2022 年新高考Ⅰ卷填空題試題分析與教學(xué)啟示

廣東佛山南海中學(xué)(528211) 周鴻高

一、試題呈現(xiàn)

2022 年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題填空題如下:

二、試題解讀

第13 題解讀題干“(1-)(x+y)8”由兩部分:(1-),(x+y)8構(gòu)成,其中(x+y)8可應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開,然后再每項(xiàng)乘以(1-),合并同類項(xiàng)后得到結(jié)果.試題主要考察考生對(duì)二項(xiàng)式定理的理解,并能簡單應(yīng)用.試題設(shè)置簡單直接,但由于(1-),有兩種情況,且出現(xiàn)“負(fù)號(hào)”,以及組合數(shù)的計(jì)算(題干注明“用數(shù)字作答”),會(huì)給部分考生造成一定的解題失誤.本題體現(xiàn)基礎(chǔ)性,屬于中低檔題.

第14 題解讀題干給出兩個(gè)圓的方程,寫出一條公切線方程.求兩圓的公切線方程,需要先判斷兩圓的位置關(guān)系,因?yàn)椴煌恢藐P(guān)系的兩圓公切線情況不一樣.考生如果直接求解公切線方程,將陷入繁瑣的計(jì)算過程.事實(shí)上,如果先判斷出兩個(gè)圓是外切的位置關(guān)系,再畫出圖形,可以發(fā)現(xiàn)“直線x=-1”與兩個(gè)圓相切,這是最容易得到的公切線,由于“直線x=-1”的斜率不存在,直接求解反而求不出.另外,教材例題指出,當(dāng)兩圓相交時(shí),兩圓方程相減為相交弦所在直線方程,不難類比得到,當(dāng)兩圓相切時(shí),兩圓方程相減就是切線方程,本題直接把兩圓方程相減就可以得到內(nèi)公切線方程.這是一道有限制范圍的開放性試題,能夠較好考察考生的分析問題能力、遷移知識(shí)能力,達(dá)到較高區(qū)分度的目的.本題體現(xiàn)創(chuàng)新性.

第15 題解讀曲線方程含有參數(shù),已知曲線存在兩條過原點(diǎn)的切線,求參數(shù).這是一道“逆向”的問題,需要先求含參數(shù)的切線方程,再代入原點(diǎn)坐標(biāo),得到關(guān)于x的方程,有兩解.關(guān)于x的方程是一元二次方程,則需要滿足條件Δ＞0.本題需要求導(dǎo),設(shè)切點(diǎn),列出切線方程,代入化簡,考察考生較強(qiáng)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力,綜合性較強(qiáng).不過解題方法常規(guī)常見,化簡后的方程是一元二次方程,是考生很熟悉和掌握的.如果考生采用分離變量的方法求解,則需要分類討論.本題體現(xiàn)應(yīng)用性.

第16 題解讀本題綜合性較強(qiáng),需要先由離心率為發(fā)現(xiàn)等邊三角形(即a=2c),據(jù)此得到直線DE是AF2的中垂線,因此AD=DF2,AE=EF2,等量代換后,結(jié)合橢圓定義,得到所求三角形周長為4a;再利用弦長、離心率和橢圓方程,計(jì)算出a的值.考察考生較強(qiáng)的分析轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力.本題應(yīng)用常規(guī)方法解答,運(yùn)算求解過程比較繁瑣,很考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)功底.另外,本題隱性考察橢圓的第二定義、焦半徑、極坐標(biāo)方程(焦點(diǎn)弦)等高階的圓錐曲線知識(shí)方法,考生如果接觸過這些知識(shí)方法,并能在考場上應(yīng)用,可以簡化運(yùn)算求解過程.

三、答題情況

1 試題答案

第13 題:-28.

第14 題:x=-1 或3x+4y-5=0 或7x-24y-25=0.

第15 題:(-∞,-4)∪(0,+∞).

第16 題:13.

2 典型錯(cuò)誤

四、試題評(píng)價(jià)

教師對(duì)填空題組的認(rèn)可度:起點(diǎn)較高,計(jì)算量大,需要考生具備較強(qiáng)的分析轉(zhuǎn)化能力,能夠考察考生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

第13 題需要兩項(xiàng)合并,且涉及正負(fù)符號(hào),作為填空題首題,起點(diǎn)較高,部分考生作答不理想.

第14 題雖然三條直線只寫一條,且有幾乎不用求解的“直線x=-1”,但考生看到題目自然做法就是設(shè)直線方程y=kx+b,求解k,b,就會(huì)陷入繁瑣的計(jì)算中,且不能算出直線x=-1,極容易出錯(cuò).

第15 題是切線的逆向問題,涉及多字母(符號(hào))運(yùn)算,考生即使有正確的解題思路,解題過程也容易出錯(cuò).

第16 題涉及點(diǎn)、線較多,需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化,才能正確解題,而且解題過程也不是一蹴而就,需要較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力.

對(duì)比2021 年新高考Ⅰ卷填空題,計(jì)算量與思維量明顯提升.2021 年填空題難題主要集中在第16 題,而且設(shè)置為遞進(jìn)式雙空題,保證大部分考生第一空的得分;今年填空題第14題計(jì)算量大,第15、16 題需要較強(qiáng)的分析轉(zhuǎn)化能力,且都是單空題,得分不如去年.

五、以題論教

下面筆者結(jié)合對(duì)填空題的解析,談?wù)剬?duì)今后高考數(shù)學(xué)的教考建議.

1.高中數(shù)學(xué)教學(xué)要著力于理解概念、原理,對(duì)必備知識(shí)要教透、學(xué)透,放慢高中數(shù)學(xué)新課的學(xué)習(xí)進(jìn)度

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),涉及數(shù)學(xué)概念、原理的考題,考生往往做得不好.考后評(píng)講時(shí),若提問相關(guān)數(shù)學(xué)概念、原理,能正確復(fù)述的學(xué)生寥寥無幾,甚至有忘得一干二凈的.而現(xiàn)在考題愈發(fā)命制在概念、原理處,解法也是回歸最基本的方法.因此,新高考模式下要更加重視數(shù)學(xué)概念、原理的教學(xué).一是要放慢學(xué)習(xí)的腳步:數(shù)學(xué)概念、原理對(duì)學(xué)生而言,大都抽象難懂,接受它、理解它需要時(shí)間,過快進(jìn)入應(yīng)用,是不可取的;二是從多層次多角度讓學(xué)生理解概念、原理.以二項(xiàng)式定理為例,對(duì)二項(xiàng)展開式(a+b)n=的掌握,應(yīng)從四方面進(jìn)行教學(xué):①公式本身的特點(diǎn)(認(rèn)識(shí)公式);②公式基本的性質(zhì)(理解公式);③公式本質(zhì)的理解(推廣公式);④公式相關(guān)的應(yīng)用(應(yīng)用公式).數(shù)學(xué)概念、原理的初次學(xué)習(xí)是極其重要和關(guān)鍵的,如果初次學(xué)習(xí)囫圇吞棗、半生不熟,“先入為主”的心理作祟將使得后來花再多的氣力也“扭轉(zhuǎn)”不了.

2.小題小做,善于用數(shù)形結(jié)合思想方法解題;小題巧做,善于用特值法、檢驗(yàn)法、排除法、構(gòu)造法解題;小題少做,善于利用二級(jí)結(jié)論、解題經(jīng)驗(yàn)解題

考試答題講究方法技巧,尤其對(duì)小題而言.數(shù)學(xué)小題指只要答案、不管過程的題型,一般指選擇題和填空題.針對(duì)小題的這個(gè)特點(diǎn),產(chǎn)生了許多專門“對(duì)付”小題的方法.

小題解題策略在高三備考過程中,要長期灌輸、不斷強(qiáng)化.教師評(píng)講試題時(shí),應(yīng)該多做示范,多進(jìn)行小題小做,數(shù)形結(jié)合,畫圖準(zhǔn)確,分析快速到位;小題巧做,特值檢驗(yàn)、構(gòu)造排除,如何選取特值? 如何構(gòu)造模型? 需要解題經(jīng)驗(yàn)積累;小題少做甚至不用做,常見的二級(jí)結(jié)論、經(jīng)典問題的解答,要積累熟記,尤其備考后期更適用.

3.通過題組的變式與拓展,引導(dǎo)學(xué)生多思考,提升分析轉(zhuǎn)化能力;少進(jìn)行簡單重復(fù)的“刷題”,“刷題”只會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行簡單機(jī)械模仿,一旦考題稍作變化,考生就無所適從

以第15 題為例,考生考前都練過曲線在某點(diǎn)處的切線方程,進(jìn)一步求過曲線過某點(diǎn)處的切線方程,再進(jìn)一步已知曲線方程求參數(shù)值,也許自認(rèn)為已覆蓋切線方程的所有題型.然而考題卻總能出人意料,本題已知曲線過原點(diǎn)的切線條數(shù),求參數(shù)取值范圍.其實(shí)解題思路與解法是一致的,相通的;如果平時(shí)能夠進(jìn)行題組的變式與拓展教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生多思考、多總結(jié),一解多題,就能較好的應(yīng)對(duì)這樣的考題,否則,一旦面對(duì)這樣有別于平時(shí)練習(xí)的考題,考生就會(huì)無所適從.事實(shí)上,本題的解答自然順利:y′=ex(x+a+1),設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則y0=ex0(x0+a),k=ex0(x0+a+1),從而切線方程為y-ex0(x0+a)=ex0(x0+a+1)(x-x0),代入(0,0),得-ex0(x0+a)=-x0·ex0(x0+a+1),即x0+a=+ax0+x0,題意等價(jià)于方程+ax0-a=0有兩個(gè)實(shí)根,則Δ=a2+4a ＞0,解得a ＜-4 或a ＞0.

再如第16 題,畫出圖形后,不能直接求ΔADE的周長,由e=,得a=2c,所以ΔAF1F2是等邊三角形,直線DE是AF2的中垂線,則|DA|=|DF2|,|EA|=|EF2|,從而把ΔADE的周長等價(jià)轉(zhuǎn)化為ΔDEF2的周長,即為4a.這個(gè)轉(zhuǎn)化過程很關(guān)鍵,只有轉(zhuǎn)化了本題才能解答,而一旦轉(zhuǎn)化了,就是一道常見的試題.這是試題?？汲Ｐ碌淖兓?而這是“刷題”無法窮盡的.把握試題本質(zhì),提升轉(zhuǎn)化能力,避免機(jī)械“刷題”,才能應(yīng)對(duì)這些考題.

4.注重通法,優(yōu)化解法,簡化算法,提高解題速度

第16 題作為填空壓軸題,從常規(guī)解法可以發(fā)現(xiàn),解法常見常用,就是解答線錐問題的一般模型.這啟示我們,通性通法是解答常規(guī)試題的基本方法,也是解答綜合性強(qiáng)試題的壓艙石.本題轉(zhuǎn)化為解三角形不是解答該題的通性通法,但若是一道解三角形試題,即轉(zhuǎn)化為解三角形后,其解法也是通性通法.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué),一定要重視通性通法的培養(yǎng)與訓(xùn)練,讓學(xué)生形成各專題的一般解題路徑.另外,二級(jí)結(jié)論的應(yīng)用,高觀點(diǎn)下的解法,對(duì)學(xué)有余力的考生,可以適時(shí)適當(dāng)拓展學(xué)習(xí),而且要學(xué)得比較通透.這樣,面對(duì)綜合性強(qiáng)的考題,“秘密武器”就成為最后的“殺手锏”,常能收到“奇效”.

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與高考數(shù)學(xué)備考是一個(gè)系統(tǒng)工程,數(shù)學(xué)試題要解答得好,不僅要具備體系化的數(shù)學(xué)知識(shí),要形成模型化的解題路徑,還要培養(yǎng)敏銳的數(shù)學(xué)思維,善于調(diào)整答題的策略.高考數(shù)學(xué)試題越來越靈活,深入考察考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的,也不是多解幾道題就培養(yǎng)起來的,更不是會(huì)解幾道數(shù)學(xué)題就養(yǎng)成了數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程,新高考試題從側(cè)面反映,高中的教育與學(xué)習(xí)應(yīng)該慢下來,不要過于“急功近利”,腳踏實(shí)地沉下心來學(xué)習(xí)才是正確的學(xué)習(xí)之道.