基于自適應(yīng)LQR的智能汽車橫縱向控制

李致遠(yuǎn)，李曉蕊

（長(zhǎng)安大學(xué) 汽車學(xué)院，陜西 西安 710064）

無(wú)人駕駛車輛在未來(lái)交通中有著舉足輕重的地位，它集環(huán)境感知、決策規(guī)劃、運(yùn)動(dòng)控制于一體[1-2]。目前，國(guó)內(nèi)外汽車大廠投入了大量的人力和物力對(duì)自動(dòng)駕駛技術(shù)的研發(fā)，從而提升在該領(lǐng)域的競(jìng)爭(zhēng)力[2]。作為自動(dòng)駕駛核心技術(shù)之一的橫縱向運(yùn)動(dòng)控制，它接收軌跡規(guī)劃信息、自車位置信息，輸出對(duì)應(yīng)的控制命令，使車輛按照所期望的軌跡行駛[3]。橫向控制在整個(gè)控制模塊是至關(guān)重要的，其控制的好壞直接影響車輛的目標(biāo)路徑的跟蹤能力和整車的穩(wěn)定性、舒適性等其他關(guān)鍵指標(biāo)[4-7]。針對(duì)自動(dòng)駕駛換道問(wèn)題本文設(shè)計(jì)了一種目標(biāo)函數(shù)權(quán)重可以調(diào)整的自適應(yīng)前饋控制的線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator, LQR）橫向控制器，并結(jié)合縱向控制實(shí)現(xiàn)車輛跟蹤期望軌跡。首先，通過(guò)油門剎車表的制作搭建了縱向雙比例-積分-微分（Proportion Integration Differentia- tion,PID）控制器，然后，基于路徑跟蹤誤差的車輛二自由度動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了LQR橫向控制器[8]。隨后，考慮路徑跟蹤偏差與路徑曲率關(guān)系進(jìn)行LQR控制器的改進(jìn)，并考慮智能汽車轉(zhuǎn)向不足的問(wèn)題，以此提高車輛的路徑跟蹤能力、穩(wěn)定性和舒適性[9-11]。最后，通過(guò)仿真試驗(yàn)對(duì)比分析，驗(yàn)證其有效性。

1 基于跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，將車輛簡(jiǎn)化為“二輪”模型。假設(shè)，前后二輪完全相同，側(cè)向、橫擺兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)自由度被考慮到該模型中。

圖1 基于跟蹤誤差的“二輪”模型

分析圖1中車輛在側(cè)向、橫擺兩個(gè)方向進(jìn)行受力分析，并假設(shè)車速為固定值且車輪轉(zhuǎn)角較小，可得

式中，m為車輛整車質(zhì)量；ay為汽車側(cè)向加速度；Ff、Fr分別為前、后軸側(cè)向力；Iz為繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)量；ω˙為橫擺角速度；lf、lr為汽車前、后軸到質(zhì)心的距離。

假設(shè)同軸兩側(cè)車輪完全相同，前輪、后輪的側(cè)偏剛度為kf和kr，前輪轉(zhuǎn)角為δf，則

式中，Vx為縱向車速；Vy為橫向車速。

距離偏差與航向偏差出現(xiàn)在車輛對(duì)參考路徑進(jìn)行跟蹤時(shí)。如圖1所示，ey為車輛質(zhì)心到目標(biāo)軌跡的最短距離。對(duì)于航向偏差eψ，可以得到

式中，ψ為航向角；ψdes為參考航向角。

假設(shè)目標(biāo)軌跡半徑為R，則車輛在該軌跡上行駛的加速度為

車輛的實(shí)際加速度為

則可以得到

將式（3）和式（4）代入式（5）和式（9）中，可得

將式（10）和式（11）寫(xiě)為狀態(tài)空間方程，則有

式中，

2 縱向雙PID控制器設(shè)計(jì)

電動(dòng)汽車有著節(jié)能環(huán)保的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于自動(dòng)駕駛車輛。而且，電動(dòng)機(jī)有著比燃油機(jī)更寬的工作高效區(qū)間；工作效率高達(dá)90%；百公里加速?gòu)?qiáng)等特點(diǎn)。所以，本文選取的車輛模型為CarSim中的電動(dòng)汽車。

當(dāng)踩下油門時(shí)，會(huì)引起電動(dòng)機(jī)功率改變，從而電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速/扭矩會(huì)發(fā)生改變，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的改變會(huì)影響車輛車速的變化；扭矩的改變會(huì)影響車輛加速度的變化，最終實(shí)現(xiàn)車輛加速。當(dāng)踩下剎車時(shí)，會(huì)引起制動(dòng)壓力的增大，從而制動(dòng)盤(pán)摩擦增大。最終，實(shí)現(xiàn)車輛的減速。

2.1 油門剎車表的制作

使用MATLAB/Simulink和CarSim聯(lián)合仿真，給定車輛模型以初速度0 km/h行駛，在不同的節(jié)氣門開(kāi)度下，得到不同的加速度a和速度v曲線，最后，合并不同節(jié)氣門開(kāi)度下的v、a曲線并擬合，得到如圖2所示的三維曲面。

圖2 節(jié)氣門開(kāi)度，加速度，速度三維曲面圖

同樣，給定該車輛模型以初速度180 km/h行駛，在不同的制動(dòng)壓力下得到不同的加速度a和速度v曲線，并進(jìn)行擬合，得到如圖3所示的三維曲面圖。

圖3 制動(dòng)壓力，加速度，速度三維曲面圖

合并圖2，圖3中節(jié)氣門開(kāi)度，制動(dòng)壓力，加速度，速度數(shù)據(jù)得到如表1所示的油門剎車表。

表1 油門剎車標(biāo)定表部分?jǐn)?shù)據(jù)

如表1所示，該表的第一行表示車輛加速度（m/s2），其范圍為-8 m/s2～5 m/s2；第一列表示車輛行駛速度（m/s），其范圍為0 m/s～50 m/s。不同的速度或者加速度就能得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的節(jié)氣門開(kāi)度或者制動(dòng)壓力。

圖4 縱向雙PID運(yùn)動(dòng)控制器建模

該縱向雙PID運(yùn)動(dòng)控制器考慮車輛速度、規(guī)劃速度、縱向位移誤差。然后輸出車輛加速度。如圖4所示。

3 前饋反饋的LQR橫向運(yùn)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)

該控制器利用現(xiàn)代控制方法適用于狀態(tài)空間模型，車輛動(dòng)力學(xué)模型剛好可以寫(xiě)成狀態(tài)空間的形式。其控制性能指標(biāo)方程如下：

式中，Q,R代表控制器的加權(quán)矩陣。

式（13）的極小值就是LQR控制器所要達(dá)到的目標(biāo)。即

對(duì)式（14）求導(dǎo)從而獲得極值，可得

式中，

P(t)是式（17）黎卡提方程的解。

LQR控制器的最終控制規(guī)律為

式中，K=[k1,k2,k3,k4]。

3.1 前饋反饋LQR控制器設(shè)計(jì)

將式（18）代入式（12）可以得到X

通過(guò)式（19）可以看出，無(wú)論K取何值.X和X不可能同時(shí)為0。引入前饋控制δq使得橫向誤差為0，δq為前饋控制對(duì)應(yīng)的前輪轉(zhuǎn)角。則控制律為

將式（20）代入式（12），則有

該帶前饋反饋的LQR控制器最終會(huì)導(dǎo)致.X為零；X不為零。則可得

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為選取合適的δq使式（22）盡可能為零。即

式中，ρ為路徑曲率。

車輛在跟蹤此換道軌跡時(shí)道路曲率通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1；航向偏差eψ也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1；橫向車速Vy遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。就可以近似得到航向偏差eψ約等于0。

4 自適應(yīng)LQR控制器

加權(quán)矩陣Q和R是LQR控制器的核心。大部分研究中其值為固定值，現(xiàn)將加權(quán)矩陣Q和R設(shè)計(jì)為根據(jù)橫向偏差ey、路徑曲率K實(shí)時(shí)變換的矩陣。

文中加權(quán)矩陣Q和R描述為

矩陣Q中，q1為距離偏差權(quán)重系數(shù)；q2為距離偏差變化率權(quán)重系數(shù)；q3為航向偏差權(quán)重系數(shù)以及q4為航向偏差變化率權(quán)重系數(shù)。這四個(gè)權(quán)重系數(shù)的大小代表所對(duì)應(yīng)控制目標(biāo)的控制強(qiáng)度。通常車輛在目標(biāo)路徑上行駛時(shí)的半徑較大，航向偏差可以近似看為0，所以文中設(shè)定q2,q3,q4為常數(shù)，僅針對(duì)q1,r1設(shè)計(jì)計(jì)算規(guī)則。

誤差的權(quán)重參數(shù)越大，跟蹤精度越高；轉(zhuǎn)角的權(quán)重參數(shù)越大，轉(zhuǎn)角變化越小，駕駛的穩(wěn)定性與舒適性更好。在路徑曲率較小的條件下，車輛行駛平穩(wěn)，應(yīng)增大轉(zhuǎn)角權(quán)重，以保障跟蹤精度為主。在路徑曲率較大的條件下，車輛短時(shí)間的位置變動(dòng)較大，應(yīng)減小轉(zhuǎn)角權(quán)重，使控制器對(duì)轉(zhuǎn)角變化更敏感，減小對(duì)前輪轉(zhuǎn)角的限制，保證車輛的跟蹤精度與行駛穩(wěn)定性。

參數(shù)q1,r1的計(jì)算規(guī)則可以描述為

式中，key,kR為增益系數(shù)；eyth,krth為誤差閾值；q0,r0為對(duì)應(yīng)權(quán)重初始值。

4.1 考慮自動(dòng)駕駛車輛轉(zhuǎn)向不足的問(wèn)題

當(dāng)車輛跟蹤目標(biāo)路徑時(shí)，車輛的轉(zhuǎn)彎半徑總有向外側(cè)擴(kuò)大的趨勢(shì)，所以，橫向誤差ey與前輪轉(zhuǎn)角δf息息相關(guān)。本文中橫向誤差通過(guò)PID控制器之后與前輪轉(zhuǎn)角δf相減之后作為汽車的前輪轉(zhuǎn)角，從而解決了汽車轉(zhuǎn)向不足的問(wèn)題。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

為了證明本文自適應(yīng)LQR控制器的可靠性，建立了如圖5所示的五次多項(xiàng)式換道模型，在相同的條件下分別對(duì)帶前饋的LQR控制器；帶前饋的自適應(yīng)LQR控制器；考慮車輛轉(zhuǎn)向不足的帶前饋的LQR控制器進(jìn)行仿真比較。測(cè)試工況選擇換道工況；測(cè)試車輛選擇Carsim中的C-Class，Hatchback。該測(cè)試車輛相關(guān)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 車輛主要參數(shù)

5.1 建立五次多項(xiàng)式換道工況

在五次多項(xiàng)式換道工況進(jìn)行仿真測(cè)試時(shí)，初始車速設(shè)定為36 km/h；換道時(shí)間為5 s。換道軌跡如圖5所示，構(gòu)建五次多項(xiàng)式曲線，可以解析物體的位移、速度、加速度三種狀態(tài)值，五次多項(xiàng)式如下：

x(t)、y(t)代表車輛縱橫向位移，是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，對(duì)其一階二階求導(dǎo)便得到速度、加速度狀態(tài)曲線如下：

圖5 五次多項(xiàng)式換道示意圖

5.2 LQR權(quán)重參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)效果實(shí)驗(yàn)

圖6為在3種控制器作用下，車輛跟蹤效果圖。可以看出，三種控制器都能跟蹤參考路徑，并且保證跟蹤誤差在可以接受的范圍內(nèi)?？紤]車輛不足轉(zhuǎn)向的自適應(yīng)LQR前饋控制器對(duì)于目標(biāo)路徑的跟蹤效果最好。

圖6 參考路徑跟蹤結(jié)果

圖7 跟蹤誤差結(jié)果

圖7(a)和圖7(b)精確描述了車輛實(shí)際路徑與參考路徑的橫向偏差與航向偏差。考慮車輛不足轉(zhuǎn)向的自適應(yīng)LQR前饋控制器跟蹤效果最好，最大橫向偏差在0.26 m以內(nèi)，最大航向偏差在0.041 rad以內(nèi)；前饋LQR控制器跟蹤精度最差，最大橫向偏差達(dá)到0.063 m，最大航向偏差在0.023 rad左右；帶前饋控制的自適應(yīng)LQR控制器最大側(cè)向偏差為0.045 m，最大航向偏差達(dá)到0.038 rad。

圖8(a)、圖8(b)和圖8(c)為車輛在三種控制器下前輪轉(zhuǎn)角、橫擺角、橫擺角速度對(duì)比圖?？梢钥闯鲕囕v在三種控制器的作用下都能把前輪轉(zhuǎn)角控制在小轉(zhuǎn)角約束內(nèi)；橫擺角和橫擺角速度都在車輛設(shè)計(jì)的約束范圍內(nèi)。

通過(guò)表3可以看出，考慮車輛不足轉(zhuǎn)向的自適應(yīng)LQR前饋控制器的路徑跟蹤精度最高、控制效果最好。

圖8 前輪轉(zhuǎn)角、橫擺角、橫擺角速度圖

表3 橫向偏差、航向偏差、橫擺角、前輪轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)

6 結(jié)論

本文采用縱向雙PID控制器、橫向LQR控制器為主體部分，并考慮前饋反饋、車輛不足轉(zhuǎn)向，提高車輛跟蹤精度和行駛穩(wěn)定性，同時(shí)根據(jù)橫向偏差、參考路徑曲率對(duì)LQR的權(quán)重參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，改進(jìn)了LQR控制器。最后，通MATLAB/CarSim聯(lián)合仿真對(duì)考慮車輛不足轉(zhuǎn)向前饋?zhàn)赃m應(yīng)LQR控制器進(jìn)行了試驗(yàn)，通過(guò)對(duì)比分析，證明了本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)LQR控制器具有良好的控制性能。