基于最大平均協(xié)方差的雷達(dá)波束調(diào)度算法研究

楊謹(jǐn)銘， 王 剛， 武夢(mèng)潔

(1.光電控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471000；2.中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司洛陽(yáng)電光設(shè)備研究所，河南 洛陽(yáng) 471000)

0 引言

雷達(dá)是機(jī)載與艦載平臺(tái)的“眼睛”，是機(jī)載與艦載系統(tǒng)的重要組成部分，主要具有探測(cè)敵方目標(biāo)位置和速度信息、引導(dǎo)導(dǎo)彈發(fā)射等功能。目前，機(jī)載和艦載雷達(dá)多采用較為先進(jìn)的電子掃描陣?yán)走_(dá)與相控陣?yán)走_(dá)[1]。電子掃描陣?yán)走_(dá)和相控陣?yán)走_(dá)可以通過(guò)改變天線陣列所發(fā)出的波束合成方式來(lái)改變波束以及波束掃描方向，控制雷達(dá)波束的方向。相較于機(jī)械掃描雷達(dá)，相控陣?yán)走_(dá)反應(yīng)速度更快，可實(shí)現(xiàn)無(wú)慣性采樣[2]。利用無(wú)慣性采樣的優(yōu)勢(shì)，雷達(dá)可以實(shí)現(xiàn)在跟蹤當(dāng)前目標(biāo)與搜索跟蹤其他目標(biāo)的任務(wù)之間即時(shí)快速切換，因此，需要合適的算法策略來(lái)解決管理和調(diào)動(dòng)雷達(dá)波束問(wèn)題，使其在跟蹤多目標(biāo)時(shí)能夠使多個(gè)目標(biāo)的跟蹤精度均在期望范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)在期望誤差范圍內(nèi)可以同時(shí)追蹤多個(gè)目標(biāo)。

上述問(wèn)題實(shí)際上是波束調(diào)度與目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，近幾年專家學(xué)者們對(duì)波束調(diào)度問(wèn)題作出了研究。MCNTYRE等[3]為傳感器測(cè)量調(diào)度程序提出了一種稱為OGUPSA的增強(qiáng)型動(dòng)態(tài)搶占算法；文獻(xiàn)[4-5]提出了一種基于信息論的傳感器測(cè)量調(diào)度方法；KRISHNAMURTHY等[6]提出了一種計(jì)算隱馬爾可夫模型(HMM)多臂匪幫問(wèn)題的Gittins指數(shù)的方法，該方法可以應(yīng)用于多目標(biāo)跟蹤的光束調(diào)度問(wèn)題，但只涉及沒(méi)有傳感器搜索模式的跟蹤任務(wù)。上述方法中的波束調(diào)度采用相同的方式對(duì)待所有目標(biāo)，實(shí)際情況中，對(duì)于友機(jī)進(jìn)行正常跟蹤，而對(duì)于敵方目標(biāo)常常需要高精度追蹤，但上述方法并未考慮對(duì)于不同目標(biāo)需要不同跟蹤精度的問(wèn)題。

由此KALANDROS等[7]提出一種協(xié)方差控制技術(shù)，可以解決不同目標(biāo)所需跟蹤精度不同的問(wèn)題，該方法旨在減小各個(gè)目標(biāo)的跟蹤誤差協(xié)方差(目標(biāo)實(shí)際協(xié)方差與期望協(xié)方差之間的差值，不同目標(biāo)精度有著不同的跟蹤誤差協(xié)方差)來(lái)控制雷達(dá)波束的調(diào)度，其中，LU等[8]提出了優(yōu)化協(xié)方差誤差的方法，該方法雖然解決了不同目標(biāo)需不同跟蹤精度的問(wèn)題，但存在一個(gè)缺陷即每次僅優(yōu)化多個(gè)目標(biāo)中誤差最小的目標(biāo)，這可能會(huì)造成其他目標(biāo)的誤差一直處于積累狀態(tài)，最終導(dǎo)致其中某一個(gè)目標(biāo)在跟蹤過(guò)程中丟失的情況出現(xiàn)。因此，本文提出一種新的思路，即基于最大協(xié)方差誤差來(lái)調(diào)度雷達(dá)波束，同時(shí)采用交互式多模型濾波算法[9]來(lái)預(yù)測(cè)軌跡提供所需協(xié)方差矩陣[10]，以實(shí)現(xiàn)對(duì)于多個(gè)目標(biāo)均處于期望的誤差范圍內(nèi)。

1 交互式多模型(IMM)濾波算法

1.1 卡爾曼濾波器模型

卡爾曼濾波器算法是較為常見(jiàn)的最優(yōu)線性狀態(tài)估計(jì)算法，常用于解決通信、導(dǎo)航、傳感器控制和數(shù)據(jù)融合等工程問(wèn)題，其本質(zhì)是在最小均方誤差準(zhǔn)則下求取最佳線性估計(jì)，卡爾曼濾波器運(yùn)用遞歸的手段估計(jì)一個(gè)過(guò)程的狀態(tài)，其中，狀態(tài)方程需滿足的線性高斯條件可表示為

xk=Ak-1xk-1+Bk-1uk-1+wk-1

(1)

式中：xk∈Rn,表示k時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)向量;Ak-1表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(將k-1時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)換至k時(shí)刻)；Bk-1表示k-1時(shí)刻的控制矩陣；uk-1表示控制向量(若模型無(wú)控制，則改寫為xk=Ak-1xk-1+wk-1)；wk-1為滿足高斯分布的過(guò)程噪聲，均值為0，方差為Qk-1。

測(cè)量狀態(tài)方程為

zk=Hk-1xk-1+vk-1

(2)

式中：zk∈Rn，表示k時(shí)刻的測(cè)量值；Hk-1表示量測(cè)矩陣，主要表示狀態(tài)向量xk-1對(duì)于測(cè)量值z(mì)k的增益是已知矩陣；vk-1為滿足高斯分布的量測(cè)噪聲，均值為0，方差為Rk-1。

若先不考慮噪聲，則目標(biāo)狀態(tài)的先驗(yàn)概率估計(jì)和系統(tǒng)測(cè)量值可表示為

(3)

zk=Hk-1xk-1

(4)

(5)

將系數(shù)G改寫為KkH，Kk為卡爾曼增益，便將式(5)改寫為

(6)

得到后驗(yàn)概率的估計(jì)值，如何讓后驗(yàn)概率估計(jì)值更加接近真實(shí)值，需要調(diào)節(jié)卡爾曼增益 ,由此問(wèn)題演變?yōu)樵?/p>

(7)

經(jīng)過(guò)計(jì)算得出

(8)

(9)

卡爾曼濾波的過(guò)程：通過(guò)上述的原理描述，將卡爾曼濾波器的工作過(guò)程分為兩部分，第一部分是時(shí)間更新方程(即將當(dāng)前狀態(tài)與當(dāng)前的誤差協(xié)方差估計(jì)，向下一時(shí)刻進(jìn)行外推，得到狀態(tài)與誤差的先驗(yàn)估計(jì)，主要利用物理原理等進(jìn)行外推)，另一部分是測(cè)量更新方程(根據(jù)測(cè)量值與估計(jì)值之差，以及卡爾曼增益更新狀態(tài)估計(jì)得到后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì))，具體的步驟如下所述。

(10)

(11)

計(jì)算卡爾曼增益Kk

(12)

(13)

更新誤差協(xié)方差pk

(14)

式中，I為單位矩陣。根據(jù)上述過(guò)程，將協(xié)方差不斷地遞歸，解算出測(cè)量估計(jì)值和預(yù)測(cè)值之間的最優(yōu)估計(jì)值。

1.2 交互式多模型架構(gòu)

1.2.1 交互輸入

簡(jiǎn)單來(lái)講，由于運(yùn)用單一的模型對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的誤差一般是比較大的，由此提出交互式多模型架構(gòu)，該架構(gòu)運(yùn)用多個(gè)模型對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將各個(gè)模型預(yù)測(cè)的狀態(tài)按照不斷更新迭代的比例進(jìn)行融合，得到誤差較小的目標(biāo)狀態(tài)預(yù)測(cè)結(jié)果，其原理圖見(jiàn)圖1。

圖1 交互式多模型模型概率轉(zhuǎn)移圖

(15)

式中：a表示第a個(gè)模型；γ為模型總數(shù)量。

1.2.2 卡爾曼濾波器濾波

設(shè)定各個(gè)模型對(duì)應(yīng)的狀態(tài)預(yù)測(cè)矩陣按照1.2.1節(jié)所闡述的方法，建立對(duì)應(yīng)的模型狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)值。

1.2.3 模型概率更新與數(shù)據(jù)融合

采用極大似然估計(jì)的方法，通過(guò)計(jì)算，分配給每個(gè)模型合適的權(quán)重，最終給出融合后的總體估計(jì)值和總體協(xié)方差，并作為下一時(shí)刻的輸入，計(jì)算過(guò)程為

(16)

式中

(17)

(18)

模型j的更新概率為

(19)

c為歸一化常數(shù),即

(20)

最后，IMM-KF輸出目標(biāo)i的狀態(tài)與預(yù)測(cè)協(xié)方差分別為

(21)

(22)

2 基于協(xié)方差的波束調(diào)度算法

2.1 波束調(diào)度算法原理

研究雷達(dá)波束調(diào)度算法，假設(shè)目前由一個(gè)雷達(dá)波束跟蹤D個(gè)目標(biāo)，以及D個(gè)目標(biāo)之間的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的?？梢岳脜f(xié)方差控制方法有效控制雷達(dá)波束具體探測(cè)對(duì)象，其基本思想是每個(gè)雷達(dá)波束在任意時(shí)間內(nèi)最多獲得一個(gè)目標(biāo)的噪聲測(cè)量，再通過(guò)IMM-KF模型會(huì)得到每個(gè)目標(biāo)的預(yù)測(cè)協(xié)方差，根據(jù)預(yù)測(cè)協(xié)方差與所設(shè)定的每個(gè)目標(biāo)的期望協(xié)方差之間的差值來(lái)確定該目標(biāo)是否需要雷達(dá)波束再次探測(cè)，其原理見(jiàn)圖2。

圖2 波束調(diào)度算法思路圖

圖中，zk為雷達(dá)測(cè)量目標(biāo)的測(cè)量值，將目標(biāo)a(a=1,…,D)的狀態(tài)信息輸入IMM-KF模型中，按照1.2.3節(jié)中的原理輸出目標(biāo)i的下一時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值與協(xié)方差預(yù)測(cè)值ppre(tk+1)，預(yù)測(cè)協(xié)方差與期望協(xié)方差通過(guò)波束調(diào)節(jié)器按照一定的算法調(diào)度規(guī)則，判斷雷達(dá)傳感器下一時(shí)刻應(yīng)追蹤的目標(biāo)，通過(guò)合理的調(diào)度規(guī)則可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)的跟蹤，并使多目標(biāo)均處于期望的跟蹤狀態(tài)。

2.2 波束調(diào)節(jié)器的調(diào)度算法

波束調(diào)節(jié)的目的是期望每個(gè)目標(biāo)在雷達(dá)工作過(guò)程中，獲得的協(xié)方差預(yù)測(cè)值接近協(xié)方差期望值，采用如下的算法。

假設(shè)雷達(dá)在t時(shí)刻對(duì)于任意目標(biāo)a(a=1,…,D)的控制變量用u(t)表示，其中，t=t1,t2,…,tk，u(tk)=0,1,…,D，u(tk)=2，表示追蹤目標(biāo)2，控制變量表達(dá)式為

(23)

式中，矩陣度量函數(shù)f(A,B)定義為

f(A,B)=det[abs(ΔP)]

(24)

ΔP=A-B

(25)

其中,A，B∈Rn×n，同時(shí)函數(shù)f(A,B)滿足如下條件：1) 非負(fù)性：f(A,B)>0；2) 對(duì)稱性：f(A,B)=f(B,A)。

根據(jù)式(23)，控制變量u(tk+1)每次選擇更新的是D個(gè)目標(biāo)中預(yù)測(cè)協(xié)方差與期望協(xié)方差差值最大的，引導(dǎo)雷達(dá)進(jìn)行探測(cè)更新下一時(shí)刻的協(xié)方差預(yù)測(cè)值，循環(huán)往復(fù)，最終可以確保所有觀測(cè)目標(biāo)的協(xié)方差差值均在可接受范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)波束的合理調(diào)配。

2.3 基于協(xié)方差的波束調(diào)度指標(biāo)

為了量化波束調(diào)度算法的協(xié)方差控制能力，本文采用平均誤差方差(AVE)和協(xié)方差差值比(CMR)作為衡量指標(biāo)。

AVE定義為

VAVE=σ2

(26)

CMR定義為

(27)

其中：σ2表示方差；f為上述的矩陣度量函數(shù)；0表示零矩陣。由式(27)可以看出，CMR實(shí)際上是衡量實(shí)際協(xié)方差與期望協(xié)方差之間的接近程度。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 軌跡生成

為檢驗(yàn)波束調(diào)度算法的能力，本文采用較為簡(jiǎn)單的二維軌跡生成器，對(duì)于每一個(gè)目標(biāo)生成5段軌跡并形成4個(gè)高機(jī)動(dòng)點(diǎn)，其中，每段目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程設(shè)置為

(28)

式中：x(t)代表橫坐標(biāo)的位移，y(t)表示縱坐標(biāo)的位移；假定在進(jìn)行雷達(dá)波束調(diào)配之前就已經(jīng)捕獲敵方目標(biāo)，px與py為已知第一段軌跡中初始坐標(biāo)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)；ax，ay，vx與vy滿足如下正態(tài)分布(采用戰(zhàn)機(jī)的加速度與速度進(jìn)行試驗(yàn))，即ax,ay～U[-10,10] (單位m/s2),σa=5.77 m/s2；vx,vy～U[-250,250](單位m/s),σv=144.34 m/s。

3.2 模型搭建

本文IMM-KF模型由3個(gè)模型組成，分別是M1模型(采用CV模型)、M2與M3模型(采用CA模型)。

(29)

假設(shè)雷達(dá)波束停留時(shí)間為0.1 s，每個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置、速度、加速度之間相互獨(dú)立，那么過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣可以表示為

(30)

(31)

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

按照上述理論搭建實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，共設(shè)計(jì)3個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)本文提出的基于最大平均值的協(xié)方差誤差值的多目標(biāo)敏捷波束的自適應(yīng)調(diào)度算法進(jìn)行驗(yàn)證，以下實(shí)驗(yàn)均進(jìn)行了100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)1 目標(biāo)A(Target A)與目標(biāo)B(Target B)設(shè)置相同的期望協(xié)方差，如表1所示。

表1 期望協(xié)方差設(shè)定(實(shí)驗(yàn)1)

圖3 目標(biāo)A,B的軌跡與跟蹤圖(實(shí)驗(yàn)1)

圖3中,目標(biāo)A與目標(biāo)B均進(jìn)行了5段不同速度但時(shí)間相同的軌跡，產(chǎn)生了4個(gè)高機(jī)動(dòng)時(shí)刻，分別對(duì)應(yīng)圖4中的4個(gè)CMR波動(dòng)時(shí)刻。

根據(jù)圖3所示的在目標(biāo)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，IMM-KF模型能夠很好地預(yù)測(cè)線性運(yùn)動(dòng)過(guò)程，但目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)過(guò)程(即目標(biāo)非線性運(yùn)動(dòng))時(shí)會(huì)出現(xiàn)跟蹤遲緩的現(xiàn)象，這是由于選用的卡爾曼濾波器對(duì)于非線性處理能力不強(qiáng)造成的，因此需要借助協(xié)方差來(lái)調(diào)整波束并進(jìn)行跟蹤。

如圖4所示，目標(biāo)A與目標(biāo)B的CMR均有4次波動(dòng)，分別對(duì)應(yīng)著各自目標(biāo)的4次機(jī)動(dòng)過(guò)程，可以看出，目標(biāo)A與目標(biāo)B均在40步長(zhǎng)左右收斂，對(duì)于AVE圖像中可以看出，同一個(gè)時(shí)間中每次機(jī)動(dòng)過(guò)程中目標(biāo)A或目標(biāo)B率先出現(xiàn)誤差過(guò)高的峰值時(shí)，隨后的誤差降低幅度就會(huì)較大一些，這是因?yàn)楸疚乃惴ㄟx擇的是優(yōu)化同一時(shí)間段中協(xié)方差誤差較大的目標(biāo)，調(diào)取雷達(dá)波束探測(cè)該目標(biāo)，使其協(xié)方差接近期望協(xié)方差，當(dāng)其協(xié)方差誤差減小后另外一個(gè)目標(biāo)的誤差相比就會(huì)較大，雷達(dá)再次探測(cè)另外一個(gè)目標(biāo)使其誤差減小，再次證明該算法確實(shí)可以有效控制波束調(diào)節(jié)，并使每個(gè)目標(biāo)的協(xié)方差接近期望協(xié)方差。

圖4 目標(biāo)A,B在X軸上的AVE以及CMR(實(shí)驗(yàn)1)

如圖5與圖6所示，如果選取較小的協(xié)方差誤差進(jìn)行優(yōu)化，由于目標(biāo)B的誤差較小，處于被持續(xù)優(yōu)化狀態(tài)，而目標(biāo)A的誤差一直處于最大值時(shí)，會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)A一直得不到雷達(dá)探測(cè)，最終丟失目標(biāo)。

圖5 文獻(xiàn)[8]方法會(huì)造成目標(biāo)A跟蹤丟失

圖6 目標(biāo)A的AVE與CMR發(fā)散

實(shí)驗(yàn)2 目標(biāo)A與目標(biāo)B設(shè)置不同的期望協(xié)方差，如表2所示。

表2 期望協(xié)方差設(shè)定(實(shí)驗(yàn)2)

圖7 目標(biāo)A，B在X軸上的AVE以及CMR(實(shí)驗(yàn)2)

由圖7可知,相較于目標(biāo)A來(lái)說(shuō)目標(biāo)B的目標(biāo)調(diào)整時(shí)間變短，這是由于提高了目標(biāo)A的置信度，目標(biāo)B的置信區(qū)間相較更大，更容易收斂。由此可以得出，在精度允許的范圍內(nèi)，可以適當(dāng)提高目標(biāo)的期望方差，提高置信區(qū)間以便目標(biāo)可以快速收斂。

實(shí)驗(yàn)3 探究過(guò)程誤差協(xié)方差(噪聲誤差)對(duì)波束調(diào)節(jié)的影響，通過(guò)設(shè)定的過(guò)程誤差協(xié)方差系數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)過(guò)程協(xié)方差的大小，在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上僅增大協(xié)方差大小，將協(xié)方差系數(shù)改為q1=0.1,q2=1,q3=10。

圖8 目標(biāo)A，B在X軸上的AVE以及CMR(實(shí)驗(yàn)3)

對(duì)比圖8與圖4，圖8中的波形變得又高又窄，這是因?yàn)樵黾舆^(guò)程誤差協(xié)方差會(huì)降低預(yù)測(cè)置信度，同時(shí)縮短收斂時(shí)間。

4 結(jié)論

本文提出一種基于最大平均值的協(xié)方差誤差值的多目標(biāo)敏捷波束的自適應(yīng)調(diào)度算法，通過(guò)考慮跟蹤精度以及目標(biāo)優(yōu)先級(jí)可以調(diào)整合適的目標(biāo)期望誤差，能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)雷達(dá)波束的調(diào)度。

通過(guò)仿真結(jié)果顯示，提出的最大值平均值調(diào)度算法，采用IMM模型架構(gòu)可以很好地平衡多個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤，當(dāng)目標(biāo)的狀態(tài)協(xié)方差與期望協(xié)方差相差較大時(shí)，分配波束進(jìn)行跟蹤。該算法的優(yōu)點(diǎn)在于可以基于目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)以及跟蹤精度設(shè)置合理的期望協(xié)方差，每個(gè)時(shí)刻以最大平均誤差的目標(biāo)為主要優(yōu)化對(duì)象，確保每個(gè)目標(biāo)均在期望的方差中，以便實(shí)現(xiàn)較好的多目標(biāo)跟蹤。

但是，如何選取合適的、可較好地反饋出目標(biāo)優(yōu)先級(jí)的期望協(xié)方差是一大難點(diǎn)，同時(shí)若將該算法用于單一波束追蹤目標(biāo)，那么對(duì)追蹤目標(biāo)數(shù)量上限就有要求，對(duì)于單一波束來(lái)說(shuō)，太多目標(biāo)會(huì)導(dǎo)致跟蹤不及時(shí)以至于丟失目標(biāo)的情況發(fā)生。