基于數(shù)學(xué)模式探析數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)列問(wèn)題

湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(410081) 吳仁芳 張立京

數(shù)列問(wèn)題在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中占有重要地位,對(duì)其進(jìn)行細(xì)致研究將極大地豐富競(jìng)賽數(shù)學(xué)的內(nèi)容,更有助于推動(dòng)競(jìng)賽數(shù)學(xué)的縱向發(fā)展.數(shù)列常常是設(shè)計(jì)數(shù)列綜合題的“中途點(diǎn)”、命制競(jìng)賽試題的“增長(zhǎng)點(diǎn)”、解答思路的“突破點(diǎn)”,而且也是許多國(guó)內(nèi)競(jìng)賽題和國(guó)際競(jìng)賽題的“關(guān)鍵點(diǎn)”.解決數(shù)列問(wèn)題通常需要借助開(kāi)闊的思維方式,可以通過(guò)如觀察試驗(yàn)、歸納猜想、類(lèi)比聯(lián)想、一般與特殊、數(shù)形結(jié)合等思維方法,尤其在解決遞推數(shù)列問(wèn)題時(shí)解題思路主要有歸納、迭代和構(gòu)造[1],并且具有特殊解法如特征根法、數(shù)學(xué)歸納法、不動(dòng)點(diǎn)法、母函數(shù)法等[2],同時(shí)數(shù)列問(wèn)題解決也滲透了如觀察、探索、枚舉、化歸等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想、解題策略等.靈巧變換地求解數(shù)列問(wèn)題能拓展學(xué)生的邏輯思維和邏輯抽象,提高學(xué)科學(xué)習(xí)能力,為未來(lái)專(zhuān)業(yè)發(fā)展奠定良好基礎(chǔ);同時(shí),深刻剖析競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的數(shù)列問(wèn)題有利于挖掘其內(nèi)在聯(lián)系、豐富其發(fā)展概貌.本文基于競(jìng)賽試題和相關(guān)文獻(xiàn)分析,整理出數(shù)列問(wèn)題中的常用解法包含化歸法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、不動(dòng)點(diǎn)法、換元法、特征根法、母函數(shù)法等,為后續(xù)模式結(jié)構(gòu)的分類(lèi)作鋪墊.

鄭毓信認(rèn)為模式之于數(shù)學(xué)具有特殊意義,數(shù)學(xué)的本質(zhì)即是關(guān)于數(shù)學(xué)模式的科學(xué)[3],喻平認(rèn)為各種基本概念、理論體系、命題、方法都?xì)w屬于數(shù)學(xué)模式[4],于文華認(rèn)為模式是有層次性的,可以有基本的數(shù)學(xué)模式,也可以有幾種基本模式的疊加組合,各模式之間關(guān)系呈網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)[5].因此對(duì)于數(shù)學(xué)的研究應(yīng)注重模式觀念,善于從模式的角度去發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題,以發(fā)揮數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征作用.策略意指總體的行動(dòng)方針,而解題策略是在探索問(wèn)題答案時(shí)采取的途徑和方法,本文結(jié)合任樟輝、羅增儒等教授提出的解題策略[6][7],即以簡(jiǎn)馭繁、進(jìn)退互用、化生為熟、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、分合相輔、引參求變、正難則反,擬以解題策略為分類(lèi)依據(jù)對(duì)數(shù)列問(wèn)題中所涉及的模式進(jìn)行劃分,整合數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常用求解數(shù)列問(wèn)題的方法,整理出12 種模式結(jié)構(gòu),分別為換元模式、特征根模式、母函數(shù)模式、數(shù)學(xué)歸納法模式、放縮模式、化歸模式、韋達(dá)定理模式、不動(dòng)點(diǎn)模式、配方模式、拆合模式、待定系數(shù)模式、反證法模式.

以簡(jiǎn)馭繁策略意指用簡(jiǎn)單的觀點(diǎn)去看待復(fù)雜的形式以便抓住形式所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì),本文表現(xiàn)為換元模式、特征根模式、母函數(shù)模式;進(jìn)退互用策略意指運(yùn)用以進(jìn)求退、以退求進(jìn)的辯證關(guān)系轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)問(wèn)題,如一般與特殊、抽象與具體、高維與低維、強(qiáng)命題與弱命題,本文表現(xiàn)為數(shù)學(xué)歸納法模式、放縮模式;化生為熟策略意指把陌生問(wèn)題通過(guò)適當(dāng)變形轉(zhuǎn)為熟悉問(wèn)題來(lái)求解,本文表現(xiàn)為化歸模式、韋達(dá)定理模式;動(dòng)靜轉(zhuǎn)換策略意指可用動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)處理靜的特征,也可用靜的方法來(lái)處理動(dòng)的過(guò)程,本文表現(xiàn)為不動(dòng)點(diǎn)模式;分合相輔策略意指可以將求解問(wèn)題進(jìn)行分割處理,也可以進(jìn)行添項(xiàng)處理以使得問(wèn)題變?yōu)楹侠硪浊?本文表現(xiàn)為配方模式、拆合模式;引參求變策略意指通過(guò)參數(shù)的加入使得問(wèn)題中量的關(guān)系變得明晰以此找到求解路徑,本文表現(xiàn)為待定系數(shù)模式;正難則反策略意指當(dāng)使用直接解法不能求解時(shí)轉(zhuǎn)用間接證法使問(wèn)題得以順利解決,本文表現(xiàn)為反證法模式.

1 借助以簡(jiǎn)馭繁策略,構(gòu)造數(shù)學(xué)模式

1.1 換元模式換元模式是指以局部整體的思想對(duì)所求量的表現(xiàn)形式進(jìn)行變換,通過(guò)對(duì)新變量的成功求解,從而求得原所求量,中間過(guò)程要留意前后量的取值變化.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),首先將其歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,觀察問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)和局部特征為了簡(jiǎn)化變量抓住問(wèn)題本質(zhì),與自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的換元模式相匹配,經(jīng)由解題正向遷移使得問(wèn)題成功求解.

換元法是換元模式的典型方法,使用換元法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本思路是:恰當(dāng)選擇變換函數(shù)φ(x),使φ(x)的值域包含數(shù)列{an}的值域,并令an=φ(bn),代入{an}的遞推式an=f(an-1)中,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理得到{bn}的一個(gè)新的遞推式bn=g(bn-1).如果從bn=g(bn-1)能求出{bn}的通項(xiàng)公式,則{an}的通項(xiàng)公式即為an=φ(bn).

評(píng)注本題中所給的遞推式含有根號(hào),導(dǎo)致解題者無(wú)法直接對(duì)問(wèn)題形成正確表征.因此需要應(yīng)用換元模式,將遞推式進(jìn)行有理化,降低其外在認(rèn)知負(fù)荷.然后經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可完成對(duì)問(wèn)題的表征,進(jìn)而完成問(wèn)題與內(nèi)在認(rèn)知中的基本數(shù)列結(jié)構(gòu)的匹配,從而正確求解.由此可見(jiàn),換元模式可降低解題者的外在認(rèn)知負(fù)荷,同時(shí)也能簡(jiǎn)化問(wèn)題表現(xiàn)形式,突出問(wèn)題本質(zhì)特征,便于解題者迅速與內(nèi)在認(rèn)知中的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行匹配.

1.2 特征根模式特征根模式是指針對(duì)具有常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程特征的遞歸數(shù)列,運(yùn)用其特征根的獨(dú)特性質(zhì)對(duì)數(shù)列進(jìn)行求解.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),先將其歸類(lèi)為遞歸數(shù)列問(wèn)題,分析題干整體特征為了明晰變量特征抓住本質(zhì),與自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中特征根模式相適配,經(jīng)由思維正向遷移使得問(wèn)題得以求解.

特征根法是特征根模式的典型操作方法,也是求常系數(shù)齊次線(xiàn)性遞歸數(shù)列通項(xiàng)的重要方法.對(duì)于k階常系數(shù)齊次線(xiàn)性遞歸數(shù)列

評(píng)注本題通過(guò)觀察題目信息,獲取到了常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的有關(guān)特征,以特征根的方式求出數(shù)列通項(xiàng)公式,注意到本題需要用到兩次特征根法.由此可見(jiàn),相對(duì)于構(gòu)造簡(jiǎn)單數(shù)列結(jié)構(gòu)求解數(shù)列通項(xiàng),特征根模式為解題者提供了更一般的思路和結(jié)構(gòu),降低了問(wèn)題表征難度,達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的效果.尤其是在解決高階遞歸數(shù)列問(wèn)題時(shí),利用特征根模式可迅速完成問(wèn)題表征,進(jìn)而完成求解.

1.3 母函數(shù)模式母函數(shù)模式是指針對(duì)當(dāng)前問(wèn)題形式聯(lián)系級(jí)數(shù)的相關(guān)特征,運(yùn)用母函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)求解得到數(shù)列通項(xiàng)公式.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),將其歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,觀察題干所給信息發(fā)現(xiàn)特征結(jié)構(gòu)為了將問(wèn)題有關(guān)方法轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)的形式,與自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的母函數(shù)模式相匹配,然后經(jīng)過(guò)解題正向遷移最終求解數(shù)列通項(xiàng).

母函數(shù)法是母函數(shù)模式的典型方法,在求解k階線(xiàn)性遞推式的數(shù)列通項(xiàng)時(shí),常用到母函數(shù)法.對(duì)于數(shù)列{an}把下面形式的級(jí)數(shù)f(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxn+···視為其母函數(shù),然后運(yùn)用函數(shù)與級(jí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)變換求得通項(xiàng)公式.

例3數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2=4an+1-4an,a1=3,a2=8,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析設(shè)數(shù)列{an}的母函數(shù)為

評(píng)注本題通過(guò)建立數(shù)列與母函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將問(wèn)題簡(jiǎn)化后與解題者認(rèn)知中的基本函數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行匹配,然后適配函數(shù)運(yùn)算方法進(jìn)行求解.由此可見(jiàn),在應(yīng)用母函數(shù)模式求解復(fù)雜數(shù)列問(wèn)題時(shí),只需通過(guò)函數(shù)之間的運(yùn)算變形以及級(jí)數(shù)性質(zhì)即可完成求解,因此母函數(shù)模式能大幅度減少解題者的思維量,讓其能快速完成問(wèn)題表征.

2 借助進(jìn)退互用策略,構(gòu)造數(shù)學(xué)模式

2.1 數(shù)學(xué)歸納法模式數(shù)學(xué)歸納法模式是指在發(fā)現(xiàn)某量之間的規(guī)律關(guān)系后,通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的固定步驟從特殊推往一般對(duì)問(wèn)題進(jìn)行證明求解.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,觀察題目信息發(fā)現(xiàn)特有規(guī)律為了以退求進(jìn)實(shí)現(xiàn)從特殊到一般,與自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)歸納法模式相匹配,經(jīng)由正向遷移求解所給問(wèn)題.

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)歸納法模式的操作方法,利用數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)一般是通過(guò)計(jì)算找出數(shù)列前若干項(xiàng)的規(guī)律,給出通項(xiàng)的表達(dá)式的猜想,再由數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

評(píng)注本題涉及數(shù)列{an},{bn}和實(shí)數(shù)A,B多個(gè)量,直接求解十分困難.故采取以退求進(jìn)策略,先運(yùn)用降維法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明只含數(shù)列{ki}與A的不等式,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法問(wèn)題即可迎刃而解.由此可見(jiàn),數(shù)學(xué)歸納法模式可降低問(wèn)題的表征復(fù)雜度,引導(dǎo)解題者明確規(guī)律關(guān)系,進(jìn)而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行方法適配,完成求解.

2.2 放縮模式放縮模式是指通過(guò)對(duì)某變量進(jìn)行放大或縮小操作使得該變量特殊化、具體化,以便更易求解問(wèn)題.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,由題目信息發(fā)現(xiàn)不等式的有關(guān)特征,為了增強(qiáng)命題特征實(shí)現(xiàn)從一般到特殊,與自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的放縮模式相匹配,經(jīng)由解題遷移成功求解問(wèn)題.

放縮法是放縮模式的操作方法.在數(shù)列不等式的證明過(guò)程中,要證明不等式A ＜B成立,有時(shí)可以將它的一邊放大或縮小,尋找一個(gè)中間量,如將A放大成C,即A ＜C,后證C ＜B.放縮法在不等式型的證明中十分常見(jiàn),關(guān)鍵是要對(duì)放縮尺度進(jìn)行靈活把控.

例5(2012 年國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽第二題) 設(shè)整數(shù)n≥3,正實(shí)數(shù)a2,a3,···,an滿(mǎn)足a2a3···an=1.證明:(1+a2)2(1+a3)3···(1+an)n ＞nn.

解析利用均值不等式進(jìn)行放縮,有

評(píng)注通過(guò)觀察本題所證不等式的特征,可發(fā)現(xiàn)不等式左邊是數(shù)列{(1+ak)k}各項(xiàng)的乘積,故可根據(jù)數(shù)列自身特征構(gòu)造中間量(即運(yùn)用均值不等式進(jìn)行放縮)逐步逼近目標(biāo),然后再根據(jù)題設(shè)條件調(diào)整放縮尺度即可完成證明.由此可見(jiàn),若將問(wèn)題解決視為條件與結(jié)論之間因果關(guān)系的演繹,那么放縮模式可為解題者提供逼近目標(biāo)的方向,同時(shí)結(jié)合進(jìn)退互用策略可合理把握放縮尺度,進(jìn)而完成問(wèn)題證明.

3 借助化生為熟策略,構(gòu)造數(shù)學(xué)模式

3.1 化歸模式化歸模式是指將未曾見(jiàn)過(guò)的特殊數(shù)列進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化成為已學(xué)的等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列等來(lái)求解通項(xiàng).其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,觀察題目所給關(guān)系特征為了化難為易,與自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的化歸模式相匹配,經(jīng)由解題遷移求解所給問(wèn)題.

化歸法是化歸模式的操作方法,也是化歸思想的主要方法,等差、等比數(shù)列的求和公式是基本知識(shí),在遇到一些特殊數(shù)列的求和問(wèn)題時(shí),往往可以將這些特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列,再依據(jù)公式和已有的知識(shí)和條件進(jìn)行求解.

評(píng)注化歸模式實(shí)質(zhì)上是通過(guò)對(duì)特殊數(shù)列進(jìn)行變形與構(gòu)造,進(jìn)而與解題者認(rèn)知中的基本結(jié)構(gòu)(如數(shù)列的線(xiàn)性關(guān)系結(jié)構(gòu))進(jìn)行匹配,進(jìn)而完成對(duì)問(wèn)題表征.例如本題就通過(guò)對(duì)遞推式an+1=進(jìn)行了一系列的變形與構(gòu)造,將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)常數(shù)列結(jié)構(gòu),使得問(wèn)題得以解決.

3.2 韋達(dá)定理模式韋達(dá)定理模式是指針對(duì)具有一元二次方程型特征的式子對(duì)其運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解數(shù)列通項(xiàng).其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,分析題目關(guān)系特征為了簡(jiǎn)易求解,與自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的韋達(dá)定理模式相匹配,經(jīng)由解題遷移求解所給問(wèn)題.

韋達(dá)定理法是韋達(dá)定理模式的操作方法,主要是運(yùn)用一元二次方程中根與系數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解問(wèn)題.

評(píng)注由于數(shù)列是特殊的函數(shù),而函數(shù)通常與方程相關(guān)聯(lián),因此在分析數(shù)列問(wèn)題時(shí)可考慮從方程角度對(duì)其遞推式進(jìn)行表征.韋達(dá)定理模式實(shí)質(zhì)上是從方程角度對(duì)數(shù)列遞推式進(jìn)行表征,從而與解題者認(rèn)知中的韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)進(jìn)行匹配,進(jìn)而利用韋達(dá)定理對(duì)數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行求解.如本題依據(jù)數(shù)列所給的條件,整理出方程結(jié)構(gòu)特征,然后利用韋達(dá)定理找出數(shù)列的遞推關(guān)系,從而解決數(shù)列中項(xiàng)的整數(shù)屬性.

4 借助動(dòng)靜轉(zhuǎn)換策略,構(gòu)造數(shù)學(xué)模式

4.1 不動(dòng)點(diǎn)模式不動(dòng)點(diǎn)模式是指明確某一固定不動(dòng)點(diǎn),依據(jù)該點(diǎn)的特殊性對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形求解.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),將其歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,觀察問(wèn)題發(fā)現(xiàn)存在不動(dòng)點(diǎn),為了發(fā)揮靜的特征作用,與自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的不動(dòng)點(diǎn)模式相匹配,經(jīng)由解題正向遷移求得數(shù)列通項(xiàng).

不動(dòng)點(diǎn)法是定點(diǎn)模式的常用方法,其主要用來(lái)求形如數(shù)列an=f(an-1)(n ∈N*)的通項(xiàng)公式,求解過(guò)程相當(dāng)于是求函數(shù)f(x)的n次迭代.

評(píng)注本題的遞推公式屬于不動(dòng)點(diǎn)法中的類(lèi)型,通過(guò)公式求得兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),并將原式變形,得到新的數(shù)列把{bn},由于數(shù)列{bn}的性質(zhì)相對(duì)明顯,求得其遞推公式后再帶回到原數(shù)列{an},得到其通項(xiàng)公式.由此可見(jiàn),不動(dòng)點(diǎn)模式利用數(shù)列是特殊函數(shù)這一性質(zhì),通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)對(duì)數(shù)列進(jìn)行構(gòu)造,將問(wèn)題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為解題者已有認(rèn)知的基本數(shù)列結(jié)構(gòu)或具有明顯規(guī)律的數(shù)列結(jié)構(gòu),進(jìn)而順利完成求解.

5 借助分合相輔策略,構(gòu)造數(shù)學(xué)模式

5.1 配方模式配方模式是指通過(guò)添加量或式子使得變量的關(guān)系變得特殊具體,更易求解問(wèn)題.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,觀察題目信息發(fā)現(xiàn)特征為了使問(wèn)題更清晰明朗,與自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的配方模式相匹配,經(jīng)由解題正向遷移成功求解問(wèn)題.

配方法是配方模式的操作方法,一般來(lái)說(shuō)對(duì)于等差數(shù)列中的最值問(wèn)題,可以考慮用配方法來(lái)解決,將隱藏的關(guān)系挖掘出來(lái).

評(píng)注本題條件中含二次形式,而目標(biāo)是求最值,解題者經(jīng)過(guò)整體分析后即可與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的配方模式進(jìn)行匹配,然后分別對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行分析,進(jìn)而形成合理的問(wèn)題表征,并適配配方法完成求解.由此可見(jiàn),配方模式應(yīng)用過(guò)程先利用整體分析完成模式配對(duì),然后分別處理?xiàng)l件和結(jié)論進(jìn)行方法適配,兩者相輔相成,進(jìn)而促進(jìn)解題者形成準(zhǔn)確的表征.

5.2 拆合模式拆合模式是指通過(guò)將式子進(jìn)行拆分或整合操作,以達(dá)到某種規(guī)律性的問(wèn)題變形,從而使得問(wèn)題易求.該種模式體現(xiàn)分解與組合的數(shù)學(xué)思想.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),將其歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,通過(guò)分析所給特征信息為了拆分式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律,與自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的拆合模式相匹配,經(jīng)由正向遷移求解所給問(wèn)題.拆合模式在數(shù)列問(wèn)題中常用的操作方法有錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法.

5.2.1 錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和的問(wèn)題中被廣泛應(yīng)用,對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列,往往可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和.

例10(1990 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)n2(n≥4)個(gè)正數(shù)排列n行n列:

評(píng)注本題先從局部入手,利用基本數(shù)列性質(zhì),求出行數(shù)列和列數(shù)量的特征量,然后整體分析得出目標(biāo)數(shù)列表達(dá)式,進(jìn)而與錯(cuò)位相減法進(jìn)行適配,完成求和.由此可見(jiàn),基于錯(cuò)位相減法的拆合模式本質(zhì)是多次運(yùn)用分合策略,降低解題者認(rèn)知負(fù)荷,并逐步尋求正確的表征途徑,進(jìn)而完成問(wèn)題表征與求解.

5.2.2 裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)求和法即把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)差的形式,在求和的過(guò)程中消去中間項(xiàng),只剩下有限項(xiàng),在運(yùn)用的過(guò)程中將數(shù)列每項(xiàng)分解再重新組合,消去一些項(xiàng)達(dá)到最終求和.

5.2.3 錯(cuò)項(xiàng)相消法錯(cuò)項(xiàng)相消法主要用來(lái)求有關(guān)和式的遞歸式的通項(xiàng)公式.

評(píng)注基于錯(cuò)項(xiàng)相消法的拆合模式主要是通過(guò)整體分析遞推公式,消去中間量,得出目標(biāo)的規(guī)律表達(dá)式,進(jìn)而完成問(wèn)題表征.本題將已知條件進(jìn)行分析,通過(guò)錯(cuò)項(xiàng)相消得到含奇偶項(xiàng)規(guī)律的遞歸式,從而求解數(shù)列.

6 借助引參求變策略,構(gòu)造數(shù)學(xué)模式

6.1 待定系數(shù)模式待定系數(shù)模式是指通過(guò)引入特定參數(shù)形成具體表達(dá)式,運(yùn)用表達(dá)性特有性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題求解.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,依據(jù)題目所給信息為了連接題中變量關(guān)系,與自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的待定系數(shù)模式相匹配,經(jīng)由解題遷移求解數(shù)列通項(xiàng).

待定系數(shù)法是待定系數(shù)模式的操作方法,常用來(lái)解決一些特殊數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題.

評(píng)注待定系數(shù)模式實(shí)質(zhì)上是從解題者認(rèn)知中的基本數(shù)列結(jié)構(gòu)出發(fā),通過(guò)類(lèi)比其結(jié)構(gòu)特征,引入?yún)?shù)將試題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為與基本數(shù)列結(jié)構(gòu)一致或相似的結(jié)構(gòu),進(jìn)而完成問(wèn)題求解.如本題通過(guò)引入?yún)?shù),類(lèi)比構(gòu)造出等比數(shù)列的結(jié)構(gòu),使得變量間關(guān)系明確,從而求得結(jié)果.

7 借助正難則反策略,構(gòu)造數(shù)學(xué)模式

7.1 反證法模式反證法模式是指對(duì)于不易直接求解的問(wèn)題采用間接證法,以反證的方式推出矛盾從而求解問(wèn)題.其模式識(shí)別過(guò)程為:當(dāng)問(wèn)題解決者面對(duì)問(wèn)題時(shí),歸類(lèi)為數(shù)列問(wèn)題,觀察題目信息為了簡(jiǎn)易求解,與自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的反證法模式相匹配,經(jīng)由解題遷移成功求解所給問(wèn)題.反證法是極具特殊性的操作方法,常用于不易正向求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例14(2002 年中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克) 設(shè)S={a1,a2,···,an}是一個(gè)由0,1 組成的滿(mǎn)足下述條件的最長(zhǎng)數(shù)列:數(shù)列S中任意兩個(gè)連續(xù)的5 項(xiàng)不同,即對(duì)任意1 ≤i ＜j ＜n-4,

互不相同,證明:數(shù)列S最前面的4 項(xiàng)與最后面的4 項(xiàng)相同.

證明根據(jù)要證的結(jié)論的特點(diǎn),考慮用反證法.若S最前面的4 項(xiàng)與最后面的4 項(xiàng)不相同,設(shè)S的最后4項(xiàng)為abcd,由于S為最長(zhǎng)的具有題中性質(zhì)的數(shù)列,從而在S后添加0 或1 后,所形成的5 數(shù)段abcd0 和abcd1必在S中出現(xiàn),否則,新數(shù)列滿(mǎn)足題中性質(zhì)的數(shù)列與S={a1,a2,···,an}是最長(zhǎng)的數(shù)列矛盾.即存在i/=j,i,j ∈{2,3,···,n-4},使得aiai+1ai+2ai+3ai+4=abcd0,ajaj+1aj+2aj+3aj+4=abcd1.

考慮ai-1,aj-1,an-4這三個(gè)數(shù),其中必有2 個(gè)數(shù)相同:若ai-1=aj-1,則ai-1aiai+1ai+2ai+3=aj-1ajaj+1aj+2aj+3,從而,S中有2 個(gè)相同的5 數(shù)段,矛盾;若ai-1=an-4,則ai-1aiai+1ai+2ai+3=xabcd,而an-4an-3an-2an-1an=xabcd,矛盾;若aj-1=an-4,同理可以推出矛盾;命題得證.

評(píng)注分析題干發(fā)現(xiàn)本題利用已有條件難以直接對(duì)問(wèn)題形成合適的表征,結(jié)合正難則反策略,與反證法模式進(jìn)行匹配,再利用反證法即可完成證明.由此可見(jiàn),反證法模式在解決特殊數(shù)列的證明問(wèn)題時(shí),可直接從方法角度完成對(duì)問(wèn)題的表征,并且根據(jù)數(shù)列自身的規(guī)律性,可降低解題者的外在認(rèn)知負(fù)荷,進(jìn)而準(zhǔn)確完成問(wèn)題解決.

8 結(jié)語(yǔ)

數(shù)列問(wèn)題是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的熱點(diǎn)題型之一,試題難度一般較大,對(duì)于學(xué)生能力的考查較為綜合.基于本文的分析與整理可以看出,在面對(duì)數(shù)學(xué)中比較難的題目時(shí),學(xué)生要想正確而快速的解決問(wèn)題,除了要具備深厚的數(shù)學(xué)知識(shí)以外還應(yīng)具備多種能力,一是閱讀理解能力,二是數(shù)學(xué)探究能力,三是應(yīng)用能力,四是學(xué)習(xí)能力.其中,閱讀理解能力即“讀題”,要求學(xué)生讀懂?dāng)?shù)學(xué)題目所講的內(nèi)容,最主要是挖掘出題目中的隱含條件;數(shù)學(xué)探究能力即“想題”,學(xué)生聯(lián)想自己過(guò)去的解題經(jīng)驗(yàn),在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中探尋解題思路;應(yīng)用能力即“做題”,能將已有解題經(jīng)驗(yàn)正向遷移到新環(huán)境中;學(xué)習(xí)能力即“思題”,能對(duì)一種新穎奇巧的解法或過(guò)程進(jìn)行積極思考、主動(dòng)學(xué)習(xí)來(lái)獲取相關(guān)經(jīng)驗(yàn).對(duì)于數(shù)列問(wèn)題的學(xué)習(xí)與思考應(yīng)注重模式思想,體味模式解題的通達(dá)與簡(jiǎn)捷,如求公差、公比、首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)時(shí)的基本量模式思想,方程模式思想,巧用設(shè)而不求的方法進(jìn)行整體代換的模式思想等.