布爾邏輯思想初探

楊日成,寧莉娜

(上海大學(xué) 哲學(xué)系,上海 201900)

喬治·布爾(George·Boole)是十九世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家,他早期在理論界的貢獻(xiàn)主要集中在數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在他思維所活躍的年代,數(shù)學(xué)思想還被萊布尼茨的微積分學(xué)主導(dǎo),在弗雷格的《概念文字》尚未發(fā)表之前,微積分學(xué)中的一些概念,如“連續(xù)”“一致連續(xù)”“可導(dǎo)”“可微”等尚未被用謂詞邏輯的語(yǔ)言嚴(yán)格表述出來,所以,數(shù)學(xué)中的分析學(xué)一直被代數(shù)學(xué)的發(fā)展所壓制著,這也決定了布爾在數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域的貢獻(xiàn)集中在微分和差分方程的求解部分。在這樣的背景之下,可以說布爾將代數(shù)的方法運(yùn)用到邏輯的研究上是有充分理由也是非常必要的。布爾的著作不多,但是《思維規(guī)律研究·邏輯和概率的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)》以及《邏輯的數(shù)學(xué)分析》這兩部作品足夠使他成為一個(gè)在邏輯史上具有轉(zhuǎn)折意義的人物。涅爾夫婦是這樣評(píng)價(jià)布爾的邏輯代數(shù)在歷史上的影響的:“布爾贏得聲望主要有一條,即他使邏輯從認(rèn)識(shí)論的統(tǒng)治下解放出來,從而使邏輯作為一門獨(dú)立的科學(xué)獲得了新生?！盵1]516

一、布爾對(duì)萊布尼茨思想的繼承

學(xué)界普遍的觀點(diǎn)認(rèn)為:“萊布尼茲的普遍語(yǔ)言和推理演算為整個(gè)現(xiàn)代邏輯提供了靈感。德摩根、布爾、施羅德開辟了邏輯轉(zhuǎn)向的代數(shù)方向,并為新邏輯的誕生鋪平了道路;弗雷格、皮爾斯、皮亞諾開辟了邏輯轉(zhuǎn)向的演算方向?！盵2]現(xiàn)今我們重視的是以一階謂詞邏輯的誕生為基礎(chǔ)的數(shù)理邏輯,既然布爾在邏輯史上被定義成過渡性質(zhì)的人物,那么對(duì)于他在何種程度上來說發(fā)展了萊布尼茨的設(shè)想的研究是必要的,這種發(fā)展意義上的研究需要從萊布尼茨學(xué)說中的問題出發(fā)。

從邏輯的角度看,萊布尼茨對(duì)于自己設(shè)想的解決方案中,至少出現(xiàn)了下述幾點(diǎn)問題:其一,他的理論并沒有將亞里士多德的三段論理論完整涵蓋,僅僅包含了第一格的第一個(gè)式。其二,忽視了后來皮爾斯意義上的那種二元的甚至是多元關(guān)系的探討。其三,其邏輯觀始終是站立在主謂式的立場(chǎng)之上的。

關(guān)于第一個(gè)問題,我們可以認(rèn)為是萊布尼茨對(duì)于合取以及析取的解釋是導(dǎo)致他的理論含糊不清的原因,在他的設(shè)想之中,“普遍語(yǔ)言”的構(gòu)想與伽羅瓦的群代數(shù)理論是分不開的,但是這種聯(lián)系的考慮僅僅是他口頭上的,并沒有體現(xiàn)在自己的抽象體系中,由于這樣的理由,我們可以認(rèn)為在這一點(diǎn)上,布爾確實(shí)類比數(shù)的代數(shù)體系構(gòu)想出了邏輯演算的一套符號(hào)定義了全類和空類,加、乘、補(bǔ)、減,并且符合ab=ba,以及aa=a等這些形式,這種類比不是數(shù)量上的類比,而是一種繼承自萊布尼茨的抽象形式的發(fā)展。

關(guān)于第二個(gè)問題,事實(shí)上我們知道,“1870年皮爾斯的‘描述一種關(guān)系邏輯記法,源于對(duì)布爾邏輯演算的擴(kuò)充’是現(xiàn)代邏輯史上最重要的著作之一,因?yàn)樗谝淮卧噲D把布爾邏輯代數(shù)擴(kuò)充到關(guān)系邏輯,并在歷史上第一次引入多元關(guān)系邏輯的句法。”[3]那么這就說明布爾沒有關(guān)注到關(guān)系的問題嘛?這樣的觀點(diǎn)至少是武斷的,我們?cè)诓紶柕摹哆壿嫷臄?shù)學(xué)分析》中對(duì)于自己的邏輯觀的描述可以看到邏輯中的關(guān)系的構(gòu)想,始終是貫穿在他的思想之中的:“在我看來,邏輯學(xué)雖然可以根據(jù)量的概念來理解,但它還有另一種更深層次的關(guān)系體系。”[4]當(dāng)然這也不能掩蓋他確實(shí)沒有將“關(guān)系”的概念進(jìn)行抽象地符號(hào)化,并且將之發(fā)展成對(duì)于關(guān)系代數(shù)中各種演算性質(zhì)研究體系的事實(shí)。

關(guān)于第三個(gè)問題,涅爾夫婦指出的“主謂式”是與“謂詞式”相對(duì)的一個(gè)概念,從時(shí)代的先后和理論的特征來說,布爾都不是“謂詞式”的,我們似乎引入這樣的標(biāo)準(zhǔn),會(huì)對(duì)布爾邏輯立場(chǎng)的確定有所幫助,即“這個(gè)詞項(xiàng)的變項(xiàng)與命題變項(xiàng)之間的主要區(qū)別,是兩個(gè)公式之間的,從而也是兩個(gè)邏輯系統(tǒng)之間的主要區(qū)別,而且由于詞項(xiàng)和命題屬于不同的語(yǔ)義范疇,這個(gè)區(qū)別是一個(gè)根本的區(qū)別。”[5]64首先可以肯定的是“所有X是Y”這樣的公式中命題的變項(xiàng)中帶入的是詞項(xiàng),其對(duì)應(yīng)于布爾的邏輯代數(shù)中的式子是“x(1-y)=0”,變項(xiàng)中代入的仍然是詞項(xiàng),所以按照上述的標(biāo)準(zhǔn)我們只能將布爾演算系統(tǒng)——至少在解釋三段論的意義上來說——?jiǎng)澐值皆~項(xiàng)邏輯的范疇之中。那么我們就一定會(huì)得出這樣的結(jié)論:布爾的邏輯因?yàn)槭欠侵^詞式的邏輯,是關(guān)乎詞項(xiàng)的邏輯,所以他并非對(duì)萊布尼茨有所發(fā)展,很明顯,這是武斷的。

二、布爾邏輯思想的數(shù)理邏輯史定位

普遍認(rèn)可的是,布爾是數(shù)理邏輯的開山人物,但是在這個(gè)坐標(biāo)軸上我們似乎缺少了度量的標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)方法的引入是布爾邏輯系統(tǒng)的標(biāo)志,代數(shù)方法的引入使得亞里士多德的邏輯體系的含糊性得到了初步的解決。但是這樣的定位是不夠的,熟知數(shù)理邏輯的人們通常從形式與內(nèi)涵的角度去闡釋傳統(tǒng)邏輯到現(xiàn)代邏輯演變過程中所取得的進(jìn)展。傳統(tǒng)邏輯是站在主謂式的句式結(jié)構(gòu)之上的,它相較于謂詞式的一階謂詞邏輯的結(jié)構(gòu)來說更加親近自然語(yǔ)言,但是兩者都是不能脫離自然語(yǔ)言的。在更加宏觀的角度去看,一階謂詞邏輯是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)表示的基礎(chǔ),而傳統(tǒng)邏輯則因?yàn)槠洳荒芙鉀Q多重廣延表述性困境,而被不斷地超越。傳統(tǒng)邏輯尚處于形式和內(nèi)涵不能區(qū)分開的階段,而數(shù)理方法運(yùn)用到邏輯之后,才逐漸將雜糅著的形式與內(nèi)涵分開,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了對(duì)立后的統(tǒng)一,也就是語(yǔ)法和語(yǔ)義上的結(jié)合,這些工作到哥德爾才基本完成。布爾的邏輯顯然是沒有達(dá)成這種對(duì)立后的統(tǒng)一,并且弗雷格也沒有完成這樣的任務(wù),形式與內(nèi)涵,語(yǔ)義和語(yǔ)法的有機(jī)統(tǒng)一不能作為區(qū)分形式與形式化的標(biāo)準(zhǔn)。那么什么才能作為區(qū)分形式和形式化的標(biāo)準(zhǔn)呢?

盧卡西維茨說:“當(dāng)一個(gè)證明按照這個(gè)原則構(gòu)成時(shí),我們就能夠僅僅在它的外在形式的基礎(chǔ)上控制它的正確性,而無須牽涉到證明中所用的詞項(xiàng)的意義?！盵5]26顯然這句話也可以從形式與內(nèi)涵的角度理解,即形式與內(nèi)涵實(shí)現(xiàn)了分離。這樣的標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)形式化的邏輯標(biāo)準(zhǔn),不同于之前所討論的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn):是否親近自然語(yǔ)言,是否達(dá)成了形式與內(nèi)涵的對(duì)立統(tǒng)一,這樣的標(biāo)準(zhǔn)顯然給予了邏輯史一個(gè)更加精確的劃分。沒有爭(zhēng)議的是,這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)同樣可以概括現(xiàn)代邏輯的大部分任務(wù),因?yàn)樗由系南拗茥l件更小,在中國(guó)科學(xué)院的《數(shù)學(xué)所講座2010》中,馮琦老師說過這樣一句話:“在我們看來:邏輯學(xué)的根本目的是探討如何系統(tǒng)地(獨(dú)立于個(gè)人意志地)規(guī)定合理性以及怎樣在前提的合理性和結(jié)論的合理性之間系統(tǒng)地(獨(dú)立于個(gè)人意志地)有效地(簡(jiǎn)潔而準(zhǔn)確地)完備地保持一致性和可靠性?！盵6]108這明顯是一個(gè)包含在盧卡西維茨的定義中的一個(gè)劃分。

顯然,傳統(tǒng)邏輯中雜糅著的“s是p”這種主謂式與自然語(yǔ)言結(jié)合的表達(dá)被完全符號(hào)化的表達(dá)所取代,布爾代數(shù)表示中的A命題“x(1-y)=0”就不會(huì)產(chǎn)生像亞里士多德的A命題中需要一個(gè)外加的解釋去判斷“所有的X是Y”與“Y屬于所有的X”兩個(gè)命題的意義是相同的。一旦連接詞的集合被確定下來,布爾代數(shù)中證明的規(guī)則就在于它本身的代數(shù)結(jié)構(gòu)之中,因此它是形式化的邏輯,從外在的形式上確定了正確性。

三、布爾代數(shù)對(duì)于傳統(tǒng)的直言三段論的發(fā)展

眾所周知,亞里士多德的《前分析篇》中對(duì)于直言三段論的論述,是他奠定自己在邏輯史上輝煌地位的基石,在國(guó)內(nèi)的一些文科專業(yè)學(xué)習(xí)的形式邏輯課程中,也會(huì)涉及三段論知識(shí)的討論?？梢悦摽诙龅氖?課程中所學(xué)習(xí)的三段論的關(guān)鍵是四種以量詞為劃分標(biāo)準(zhǔn)的命題的區(qū)分,以結(jié)論中詞項(xiàng)的位置關(guān)系區(qū)分出大詞小詞,并按照大詞小詞中詞的位置劃分出來的四個(gè)格,以第一格為基礎(chǔ)的完全三段論形式,能夠推出其他有效式的換位規(guī)則,換質(zhì)法,以及24個(gè)正確的式。似乎很多哲學(xué)專業(yè)的學(xué)生把這些關(guān)鍵點(diǎn)認(rèn)為是亞里士多德的三段論以及傳統(tǒng)邏輯補(bǔ)充后的三段論之間的共性,更有甚者對(duì)于亞里士多德的三段論和傳統(tǒng)邏輯補(bǔ)充后的三段論就不加區(qū)分。本文研究的重點(diǎn)并不是三段論的問題,但是我們清楚的是,布爾的著作之中花了大量的篇幅論述自己的邏輯代數(shù)對(duì)于古典形式邏輯的處理,既然本文的目的是要把布爾的代數(shù)邏輯的思想在邏輯史上的位置做個(gè)詳細(xì)的陳述,那么就不可能繞過這樣一個(gè)環(huán)節(jié)。

為了論述的方便,先列出沒有爭(zhēng)議的三段論中四種命題的形式以及對(duì)應(yīng)到布爾代數(shù)中的形式(本文預(yù)設(shè)讀者了解布爾代數(shù)中符號(hào)的意義):

A命題:所有X是Y?！瓁(1-y)=0

E命題:沒有X是Y?！瓁y=0

I命題:有些X是Y?！瓁y=v

O命題:有X不是Y?！瓁(1-y)=v

首先我們需要給出一些區(qū)分亞里士多德的三段論和傳統(tǒng)三段論的標(biāo)志,本文中給出的一些性質(zhì),有些是本質(zhì)的,有些是從屬的,但是側(cè)面的討論,可以作為布爾代數(shù)與兩種三段論理解方式之間關(guān)系的例證。我們可以從《工具論》中任意取出一式的表述來進(jìn)行分析:“如果A不屬于任何B,B屬于有些C,那么A必定不屬于有些C?！盵7]173首先這個(gè)整體是一個(gè)蘊(yùn)涵命題,前件是兩個(gè)命題的合取,而我們現(xiàn)在公認(rèn)的三段論(或許是出自斯多亞學(xué)派的形式)形式似乎是這樣的:沒有B是A,有些C是B,推出有些C不是A。這是一種“α推出β;然而α;因此β”的形式,“根據(jù)斯多亞派的看法你得到的是一個(gè)正確的推論規(guī)則,但不是三段論。斯多亞派的邏輯是形式化的?！盵5]30我們對(duì)于邏輯史的了解告訴我們,包含在斯多亞學(xué)派中的命題邏輯的思想相對(duì)于亞里士多德的論述是具有優(yōu)越性的,亞里士多德對(duì)于條件句的考慮尚未成熟,并且有理由認(rèn)為兩者之間的區(qū)別是本質(zhì)的,亞里士多德的理論是從屬的,作為三個(gè)命題組成的整體命題具有真假,而作為推斷規(guī)則的推理形式?jīng)]有真假,只有正確和不正確的區(qū)分,從亞里士多德式我們可以發(fā)展出更進(jìn)一步的命題邏輯式。上述三段論在布爾的形式中的列出是這樣的:ba=0,cb=v,一式可寫成va+vb-v=0,二式可寫成vc=vb,那么將二式帶入一式,有va+vc-v=0,我們可以給予這樣的式子以這樣的邏輯解釋:有些C不是A。從這樣的例子中顯然可以看出,從兩個(gè)前提到結(jié)論推斷的過程被布爾轉(zhuǎn)化成為一個(gè)二元一次方程組的求解的問題,求解的過程中運(yùn)用的一些運(yùn)算的法則(包括等式的轉(zhuǎn)化,麥克勞林展開式的使用等等)這些都是包含在了他的代數(shù)的結(jié)構(gòu)之中的,方程組的兩個(gè)式子是不需要考慮先后順序的,一旦我們從主謂式的詞項(xiàng)語(yǔ)句轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)的語(yǔ)言,之后的運(yùn)算都是根據(jù)代數(shù)的規(guī)則進(jìn)行的,直到運(yùn)用了技術(shù)的手段化簡(jiǎn)到了最后一步,再進(jìn)行最終的邏輯解釋,在這樣的過程之下,我們也可以看到所謂直觀上劃分的“第四格的問題”在布爾的體系中也是不存在的,因?yàn)榈谒母窕癁榈谝桓?完全是一個(gè)代數(shù)演算的問題,甚至四個(gè)格的劃分都是一個(gè)用AEIO四個(gè)命題進(jìn)行兩個(gè)不需要區(qū)分順序的空位填充的排列組合的問題,因此我們可以得出這樣一個(gè)結(jié)論:布爾代數(shù)對(duì)于直言命題的三段論的解釋,通過抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)內(nèi)部的運(yùn)算法則,直接消解了亞里士多德的三段論中的一些直觀上的討論所產(chǎn)生的弊端。

那么布爾的體系為什么可以一勞永逸地解決直觀上討論方式的一些弊端呢?由于篇幅的限制,這其中的深刻聯(lián)系不是用上一自然段中的只言片語(yǔ)就能概括的,按照周北海教授的研究:“分類樹和正負(fù)二分形成了亞里士多德劃分格。按今天的理論看,亞里士多德劃分格就是集合代數(shù)上的有補(bǔ)分配格。亞里士多德邏輯實(shí)際上是亞里士多德劃分格上的邏輯。”[8]所以我們得出的結(jié)論是,布爾代數(shù)繼續(xù)發(fā)展了更進(jìn)一步的傳統(tǒng)三段論補(bǔ)充過后的三段論,雖然不具備命題邏輯的形式,但“有補(bǔ)分配格”作為其內(nèi)核解決了更多直觀上的弊端。

綜上所述,我們認(rèn)識(shí)到了布爾在邏輯史上區(qū)別于弗雷格的傳統(tǒng)的數(shù)理邏輯派,運(yùn)用代數(shù)的方法,在很大程度上發(fā)展了萊布尼茨的“通用語(yǔ)言”和“邏輯演算”的設(shè)想,拋開現(xiàn)在以布爾命名的數(shù)學(xué)分支在計(jì)算機(jī)科學(xué)理論中的廣泛應(yīng)用,布爾本人的代數(shù)體系是有其局限性的,他還是如萊布尼茨一樣,停留在主謂式的階段,但正如本文開頭所說的,他的代數(shù)邏輯方法,使邏輯學(xué)從認(rèn)識(shí)論中解放出來,打擊了各種心理主義,使邏輯成為一門獨(dú)立的學(xué)科,是邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向的開始,暗含在他的邏輯代數(shù)中的有補(bǔ)分配格的內(nèi)核,也讓我們對(duì)于亞里士多德本身的邏輯思想有了更加細(xì)致的理解,這種定位產(chǎn)生于那種認(rèn)為“亞氏邏輯只能是一階謂詞邏輯的子邏輯”的觀點(diǎn),并且澄清了它是怎么具體成為一階謂詞邏輯的子邏輯。