基于狀態(tài)空間線性變換的主動配電網(wǎng)分布式電壓控制

楊 鵬，趙子珩，王中冠，安佳坤，楊書強(qiáng)，李 鵬

（1. 國網(wǎng)河北省電力有限公司，河北石家莊 050000；2. 國網(wǎng)河北省電力有限公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，河北石家莊 050000；3. 天津大學(xué)智能電網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

0 引言

以光伏為代表的分布式發(fā)電以集群化形式接入主動配電網(wǎng)，給配電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行、供電可靠性帶來挑戰(zhàn)［1］。饋線末端接入的分布式發(fā)電改變了配電網(wǎng)傳統(tǒng)單一的潮流方向，導(dǎo)致饋線末端電壓抬升，影響用電設(shè)備壽命的同時造成分布式發(fā)電脫網(wǎng)風(fēng)險(xiǎn)［2-3］。滲透率的逐漸提升帶來的消納和網(wǎng)損問題驅(qū)動著主動配電網(wǎng)的高效管理和電壓控制方法革新［4-8］。

分布式控制更適合含高比例分布式發(fā)電的主動配電網(wǎng)電壓控制［9］。由于避免了集中模型維護(hù)和優(yōu)化求解，且采用反饋優(yōu)化控制模式，分布式控制對狀態(tài)波動具有更快的響應(yīng)速度。文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］基于交替方向乘子法實(shí)現(xiàn)了分布式光伏集群的無功電壓控制。為應(yīng)對配電網(wǎng)通信不完備的情況，部分文獻(xiàn)討論了只利用本地量測可獲取的信息進(jìn)行電壓控制的方法［12-14］。但文獻(xiàn)［15-17］的研究表明，缺乏協(xié)調(diào)的本地電壓控制將引起有載調(diào)容變壓器（on-load tap changer，OLTC）等設(shè)備頻繁的檔位變化，從而對設(shè)備壽命造成影響，更不利于配電網(wǎng)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。文獻(xiàn)［18］提出了采用分段線性下垂電壓控制的策略，但沒有充分利用分布式光伏的無功調(diào)節(jié)能力。文獻(xiàn)［19］提出了基于延遲下垂策略的電壓控制方法，然而對延遲系數(shù)的選擇并未給出行之有效的方案。分布式控制的方法平衡了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和最優(yōu)性，但并未考慮分布式光伏的無功可調(diào)范圍，嚴(yán)重限制了其實(shí)用價(jià)值［20-21］。

對于分布式發(fā)電廣泛接入的中低壓配電網(wǎng)而言，其電壓控制的挑戰(zhàn)還在于調(diào)度中心往往不掌握其精確的模型參數(shù)，對分布式電壓控制效果及收斂速度造成不良影響。為解決上述問題，本文提出一種基于歷史量測數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)空間線性變換的方法，從而實(shí)現(xiàn)電壓控制模型的高維線性化等值。目前已有相關(guān)數(shù)據(jù)驅(qū)動方法用于潮流計(jì)算。文獻(xiàn)［22］通過構(gòu)建狀態(tài)空間形式，得到與節(jié)點(diǎn)注入功率的線性映射關(guān)系，通過歷史測量數(shù)據(jù)回歸得到線性潮流關(guān)系。文獻(xiàn)［23］則通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到潮流計(jì)算的映射關(guān)系，但上述方法脫離模型支撐，精度效果有限。根據(jù)空間變換理論，低維空間下的非線性模型，可通過升維映射在高維空間中轉(zhuǎn)換為線性方程而不失精確性。本文基于Koopman 升維方法［24-26］，利用歷史數(shù)據(jù)樣本，訓(xùn)練得到高維電壓-無功線性方程，并以此推導(dǎo)分布式牛頓法的精確迭代方向，實(shí)現(xiàn)不依賴模型參數(shù)的分布式電壓控制。

1 主動配電網(wǎng)電壓控制模型

1.1 基于線性化Distflow模型的電壓-無功潮流模型

為表達(dá)方便，本節(jié)首先在假設(shè)存在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼皡?shù)的前提下給出電壓-無功模型，從而得到電壓控制模型。需要強(qiáng)調(diào)的是，本文最終采用的迭代控制方法不依賴于本節(jié)的潮流模型，且具有更高計(jì)算精度。同樣地，由于大多數(shù)主動配電網(wǎng)拓?fù)錇檩椛錉?，本?jié)以輻射狀網(wǎng)絡(luò)為例給出線性化Distflow 模型下的電壓-無功潮流模型，但本文采用的狀態(tài)空間變換方法并不局限于輻射狀網(wǎng)絡(luò)。

首先，定義主動配電網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的集合為N={0，1，…，N}，節(jié)點(diǎn)對(i，j)之間的支路所構(gòu)成的集合為L={(i，j)}?N×N。其中，將配電網(wǎng)參考節(jié)點(diǎn)選取為饋線根節(jié)點(diǎn)，一般為變電站低壓母線。其余變量的定義如圖1所示。圖中：rij和xij分別為支路(i，j)的電阻與電抗；Vi為節(jié)點(diǎn)i的電壓幅值；pi和qi分別為節(jié)點(diǎn)i的有功功率注入和無功功率注入；Pij和Qij分別為支路(i，j)首端流出的有功功率和無功功率；節(jié)點(diǎn)0 代表配電網(wǎng)參考節(jié)點(diǎn)。進(jìn)一步定義Ni?N 代表節(jié)點(diǎn)i在該主動配電網(wǎng)中的下游相鄰節(jié)點(diǎn)，即與節(jié)點(diǎn)i通過1 條支路直接相連，且相對于參考節(jié)點(diǎn)位于下游的節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的集合。

圖1 主動配電網(wǎng)符號定義Fig.1 Notation of symbols in an active distribution network

根據(jù)線性化Distflow 潮流模型，在忽略有功和無功網(wǎng)損對應(yīng)的非線性項(xiàng)，并對電壓的平方項(xiàng)進(jìn)行線性替換后，可得到如下支路形式的潮流方程：

由于線性化過程中的近似假設(shè)，上述線性化Distflow 潮流模型的精度有限，在本文中僅用于引出電壓優(yōu)化控制模型。為表述方便，首先需對上述模型采用矩陣化表達(dá)。

令主動配電網(wǎng)的原始節(jié)支關(guān)聯(lián)矩陣為M0，即該矩陣包含了參考節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的行。該矩陣為不滿秩矩陣，刪去參考節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的行后，令剩余的N×N維節(jié)支關(guān)聯(lián)矩陣為M。根據(jù)定義易知，矩陣M為非奇異矩陣。在此基礎(chǔ)上，矩陣形式的支路有功和無功方程可表示為：

式中：P和Q分別為Pij和Qij所構(gòu)成的列向量；p和q分別為pi和qi所構(gòu)成的列向量。

式（3）的支路電壓方程的矩陣形式為：

式中：V為Vi所構(gòu)成的列向量（不包括參考節(jié)點(diǎn)）；Dr和Dx為對角矩陣，其對角元素分別為rij和xij。將式（4）、（5）所示的功率方程代入（6）中的電壓方程，可得節(jié)點(diǎn)電壓與注入功率之間的線性方程為：

通過令：

式（7）可進(jìn)一步簡化表示為：

1.2 主動配電網(wǎng)電壓優(yōu)化控制模型

在前述線性化電壓-無功潮流方程的基礎(chǔ)上，以均衡配電網(wǎng)電壓分布為目標(biāo)，構(gòu)建電壓優(yōu)化控制模型。

1）目標(biāo)函數(shù)。

本文電壓優(yōu)化控制目標(biāo)為各節(jié)點(diǎn)電壓與額定值偏差的平方和最小，可通過數(shù)學(xué)方式表示為：

2）約束條件。

由于潮流約束已在目標(biāo)函數(shù)中體現(xiàn)，本文約束條件主要考慮分布式發(fā)電無功調(diào)節(jié)能力受逆變器容量的約束，對于已知場景，其無功調(diào)節(jié)量可簡化表示為有界約束：

式（13）和式（15）構(gòu)成了簡化的電壓優(yōu)化控制模型，屬于有界約束二次規(guī)劃問題，該問題可以采用集中式優(yōu)化進(jìn)行求解。然而，考慮到集中模型的不完備，以及海量分布式發(fā)電接入后控制效率與可靠性提升目標(biāo)，本文提出基于分布式牛頓法的電壓優(yōu)化控制方法，無參數(shù)模型下的應(yīng)對方式將在第3 節(jié)中給出。

3）控制對象。

本文無功控制對象僅考慮分布式發(fā)電單元（如光伏發(fā)電）的無功調(diào)節(jié)能力及其對電壓的影響。事實(shí)上，在主動配電網(wǎng)中，更多的電壓問題主要依靠無功調(diào)壓設(shè)備解決，如變壓器分接頭、電容器、靜止無功補(bǔ)償器（static var compensation，SVC）等。上述無功補(bǔ)償控制設(shè)備的共同問題在于其調(diào)節(jié)通常是離散的檔位調(diào)節(jié)，其動作方式?jīng)Q定了其動作頻率受限。但在新能源滲透率較高的配電網(wǎng)中，短時電壓波動更為顯著，面對這類波動時間短、隨機(jī)性強(qiáng)的電壓波動問題，單純依靠離散的分接頭及電容器檔位調(diào)整難以滿足快速響應(yīng)控制的要求。因此，無功設(shè)備調(diào)整可以在離線電壓優(yōu)化問題中通過求解集中優(yōu)化模型得到解決，由于相關(guān)成果較多，本文不再單獨(dú)考慮。因此本文方法的前提是無功設(shè)備已動作完成，在實(shí)時在線尺度下完成基于分布式發(fā)電單元的無功電壓調(diào)整，進(jìn)一步均衡各節(jié)點(diǎn)電壓分布，可視為動態(tài)電壓跟蹤與控制過程。

2 基于牛頓法的分布式電壓迭代控制策略

2.1 牛頓迭代算法

本文采用文獻(xiàn)［27］中的分布式牛頓法對電壓控制問題進(jìn)行求解，本節(jié)首先介紹算法的控制流程。

為實(shí)現(xiàn)分布式迭代，將目標(biāo)函數(shù)分解為各節(jié)點(diǎn)本地目標(biāo)函數(shù)fi(Δq(k))之和，fi(Δq(k))如式（16）所示。

式中：Xji為X中第j行第i列的元素；Vj(k)為第k步迭代時節(jié)點(diǎn)j的電壓幅值；μj為節(jié)點(diǎn)j的額定電壓。因此，各節(jié)點(diǎn)可通過本地及相鄰節(jié)點(diǎn)電壓量測計(jì)算本地梯度。將目標(biāo)函數(shù)梯度表示為矩陣形式，如式（18）所示。

式中：ε為迭代步長；d(k)為第k步迭代的牛頓方向；H(k)為第k步迭代的海森矩陣。在實(shí)際計(jì)算過程中，可通過矩陣C(k)近似替代海森矩陣，按照式（21）進(jìn)行遞推計(jì)算。

若遞推式（21）可分布執(zhí)行，則牛頓迭代可實(shí)現(xiàn)分布式控制過程。

2.2 分布式牛頓迭代控制

因此，節(jié)點(diǎn)i的本地牛頓方向可通過將其相鄰節(jié)點(diǎn)計(jì)算的節(jié)點(diǎn)i牛頓方向進(jìn)行求和得到，即：

需要注意的是，由于分布式發(fā)電功率因數(shù)和容量的限制，各節(jié)點(diǎn)無功需滿足上下限約束，如式（15）所示。而在牛頓迭代過程中，可能導(dǎo)致無功功率超出范圍，因此在實(shí)際迭代控制過程中，需要對電源無功進(jìn)行可行域投影。即一旦節(jié)點(diǎn)i的無功功率超出給定的可行域范圍，將其功率固定在最接近的可行域邊界上，但繼續(xù)參與分布式迭代，最終得到的迭代結(jié)果即為滿足約束的全局最優(yōu)解。由于各節(jié)點(diǎn)無功功率上下限彼此獨(dú)立，因此對原牛頓迭代進(jìn)行修正可得到各節(jié)點(diǎn)的實(shí)際迭代結(jié)果，利用投影概念表達(dá)如下：

綜上所述，完整的分布式電壓控制迭代過程包括式（17）、（24）—（27）、（30），在此迭代過程中，相鄰節(jié)點(diǎn)僅需交互Vi(k)、Δqi(k)、(k)等信息，且上述信息都可在各節(jié)點(diǎn)本地獲取。上述相鄰節(jié)點(diǎn)信息交互過程如圖2所示。

圖2 分布式牛頓迭代相鄰節(jié)點(diǎn)信息交互過程Fig.2 Information interaction process between neighboring buses in distributed Newton iteration

不難發(fā)現(xiàn)，上述迭代公式中，式（17）的計(jì)算仍需要獲取參數(shù)Xji以計(jì)算本地梯度。事實(shí)上，Xji在此處代表節(jié)點(diǎn)電壓與無功的靈敏度關(guān)系，其數(shù)值可通過第1 節(jié)中的線性支路方程獲取，也可通過雅可比矩陣進(jìn)行計(jì)算，但前者由于近似誤差，將對電壓控制效果產(chǎn)生不良影響，而后者則僅可在運(yùn)行點(diǎn)附近取得較好的結(jié)果。且無論哪種方法，均依賴精確的參數(shù)模型，一旦參數(shù)精度不足，電壓控制效果及收斂性均無法保證。針對該問題，本文將在第3 節(jié)中提出數(shù)據(jù)驅(qū)動的全局高維線性潮流等值方法，從而計(jì)算精確牛頓迭代方向。

3 基于狀態(tài)空間線性變換的牛頓方向計(jì)算

3.1 基于Koopman的狀態(tài)空間升維線性變換

基于狀態(tài)空間線性變換的分布式電壓控制可以劃分為2個層級。

1）模型訓(xùn)練層。通過離線方式，以輸出變量樣本（節(jié)點(diǎn)電壓與相角歷史量測數(shù)據(jù)）和輸入變量樣本（節(jié)點(diǎn)注入無功功率和有功功率歷史量測數(shù)據(jù)）作為訓(xùn)練樣本輸入，構(gòu)建升維線性潮流模型，訓(xùn)練得到線性潮流矩陣L，將對應(yīng)的潮流矩陣元素以廣播通信的方式下發(fā)至各節(jié)點(diǎn)。上述訓(xùn)練的結(jié)果在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化的情況下，無需頻繁更新，因此可由以日到月為周期離線訓(xùn)練與更新。

2）分布式控制層。利用數(shù)據(jù)驅(qū)動求得的Xji結(jié)果，根據(jù)實(shí)時電壓量測更新靈敏度Xji的值，并基于實(shí)時電壓量測計(jì)算本地梯度，通過相鄰節(jié)點(diǎn)交互通信的方式計(jì)算牛頓迭代方向，實(shí)現(xiàn)分布式牛頓法的在線電壓控制，優(yōu)化配網(wǎng)中的電壓分布。

在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洳蛔兊那闆r下，模型訓(xùn)練層下發(fā)的結(jié)果始終適用，僅需周期執(zhí)行校正其數(shù)值即可，因此在在線的電壓控制過程中并不體現(xiàn)。當(dāng)主動配電網(wǎng)發(fā)生重構(gòu)后，模型訓(xùn)練層基于運(yùn)行數(shù)據(jù)重新更新和訓(xùn)練潮流矩陣，結(jié)束后下發(fā)至各節(jié)點(diǎn)，各節(jié)點(diǎn)繼續(xù)執(zhí)行在線分布式電壓控制即可。相反地，分布式電壓控制層以在線方式執(zhí)行控制，以應(yīng)對電壓波動。因此，單純以電壓控制流程而言，本文方法仍屬于分布式電壓控制，但加入了“集中訓(xùn)練-分布控制”的分層模式，與電網(wǎng)云邊協(xié)同調(diào)控思路相符，以求在不具備完備模型參數(shù)的情況下得到更精確的牛頓迭代方向。2 層控制架構(gòu)的層級關(guān)系及數(shù)據(jù)交互框架如圖3 所示，其中DRG 表示分布式可再生能源發(fā)電，[·]M代表矩陣的Moore-Penrose逆。

圖3 雙層電壓控制架構(gòu)Fig.3 Framework of double-layer voltage control

本質(zhì)上，配電網(wǎng)精確潮流應(yīng)為非線性方程，而根據(jù)Koopman 理論，非線性方程可在無窮維Hilbert 空間中映射為線性方程且不失精確性。本文即利用上述理論，通過歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)樣本，訓(xùn)練得到升維空間中的線性潮流方程。事實(shí)上，實(shí)際訓(xùn)練過程中，僅需將狀態(tài)空間升維至幾千維，其模型精度即可滿足要求。上述狀態(tài)空間變換示意圖如圖4所示。

圖4 狀態(tài)空間升維變換示意Fig.4 Schematic diagram of state space lift-dimension transformation

具體而言，假設(shè)配電網(wǎng)中的非線性潮流方程可表示為如下方程：

式中：y為狀態(tài)變量，其包括節(jié)點(diǎn)相角及電壓幅值，y=[VTθT]T；x為K維輸入變量，其包括節(jié)點(diǎn)注入有功和無功功率，x=[pTqT]T。

狀態(tài)空間變換需對輸入變量進(jìn)行升維，令xlift表示升維后的輸入變量，ψ(x)表示升維擴(kuò)充出的m維輸入變量，則升維后的線性潮流方程可通過線性矩陣L表示為：

升維擴(kuò)充出的第i維輸入變量可按式（34）計(jì)算。

式中：ci為隨機(jī)生成的K維基底向量；flift為升維函數(shù)。一般而言，升維函數(shù)的選取可采用典型方式，如基于基本函數(shù)的polyharmonic、invquad、invmultquad等方法。本文采用polyharmonic升維函數(shù)，其具體形式可表示為：

式中：xj為x中的第j個元素；cij為ci中的第j個元素。

為獲得線性矩陣L的結(jié)果，可利用歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)構(gòu)造訓(xùn)練樣本集，以X代表輸入變量樣本矩陣，以Y代表狀態(tài)變量樣本矩陣。各樣本集包括S個時間斷面的輸入變量和狀態(tài)變量值。利用式（35），可計(jì)算升維后的輸入變量樣本矩陣Xlift。在相同時刻得到的量測輸出變量與升維后的輸入變量共同構(gòu)成一組訓(xùn)練樣本。在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘方法估計(jì)線性矩陣L的值，如式（36）所示。

基于線性矩陣L的值，可得到配電網(wǎng)高維全局線性潮流關(guān)系，L為常矩陣，即在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浔３植蛔兊那疤嵯?，任何工況下均能夠體現(xiàn)節(jié)點(diǎn)電壓、相角與注入的無功、有功之間的關(guān)系，且不依賴于模型參數(shù)，線性化效果亦不局限于平衡點(diǎn)附近，而是全局線性化的矩陣。在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步推導(dǎo)計(jì)算Xji的值。狀態(tài)空間線性變換方法能夠基于有限的運(yùn)行數(shù)據(jù)構(gòu)建符合全局的高維線性潮流關(guān)系，并不需要訓(xùn)練樣本覆蓋所有工況，這是因?yàn)镵oopman 方法構(gòu)造出反映配電網(wǎng)本身物理特征的高維線性等效潮流模型，該模型可適用于所有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不改變情況下的運(yùn)行工況，而無需在訓(xùn)練過程中即覆蓋全部越限場景。在訓(xùn)練過程中，電壓越限樣本可用于模型訓(xùn)練，但并非必需，這降低了訓(xùn)練數(shù)據(jù)獲取難度；而對于導(dǎo)致配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)變化的斷線、短路等故障，由于改變了配電網(wǎng)潮流模型，因此需要排除出訓(xùn)練集。若配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)因重構(gòu)而發(fā)生變化，則應(yīng)根據(jù)當(dāng)前的結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新訓(xùn)練。

3.2 基于升維線性潮流的牛頓方向計(jì)算

根據(jù)線性矩陣L的定義，節(jié)點(diǎn)j電壓幅值與節(jié)點(diǎn)i無功調(diào)節(jié)量之間的靈敏度可按式（37）進(jìn)行計(jì)算。

式中：Lji為矩陣L中對應(yīng)電壓Vj和無功調(diào)整量Δqi的元素；Lj，(K+t)為矩陣L中對應(yīng)電壓Vj和升維擴(kuò)充出的第t維輸入變量ψt(x)的值。

式（37）中的偏微分項(xiàng)可按式（38）進(jìn)行計(jì)算。

因此，在數(shù)據(jù)驅(qū)動得到的升維線性潮流矩陣的基礎(chǔ)上，根據(jù)式（17）、（37）、（38），即可計(jì)算本地梯度的精確值。模型訓(xùn)練層下發(fā)的結(jié)果相當(dāng)于生成了靈敏度的全局計(jì)算公式，因此各節(jié)點(diǎn)僅需根據(jù)當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)即可對靈敏度進(jìn)行更新，因此該靈敏度計(jì)算方法是“全局”的，并以此根據(jù)第2 節(jié)中的方法更新牛頓迭代方向。在此過程中，梯度的計(jì)算完全不依賴于任何模型參數(shù)，因此在模型參數(shù)不精確或不完備場景下，分布式電壓控制效果及收斂速度不受影響。

在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洳蛔兊那闆r下，模型訓(xùn)練層下發(fā)的結(jié)果始終適用，僅需周期性地校正其數(shù)值即可，因此在在線的電壓控制過程中并不體現(xiàn)。相反地，分布式電壓控制層以在線方式執(zhí)行控制，以應(yīng)對電壓波動。應(yīng)用模型訓(xùn)練結(jié)果進(jìn)行分布式電壓控制的整體流程如圖5所示。

圖5 分布式電壓控制整體流程Fig.5 Overall process of distributed voltage control

4 算例分析

本節(jié)利用MATLAB 軟件在IEEE 33、69和118節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)算例系統(tǒng)中對本文所提出的分布式電壓控制方法進(jìn)行效果驗(yàn)證。為模擬主動配電網(wǎng)中接入分布式發(fā)電的情況，在各算例系統(tǒng)中，分別添加3 種不同比例15%、30%、50%（按照光伏容量與負(fù)荷比值計(jì)算）的分布式光伏。在電壓控制過程中，變電站低壓母線和參考節(jié)點(diǎn)電壓始終假設(shè)為1 p.u.，且各節(jié)點(diǎn)安全電壓約束為［0.95，1.05］p.u.。

4.1 IEEE 33節(jié)點(diǎn)算例系統(tǒng)分析

為確定合適的升維維數(shù)與樣本集數(shù)量，在IEEE 33 節(jié)點(diǎn)算例系統(tǒng)下，利用MATPOWER 潮流計(jì)算得到樣本數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動訓(xùn)練得到的線性潮流計(jì)算1000組測試場景下的節(jié)點(diǎn)電壓分布，并將其與精確參數(shù)下的牛頓-拉夫遜潮流進(jìn)行對比，以此評估數(shù)據(jù)驅(qū)動模型訓(xùn)練精度。變換不同升維維度與樣本數(shù)量，得到的對比結(jié)果如表1 所示。表中，最大誤差和平均誤差均為標(biāo)幺值。

表1 數(shù)據(jù)驅(qū)動模型訓(xùn)練精度Table 1 Accuracy of data-driven power flow model

不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)驅(qū)動線性潮流模型下電壓計(jì)算結(jié)果與精確結(jié)果間的偏差均在10-3p.u.數(shù)量級以下，精度很高，且誤差總體趨勢隨著樣本數(shù)量及升維維度的增加而減小?？紤]計(jì)算時間與數(shù)據(jù)的獲取難度，本文算例最終選擇的樣本數(shù)量為3 000 個，升維維度為2000。

利用MATPOWER 計(jì)算分布式光伏無功調(diào)整后的潮流分布，此處采用精準(zhǔn)模型參數(shù)，以該結(jié)果作為配電網(wǎng)電壓實(shí)際狀態(tài)反饋。本文在每個算例系統(tǒng)中的每種光伏裝機(jī)與負(fù)荷比值下，均采用MATPOWER計(jì)算3000個斷面潮流結(jié)果作為樣本集，并通過狀態(tài)空間變換將潮流模型升維至2 000 維，從而計(jì)算電壓-無功靈敏度結(jié)果。

為驗(yàn)證本文方法的效果，將其與利用第1 節(jié)的線性化Distflow 模型的分布式電壓控制結(jié)果進(jìn)行對比，并同時分析模型參數(shù)精確與不精確2 種情況，以此驗(yàn)證本文在模型參數(shù)不精確情況下的優(yōu)勢。其中不精確的模型參數(shù)通過在各支路電抗值上額外添加±a（a∈[3%，8%]）的擾動進(jìn)行模擬。同時，以基于MATPOWER 的集中式最優(yōu)潮流結(jié)果作為理論最優(yōu)解，對比不同方法的效果差異。事實(shí)上，為證明本文方法的效果，還應(yīng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等數(shù)據(jù)驅(qū)動方法進(jìn)行對比，但目前已有文獻(xiàn)中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法很難與分布式控制實(shí)現(xiàn)有效結(jié)合，相關(guān)討論計(jì)劃在后續(xù)文章中進(jìn)行。不過，可以確定的是，相比“純數(shù)據(jù)驅(qū)動”的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，本文基于Koopman 算子狀態(tài)空間映射的方法本質(zhì)上在另一空間中構(gòu)造出了等效的線性機(jī)理模型，更適合全局應(yīng)用的需求，這一優(yōu)勢是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法所不具備的。

在算例討論中，分布式電壓控制的精度與效果主要由最終控制達(dá)到收斂時的電壓分布和迭代達(dá)到收斂的速度決定。事實(shí)上，牛頓迭代過程中每一步的方向都將影響最終達(dá)到的控制效果及收斂速度。因此，下文的討論主要圍繞這兩方面進(jìn)行。

首先，以IEEE 33 節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)中添加15%分布式光伏為例對比不同方法收斂性與控制效果。需要強(qiáng)調(diào)的是，在實(shí)際場景分布式控制過程中，光伏與負(fù)荷功率始終處于變化過程中，不存在收斂的情況，因此分布式控制本質(zhì)上在于始終跟蹤電壓的動態(tài)波動，向電壓優(yōu)化分布的方向進(jìn)行迭代控制，改善電壓分布。為更好地進(jìn)行對比分析，算例控制過程中假設(shè)功率不發(fā)生波動，以直觀對比各方法的收斂速度。由于牛頓迭代中，兩步間隔時間可人工設(shè)定，一般可選為秒級甚至百毫秒級，一旦迭代步之間的時間間隔確定，收斂所需時間即完全取決于收斂所需迭代步數(shù)，為使對比更具一般性，本文算例中采用迭代收斂步數(shù)作為方法間控制效率的對比指標(biāo)。圖6 給出了3 種不同方法下目標(biāo)函數(shù)值隨著迭代控制次數(shù)的變化曲線?？梢钥闯?，在本文方法的控制下，目標(biāo)函數(shù)值在8 次迭代左右達(dá)到收斂，其速度明顯快于另外2 種情況，這是由于采用了數(shù)據(jù)驅(qū)動的潮流結(jié)果計(jì)算全局靈敏度，從而對牛頓迭代方向進(jìn)行更新。相比采用Distflow 模型的方式，本文方法未進(jìn)行忽略和近似，因此收斂更快。而基于Distflow 模型的方法，在模型參數(shù)精確的前提下需要11 步迭代控制收斂，且最優(yōu)性方面與本文方法也存在一定差距。若在模型參數(shù)不精確的場景下，其收斂不僅需要22 步迭代控制，且最優(yōu)性也無法保證，目標(biāo)函數(shù)值與理論最優(yōu)結(jié)果差距很大。由此可見，基于模型的分布式控制方法對模型參數(shù)精度依賴性較高，而本文則能解決這一問題。在實(shí)際工程運(yùn)行中，配電網(wǎng)模型參數(shù)存在偏差是較為常見的情況，甚至中低壓配電網(wǎng)可能出現(xiàn)完全無模型的情況。因此，本文所提出的方法具有更好的工程適應(yīng)性。

圖6 IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中目標(biāo)函數(shù)隨迭代過程的變化Fig.6 Objective value variation with iteration in IEEE 33-bus system

在同樣的算例條件下，最終達(dá)到收斂時不同方法下的電壓分布如圖7 所示。為方便對比，無控制下的自然電壓分布同樣在圖7 中給出。圖中，電壓幅值為標(biāo)幺值?？梢钥吹剑诒疚乃峥刂品椒ㄏ?，配電網(wǎng)中的電壓分布更加均衡，且解決了自然電壓分布下的越限問題。與之相比，基于Distflow 模型的分布式控制結(jié)果無法完全消除電壓越限，且隨著參數(shù)誤差的增加，電壓越限問題更為突出，從而驗(yàn)證了所提控制方法的電壓控制效果。這是由于Distflow模型獲取靈敏度的推導(dǎo)過程中，忽略了有功和無功網(wǎng)損對應(yīng)的非線性項(xiàng)，并對電壓的平方項(xiàng)進(jìn)行了線性替換，因此迭代效果不及本文基于數(shù)據(jù)驅(qū)動校正后的分布牛頓法。一旦參數(shù)不精確，基于模型的方法收斂速度、目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)性、電壓分布效果將出現(xiàn)更顯著的下降，而本文方法則不受參數(shù)精度影響。

圖7 IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中的電壓分布Fig.7 Voltage distribution in IEEE 33-bus system

在本文方法控制收斂后，相較自然電壓分布下的無功功率，IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)開環(huán)下各節(jié)點(diǎn)無功調(diào)節(jié)量如圖8 所示。圖中，節(jié)點(diǎn)無功調(diào)節(jié)量為標(biāo)幺值（功率基值為10 MV·A）?？梢钥闯?，各節(jié)點(diǎn)無功調(diào)整具有響應(yīng)本地電壓變化的特點(diǎn)，同時兼顧全局電壓的分布，最終實(shí)現(xiàn)電壓的優(yōu)化控制。

圖8 IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)無功調(diào)整量Fig.8 Reactive power adjustment of each node in IEEE 33-bus system

4.2 IEEE 69、IEEE 118節(jié)點(diǎn)算例系統(tǒng)分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證其他算例場景下的效果，本文對比了IEEE 69 節(jié)點(diǎn)算例系統(tǒng)添加15%分布式光伏后的分布式電壓控制收斂過程，具體結(jié)果見附錄A 圖A1—A4、表A1。該場景下，本文方法需要23 步達(dá)到收斂，而基于模型的方法分別需要26步和58步達(dá)到收斂，且收斂結(jié)果均不如本文方法。在IEEE 118節(jié)點(diǎn)算例系統(tǒng)中添加15%分布式光伏后，本文方法需要28步達(dá)到收斂，而基于模型的方法分別需要78步和152 步達(dá)到收斂?？梢钥闯?，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加，本文方法收斂速度下降并不顯著，而基于模型的方法由于誤差的累積，收斂速度則顯著下降。

為進(jìn)行更加全面的分析，3 種方法下在各種算例系統(tǒng)中的不同光伏裝機(jī)容量與負(fù)荷功率的比值場景下的收斂所需次數(shù)均進(jìn)行了對比。在所有算例系統(tǒng)的所有光伏裝機(jī)容量與負(fù)荷功率的比值下，本文所提出的方法都以最快的速率收斂到最優(yōu)值，其收斂性優(yōu)勢隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加體現(xiàn)得愈發(fā)明顯，驗(yàn)證了本文方法的效果。

4.3 環(huán)網(wǎng)下適用性分析

為驗(yàn)證本文方法在環(huán)網(wǎng)下的適用性，采用IEEE 33節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)算例系統(tǒng)，將系統(tǒng)中5個聯(lián)絡(luò)開關(guān)閉合，產(chǎn)生5 個環(huán)路，各節(jié)點(diǎn)光伏配置情況與原33 節(jié)點(diǎn)算例相同，分布式光伏占比為15%，同樣將本文方法所得結(jié)果與利用第1 節(jié)的線性化Distflow 模型的分布式電壓控制結(jié)果進(jìn)行對比，并同時分析模型參數(shù)精確與不精確2 種情況，以此驗(yàn)證本文在模型參數(shù)不精確情況下的優(yōu)勢，其中不精確的模型參數(shù)仍在各支路電抗值上額外添加±a（a∈[3%，8%]）的擾動，對應(yīng)的結(jié)果見附錄B圖B1、B2。

在本文方法的控制下，目標(biāo)函數(shù)值仍在7 次迭代左右達(dá)到收斂，相比基于模型的方法在模型參數(shù)精確的前提下12 步收斂，模型參數(shù)不精確的場景下24 步收斂，本文方法收斂速度更快，且目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果也強(qiáng)于另外2 種方法，這是由于在迭代方向計(jì)算過程中未進(jìn)行近似。

此外，在本文控制方法下，環(huán)網(wǎng)中的電壓分布更加均衡，電壓控制效果相較另外2 種方法更優(yōu)，由此驗(yàn)證了本文提出的方法在環(huán)網(wǎng)條件下同樣適用。

5 結(jié)語

本文提出了一種基于狀態(tài)空間線性升維變換的主動配電網(wǎng)分布式電壓控制方法。通過利用矩陣分裂方法，實(shí)現(xiàn)了海森矩陣的分布式求逆，從而將分布式控制斂速提升至超線性收斂，更適合在線應(yīng)用。隨后，本文基于Koopman數(shù)據(jù)驅(qū)動方法，利用配電網(wǎng)歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，構(gòu)建高維線性精確潮流模型，從而推導(dǎo)得到電壓-無功全局靈敏度，以此校正分布式牛頓控制中的迭代方向。算例分析采用改造后的IEEE33、69、118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了方法效果和收斂性的驗(yàn)證。相比依賴于模型的分布式電壓控制方法，本文方法具有更快的收斂速度和更優(yōu)的控制收斂結(jié)果，且不受參數(shù)不精確問題影響，具有更強(qiáng)的工程適用性。

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