)試函數(shù)中不同gamma值的HECO-HPSGWO的排序情況Table 17 Total ranks of HECO-HPSGWO with varying γ values on CEC2017 benchmark

表18 在CEC2017測(cè)試函數(shù)中不同lambda值的HECO-HPSGWO的Median和Mean排序情況Table 18 Median and Mean ranks of HECO-HPSGWO with varying λ values on CEC2017 benchmarks

表19 在CEC2017測(cè)試函數(shù)中不同gamma值的HECO-HPSGWO的Median和Mean排序情況Table 19 Median and Mean ranks of HECO-HPSGWO with varying γ values on CEC2017 benchmarks

為了更好的評(píng)估算法的性能,下面將gamma=0.1,lambda=10的結(jié)果和gamma=0.0,lambda=20的結(jié)果與其他3個(gè)算法比較,這3個(gè)算法分別為烏鴉搜索算法(CCSA)[28]、受約束的模擬退火(CSA)[5]、帶約束的水循環(huán)算法(CWCA)[6].這3個(gè)算法都廣泛運(yùn)用于多目標(biāo)優(yōu)化的問題上,用來比較的算法的參數(shù)設(shè)置均采用其原始文獻(xiàn)推薦的方法,如表20所示.

表20 解決CEC2017測(cè)試函數(shù)中各算法的參數(shù)測(cè)試Table 20 Parameter settings of all compared algorithms in solving CEC2017 benchmark functions

烏鴉搜索算法、受約束的模擬退火算法、帶約束的水循環(huán)算法都是近年來較為優(yōu)越的算法.其中CCSA采用了直接控制約束的方法,放棄不可行的解.而CSA則采用了罰函數(shù)的方法,對(duì)不滿足約束條件的解進(jìn)行懲罰,使得不滿足約束條件的解的適應(yīng)度函數(shù)值將會(huì)較大.CWCA算法靈感是來源于自然界的水循環(huán),以及河流和小溪如何流向大海.

在D=10和D=30時(shí),比較算法求解CEC 2017基準(zhǔn)函數(shù)得到的Fmean和SD值分別如表21和表22所示.其中Fmean和SD分別表示目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,表格最后一行的BMF(Best Mean Fitness,BMF)為記錄算法在28個(gè)測(cè)試函數(shù)上表現(xiàn)最優(yōu)的函數(shù)個(gè)數(shù)總和.根據(jù)表21可得,在D=10的情況下,gamma=0.1,lambda=10時(shí)候的HECO-HPSGWO擁有11個(gè)最佳Fmean和3個(gè)第2最佳Fmean來求解這28個(gè)CEC 2017基準(zhǔn)函數(shù),這意味著該方法在解決這些具有挑戰(zhàn)性的問題時(shí)具有良好的搜索精度.而gamma=0.0,lambda=20時(shí)候的HECO-HPSGWO僅擁有4個(gè)最佳Fmean和9個(gè)第2最佳Fmean來求解這28個(gè)函數(shù).CSA和CWCA都能分別產(chǎn)生6個(gè)和8個(gè)Fmean在測(cè)試函數(shù)中,表明這兩個(gè)算法都有一定的有效性,而CCSA的Fmean為零,說明CCSA在CEC2017測(cè)試函數(shù)上的表現(xiàn)較差.觀察表22的數(shù)據(jù)可知,因?yàn)闇y(cè)試函數(shù)的維度升高,各個(gè)算法的性能都有不同程度的下降.gamma=0.1,lambda=10時(shí)候的HECO-HPSGWO依舊擁有最多的Fmean在28個(gè)測(cè)試函數(shù)中,它擁有12個(gè)最佳的Fmean和7個(gè)第2最佳Fmean.gamma=0.0,lambda=20時(shí)候的HECO-HPSGWO的表現(xiàn)較差,在28個(gè)測(cè)試函數(shù)中,它擁有1個(gè)最佳的Fmean和13個(gè)第2最佳的Fmean.CWCA和CSA有著相似的性能,在30D的情況下,分別有著8個(gè)和7個(gè)Fmean.而CCSA相對(duì)于D=10的時(shí)候,性能更差.

表21 CEC2017測(cè)試函數(shù)中HECO-HPSGWO和其他3個(gè)算法的性能比較(D =10)Table 21 Performance comparison between HECO-HPSGWO with three peer algorithms in CEC2017 benchmark functions(D=10)

續(xù)表21

表22 CEC2017測(cè)試函數(shù)中HECO-HPSGWO和其他3個(gè)算法的性能比較(D =30)Table 22 Performance comparison between HECO-HPSGWO with three peer algorithms in CEC2017 benchmark functions(D=30)

續(xù)表22

HECO-HPSGWO表現(xiàn)良好的原因,一是因?yàn)镠ECO的框架是動(dòng)態(tài)權(quán)重分解問題的方法,能夠根據(jù)最優(yōu)解等原因?qū)崟r(shí)更新搜索側(cè)重點(diǎn)；二是因?yàn)镠PSGWO算法結(jié)合了粒子群優(yōu)化算法(PSO)和灰狼優(yōu)化器(GWO)的優(yōu)點(diǎn),能夠在高速搜索的同時(shí)避免陷入局部?jī)?yōu)化的困境中.

5 結(jié) 語

在本文中提出了一種結(jié)合HECO框架和HPSGWO算法的新型方法HECO-HPSGWO,該方法在gamma和lambda參數(shù)較小的情況下能夠在CEC2017測(cè)試函數(shù)上表現(xiàn)良好.在函數(shù)維度為10D和30D的情況下,獲得的函數(shù)最優(yōu)值個(gè)數(shù)多于比較的算法,優(yōu)于CCSA、CSA、CWCA3個(gè)算法.隨著測(cè)試函數(shù)的維度增加,各個(gè)算法的性能有所下降,但HECO-HPSGWO和其他算法相比排在前列.在HECO-HPSGWO算法中g(shù)amma=0.1,lambda=10的結(jié)果和gamma=0.0,lambda=20的結(jié)果相差較大,尤其是在測(cè)試函數(shù)30D的情況時(shí),gamma=0.1,lambda=10的HECO-HPSGWO只得到1個(gè)BMF,gamma=0.1,lambda=10的HECO-HPSGWO得到12個(gè)BMF,因?yàn)閘ambda的值較小的時(shí)候,能夠發(fā)揮HECO框架中等價(jià)目標(biāo)的引導(dǎo)作用,而灰狼優(yōu)化器能夠提供更多的搜索方向,在一定程度上相當(dāng)于輔助目標(biāo)的作用.但因?yàn)樗婕暗膮?shù)較多,所以不良的參數(shù)會(huì)影響算法的性能.

未來我們會(huì)考慮根據(jù)更加多樣的測(cè)試函數(shù)來評(píng)判算法、改進(jìn)算法.同時(shí)我們也會(huì)擴(kuò)大參數(shù)的搜尋范圍,找出更適合的參數(shù)設(shè)置,對(duì)于多樣的參數(shù)也會(huì)設(shè)置消融實(shí)驗(yàn)來展開更全面的分析,并嘗試使用混合策略(Mixed Strategy)來提供自適應(yīng)的參數(shù)搭配[32].