基于修正輔助變量法的船舶操縱響應(yīng)模型辨識

曾道輝， 蔡成濤,2,3

(1.哈爾濱工程大學(xué) 智能科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.船海裝備智能化技術(shù)與應(yīng)用教育部重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001； 3.電子政務(wù)建模仿真國家工程實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

隨著船舶智能化和自主化水平的提升，使得船舶在操縱性能變化的動態(tài)環(huán)境和多任務(wù)場景約束下的安全高效航行更依賴于在線建立的船舶操縱運動模型。船舶操縱運動模型在用于辨識的結(jié)構(gòu)方面，可具體分為分離型[1]、整體型[2]、響應(yīng)型[3]和時間序列[4-5]多種模型結(jié)構(gòu)形式。而船舶操縱響應(yīng)模型作為船舶操縱運動模型中的一種，其中的操縱性指數(shù)物理意義明顯，能夠直觀反映船舶的操縱性能，是一種描述船舶舵角與航向角映射關(guān)系的動態(tài)響應(yīng)模型。通過對船舶操縱響應(yīng)模型的在線辨識建模，不僅能夠為船舶的自動舵和航向自適應(yīng)控制器提供精確的數(shù)學(xué)描述，而且能預(yù)報船舶的未來航向以及通過辨識的操縱性指數(shù)實時反映船舶的操縱性能。因此，實現(xiàn)船舶操縱響應(yīng)模型參數(shù)的在線辨識，對船舶的航向預(yù)報和航向控制有著重要意義。

為了辨識船舶操縱響應(yīng)模型中的參數(shù)，目前已經(jīng)有許多系統(tǒng)辨識方法用于船舶操縱響應(yīng)模型的在線辨識中。文獻(xiàn)[6]以一階船舶操縱響應(yīng)模型為辨識對象，設(shè)計了一種基于標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法的在線參數(shù)辨識試驗平臺，結(jié)合實船試驗數(shù)據(jù)驗證了在線辨識試驗平臺設(shè)計的正確性和合理性。文獻(xiàn)[7]通過引入P型學(xué)習(xí)率，提出了一種快速收斂迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法，用于辨識船舶的一階非線性響應(yīng)模型和二階非線性響應(yīng)模型，文中仿真和水池實驗均表明，該算法相比標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法在收斂速度和辨識精度都有所提高。文獻(xiàn)[8]針對船舶二階非線性響應(yīng)模型，利用多新息最小二乘法對其進(jìn)行參數(shù)辨識，辨識結(jié)果表明該算法辨識的參數(shù)更接近真實值，能更準(zhǔn)確地描述船舶運動的動態(tài)特性。文獻(xiàn)[9]針對裝載吊艙式推進(jìn)器的無人水面艇，利用最小二乘法辨識了其一階船舶操縱響應(yīng)模型，對辨識模型進(jìn)行回轉(zhuǎn)試驗的結(jié)果同實船回轉(zhuǎn)試驗結(jié)果的比對證明了辨識得到模型的正確性。文獻(xiàn)[10]針對船舶實際航行中存在海洋環(huán)境擾動和數(shù)據(jù)欠激勵的情況下，提出了一種滿秩分解最小二乘算法對船舶一階線性響應(yīng)模型的參數(shù)進(jìn)行辨識，辨識結(jié)果表明了該算法能抑參數(shù)發(fā)散，并能夠獲得更高的參數(shù)辨識精度。文獻(xiàn)[11]對最小二乘支持向量機(jī)算法中的偏置項引入了懲戒因子進(jìn)行了改進(jìn)，大大改善了辨識模型的精度；文獻(xiàn)[12]利用滾動時間窗內(nèi)的數(shù)據(jù)實時辨識參數(shù)的策略，增強(qiáng)了對船舶操縱響應(yīng)模型的參數(shù)跟蹤能力；文獻(xiàn)[13]針對最小二乘支持向量機(jī)引入自適應(yīng)加權(quán)的策略進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合實船試驗驗證了該方法的有效性。文獻(xiàn)[14]將其應(yīng)用于船舶的航向控制，增強(qiáng)了船舶航向保持精度、降低了航向調(diào)節(jié)時間和超調(diào)幅度；文獻(xiàn)[15]從解析模型的角度出發(fā)，結(jié)合格雷碼和精英選擇的策略對參數(shù)進(jìn)行非線性尋優(yōu)，使得該算法在小樣本數(shù)據(jù)情況下就可進(jìn)行高效準(zhǔn)確的辨識，極大地提升了辨識效率。文獻(xiàn)[16]針對多新息擴(kuò)展卡爾曼濾波算法引入了遺忘因子進(jìn)行改進(jìn)，有效較低了歷史累積數(shù)據(jù)對參數(shù)辨識的影響，文中結(jié)合船模數(shù)據(jù)的辨識結(jié)果表明，該改進(jìn)算法相比標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)展卡爾曼濾波辨識方法在船舶操縱響應(yīng)模型參數(shù)辨識方面更加精確。

上述的文獻(xiàn)方法在模型參數(shù)辨識精度、收斂速度和參數(shù)實時跟蹤性能上均有貢獻(xiàn)，但都并未考慮受到有色噪聲干擾的實際量測數(shù)據(jù)會給參數(shù)辨識帶來有偏估計的影響。實際船舶航行過程中，由于海洋環(huán)境高頻擾動和傳感器測量噪聲等因素，會使得辨識的船舶操縱性指數(shù)存在精度上的誤差，這一缺陷給船舶的航向控制和預(yù)報都帶來了一定的影響，因此如何快速無偏地辨識船舶的操縱性指數(shù)是實現(xiàn)船舶操縱響應(yīng)模型在線辨識中的關(guān)鍵問題。

考慮到實際過程中，噪聲對系統(tǒng)的影響是不可避免的。此時，要獲得系統(tǒng)模型參數(shù)的一致無偏估計, 遞推輔助變量最小二乘法(recursive instrumental variable least squares method, RIVLS)是一種有效的辨識方法。本文在RIVLS算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合動態(tài)濾波的思想對其進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種遞推修正輔助變量最小二乘法(recursive refined instrumental variable least squares method, RRIVLS)。該算法能夠?qū)崟r觀測得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次濾波預(yù)處理后，再結(jié)合輔助變量對模型參數(shù)進(jìn)行辨識。辨識試驗以二階船舶操縱響應(yīng)模型為辨識對象，在實船Z形試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，將遞推修正輔助變量最小二乘法、輔助變量最小二乘法、增廣最小二乘法(recursive extended least squares method, RELS)和標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法(recursive least squares method, RLS)的辨識模型進(jìn)行比較。

1 船舶操縱響應(yīng)模型

船舶操縱響應(yīng)模型是通過描述船舶航向角相對于舵角動態(tài)響應(yīng)關(guān)系建立的模型。本文辨識的響應(yīng)模型為二階線性響應(yīng)模型，其方程為：

(1)

式中：r為船舶艏搖角速度；δr為外界環(huán)境干擾力矩造成的等效壓舵角；K為舵角增益系數(shù)；T1、T2和T3為時間常數(shù)。

考慮到艏搖角速度r不易通過傳感器直接獲取，因此對其利用航向角ψ前向差分得到：

(2)

式中h為采樣周期。

(3)

(4)

根據(jù)方程轉(zhuǎn)換法，令H=T1+T2，G=T1T2，同時結(jié)合式(2)～(4)，對式(1)進(jìn)行相應(yīng)的變換，可得到如下的受控自回歸模型(controlled auto-regressive, CAR)：

r(k)=a1r(k-1)+a2r(k-2)+

b1δ(k-1)+b2δ(k-2)+c

(5)

式中：a1、a2、b1、b2和c為待辨識參數(shù)，與K、T1、T2、T3和δr的關(guān)系為：

(6)

式(5)的模型可以描述船舶在風(fēng)浪不太大的環(huán)境下的船舶操縱運動特性，對其加入噪聲干擾的影響，可得到如下的CAR模型：

r(k)=a1r(k-1)+a2r(k-2)+

b1δ(k-1)+b2δ(k-2)+c+e(k)

(7)

式中e(k)為船舶所受的有色噪聲，將該有色噪聲假設(shè)為自回歸過程(AR模型)，其模型的具體結(jié)構(gòu)形式為：

(8)

式中：v(k)為均值為0的不相關(guān)隨機(jī)白噪聲；C(z-1)為單位后移算子z-1的多項式：

C(z-1)=1+c1z-1+c2z-2+…+cncz-nc

式中nc為噪聲向量的階數(shù)。

若當(dāng)前采樣的時刻為k，式(7)可改寫為：

z(k)=φT(k)θ+e(k)

(9)

其中：

z(k)=r(k)

φ(k)=[r(k-1)r(k-2)δ(k-1)δ(k-2) 1]T

式(9)對應(yīng)的系統(tǒng)矩陣形式為：

Zk=Φkθ+Ek

(10)

式中：

2 輔助變量最小二乘法的原理和改進(jìn)

2.1 遞推輔助變量最小二乘算法的原理

最小二乘算法是一種根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，在參數(shù)空間尋找一組最優(yōu)模型參數(shù)估計值用于擬合系統(tǒng)模型的參數(shù)辨識方法，即令系統(tǒng)測量的輸出值與辨識模型輸出值之間的誤差平方和最小。式(10)的參數(shù)估計值的最小二乘解可寫為：

(11)

觀察式(11)最右側(cè)的第2項可知，只有當(dāng)該項的值依概率收斂為0時，即：

(12)

繼續(xù)分析式(12)，可變形為：

(13)

(14)

(15)

圖1 輔助變量構(gòu)建原理Fig.1 Diagram of instrumental variable construction

φ(k)=[r(k-1)r(k-2)δ(k-1)δ(k-2)1]T

(16)

φ*(k)=[r*(k-1)r*(k-2)δ(k-1)δ(k-2)1]T

(17)

K(k)=P(k-1)φ*(k)[1+φT(k)P(k-1)φ*(k)]-1

(18)

(19)

P(k)=[I-K(k)φT(k)]P(k-1)

(20)

(21)

(22)

2.2 遞推輔助變量最小二乘算法的改進(jìn)

A(z-1)r(k)=B(z-1)δ(k)+c+e(k)

(23)

其中：

(24)

如對式(23)兩邊同乘一個預(yù)濾波器F(z-1)，可得：

A(z-1)rf(k)=B(z-1)δf(k)+cf+ef(k)

(25)

其中：

(26)

顯然，若正確選擇預(yù)濾波器F(z-1)可實現(xiàn)對式(8)中多項式C(z-1)的對消，從而改善有色噪聲e(k)的統(tǒng)計特性。預(yù)濾波器F(z-1)的數(shù)學(xué)模型表示為：

F(z-1)e(k)=v(k)

(27)

式中：

F(z-1)=1+f1z-1+f2z-2+…+fnfz-nf

(28)

該濾波器是未知的、有限階的線性濾波器。自回歸有色噪聲e(k)在預(yù)濾波器F(z-1)的作用下將會逐步白化，這在一定程度上能夠降低系統(tǒng)的噪信比，提高自適應(yīng)濾波器的遞推精度。相比常規(guī)的輔助變量法，這種處理問題的方法稱作修正的輔助變量法[17]。綜上所述，從式(16)～(28)，可以將遞推修正輔助變量最小二乘法(RRIVLS)歸納成：

φ(k)=[r(k-1)r(k-2)δ(k-1)δ(k-2) 1]T

(29)

φf(k)=[rf(k-1)rf(k-2)δf(k-1)δf(k-2) 1]T

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

式(29)～(46)的遞推過程表明，修正的輔助變量法的基本思想是先對觀測得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次濾波預(yù)處理后，再結(jié)合輔助變量法對模型參數(shù)進(jìn)行辨識。其中所用的濾波模型實際上是一種動態(tài)模型，在整個迭代過程中不斷靠偏差信息來調(diào)整濾波器參數(shù)，使其逐步逼近于一個較好的濾波模型，從而改善噪聲的統(tǒng)計特性。理論上如果濾波模型選擇得合適，再經(jīng)過迭代后便可對數(shù)據(jù)進(jìn)行較好的白化處理，但是實際過程中的噪聲過程復(fù)雜且充滿不確定性，這使得數(shù)據(jù)白化處理的可靠性下降。因此RRIVLS算法在數(shù)據(jù)預(yù)濾波處理的基礎(chǔ)上將其與原有的輔助變量法相結(jié)合，進(jìn)一步提升參數(shù)辨識精度，實現(xiàn)對模型參數(shù)的無偏估計。需要注意的是，當(dāng)濾波器階數(shù)設(shè)置為nf=0，則F(z-1)=1，此時RRIVLS算法將退化為RIVLS算法。

3 試驗驗證

為驗證RRIVLS對船舶操縱響應(yīng)模型的參數(shù)辨識效果，在相對平穩(wěn)的海況下，以本研究團(tuán)隊自主建造的科研試驗船在海洋環(huán)境下進(jìn)行10°/10°和20°/20°Z形試驗?？蒲性囼灤拇秃椭鞒叨葏?shù)分別如圖2和表1所示。

圖2 科研試驗船F(xiàn)ig.2 Research vessel

表1 科研試驗船的主尺度參數(shù)Table 1 Principal dimension parameters of research vessel

試驗的采樣序列長度為1 000，采樣周期為0.2 s。Z形試驗的數(shù)據(jù)曲線如圖3所示，其中的艏搖角速度通過式(2)差分得到。注意到圖3中Z形試驗數(shù)據(jù)中的艏搖角速度在某些時刻出現(xiàn)了抖動，這是由于試驗的航向角數(shù)據(jù)是在真實海洋環(huán)境下進(jìn)行采集，所采集的航向角數(shù)據(jù)不可避免的會受到海洋環(huán)境的高頻擾動和傳感器測量噪聲的影響，因此艏搖角速度的差分過程會將該類噪聲進(jìn)一步放大，從而致使艏搖角速度出現(xiàn)抖動，這也是式(7)中所提及的有色噪聲，受到有色噪聲干擾的實際量測數(shù)據(jù)會給參數(shù)辨識帶來有偏估計的影響。因此，本文所提出的RRIVLS算法針對受到有色噪聲干擾的艏搖角速度數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識建模，力圖獲得參數(shù)的無偏估計。

圖3 Z形試驗數(shù)據(jù)曲線Fig.3 Zigzag test data curve

3.1 船舶操縱響應(yīng)模型參數(shù)辨識結(jié)果及分析

利用RRIVLS(nf=1)的式(29)～(46)結(jié)合上述的Z形試驗數(shù)據(jù)對式(7)中的模型參數(shù)進(jìn)行辨識，并將其與RIVLS、RELS和RLS算法進(jìn)行比對，得到的參數(shù)辨識曲線圖分別如圖4、圖5所示。各算法的初始設(shè)置情況如下所示：

圖4 基于10°/10°Z形試驗數(shù)據(jù)的參數(shù)辨識曲線Fig.4 Parameter identification curve based on 10°/10° zigzag test

圖5 基于20°/20°Z形試驗數(shù)據(jù)的參數(shù)辨識曲線Fig.5 Parameter identification curve based on 20°/20° zigzag test

由圖4和圖5可知，在10°/10°Z形試驗中，四種算法在遞推至400次左右時，所辨識的參數(shù)均已呈現(xiàn)收斂趨勢；在20°/20°Z形試驗中，RRIVLS和RIVLS辨識的參數(shù)在遞推至200次左右均呈現(xiàn)收斂趨勢，而RELS算法辨識的參數(shù)a1以及RLS算法辨識的參數(shù)b1和b2并未呈現(xiàn)收斂趨勢，這是因為RLS算法由于自身的固有缺陷，容易受有色噪聲的影響，致使對參數(shù)的辨識過程逐步偏離真值，而RELS算法由于需要考慮對噪聲進(jìn)行建模，若噪聲模型的階次選擇不當(dāng)，也會致使參數(shù)無法收斂。RRIVLS和RIVLS采用輔助變量的方式，一定程度上抑制了有色噪聲干擾對參數(shù)辨識的影響，保證了參數(shù)的無偏估計性，且RRIVLS算法能夠?qū)τ^測得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次濾波預(yù)處理，使得參數(shù)的收斂過程相比RIVLS算法更為平滑。

綜合來看，各算法的收斂結(jié)果均有所差異，因此需要后續(xù)試驗進(jìn)行辨識結(jié)果的驗證比對。各算法在10°/10°Z形試驗數(shù)據(jù)和20°/20°Z形試驗數(shù)據(jù)上的最終參數(shù)辨識結(jié)果分別如表2和表3所示。

表2 式(7)的參數(shù)辨識結(jié)果(10°/10°Z形試驗)Table 2 Parameter identification results of formula (7) (10°/10° zigzag test)

表3 式(7)的參數(shù)辨識結(jié)果(20°/20°Z形試驗)Table 3 Parameter identification results of formula (7) (20°/20° zigzag test)

對表2和表3的參數(shù)辨識結(jié)果根據(jù)式(6)計算，對應(yīng)的K、T1、T2、T3和δr的計算結(jié)果如表4和表5所示。

表4 式(1)的參數(shù)計算結(jié)果(10°/10°Z形試驗)Table 4 Calculation results of parameters in formula (1) (10°/10° zigzag test)

表5 式(1)的參數(shù)計算結(jié)果(20°/20°Z形試驗)Table 5 Calculation results of parameters in formula (1) (20°/20° zigzag test)

考慮到系統(tǒng)辨識方法在辨識參數(shù)較多時，可能存在“參數(shù)相消”效應(yīng)，即所辨識的參數(shù)雖然偏離各自的真值，但同樣可以使誤差函數(shù)極小化，從而使得模型的輸入輸出特性與試驗數(shù)據(jù)擬合得很好。因此為了驗證表4和表5的參數(shù)辨識結(jié)果的準(zhǔn)確性，這里選取野本標(biāo)準(zhǔn)法[18]計算的K、T參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比對，野本標(biāo)準(zhǔn)法是一種通過Z形試驗數(shù)據(jù)曲線在圖解分析的基礎(chǔ)上，直接求取船舶操縱響應(yīng)模型K、T參數(shù)的計算方法，盡管該方法計算的參數(shù)精度也存在一定的誤差，但在一定程度上也能為表4和表5的參數(shù)辨識結(jié)果提供一定的參數(shù)真值理論參考標(biāo)準(zhǔn)。為了將表4和表5的辨識結(jié)果與野本標(biāo)準(zhǔn)法進(jìn)行K、T參數(shù)的比對，同時考慮到船舶在進(jìn)行低頻運動時，可將式(1)的二階線性響應(yīng)模型近似降階為一階線性響應(yīng)模型[19]：

式中T=T1+T2-T3。

對表4和表5的參數(shù)結(jié)果按照上述進(jìn)行換算，其換算結(jié)果和野本標(biāo)準(zhǔn)法的計算結(jié)果分別如表6和表7所示。

表6 K、T值的計算結(jié)果表(10°/10°Z形試驗)Table 6 Calculation result table of K and T values (10°/10° zigzag test)

表7 K、T值的計算結(jié)果表(20°/20°Z形試驗)Table 7 Calculation result table of K and T values (20°/20° zigzag test)

由表6和表7的計算結(jié)果可知，野本標(biāo)準(zhǔn)法分別在10°/10°Z形試驗和20°/20°Z形試驗所計算的K、T和δr參數(shù)值具有一定的誤差，這是因為計算所采用的Z形試驗數(shù)據(jù)是在真實海洋環(huán)境條件下采集的，而海洋環(huán)境的實時變化都會對船舶操縱性參數(shù)產(chǎn)生一定的影響。因此，野本標(biāo)準(zhǔn)法通過不同的Z形試驗數(shù)據(jù)所計算得到的K、T和δr參數(shù)值具有一定的誤差是正常的。同時注意到表6和表7中RRIVLS、RIVLS和RELS所辨識參數(shù)換算的K、T值與野本標(biāo)準(zhǔn)法計算的K、T值都較為接近，只有RLS算法所辨識參數(shù)換算的K、T值與野本標(biāo)準(zhǔn)法的誤差較為顯著；而對于參數(shù)δr，RRIVLS、RIVLS和RELS辨識的參數(shù)δr值與野本標(biāo)準(zhǔn)法計算的δr值也都較為接近，而RLS算法所辨識的δr值與野本標(biāo)準(zhǔn)法計算的δr值在10°/10°Z形試驗中的誤差較為顯著。綜合來看，RRIVLS、RIVLS和RELS在不同試驗中辨識的參數(shù)換算結(jié)果K、T和δr參數(shù)值具有一定的合理性，但并不能證明T1、T2和T3的合理性。因此需要在后續(xù)開展模型驗證試驗，從而以試驗的角度證明T1、T2和T3的辨識準(zhǔn)確性。

3.2 模型驗證

為了進(jìn)一步對比表4和表5中各算法辨識參數(shù)結(jié)果的精度,從擬合和泛化2個角度出發(fā)對辨識模型的輸出特性進(jìn)行驗證：

1)分別將表4和表5中各參數(shù)辨識結(jié)果代入式(1)中，再分別以10°/10°Z形試驗和20°/20°Z形試驗舵角數(shù)據(jù)為輸入，對式(1)的微分方程采用四階龍格庫塔法進(jìn)行求解，從而可得到對應(yīng)的模型輸出曲線。該角度可評價解算得到的航向角與實際測量航向角的擬合精度。各Z形擬合試驗的航向角比對曲線和擬合誤差曲線分別如圖6和圖7所示。

圖6 10°/10°Z形擬合試驗的航向角比對曲線和擬合誤差曲線Fig.6 Heading angle comparison curve and fitting error curve of 10°/10° zigzag fitting test

圖7 20°/20°Z形擬合試驗的航向角比對曲線和擬合誤差曲線Fig.7 Heading angle comparison curve and fitting error curve of 20°/20° zigzag fitting test

2)利用10°/10°Z形試驗得到的參數(shù)辨識結(jié)果即表4的參數(shù)辨識結(jié)果代入式(1)中，對其進(jìn)行100 s的20°/20°Z形仿真試驗，仿真過程利用四階龍格庫塔法進(jìn)行求解，從而可得到對應(yīng)的20°/20°Z形航向角泛化曲線。該角度可評價表4中各算法辨識模型的泛化精度。20°/20°Z形泛化試驗的航向角比對曲線和泛化誤差曲線如圖8所示。

圖8 20°/20°Z形泛化試驗的航向角比對曲線和泛化誤差曲線Fig.8 Heading angle comparison curve and generalization error curve of 20°/20° zigzag generalization test

上述所提及誤差計算為：

由圖6和圖7可知，RRIVLS、RIVLS和RELS所辨識的模型相比RLS辨識的模型擁有更高的擬合精度，這一點可以從Z形試驗的航向角比對曲線和航向角擬合誤差曲線直觀看出。而由圖8的航向角泛化誤差曲線可以得出，各辨識模型的誤差曲線隨著時間推移在不斷的增大，這是因為所比對的20°/20°Z形試驗數(shù)據(jù)是在實際海洋環(huán)境中采集的，其中的操縱性參數(shù)必然會受到海洋環(huán)境的影響而產(chǎn)生變化，因此利用表4的參數(shù)進(jìn)行仿真試驗所產(chǎn)生的誤差放大現(xiàn)象是正常的。同時，注意到在仿真曲線的前60 s，利用表4中RRIVLS、RIVLS和RELS算法辨識的參數(shù)結(jié)果所模擬的試驗數(shù)據(jù)曲線仍然能夠反映出實際中20°/20°Z形試驗的航向角變化特性，且RRIVLS相比其余3種辨識模型的泛化精度更高。這也側(cè)面說明了RRIVLS算法辨識得到參數(shù)的準(zhǔn)確性和合理性。而RLS算法受到有色噪聲的影響，導(dǎo)致辨識的參數(shù)偏離真值，因此在圖6～8中的誤差表現(xiàn)顯著。

為了更具體地評價辨識模型的擬合精度和泛化精度，對圖6～8中的航向角誤差曲線利用均方根誤差(root mean squared error, RMSE)和最大絕對誤差(maximum absolute error, MAE)進(jìn)行評價：

MAE=max{|ei|}i=1,2，…,N

式中N為樣本數(shù)。各Z形試驗的RMSE值和MAE值分別如表8～10所示。

表8 10°/10°Z形擬合試驗的RMSE值和MAE值評價表Table 8 RMSE value and MAE value evaluation table of 10°/10° zigzag fitting test

表9 20°/20°Z形擬合試驗的RMSE值和MAE值評價表Table 9 RMSE value and MAE value evaluation table of 20°/20° zigzag fitting test

表10 20°/20°Z形泛化試驗的RMSE值和MAE值評價表Table 10 RMSE value and MAE value evaluation table of 20°/20° zigzag generalization test

表8～10反映了圖6、圖7和圖8中各辨識模型輸出數(shù)據(jù)與實際航向角數(shù)據(jù)在不同誤差指標(biāo)下的評價結(jié)果。評價結(jié)果表明，RRIVLS算法所辨識得到的模型在擬合角度和泛化角度的RMSE指標(biāo)和MAE指標(biāo)相比其余算法更小，符合圖6、圖7和圖8中的局部展示結(jié)果。且RRIVLS算法相比RIVLS算法，在RMSE指標(biāo)和MAE指標(biāo)上均有提升，從而驗證了針對RIVLS算法改進(jìn)的有效性。

3.3 算法實時性分析

本文辨識船舶操縱響應(yīng)模型的過程中，使用了實船10°/10°Z形試驗和20°/20°Z形試驗各1 000組數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識試驗，在Windows10系統(tǒng)下的Octave平臺中記錄了RRIVLS、RIVLS、RELS和 RLS 算法的計算耗時，具體如表11所示。

表11 各算法的計算耗時Table 11 The running time of each algorithm

從算法耗時統(tǒng)計結(jié)果可知，RRIVLS算法的平均單次耗時為0.02 ms，耗時為另外3種算法的2～3倍。這是由于RRIVLS算法額外考慮了對觀測數(shù)據(jù)的動態(tài)濾波，在辨識過程需要額外辨識濾波器的參數(shù)，導(dǎo)致了每次辨識循環(huán)需要進(jìn)行2次參數(shù)辨識和一次數(shù)據(jù)濾波，這個過程會額外增加算法的計算耗時，犧牲了RRIVLS算法的實時性，用以提升算法的參數(shù)辨識精度，綜合來看RRIVLS算法的實時性在可接受范圍以內(nèi)。

4 結(jié)論

1)遞推修正輔助變量最小二乘法所辨識的模型相比其余三者的辨識模型與船舶實際航向的擬合誤差和泛化誤差更小，其對應(yīng)的均方根擬合誤差和均方根泛化誤差分別可達(dá)到1°和2°以下，最大絕對誤差分別在3°和4°以下。這說明了修正的遞推輔助變量最小二乘法在實船航向過程中能夠有效抑制有色噪聲的影響，提升了模型辨識的精度，從而為實現(xiàn)精確穩(wěn)定的航向自適應(yīng)控制或構(gòu)建航向在線預(yù)報模型提供了基礎(chǔ)。

2) 本文的辨識工作僅考慮了二階線性船舶操縱響應(yīng)模型，對于船舶的線性運動和中小幅運動比較適應(yīng)，若船舶處于大舵角或強(qiáng)非線性運動過程中，利用該模型所描述的動態(tài)響應(yīng)過程與實際過程可能會出現(xiàn)較大的偏差。因此，未來可以針對二階非線性船舶操縱響應(yīng)模型展開辨識研究。