不規(guī)則三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的找形

劉賀平， 黃文杰， 宋健， 賴瀟亮， 羅阿妮

(哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

張拉整體結(jié)構(gòu)通常以離散桿與連續(xù)的索構(gòu)件組成，由于索構(gòu)件在受壓方向的模量為無限小，在結(jié)構(gòu)不合理引起節(jié)點(diǎn)受力不平衡的情況下通常會(huì)產(chǎn)生坍縮的失穩(wěn)形式，從而使結(jié)構(gòu)整體無法自行維持一個(gè)常態(tài)形狀[1]。在張拉整體結(jié)構(gòu)的研究中，構(gòu)型研究是結(jié)構(gòu)研究中最基礎(chǔ)的一步。當(dāng)前構(gòu)型分析中，優(yōu)化分析是主要的研究方向，這些優(yōu)化構(gòu)型方法都是基于張拉整體結(jié)構(gòu)靜力學(xué)或動(dòng)力學(xué)模型平衡準(zhǔn)則的算法迭代進(jìn)行數(shù)值求解，這一過程需要大量的計(jì)算推導(dǎo)構(gòu)件變化后的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)形態(tài)或基于節(jié)點(diǎn)及結(jié)構(gòu)形態(tài)變化后以滿足各構(gòu)件的參數(shù)變化[2],或以動(dòng)力學(xué)算法等進(jìn)行滿足構(gòu)件變化及構(gòu)件常數(shù)的非線性擬合規(guī)劃找形[3-8]?；诖祟悢?shù)值迭代求解出來的構(gòu)型通常很難獲得結(jié)構(gòu)參數(shù)與穩(wěn)定構(gòu)型的關(guān)系，從而無法做進(jìn)一步的拓?fù)溲芯俊?/p>

張拉整體結(jié)構(gòu)的整體輕量化、自平衡等力學(xué)特性尤其適合剛度要求不敏感的機(jī)器人領(lǐng)域和仿生領(lǐng)域及空間展開結(jié)構(gòu)領(lǐng)域等[9-11]。正是基于這樣的特點(diǎn)，提出許多張拉整體機(jī)構(gòu)。這些張拉整體機(jī)構(gòu)，都是通過少數(shù)構(gòu)件的長(zhǎng)度變化，驅(qū)動(dòng)整體運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)期功能。在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，整體會(huì)連續(xù)變化其形狀，而且任意時(shí)刻的形態(tài)都是穩(wěn)定的，這既滿足了機(jī)構(gòu)可控性的要求，也為張拉整體結(jié)構(gòu)的找形提供了一種思路。

本文基于規(guī)則3桿張拉整體單元，選擇其3根斜索中的2根作為驅(qū)動(dòng)構(gòu)件，其長(zhǎng)度主動(dòng)控制變化，第3根斜索的長(zhǎng)度隨動(dòng)變化，以此來獲得穩(wěn)定不規(guī)則3桿張拉整體結(jié)構(gòu)。在分析過程中，以隨動(dòng)構(gòu)件長(zhǎng)度最小為確定穩(wěn)定構(gòu)型的標(biāo)準(zhǔn)，以結(jié)構(gòu)整體節(jié)點(diǎn)受力的系統(tǒng)平衡矩陣的數(shù)值分析來進(jìn)行穩(wěn)定性的進(jìn)一步檢驗(yàn)，并利用仿真和實(shí)體模型來對(duì)此構(gòu)型方法的正確性及相關(guān)算法的精度進(jìn)行驗(yàn)證。

1 規(guī)則張拉整體單元

規(guī)則的3桿張拉整體單元結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中，圓柱體代表?xiàng)U構(gòu)件、實(shí)線代表索構(gòu)件。此結(jié)構(gòu)包括3根桿和9條索，其中索構(gòu)件可以分成3類，即上端面索、下端面索和斜索。上下端面由斜索連接并扭轉(zhuǎn)一定角度。當(dāng)上下端面直徑相等時(shí)此結(jié)構(gòu)整體外接于圓柱體，結(jié)構(gòu)對(duì)稱性好，上下端面的3根索都圍成了正三角形，同類構(gòu)件的長(zhǎng)度和內(nèi)力相同。如圖1所示，連接上下端面節(jié)點(diǎn)的是桿構(gòu)件和斜索構(gòu)件，桿構(gòu)件承受壓力，斜索構(gòu)件承受拉力，桿構(gòu)件的內(nèi)力有把2個(gè)端面之間距離撐大的趨勢(shì)，而斜索構(gòu)件的內(nèi)力則是抵消這一趨勢(shì)以保證結(jié)構(gòu)軸向平衡，因此斜索對(duì)保持此張拉整體單元的穩(wěn)定有直接影響。本文將通過斜索長(zhǎng)度的變化對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響來推導(dǎo)張拉整體單元的穩(wěn)定條件。

圖1 規(guī)則3桿張拉整體單元Fig.1 Regular 3-bar tensegrity structure

斜索的2個(gè)端點(diǎn)分別位于上下端面。圖1中，連于節(jié)點(diǎn)n1、n2和n3的斜索的另一個(gè)端點(diǎn)分別為n5、n6、n4。如果保持上下端面正三角形、桿構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系、桿構(gòu)件長(zhǎng)度都不變，令2個(gè)端面始終平行，下端面固定不動(dòng)，上端面繞著中心轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)斜索長(zhǎng)度最短時(shí)，此時(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)型為穩(wěn)定構(gòu)型。依據(jù)這一思路，可以獲得圖1所示結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定構(gòu)型條件。當(dāng)連接于節(jié)點(diǎn)n1、n2和n3的斜索另一個(gè)端點(diǎn)分別固定于n6、n4和n5時(shí)，也可以利用上述條件和方法，獲得穩(wěn)定構(gòu)型。如果斜索構(gòu)件和桿構(gòu)件的兩端節(jié)點(diǎn)重合，索桿結(jié)構(gòu)布置不合理，結(jié)構(gòu)也不能保持穩(wěn)定。因此，規(guī)則3桿張拉整體單元只有2種穩(wěn)定構(gòu)型，這2種構(gòu)型的區(qū)別主要在于斜索和節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系不同[12]。

同理，規(guī)則的p桿由p根桿構(gòu)件和3p根索構(gòu)件組成，三類索的數(shù)量均為p，其上下端面水平索都圍成正p邊形。令下端面節(jié)點(diǎn)ni(i=1,2，…,p)所連桿構(gòu)件的另一個(gè)端點(diǎn)始終為np+i。依然保持高度、上下端面正多邊形、桿構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系、桿構(gòu)件長(zhǎng)度不變，各斜索長(zhǎng)度相同令2個(gè)端面始終平行，下端面固定不動(dòng)，上端面可以繞著中心轉(zhuǎn)動(dòng)。以n1節(jié)點(diǎn)為例，連接節(jié)點(diǎn)n1的桿構(gòu)件的另一個(gè)端點(diǎn)為np+1，連于節(jié)點(diǎn)n1的斜索的另一個(gè)端點(diǎn)可以為np+1+j，其中j定義為分形參數(shù)，j=1，2，…，p-1，其余節(jié)點(diǎn)連接方式順序類推。這樣，規(guī)則的p桿單元就有p-1種穩(wěn)定構(gòu)型。圖2為規(guī)則5桿張拉整體單元4種構(gòu)型簡(jiǎn)圖。

圖2 規(guī)則5桿張拉整體單元4種分形Fig.2 Four fractals of regular 5-bar tensegrity element

2 規(guī)則張拉整體單元的穩(wěn)定條件分析

2.1 數(shù)學(xué)模型

令R為規(guī)則張拉整體單元外接圓柱端面半徑，h為其外接圓柱的高度，ra和rd分別為上下端面正多邊形外接圓的半徑。

設(shè)φ為同一根桿的2個(gè)端點(diǎn)在下端面上的投影與下端面形心連線的夾角(如圖1所示)，這里稱此角度為單元內(nèi)轉(zhuǎn)角。

規(guī)則p桿單元的下端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：

(1)

上端面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為：

(2)

p桿單元的桿連接矩陣為：

索連接矩陣為：

式中：Ip為p階單位矩陣；j為前文所述的分形參數(shù)。

2.2 斜索長(zhǎng)度分析

當(dāng)穩(wěn)定的張拉整體單元軸向承載時(shí)，其運(yùn)動(dòng)只有2種，即沿著軸線的整體高度的變化和繞著軸線的上下端面間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。撤除載荷后，此張拉整體單元將反向運(yùn)動(dòng)，恢復(fù)原來形態(tài)。也就是說，在張拉整體單元的大部分構(gòu)件長(zhǎng)度不變的條件下，在一定范圍內(nèi)改變其個(gè)別構(gòu)件長(zhǎng)度，穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的長(zhǎng)度最小。下面根據(jù)這一思路來分析規(guī)則張拉整體單元的穩(wěn)定條件。

圖3 扭轉(zhuǎn)連接斜索以保持結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性Fig.3 Revolve the connected inclined cable to keep structural stability

令規(guī)則張拉整體單元的上下端面水平索和桿長(zhǎng)度不變，只改變斜索長(zhǎng)度。這里設(shè)斜索長(zhǎng)度為|lik|(表示此斜索兩端節(jié)點(diǎn)為ni和nk)，桿長(zhǎng)度為|lib|(表示此桿件兩端節(jié)點(diǎn)為ni和nb)。規(guī)則p桿張拉整體單元的第j種構(gòu)型中，斜索長(zhǎng)度可表示為：

|lik|=‖ni-nk‖=

(3)

設(shè)桿長(zhǎng)為|lib|，結(jié)構(gòu)的總體高度可表示為：

(4)

當(dāng)i=1時(shí)，將式(4)代入式(3)：

(5)

式(5)的右側(cè)表達(dá)式包含2部分，第1部分是常量，第2部分才是含有φ的變量，這里把式(5)中含有變量的部分提出：

(6)

當(dāng)式(6)值最小時(shí)，斜索長(zhǎng)度也達(dá)到最小。對(duì)式(6)求導(dǎo)，可得：

(7)

求解式(7)得：

(8)

由此推斷，規(guī)則的p桿張拉整體單元，只要滿足式(8)，即可穩(wěn)定，這一結(jié)果與文獻(xiàn)[13]的理論結(jié)果相同，也證明了此分析思路是正確的。

3 非規(guī)則三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定構(gòu)型解析

3.1 計(jì)算上底面三節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

在2.2節(jié)，只改變規(guī)則張拉整體單元的某一類構(gòu)件的長(zhǎng)度，其余構(gòu)件長(zhǎng)度及受力特性不變，通過分析可知，變長(zhǎng)度構(gòu)件的長(zhǎng)度最小時(shí)，此結(jié)構(gòu)將處于穩(wěn)定狀態(tài)。下面將基于這樣的特點(diǎn)，來探討不規(guī)則3桿張拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定構(gòu)型確定方法。

本節(jié)依然令3桿張拉整體結(jié)構(gòu)的桿構(gòu)件、上下端面水平索長(zhǎng)度都為定值，3根斜索中兩條斜索的長(zhǎng)度為自變量來確定第3條斜索長(zhǎng)度，從而獲得不規(guī)則的3桿張拉整體穩(wěn)定構(gòu)型。

圖4所示為φ=7π/6時(shí)規(guī)則的3桿張拉整體單元。這里，令節(jié)點(diǎn)n1和n5之間連接的斜索為所求未知量。首先，根據(jù)下端面水平索的長(zhǎng)度，可確定下端面3個(gè)節(jié)點(diǎn)n1、n2和n3的位置。由圖4可知，連接節(jié)點(diǎn)n3的桿的另一個(gè)節(jié)點(diǎn)為n6，此桿長(zhǎng)度|l36|為定值。固定于n6上的斜索的另一個(gè)節(jié)點(diǎn)為n2，此斜索的長(zhǎng)度|l26|為自變量，也是需要提前給定的。以節(jié)點(diǎn)n3為球心，以|l36|為半徑，繪制一個(gè)球面。以節(jié)點(diǎn)n2為圓心，以|l26|為半徑，繪制另一個(gè)球面。這2個(gè)球面的交線為一空間圓弧(如圖5所示)，那么n6節(jié)點(diǎn)一定位于此圓弧。

圖4 節(jié)點(diǎn)與構(gòu)件長(zhǎng)度Fig.4 Nodes and lengths of members

圖5 節(jié)點(diǎn)n6所在弧線Fig.5 The possible position arc of node n6

節(jié)點(diǎn)n6所處空間圓弧的圓心坐標(biāo)可表示為：

(9)

該圓弧的半徑為：

(10)

節(jié)點(diǎn)n6需要滿足以下條件：

(11)

設(shè)n6節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為[x6,y6,z6]T，將式(11)的第1個(gè)表達(dá)式代入式(9)，可得：

將式(9)、(10)代入式(11)的第2個(gè)表達(dá)式，可得：

(12)

利用上述方法也可確定n4節(jié)點(diǎn)所在圓弧(如圖6所示)，此空間圓弧的圓心坐標(biāo)可表示為：

圖6 節(jié)點(diǎn)n4所在弧線Fig.6 The possible position arc of node n4

(13)

此圓弧的半徑為：

(14)

節(jié)點(diǎn)n4需要滿足以下條件：

(15)

將n4節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為[x4,y4,z4]T，將式(13)代入式(15)的第1個(gè)表達(dá)式：

將式(13)、(14)代入式(15)的第2個(gè)表達(dá)式：

由上述關(guān)系即可確定n4、n6節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，具體確定步驟為，由方程組(11)選取n6節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)斜索長(zhǎng)|l46|和方程組(15)確定n4節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(如圖7所示)：

圖7 n6n4定距連接Fig.7 Distance connection of n6 and n4

|n6-n4|=l46

(16)

上端面:三節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的之間的幾何關(guān)系滿足：

(17)

這樣，依據(jù)節(jié)點(diǎn)n6和n4、構(gòu)件長(zhǎng)度|l56|、|l45|和|l25|，就可以確定節(jié)點(diǎn)n5的位置(如圖8所示)。

圖8 確定節(jié)點(diǎn)n5位置Fig.8 Determine the location of node n5

3.2 優(yōu)化所求索長(zhǎng)lx1

根據(jù)3.1節(jié)所述方法依據(jù)節(jié)點(diǎn)n6確定節(jié)點(diǎn)n4和n5坐標(biāo)，這樣就可以確定一個(gè)3桿張拉整體結(jié)構(gòu)構(gòu)型，但是這個(gè)構(gòu)型未必是穩(wěn)定的。依據(jù)第2節(jié)的分析，斜索長(zhǎng)度|l15|必須為最小值時(shí)，結(jié)構(gòu)才穩(wěn)定。因此，穩(wěn)定構(gòu)型需要通過一個(gè)優(yōu)化過程來實(shí)現(xiàn)。

此優(yōu)化過程的自變量為節(jié)點(diǎn)n6于此空間弧線上的取值坐標(biāo)：

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定目標(biāo)函數(shù)為：

min((x5-x1)2+(y5-y1)2+(z5-z1)2)

(18)

依據(jù)節(jié)點(diǎn)n6坐標(biāo)獲得的約束條件為：

(x6,y6,z6)∈

(19)

根據(jù)節(jié)點(diǎn)n4確定的約束條件為：

(x4,y4,z4)∈

(20)

再根據(jù)各節(jié)點(diǎn)的位置關(guān)系和構(gòu)件長(zhǎng)度條件確定的約束條件為：

(21)

3.3 數(shù)值解算算法

根據(jù)上面的分析，可以獲得斜索長(zhǎng)|l15|最小時(shí)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，由此進(jìn)一步確定結(jié)構(gòu)構(gòu)型。此結(jié)構(gòu)構(gòu)型是否穩(wěn)定，還需要進(jìn)一步判斷。

結(jié)構(gòu)的平衡取決于節(jié)點(diǎn)的平衡，依據(jù)節(jié)點(diǎn)的力平衡可以建立結(jié)構(gòu)整體的平衡方程。平衡方程的未知數(shù)為構(gòu)件力密度。當(dāng)結(jié)構(gòu)處于自穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，此平衡方程的形式為：

At=0

(22)

式中：A為系統(tǒng)平衡矩陣；t為所有構(gòu)件力密度所組成的力密度向量。

當(dāng)平衡方程(22)存在一組非零解，即存在一組合適的構(gòu)件力密度組合能夠保持結(jié)構(gòu)平衡時(shí)，此結(jié)構(gòu)將能夠處于自穩(wěn)定狀態(tài)。式(22)存在非零解，可以通過平衡矩陣來判斷并求取。平衡矩陣可以通過下式的計(jì)算方法獲得[13-14]：

(23)

式中：CS為索連接矩陣；CB為桿連接矩陣：

奇異值分解矩陣A，可得：

A=UVWT

(24)

式中：U為正交矩陣；WT為列正交酉陣，表示自應(yīng)力模態(tài)；V為對(duì)角矩陣，為A的奇異值。如果λi和ti分別為平衡矩陣A的第i個(gè)奇異值和平衡方程(22)的第i個(gè)自應(yīng)力模態(tài)向量，則：

(25)

若存在奇異值λi=0，則其對(duì)應(yīng)的模態(tài)(特征向量)ti取值使得式(25)都為0，即平衡方程(22)存在非零解，表示此自應(yīng)力模態(tài)下結(jié)構(gòu)必然穩(wěn)定。這樣，結(jié)構(gòu)自穩(wěn)定的判斷就轉(zhuǎn)化為對(duì)系統(tǒng)平衡矩陣A的最小奇異值的判斷。當(dāng)奇異值最小值為0時(shí)，此結(jié)構(gòu)的平衡方程有非零解，能夠找到一組構(gòu)件力密度使其保持平衡。

當(dāng)利用算法數(shù)值求解時(shí)，A通常情況必然滿秩，因此結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為A的最小奇異值是否接近于或等于0，通常取矩陣V的末位數(shù)值即A的最小奇異值作為數(shù)值迭代過程中結(jié)構(gòu)穩(wěn)定度的量化參考標(biāo)準(zhǔn)[15-16]。分析求解思路如下：

1)確定基本參數(shù)R、h及φ，計(jì)算規(guī)則3桿張拉整體單元的構(gòu)件長(zhǎng)度；

2)保持桿、水平索長(zhǎng)度不變，確定主動(dòng)斜索長(zhǎng)度變化率；

3)計(jì)算2個(gè)主動(dòng)斜索|l26|和|l34|的長(zhǎng)度，確定節(jié)點(diǎn)n6軌跡；

4)確定n6軌跡的等分步長(zhǎng)，計(jì)算n6坐標(biāo)，再進(jìn)一步計(jì)算n4和n5坐標(biāo)，計(jì)算被動(dòng)斜索|l15|長(zhǎng)度；并取|l15|中的最小值所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)建立平衡方程。

5)建立平衡方程，計(jì)算平衡矩陣最小奇異值。

6)判斷平衡矩陣最小奇異值，若小于預(yù)設(shè)值，即所得構(gòu)型穩(wěn)定，否則，取被動(dòng)斜索|l15|最小值所對(duì)應(yīng)的n6點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的相鄰區(qū)間返回到第4步。

圖9 變斜索結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)分析流程Fig.9 Steady state analysis process of variable inclined cable structure

3.4 數(shù)值算例

令ra=rd=70 mm，h=100 mm，初始單元內(nèi)扭轉(zhuǎn)角φ=210°。圖10顯示了3根斜索之間的長(zhǎng)度關(guān)系。圖10中，主動(dòng)斜索|l26|、|l34|的長(zhǎng)度與規(guī)則3桿張拉整體單元的斜索長(zhǎng)度(此狀態(tài)下3根斜索長(zhǎng)度相等)，即初始態(tài)長(zhǎng)度的比值為自變量，從動(dòng)斜索lx1的長(zhǎng)度與其初始長(zhǎng)度的比值作為因變量。

圖10 斜索比例變化Fig.10 Scale change diagram of inclined cable

由圖10可知，當(dāng)2個(gè)橫軸的數(shù)值為1時(shí)，曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的豎軸數(shù)值也為1，即|l26|、|l34|長(zhǎng)度相同，且為初始長(zhǎng)度時(shí)，|l15|的長(zhǎng)度為初始長(zhǎng)度，也就是3個(gè)斜索的長(zhǎng)度相同，這與規(guī)則3桿張拉整體單元的特性一樣。這樣的結(jié)果在一定程度上也驗(yàn)證了此算法的正確性。如圖所示，隨著|l26|長(zhǎng)度的減小，|l15|的長(zhǎng)度增大，即兩者的變化趨勢(shì)相反，|l34|和|l15|也有類似的關(guān)系。

下面將分析|l26|減小，同時(shí)|l34|同比例增加，且2個(gè)長(zhǎng)度的變化量相等的情況下，求|l15|的變化情況。通過計(jì)算可知，當(dāng)|l26|和|l34|在基于其原長(zhǎng)的基礎(chǔ)上變化超過20%時(shí)，計(jì)算得到的n5節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)將會(huì)低于XOY平面。從幾何角度來分析，當(dāng)結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定時(shí)，那么結(jié)構(gòu)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的桿構(gòu)件必然會(huì)處于由此節(jié)點(diǎn)的索構(gòu)件圍成的三棱柱內(nèi)部；此計(jì)算結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)顯然不穩(wěn)定。所以，在此結(jié)構(gòu)中2斜索的長(zhǎng)度最大變化量約為初始長(zhǎng)度的20%。圖11顯示了|l26|減小，同時(shí)|l34|同比例增加情況下|l15|的變化。由圖可知，隨著2個(gè)主動(dòng)斜索變化量的增加，|l15|的長(zhǎng)度也隨之增加，但是|l15|的長(zhǎng)度變化量較主動(dòng)索要小得多。當(dāng)2根主動(dòng)索的長(zhǎng)度變化量為5%時(shí)，從動(dòng)斜索的長(zhǎng)度增加量約為0.5%，為主動(dòng)索變化量的0.1倍；當(dāng)主動(dòng)索長(zhǎng)度變化量為10%時(shí)，從動(dòng)索長(zhǎng)度變化量約為1.5%，為主動(dòng)索的變化量的0.15；主動(dòng)索長(zhǎng)度變化量為15%時(shí)，從動(dòng)索的長(zhǎng)度增加量為3.2%，約為主動(dòng)索變化量的0.21；當(dāng)主動(dòng)索的變化量超過20%，從動(dòng)索長(zhǎng)度變化量為5.8%，為主動(dòng)索變化量的0.29，而此時(shí)結(jié)構(gòu)也將處于失穩(wěn)臨界狀態(tài)。

圖11 算法及Adams仿真計(jì)算結(jié)果Fig.11 Calculation results of the algorithm and Adams

根據(jù)圖11所示結(jié)果的分析過程，在Adams軟件中進(jìn)行仿真分析，獲得各穩(wěn)定構(gòu)型中2主動(dòng)斜索長(zhǎng)度變化量與從動(dòng)斜索長(zhǎng)度變化量的關(guān)系曲線。此關(guān)系曲線與圖11所示曲線基本相同，即根據(jù)算法的數(shù)值計(jì)算以及仿真計(jì)算結(jié)果的差值極小，這顯示了此理論分析是正確的，且此算法計(jì)算精度較高，并具有一定的可靠性。

依據(jù)圖11，搭建了2個(gè)主動(dòng)斜索長(zhǎng)度變化率為0%、10%和20%的3個(gè)實(shí)物模型(圖12所示)。對(duì)模型測(cè)量發(fā)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果基本符合算法數(shù)值解。模型的穩(wěn)定進(jìn)一步證明了此找形分析方法的正確性。

圖12 實(shí)體模型Fig.12 Entity model

4 結(jié)論

1)改變規(guī)則張拉整體結(jié)構(gòu)某一類構(gòu)件的長(zhǎng)度并保持其余構(gòu)件受力特性不變時(shí)，變長(zhǎng)度構(gòu)件長(zhǎng)度最小時(shí)，構(gòu)件處于穩(wěn)定狀態(tài)。

2)張拉整體結(jié)構(gòu)所建立的平衡矩陣的最小奇異值的物理意義為其對(duì)應(yīng)的自應(yīng)力模態(tài)下結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定程度。因此可通過結(jié)構(gòu)的最小奇異值來判斷結(jié)構(gòu)對(duì)穩(wěn)態(tài)的趨近程度。

3)當(dāng)不規(guī)則結(jié)構(gòu)中僅一類構(gòu)件的長(zhǎng)度待定，通過數(shù)值算例算法求得此構(gòu)件最短的結(jié)構(gòu)形態(tài)即為結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定狀態(tài)。