高校強(qiáng)基計(jì)劃校測(cè)筆試中的數(shù)列問(wèn)題

北京市十一學(xué)校(100039) 唐浩哲

強(qiáng)基計(jì)劃即高校開(kāi)展的基礎(chǔ)學(xué)科招生計(jì)劃,目標(biāo)是選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生,選拔依據(jù)主要為考生高考成績(jī)和高校的校測(cè)成績(jī).從2020 年強(qiáng)基計(jì)劃開(kāi)始實(shí)施,到2022 年7 月新一輪強(qiáng)基校測(cè)筆試題的新鮮出爐,這3 年中,北大清華各高校試題的題型和難度都比較穩(wěn)定.因此,研究高校校測(cè)筆試試題,對(duì)于高中生的培優(yōu)和強(qiáng)基備考,有著重要意義.

數(shù)列問(wèn)題貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué),且難度適中,因此是高校強(qiáng)基校測(cè)筆試的熱門(mén)考點(diǎn)之一.強(qiáng)基校測(cè)的數(shù)列問(wèn)題不僅覆蓋了高考范圍內(nèi)的等差、等比基本數(shù)列以及前項(xiàng)和等內(nèi)容,更是指向?qū)W(xué)生知識(shí)和能力要求較高的一般的遞推數(shù)列求通項(xiàng);數(shù)列問(wèn)題主要涉及待定系數(shù)法、配湊法、特征方程法、換元法、消元法、放縮法、升角標(biāo)相減法、數(shù)學(xué)歸納法等方法,又與函數(shù)、不等式、數(shù)論等知識(shí)板塊相鏈接,內(nèi)容豐富,非常值得梳理和研究.

例1(2020 北大強(qiáng)基校測(cè)) 滿(mǎn)足對(duì)任意n≥1 都有an+1=2n-3an,且嚴(yán)格遞增的數(shù)列{an}n≥1的個(gè)數(shù)為()

A.0 B.1 C.無(wú)數(shù)個(gè) D.前三個(gè)答案都不對(duì)

評(píng)析本題是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)的常見(jiàn)題型.若改變解題策略,直接考慮數(shù)列的單調(diào)性,由an+2=2n+1-3an+1和an+1=2n-3an相減可得an+2-an+1=2n-3(an+1-an),據(jù)此求出數(shù)列{an+1-an}的通項(xiàng)公式后,也可以得到答案.

例2(2020 北大強(qiáng)基校測(cè))已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2=9,且對(duì)任意n≥1 都有an+2=4an+1-3an-20,則數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最大值為()

A.28 B.35 C.47 D.前三個(gè)答案都不對(duì)

解答由遞推關(guān)系an+2=4an+1-3an -20 可配出an+2-an+1-10=3(an+1-an -10),從而an+1-an -10=3n-1(a2-a1-10)=-2×3n-1,所以an+1-an=10-2×3n-1,可知當(dāng)n≥3 時(shí),an+1-an ＜0,即a3＞a4＞a5＞···,又注意到a1=1,a2=9,a3=13,a4=5,所以當(dāng)n≥5 時(shí),an ＜0,因此Sn的最大值為S4=28,選A.

評(píng)析求前n項(xiàng)和的最大值,實(shí)際只需要明確每一項(xiàng)的符號(hào)即可.本題的解題過(guò)程始終關(guān)注了數(shù)列的單調(diào)性,與例1評(píng)析中的思路類(lèi)似.若想去求出通項(xiàng)公式,反而會(huì)將問(wèn)題復(fù)雜化.

例3(2020 北大強(qiáng)基校測(cè))已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,a2=4,且對(duì)任意的n≥2 有1an+1=2n-1,則a2020個(gè)位數(shù)字是()

A.8 B.4 C.2 D.前三個(gè)答案都不對(duì)

解答依題意,

評(píng)析本題的難點(diǎn)在于:根據(jù)已知遞推關(guān)系的形式,先升角標(biāo)相減消去指數(shù)項(xiàng),再整理變形,最后得到該數(shù)列的一個(gè)二階線(xiàn)性遞推關(guān)系.

例4(2020 清華強(qiáng)基校測(cè))若數(shù)列A:a0,a1,a2,···,a20滿(mǎn)足a0=0,|ai|=|ai-1+1|(i=1,2,···,20),則()

A.存在數(shù)列A使|a0+a1+a2+···+a20|=0

B.存在數(shù)列A使|a0+a1+a2+···+a20|=2

C.存在數(shù)列A使|a0+a1+a2+···+a20|=10

D.存在數(shù)列A使|a0+a1+a2+···+a20|=12

解答對(duì)于選項(xiàng)B,構(gòu)造數(shù)列0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,1,2,3,4 即可;對(duì)于選項(xiàng)C,構(gòu)造數(shù)列0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0 即可;因?yàn)閍2k-1+1=±a2k,所以a2k-1+a2k+1=0 或2a2k,注意到a2k一定為偶數(shù),因此a2k-1+a2k+1≡0(mod4),于是a0+a1+a2+···+a20≡2(mod4),排除選項(xiàng)AD,所以答案為BC.

評(píng)析以上的解答過(guò)程實(shí)際上也證明了該擺動(dòng)數(shù)列的奇偶子列都是單調(diào)數(shù)列,我們還可以據(jù)此求出該數(shù)列的極限為

例8(2021 清華強(qiáng)基校測(cè))一個(gè)有限項(xiàng)的等差數(shù)列,公差為4,且它的首項(xiàng)的平方與其余所有項(xiàng)的和不超過(guò)100,則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是()

A.7 B.8 C.9 D.10

評(píng)析強(qiáng)基試題中也會(huì)涉及中學(xué)大綱范圍內(nèi)的重要內(nèi)容和方法,本題就用到了解決數(shù)列問(wèn)題的基本量法以及求解二次函數(shù)存在性或恒成立問(wèn)題的判別式法.

評(píng)析本題的第1 小問(wèn)與例12 類(lèi)似,都是根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的形式逆向使用特征方程法;第2 小問(wèn)與例3 的后半部分類(lèi)似,都用到了線(xiàn)性遞推關(guān)系生成的一定是模周期數(shù)列這一性質(zhì).對(duì)于高校強(qiáng)基校測(cè)中數(shù)列問(wèn)題的這些高頻考點(diǎn),我們一定要引起重視.