數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

高英凱

(北京十一學(xué)校豐臺(tái)中學(xué),北京 100079)

數(shù)形結(jié)合是探究數(shù)學(xué)知識(shí)的重要思想方法,也是數(shù)學(xué)探究的重要手段.在以往的教學(xué)中,教師偏重于抽象的理論講解,不注重以直觀的手段加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知和理解.教師對(duì)初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)缺乏全面的了解和把握,尤其是在解題教學(xué)中,忽視了以初中學(xué)生處于形象思維的特點(diǎn)而設(shè)計(jì)教學(xué)過程,學(xué)生對(duì)于抽象的理論和概念難以理解,對(duì)于教師的機(jī)械講述也不感興趣,導(dǎo)致其數(shù)學(xué)綜合能力很難得到提升.學(xué)生在解題過程中找不到解題思路和方法,不能對(duì)抽象的數(shù)學(xué)理論有深入的理解,主要原因是沒有掌握數(shù)形結(jié)合等思想方法,尤其是不能靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)題目,學(xué)生的解題能力很難得到培養(yǎng).

1 數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)涵簡(jiǎn)述

數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性,數(shù)形結(jié)合思想可以使數(shù)學(xué)知識(shí)化抽象為直觀,將抽象的“數(shù)”變?yōu)橹庇^的“形”,或者將直觀的“形”轉(zhuǎn)化為抽象性及概括性較強(qiáng)的“數(shù)”,學(xué)生可以根據(jù)自身的需要使“數(shù)”和“形”相互轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系及相關(guān)規(guī)律,應(yīng)用于解題教學(xué)中,可以為學(xué)生展現(xiàn)更為直觀形象的數(shù)學(xué)知識(shí),使抽象的知識(shí)直觀化,幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行更深入的認(rèn)知和理解,提升其解題效率.學(xué)生在解題過程中靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以更好地分析題目的信息,提煉解決問題的有效知識(shí),盡快找到解決問題的思路和方法.初中學(xué)生正處于形象思維階段,對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)在理解上會(huì)有一定的難度,而數(shù)形結(jié)合可以將抽象的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系用圖形、線段等直觀的方式進(jìn)行展示,使無(wú)形的抽象知識(shí)變得有形,學(xué)生通過有形的邏輯展示,強(qiáng)化對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,掌握數(shù)學(xué)分析的方式方法,進(jìn)而提高解題能力.

2 數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的作用

2.1 促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解

學(xué)生在解題中會(huì)遇到一些抽象的數(shù)學(xué)概念以及定理,并且題目的描述也較為抽象,在解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以將問題簡(jiǎn)化,用直觀性的方式顯示出來(lái)并進(jìn)行分析,抽象的知識(shí)變得可視化和直觀化,有利于學(xué)生清晰數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯關(guān)系,激活思維,順利找到解決問題的思路和方法.

2.2 提升學(xué)生解題技能

數(shù)形結(jié)合思想不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,也是解決問題的有效路徑,它可以幫助學(xué)生形成一種科學(xué)的思維方式,在不斷地分析和思考中,以及解題的實(shí)踐訓(xùn)練中,鍛煉數(shù)學(xué)思維能力,積累解題經(jīng)驗(yàn),有效提升解題技能.

3 初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在的問題

目前的解題教學(xué)中還存在許多問題.一是教師的教學(xué)方法過于單調(diào),在解題教學(xué)當(dāng)中只重視對(duì)題目的理論性講解,之后直接給學(xué)生布置相關(guān)練習(xí)題目,學(xué)生對(duì)這種機(jī)械的訓(xùn)練方式缺乏興趣,也失去了解題動(dòng)力;二是教師在教學(xué)中忽視對(duì)解題思路的探究,不注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行檢查和反思,學(xué)生的解題技能得不到有效提升;三是教師不注重?cái)?shù)形結(jié)合的應(yīng)用,學(xué)生對(duì)于題目中涉及的抽象概念和信息不會(huì)轉(zhuǎn)化為直觀的方式進(jìn)行分析和探討,無(wú)法利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題.

4 數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,用數(shù)形結(jié)合思想分析題目當(dāng)中的一些抽象的信息,使其變得直觀化,學(xué)生會(huì)從直觀的信息中弄懂題意,分析數(shù)量之間的關(guān)系,搞清題目要求,然后再通過數(shù)形結(jié)合思想來(lái)揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯關(guān)系,從而找到解題的思路和方法[1].

4.1 利用數(shù)形結(jié)合思想理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

初中學(xué)生還處于形象思維階段,尤其是剛進(jìn)入初中階段的學(xué)生,他們遇到的數(shù)學(xué)題目以及數(shù)學(xué)概念,相比于小學(xué)階段難度有所提升.例如,學(xué)生剛接觸初中數(shù)學(xué)時(shí),涉及對(duì)“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”概念的理解,如果教師按照課本對(duì)概念進(jìn)行講解和敘述,學(xué)生很難理解,甚至在解題過程當(dāng)中還會(huì)因?yàn)槔斫獠簧钊攵霈F(xiàn)錯(cuò)誤,所以教師要以直觀的方式幫助學(xué)生理解抽象的正數(shù)和負(fù)數(shù)概念.例如,教師在黑板上繪制數(shù)軸,讓學(xué)生首先明確數(shù)軸的相關(guān)元素,規(guī)定了數(shù)軸的原點(diǎn)以及負(fù)數(shù)和正數(shù)的方向,之后再創(chuàng)設(shè)生活中氣溫低于0 ℃和高于0 ℃的天氣預(yù)報(bào)情境,讓學(xué)生將-3 ℃、-11 ℃和+5 ℃、+18 ℃標(biāo)注到數(shù)軸上,學(xué)生通過直觀的視覺體驗(yàn),可以很容易理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念.這種用數(shù)軸、線段和圖形表示數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的方式,能夠讓學(xué)生以直觀的形式理解相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念及定理,還可以促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中舉一反三,形成用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解答數(shù)學(xué)題目的能力及習(xí)慣.

4.2 利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容,由于該內(nèi)容當(dāng)中涉及的概念以及定理相對(duì)抽象,學(xué)生單純地以理論的方式去理解和鞏固,往往效果不佳,在有關(guān)函數(shù)的解題過程中也會(huì)出現(xiàn)諸多錯(cuò)誤.所以,對(duì)于本內(nèi)容的解題訓(xùn)練,教師可以設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合思想的專項(xiàng)訓(xùn)練,并且組織學(xué)生在課堂上進(jìn)行小組合作探究,讓學(xué)生分析自己應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的解題過程,還要給其他小組成員的解題過程提出建議.如讓學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程的特點(diǎn)進(jìn)行概括總結(jié),以促進(jìn)學(xué)生的深入理解.為了促進(jìn)學(xué)生的深入學(xué)習(xí),教師提出問題:比較一次函數(shù)與二次函數(shù),說(shuō)說(shuō)它們的異同點(diǎn).如果不利用數(shù)形結(jié)合思想去進(jìn)行對(duì)比和觀察,很難得出結(jié)論,這時(shí),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解答,讓學(xué)生在練習(xí)本上畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象,通過圖象了解二者的不同點(diǎn),并且通過對(duì)二者的圖象分析,學(xué)生可以了解到一次函數(shù)和二次函數(shù)各個(gè)元素的作用,以此為學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

4.3 利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問題

不等式是學(xué)生繼學(xué)習(xí)方程之后的內(nèi)容,這一內(nèi)容在學(xué)習(xí)上要結(jié)合方程知識(shí),還要注重利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)題目進(jìn)行分析,使抽象化的知識(shí)能夠通過圖形的繪制變得直觀而形象,從而使學(xué)生理清知識(shí)間的邏輯關(guān)系.部分學(xué)生對(duì)本部分知識(shí)掌握得不好,解題中會(huì)遇到一些問題,其主要原因是學(xué)生不善于利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)問題進(jìn)行分析,在解題過程當(dāng)中直接就對(duì)式子進(jìn)行運(yùn)算.在教學(xué)中,教師對(duì)題目做示范講解以后,就布置學(xué)生做同類型的題目,對(duì)學(xué)生的解題過程不注重引導(dǎo),對(duì)學(xué)生解題過程當(dāng)中出現(xiàn)的問題不進(jìn)行分析與糾正,因此,學(xué)生在解題過程中也沒有養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合思想尋找解題思路的習(xí)慣.所以,教師在解題教學(xué)當(dāng)中要強(qiáng)化對(duì)學(xué)生的引導(dǎo),使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合思想在分析數(shù)學(xué)信息中的重要作用,幫助學(xué)生有效提高解題效率.如關(guān)于X的不等式0≤X2+AX+4≤2 有唯一的解,求解A的值.學(xué)生在遇到這種題目時(shí)往往盲目地進(jìn)行分析和計(jì)算,陷入抽象的運(yùn)算當(dāng)中,學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差的學(xué)生還容易產(chǎn)生思路混亂的問題.對(duì)此,教師利用數(shù)形結(jié)合思想,將其拆分成Y=X2+AX+4,Y=0,Y= 2這三個(gè)方程,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這三個(gè)方程進(jìn)行分析,并用圖形的繪制的方法對(duì)三個(gè)方程的關(guān)系進(jìn)行了解,學(xué)生結(jié)合以前學(xué)過的拋物線與直線相關(guān)內(nèi)容,認(rèn)為拋物線與直線有唯一的一個(gè)交點(diǎn)(相切),就能滿足題目中的“有唯一的解”的說(shuō)法,學(xué)生通過觀察和分析找到了解題思路.教學(xué)中,教師讓學(xué)生動(dòng)手繪制圖形并進(jìn)行觀察和比較,體會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想解題收獲成功的快樂,培養(yǎng)其應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解題分析的意識(shí).

4.4 利用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題

數(shù)形結(jié)合對(duì)于學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題有著十分重要的作用.處于形象思維階段的初中學(xué)生,他們需要借助直觀的手段來(lái)理解相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí),而數(shù)形結(jié)合思想就為學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)知識(shí)提供了方法和手段.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分廣泛,教師在解題示范中也可以對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行滲透,不僅讓學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合思想,還要會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想找到解題思路,利用其解決代數(shù)問題和幾何問題.初中幾何知識(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大,在教學(xué)中教師要注重應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,將題目當(dāng)中的文字?jǐn)⑹鲇糜行蔚木€段以及相關(guān)圖形來(lái)展現(xiàn),對(duì)題目中的文字信息和數(shù)字信息進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)換,使相對(duì)復(fù)雜的題目變得簡(jiǎn)單、直觀.如學(xué)習(xí)幾何證明題相關(guān)內(nèi)容時(shí),一些幾何題只是給出文字信息,如證明“等腰三角形的高、中線、角平分線在同一條直線上”.鑒于題目當(dāng)中都是語(yǔ)言敘述性的信息,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將題目中的信息轉(zhuǎn)換為圖形信息,如果學(xué)生不會(huì)依托圖形對(duì)文字信息進(jìn)行分析,就難以搞清信息的實(shí)際意義,甚至不能分清數(shù)據(jù)條件之間的關(guān)系.通過數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析,可以理清學(xué)生的思路,從相對(duì)復(fù)雜的語(yǔ)言信息當(dāng)中獲取圖形信息,將題目變得簡(jiǎn)單而直觀,學(xué)生通過對(duì)圖形進(jìn)行分析,就很容易取得正確的答案.所以教師在引導(dǎo)學(xué)生解決幾何問題時(shí),要注重利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行轉(zhuǎn)換,對(duì)于其中相對(duì)冗長(zhǎng)的敘述性信息進(jìn)行圖形化處理,這樣學(xué)生就可以更直觀地理解題目,了解題目中所給的條件的作用,從而解決問題[2].

數(shù)形結(jié)合思想可以打開學(xué)生的解題思路,學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換題目信息,將抽象的知識(shí)變得可視化、直觀化,從而降低學(xué)生學(xué)習(xí)及解題的難度,提高其解題能力和效率.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中,教師要注重引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,并進(jìn)一步拓展應(yīng)用范圍,讓學(xué)生在解題實(shí)踐中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的重要作用,促使學(xué)生更深入地理解數(shù)形結(jié)合思想,把其作為分析數(shù)學(xué)題目的常用方法,在解題中靈活運(yùn)用,提高解題能力.