在新的Schwarz 定義下的調(diào)和函數(shù)的Ahlfors-Weill 延拓

王利鑫, 馮小高

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637009)

1 引言

解析函數(shù)的Schwarz 導(dǎo)數(shù)在證明函數(shù)的單葉性和擬共形映射延拓等方面有著非常重要的作用. Nehari 等人通過對解析函數(shù)的對數(shù)函數(shù)和Schwarz 導(dǎo)數(shù)的研究取得了很多顯著成果[1-2]. 近年來, 很多學(xué)者把解析函數(shù)的結(jié)果推廣到調(diào)和函數(shù), 研究其單葉性準(zhǔn)則和擬共形延拓[3-10].

首先給出一些基本概念. 設(shè)φ是單位圓?={z:|z|<1} 內(nèi)的局部單葉解析函數(shù),它的對數(shù)導(dǎo)數(shù)Pφ和Schwarz 導(dǎo)數(shù)Sφ分別為

定義其Schwarz 導(dǎo)數(shù)的范數(shù)為

在文獻(xiàn)[11] 中, Nehari 通過對Schwarz 導(dǎo)數(shù)的研究得出了在單位圓?內(nèi)一個局部單葉解析函數(shù)為整體單葉的條件. 隨后Ahlfors 和Weill[12]對Nehari 的結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的推廣, 得出單位圓?內(nèi)一個局部單葉解析函數(shù)為整體單葉且擬共形延拓到擴(kuò)充復(fù)平面的條件.

下面介紹一些關(guān)于調(diào)和函數(shù)的基本概念. 設(shè)f=h+是單位圓?內(nèi)的調(diào)和函數(shù), 其中h和g在單位圓內(nèi)解析且g(0) = 0.ω=g′/h′是單位圓內(nèi)的一個解析函數(shù)且|ω| < 1 稱為f的第二復(fù)特征. 2003 年, Chuaqui, Duren 和Osgood 根據(jù)極小曲面理論給出了調(diào)和函數(shù)的Schwarz 導(dǎo)數(shù)和對數(shù)導(dǎo)數(shù)定義[3]. 隨后, Hernández和Martín 從共形度量的角度給出了調(diào)和函數(shù)的Schwarz 導(dǎo)數(shù)和對數(shù)導(dǎo)數(shù)定義[6].Efraimidis, Hernández 和Martín[14]借助此Schwarz 導(dǎo)數(shù)和對數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義構(gòu)造了一個調(diào)和函數(shù)的Alhfors-Weill 延拓. 最近, 聶麗萍和楊宗信[9]給出了調(diào)和函數(shù)f=h+新的Schwarz 導(dǎo)數(shù)和對數(shù)導(dǎo)數(shù)定義. 定義如下: 令調(diào)和函數(shù)f的Schwarz 導(dǎo)數(shù)定義為

其中Pf=(logγ)z為f的對數(shù)導(dǎo)數(shù). 又故f的對數(shù)導(dǎo)數(shù)和Schwarz 導(dǎo)數(shù)又可以分別寫成

和

定義ω的雙曲導(dǎo)數(shù)為

及其雙曲導(dǎo)數(shù)的范數(shù)為

注1.1解析映射的對數(shù)導(dǎo)數(shù)和Schwarz 導(dǎo)數(shù)分別記作Pf和Sf, 一般調(diào)和映射的對數(shù)導(dǎo)數(shù)和Schwarz 導(dǎo)數(shù)分別記作Pf和Sf.

本文將利用文獻(xiàn)[9] 中對調(diào)和函數(shù)的對數(shù)導(dǎo)數(shù)(4) 和Schwarz 導(dǎo)數(shù)(5) 的新定義,借助Efraimidis, Hernández 和Martín[14]構(gòu)造的調(diào)和函數(shù)的Alhfors-Weill 延拓, 利用文獻(xiàn)[12] 中對調(diào)和函數(shù)的對數(shù)導(dǎo)數(shù)(4) 和Schwarz 導(dǎo)數(shù)(5) 的新定義也給出了對應(yīng)的Alhfors-Weill 延拓.

2 一些引理

本節(jié)主要給出后面證明主要定理時要用到的幾個引理.

引理2.1[15]設(shè)h是單位圓?內(nèi)的的局部單葉解析函數(shù), 則有

假設(shè)Fλ= {f=h+:h(0) =g(0) = 0,h′(0) = 1,∥Sf∥≤λ}, 由文獻(xiàn)[7] 可知單位圓?內(nèi)的保向調(diào)和映射f=h+的族Fλ是仿射線性不變的. 記Fλ0={f∈Fλ:g′(0)=0} 和Rλ=∥w?∥, 則有以下引理.

引理2.2[7]limλ→0Rλ=0.

引理2.3假設(shè)f=h+是單位圓?內(nèi)的調(diào)和映射, 其中h解析, 那么

其中k1>0,k2>0.

證明由于

那么

根據(jù)三角不等式和Schwarz 導(dǎo)數(shù)范數(shù)的定義可知

利用文獻(xiàn)[7] 的方法, 結(jié)合(6) 式有下列幾個不等式成立

結(jié)合(9)-(13) 式, 可得(8) 式.

3 主要定理及其證明

定理3.1設(shè)f=h+是單位圓?內(nèi)的局部單葉調(diào)和函數(shù), 且f的第二復(fù)特征滿足|ω(z)|≤d, 其中d∈[0,1),z為單位圓內(nèi)任意一點. 令τ=Ph或τ=Pf, 存在常數(shù)c, 使得當(dāng)∥Sf∥≤c時, 有

是f的擬共形延拓, 且擬共形延拓到, 其中

注3.1在文獻(xiàn)[14] 中, Efraimidis, Hernández 和Martn 通過計算函數(shù)f的延拓公式Ef(ζ) 的Beltrami 系數(shù)來分別討論τ=Ph和τ=Pf的情況, 并得到了上述定理. 本文將通過分別計算τ=Ph和τ=Pf兩種情況下Beltrami 系數(shù)來證明在新的Schwarz 導(dǎo)數(shù)定義下依舊成立.

證明下面分兩種情況來證明.

當(dāng)τ=Ph時, 由文獻(xiàn)[14] 的(21) 式得到, 此時F(z) 的Beltrami 系數(shù)可以寫作:

其中,

結(jié)合(2) 式和引理2.3 的(8) 式, 有

于是,

由Schwarz-Pick 引理, 有下式成立

又根據(jù)引理2.1 可得

結(jié)合上述幾個式子, 那么|μF| 可以寫作成

由(16) 式和引理2.2 可以看出, 當(dāng)λ趨近于0 時, |μF| 趨近于d, 從而推出F擬共形延拓到

當(dāng)τ=Pf時,F(z) 的Beltrami 系數(shù)為:

其中

由|α|,|β| 的范圍可知下面兩式成立:

結(jié)合(4) 式, 引理2.1 和引理2.3 得

則M的分子部分的范圍為

同理N的分子部分的范圍為

綜上所述,

由(18) 式和引理2.3 可知, 當(dāng)λ趨近于0 時, |μF| 同樣趨近于d, 因而可以推出F擬共形延拓到.