談立體幾何復(fù)習(xí)備考的七個解題意識

安徽省蕪湖市第一中學(xué);新青年數(shù)學(xué)教師工作室(241000) 劉海濤

縱觀近些年的高考題及各級各類?？碱},立體幾何一般穩(wěn)定在一選一填一解答,分值約占總分的15%,主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積、體積,空間中點、線、面的位置關(guān)系,空間中角與距離等知識.由于立體幾何問題能有效考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),已成近些年高考的一大亮點和熱點,?？汲Ｐ?且常以數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H問題為背景命題,情境新穎,題干冗長,學(xué)生往往不易讀懂題意,難以將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,解決此類問題首先需要讀懂題目所敘述的實際情境或文化背景,抽象出空間幾何體所屬模型,最后利用函數(shù)、不等式(組)、方程(組)、數(shù)列、平面幾何的動點軌跡等知識解答.因此,在立體幾何的復(fù)習(xí)中,必須強化閱讀理解意識、模型意識、函數(shù)意識、不等式意識、方程(組)意識、數(shù)列意識及動點軌跡意識.下面通過七道典型例題,淺談以上七個意識的重要性,以供讀者備考參考[1].

1 閱讀理解意識

以數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H問題為背景命制的立體幾何問題,通常題目文字敘述較長、數(shù)據(jù)較多,需要考生具有良好的閱讀理解、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)抽象概括能力,審題時要把握好題目的關(guān)鍵條件、注意挖掘隱含信息.

圖1-1圖1-2

例1我國南北朝時期的著名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異.”意思是,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意一個平面所截,若截面面積都相等,則這兩個幾何體的體積相等.運用祖暅原理計算球的體積時,構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱,與半球(如圖1-1) 放置在同一平面上,然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點,圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體(如圖1-2),用任何一個平行于底面的平面去截它們時,可證得所截得的兩個截面面積相等,由此可證明新幾何體與半球體積相等,即

由曲線x=4,x=-4,x2=4y,x2=-4y圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為V1,滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4 的點(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2,則()

解析如圖1-3,兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8 的平行平面之間,用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體,設(shè)截面與原點距離為|y|,則截面面積S1=π(42-4|y|),S2=π(42-y2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S1=S2,由祖暅原理知,兩個幾何體體積相等,故選C.

圖1-3

評注解答該題的關(guān)鍵是讀懂題意,對于不知體積公式的幾何體,通過構(gòu)建同高等底半徑的圓柱且內(nèi)部挖去適當?shù)膱A錐的空間幾何體,通過計算得到高相等時截面面積相等,根據(jù)祖暅原理得到待求幾何體的體積.由題意可得兩旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8 的平行平面之間,用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體,設(shè)截面與原點距離為|y|,求出所得截面的面積相等,利用祖暅原理知,兩個幾何體體積相等.讀取并理解題中的關(guān)鍵信息(祖暅原理),問題即可順利求解.本題考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力,體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 模型意識

在解決立體幾何問題時,對于題中所給的具有特殊條件的空間幾何體,往往我們可以借助特殊空間幾何體予以分析,如對于求空間幾何體的外接球問題,對于滿足三條棱兩兩垂直或三組對棱分別相等的三棱錐,我們可以將其定點放入符合條件的長方體中,用長方體模型求其外接球.在復(fù)習(xí)備考中,我們要熟記一些特殊的空間幾何體模型,解題時嘗試用特殊模型幫助分析往往可簡化解題過程,達到事半功倍的效果.

評注該題有效地考查了數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),若用幾何法找球心再求半徑,則過程復(fù)雜,運算量大,而根據(jù)正四面體的幾何特征,將其放入正方體模型中考慮外接球問題,思路自然流暢,解答過程簡捷易懂.對于空間幾何體的外接球,常見的解題模型有:三棱錐墻角模型、對棱相等模型、垂面模型、“斗笠”模型、折疊模型、面面垂直模型、矩形模型、二面角模型.限于篇幅,這里不再舉例,讀者可以查閱相關(guān)資料.

3 函數(shù)意識

立體幾何題中,在解決有關(guān)求值(最值、范圍等)問題時,通常要選取變量(角度、線段長度、線段比值等)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值(最值、值域等),這正體現(xiàn)了解立體幾何題的函數(shù)意識.

例3頗受青年朋友喜歡的蛋白石六角錐靈擺吊墜如圖2-1 所示,現(xiàn)在我們通過DⅠY 手工制作一個六角錐吊墜模型.準備一張圓形紙片,已知圓心為O,半徑為10cm,該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O,A1,B1,C1,D1,E1,F1為圓O上的點,如圖2-2 所示.ΔA1AB,ΔB1BC,ΔC1CD,ΔD1DE,ΔE1EF,ΔF1FA分別是以AB,BC,CD,DE,EF,FA為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以AB,BC,CD,DE,EF,FA為折痕折起ΔA1AB,ΔB1BC,ΔC1CD,ΔD1DE,ΔE1EF,ΔF1FA,使A1,B1,C1,D1,E1,F1重合,得到六棱錐,當?shù)酌媪呅蔚倪呴L變化時,所得六棱錐體積的最大值為____cm3.

圖2-1

圖2-2

圖2-3

評注該題有效考查了空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力,考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)、體積等知識.由于本題中六棱錐底面正六邊形邊長不定,涉及六棱錐體積最大值的求解,我們需利用某一變量表示出所求體積,故考慮將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題;本題中因涉及平面幾何,結(jié)合題目的設(shè)問“當?shù)酌媪呅蔚倪呴L變化時”,故采用設(shè)底面六邊形的邊長為變量,得到體積V=接著借助導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最大值.

4 不等式意識

立體幾何題中,在遇到求取值范圍(最值),比較大小、證明不等關(guān)系等問題時,除了構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式解題,有些時候借助不等式(組)能更快的解決問題,這便是立體幾何題中的不等式(組)意識.

例4如圖3-1 所示,正方形ABCD的邊長為2,切去陰影部分后,剩下的部分圍成一個正四棱錐,則正四棱錐的側(cè)面積的取值范圍為____.

圖3-1

圖3-2

評注該題有效考查了空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力,考查了正四棱錐的結(jié)構(gòu)、側(cè)面積等知識.解答的關(guān)鍵在于恰當?shù)倪x取一個量作為變量表示正四棱錐的側(cè)面積,為了與例3 的解答稍作區(qū)分,上述解答中選擇側(cè)面三角形的底角做自變量表示出側(cè)面積,接著利用基本不等式求出范圍,事實上該題也可選擇以底面正方形邊長為自變量構(gòu)造函數(shù),當然例3 也可以題中六棱錐側(cè)面三角形的底角為自變量解題.

5 方程(組)意識

立體幾何題中,有些已知線面角或二面角大小,探究點的位置關(guān)系或線段長度問題,因涉及到一個或多個變量,無法建立函數(shù)關(guān)系時,可以通過方程(組)建立相應(yīng)關(guān)系,再根據(jù)題意進行解答,這就是解答立體幾何時的方程(組)意識.

例5已知在四棱錐P -ABCD中,底面ABCD是邊長為4 的正方形,ΔPAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD的中點.

(1)求證:PO⊥平面ABCD;

(2)線段PB上是否存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為,若存在,求線段PM的長度;若不存在,說明理由.

解析(1)略;

圖4

評注利用法向量求解有關(guān)空間線面角的問題關(guān)鍵在于“四破”:第一,破“建系關(guān)”,構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系;第二,破“求坐標關(guān)”,準確求解相關(guān)點的坐標;第三,破“求法向量關(guān)”,求出平面的法向量;第四,破“應(yīng)用公式關(guān)”.該題已知線面角大小,探究點M在線段PB上的位置,可通過設(shè)用變量λ表示出線面角,從而解出λ的值,體現(xiàn)了立體幾何計算中的方程意識.

6 動點的軌跡意識

立體幾何問題中,有些球的外切問題隨著相切球數(shù)量的增加,半徑呈現(xiàn)為關(guān)于n的數(shù)列表達式,且根據(jù)題意可以得到其遞推關(guān)系式及首項,將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題處理,通過研究數(shù)列得到答案,這便是立體幾何問題中的數(shù)列意識.

例6 已知三棱錐A-BCD的棱長均為6,其內(nèi)有n個小球,球O1與三棱錐A-BCD的四個面都相切,球O2與三棱錐A-BCD的三個面和球O1都相切,如此類推,…,球On與三棱錐A-BCD的三個面和球On-1都相切(n≥2,n ∈N*),則球On的表面積等于_____.

圖5

評注本題考查了球與面、球與球相切問題等知識,考查了學(xué)生邏輯推理、空間想象、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.解答該題的關(guān)鍵在于,根據(jù)題意得到相鄰兩球的半徑關(guān)系為rn+1=2rn,得到等比數(shù)列{rn},從而順利解題.

7 動點的軌跡意識

立體幾何問題中,對于一些與動點有關(guān)的取值范圍或最值問題,若能從平面解析幾何角度分析,得出動點的軌跡方程,則可以將空間問題平面化,數(shù)形結(jié)合直觀得出答案,這便是立體幾何問題中的動點的軌跡意識.

例7如圖6-1,在四棱錐P -ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB//CD,AB⊥AD,AB=3,CD=AD=6,若動點Q是平面PAD內(nèi)的動點,使得∠CQD=∠BQA,則四棱錐Q-ABCD的體積最大值為____.

圖6-1

圖6-2

評注解答該題的關(guān)鍵是得到QD=2QA后,在平面PAD內(nèi),從平面解析幾何的角研究動點Q,建立直角坐標系求出Q點軌跡是圓(x-3)2+y2=8,實質(zhì)為隱圓問題[2-3],從而數(shù)形結(jié)合直觀得出點Q到DA的距離最大為4,即四棱錐Q-ABCD的高的最大值為4.