基于Copula函數(shù)推求的管運(yùn)洪水防洪標(biāo)準(zhǔn)探討

王文圣，覃光華，梁瀚續(xù)，李深奇

(1.四川大學(xué)水利水電學(xué)院，四川 成都 610065； 2.四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開(kāi)發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610065； 3.四川省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川 成都 610072)

水利工程中管理運(yùn)用階段的分期設(shè)計(jì)洪水稱(chēng)為管運(yùn)洪水，不同于規(guī)劃階段的設(shè)計(jì)洪水，管運(yùn)洪水是水庫(kù)管理運(yùn)行的基礎(chǔ)。管運(yùn)洪水作為一個(gè)新的概念逐漸被重視，計(jì)算和分析方法取得了顯著進(jìn)展。管運(yùn)洪水計(jì)算方法有3類(lèi)。第1類(lèi)方法直接將分期設(shè)計(jì)洪水作為管運(yùn)洪水。分期設(shè)計(jì)洪水是在分析流域洪水季節(jié)性規(guī)律的基礎(chǔ)上，按照設(shè)計(jì)和管理要求，把整個(gè)汛期劃分為若干個(gè)分期，在各分期內(nèi)進(jìn)行最大值選樣，通過(guò)頻率計(jì)算求得設(shè)計(jì)頻率對(duì)應(yīng)的分期設(shè)計(jì)洪水。這類(lèi)方法得到的主汛期管運(yùn)洪水小于指定防洪標(biāo)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)洪水，降低了洪水風(fēng)險(xiǎn)；次汛期管運(yùn)洪水大于指定防洪標(biāo)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)洪水，增大了洪水風(fēng)險(xiǎn)，沒(méi)有達(dá)到制定的防洪要求[1]。第2類(lèi)方法基于全概率公式推求管運(yùn)洪水。張澤慧等[2]闡述了基于全概率公式推求管運(yùn)洪水的基本原理，提出了在資料較短或汛期前、后洪水特征大致相同的情況下運(yùn)用全概率公式推求管運(yùn)洪水的可行方法。王文圣等[3]提出以洪水分期為條件的管運(yùn)洪水直接推求法，在資料充足和相對(duì)充足情況下，根據(jù)全概率公式直接采用頻率分析推求管運(yùn)洪水；在資料不足情況下，建立了基于全概率公式的管運(yùn)洪水反算法。覃光華等[4]研究了以前期水量為條件的管運(yùn)洪水推求方法——直接法和間接法，將前期水量分為少水和多水2種狀態(tài)，直接法以實(shí)測(cè)洪水資料為基礎(chǔ)，采用單變量頻率計(jì)算分析原理推求前期水量為少水和多水的條件分布；間接法以Copula函數(shù)描述年最大時(shí)段洪量和前期水量的二維聯(lián)合分布。此類(lèi)方法得到的主汛期管運(yùn)洪水大于年最大設(shè)計(jì)洪水，次汛期管運(yùn)洪水小于年最大設(shè)計(jì)洪水，管運(yùn)洪水滿(mǎn)足防洪要求，達(dá)到了指定的防洪標(biāo)準(zhǔn)。第3類(lèi)方法基于Copula函數(shù)推求管運(yùn)洪水[5-6]，得到的主汛期管運(yùn)洪水大于年最大設(shè)計(jì)洪水，次汛期管運(yùn)洪水小于年最大設(shè)計(jì)洪水?；贑opula函數(shù)推求的管運(yùn)洪水設(shè)計(jì)值能否滿(mǎn)足現(xiàn)行防洪標(biāo)準(zhǔn)需要進(jìn)一步討論。針對(duì)涉水工程的洪水風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，本文探討基于Copula函數(shù)推求管運(yùn)洪水的防洪達(dá)標(biāo)問(wèn)題。

1 涉水工程洪水風(fēng)險(xiǎn)

對(duì)涉水工程的洪水風(fēng)險(xiǎn)而言，在未來(lái)可能出現(xiàn)的洪水中，只有出現(xiàn)大于工程所能承受的最大洪水時(shí)，工程才會(huì)出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)工程能承受的最大管運(yùn)洪水值為x0，未來(lái)可能出現(xiàn)的洪水為x，當(dāng)x>x0時(shí)，涉水工程出現(xiàn)防洪風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)x≤x0時(shí)，涉水工程是安全的。目前存在2種洪水風(fēng)險(xiǎn)理念，假定一年出現(xiàn)k次洪水，記為xi(i=1, 2, …,k)，第1種洪水風(fēng)險(xiǎn)理念為，當(dāng)xi>x0時(shí)，洪水計(jì)入對(duì)工程造成風(fēng)險(xiǎn)，稱(chēng)為次風(fēng)險(xiǎn)[7]；第2種洪水風(fēng)險(xiǎn)理念為，當(dāng)maxxi>x0時(shí)，洪水計(jì)入對(duì)工程造成風(fēng)險(xiǎn)，稱(chēng)為年風(fēng)險(xiǎn)。在水利工程的防洪安全分析計(jì)算時(shí)，鑒于工程的特殊性及重要性，一年中只計(jì)年最大洪水造成的風(fēng)險(xiǎn)，即年風(fēng)險(xiǎn)。

由于風(fēng)險(xiǎn)是不確定性事件，因此采用風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生概率(頻率)來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)大小，稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)度，記為P。P值越大，事件出現(xiàn)的可能性越大，洪水風(fēng)險(xiǎn)越?。环粗嗳?。次風(fēng)險(xiǎn)和年風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)度分別稱(chēng)為次風(fēng)險(xiǎn)度和年風(fēng)險(xiǎn)度。對(duì)次風(fēng)險(xiǎn)度，以次頻率表示，記為Ps；對(duì)年風(fēng)險(xiǎn)度，以年頻率表示，記為Py。Ps和Py有著本質(zhì)差異，前者以次計(jì)量，后者以年計(jì)量。

2 現(xiàn)行防洪標(biāo)準(zhǔn)和年標(biāo)準(zhǔn)洪水頻率曲線的推求

2.1 現(xiàn)行工程防洪標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)GB 50201—2014《防洪標(biāo)準(zhǔn)》，水利工程的防洪標(biāo)準(zhǔn)采用重現(xiàn)期表示，超過(guò)工程所能承受最大洪水(年最大設(shè)計(jì)值)的概率，即風(fēng)險(xiǎn)度Py為

Py=1/T

(1)

式中T為重現(xiàn)期。

2.2 年標(biāo)準(zhǔn)洪水頻率曲線的推求

為了符合防洪標(biāo)準(zhǔn)的要求，只計(jì)及洪水年最大值造成的風(fēng)險(xiǎn)，洪水頻率分析計(jì)算中的年洪峰流量和不同時(shí)段的洪量樣本系列均由年最大值樣本系列組成。依據(jù)洪水年最大值樣本系列(包含歷史洪水)，通過(guò)頻率分析計(jì)算可獲得洪水頻率曲線(稱(chēng)為直接法)，由此獲得的洪水頻率曲線稱(chēng)為年標(biāo)準(zhǔn)洪水頻率曲線(圖1中的曲線S)，是我國(guó)洪水計(jì)算規(guī)范制定的基礎(chǔ)。根據(jù)推求的年標(biāo)準(zhǔn)洪水頻率曲線確定的風(fēng)險(xiǎn)度和洪水設(shè)計(jì)值符合現(xiàn)行洪水計(jì)算規(guī)范要求和防洪標(biāo)準(zhǔn)。年標(biāo)準(zhǔn)洪水頻率曲線可以作為衡量其他方法推求的年頻率曲線是否符合要求(達(dá)標(biāo))的判別依據(jù)。

圖1 直接法和間接法推求的洪水頻率曲線Fig.1 Flood frequency curves obtained with direct method and indirect method

2.3 防洪達(dá)標(biāo)分析

根據(jù)第1種洪水風(fēng)險(xiǎn)理念，以年最大值和次大值等洪水樣本系列為基礎(chǔ)推求洪水頻率曲線(稱(chēng)為間接法)，常規(guī)的和基于Copula函數(shù)推求的分期洪水頻率曲線，即以次風(fēng)險(xiǎn)理念為基礎(chǔ)得到的洪水頻率曲線，如圖1中的曲線M1和M2。

將曲線M1、M2和曲線S進(jìn)行對(duì)比，可以判斷基于次風(fēng)險(xiǎn)理念推求的洪水成果是否符合防洪要求(達(dá)到防洪標(biāo)準(zhǔn))：①比較曲線M1和S，間接法的成果超過(guò)防洪標(biāo)準(zhǔn)；②比較曲線M2和S，間接法的成果低于防洪標(biāo)準(zhǔn)。具體結(jié)果如表1所示。

表1 洪水成果達(dá)標(biāo)情況分析Table 1 Analysis of flood results of different methods to reach standards

3 基于Copula函數(shù)推求的管運(yùn)洪水

3.1 管運(yùn)洪水的推求

以?xún)煞制跒槔M(jìn)行說(shuō)明，將整個(gè)汛期分為次汛期A和主汛期B。分期A和分期B的風(fēng)險(xiǎn)度分別用PA和PB表示，基于Copula函數(shù)推求管運(yùn)洪水的基本思路如下[5]：

根據(jù)分期A和分期B內(nèi)最大洪水樣本系列分別獲得各期洪水頻率曲線，建立兩分期洪水的Copula函數(shù)C(u,v)，推求出年風(fēng)險(xiǎn)度：

Pc=1-C(u,v)

(2)

其中

u=1-PAv=1-PB

式中Pc為根據(jù)PA和PB估計(jì)的年風(fēng)險(xiǎn)度。

令Pc=Py，并假設(shè)PA=PB，據(jù)此可得分期A和分期B的風(fēng)險(xiǎn)度PA和PB，最后通過(guò)各分期洪水頻率曲線得到各分期管運(yùn)洪水xA和xB。

3.2 分期管運(yùn)洪水的風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)

由上述推求過(guò)程可得：①計(jì)算分期洪水頻率分布曲線時(shí)，選樣為分期內(nèi)洪水最大值，依據(jù)資料必然包含年最大值和次大值，因此，基于式(2)獲得的年風(fēng)險(xiǎn)度Pc含有次大值產(chǎn)生的洪水風(fēng)險(xiǎn)，這不完全符合現(xiàn)行防洪標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的選樣要求[8]，即在研究時(shí)間尺度上按年最大值選樣；②式(2)中C(u,v)表示的是兩分期洪水值均小于分期管運(yùn)洪水的概率，也就是說(shuō)，Pc表示的是兩分期至少有1個(gè)分期內(nèi)洪水值大于分期管運(yùn)洪水的概率(風(fēng)險(xiǎn)度)，這不符合防洪規(guī)范中規(guī)定的涉水工程1年僅破壞1次的要求。

基于Copula函數(shù)推求管運(yùn)洪水的年風(fēng)險(xiǎn)既包括了年最大值導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn)，又包括次大值造成的風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于同一管運(yùn)洪水x0，基于第1種風(fēng)險(xiǎn)理念的年風(fēng)險(xiǎn)度Pc(x>x0)大于基于第2種風(fēng)險(xiǎn)理念的年風(fēng)險(xiǎn)度Py(x>x0)。假設(shè)基于Copula函數(shù)推求出的分期管運(yùn)洪水分別為x0A和x0B，未來(lái)某一年發(fā)生的分期洪水最大值分別為xA和xB，并且xB為年內(nèi)最大值，即xA

第1種情況：xA>x0A，xB

第2種情況：xA>x0A，xB>x0B。根據(jù)第1種風(fēng)險(xiǎn)理念，則這一年涉水工程在分期A和分期B均出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)，即1年內(nèi)出現(xiàn)2次風(fēng)險(xiǎn)，工程被破壞2次；根據(jù)第2種風(fēng)險(xiǎn)理念，這一年內(nèi)僅分期B內(nèi)出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)，工程僅破壞1次。

3.3 達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)

從風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)分析可見(jiàn)，基于Copula函數(shù)推求出的管運(yùn)洪水是超標(biāo)的，防洪是偏安全的。對(duì)基于Copula函數(shù)推求出的管運(yùn)洪水達(dá)標(biāo)情況進(jìn)行檢驗(yàn)，基本步驟如下：①根據(jù)流域洪水特性合理劃分次汛期A和主汛期B，獲取各分期內(nèi)最大值序列樣本和年最大值序列樣本；②推求分期A和分期B及全年最大洪水頻率分布曲線，分別記為曲線A、B和S；③建立分期A和分期B洪水的Copula函數(shù)C(u,v)；④給定一系列的洪水值x，分別在A、B、S頻率曲線上獲得相的頻率PA、PB和Py；⑤由PA和PB根據(jù)C(u,v)可推求出Pc，得到洪水x與Pc對(duì)應(yīng)的頻率曲線，此曲線即為基于Copula函數(shù)推求的年洪水頻率曲線，計(jì)為曲線M；⑥將曲線M和S點(diǎn)繪在一張坐標(biāo)紙上，根據(jù)表1檢驗(yàn)其防洪達(dá)標(biāo)情況。

4 實(shí)例分析

馬邊站是岷江流域馬邊河上重要的水文站，集水面積1 830 km2。根據(jù)馬邊站1957—2013年洪峰流量資料和洪水特性，將5月、6月、9月、10月劃分為次汛期A，將7月、8月劃分為主汛期B，分別選出次汛期、主汛期以及全年的最大洪峰流量系列，并假定它們服從P-Ⅲ分布。采用Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)構(gòu)造次汛期與主汛期最大洪峰流量的聯(lián)合分布[5]，其中參數(shù)θ根據(jù)Kendall秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到θ=1.008 9。

圖2 次汛期、主汛期、年洪峰流量頻率曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of flood frequency curves of peak discharges of non-major flood period, major flood period, and annual flood period

基于Copula函數(shù)推求的洪水頻率曲線M見(jiàn)圖3，曲線M和S不同是由于計(jì)算方法的不同。對(duì)兩條頻率曲線代表的管運(yùn)洪水對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)度進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表2。從表2中可以看出，對(duì)于同一管運(yùn)洪水，頻率曲線M對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)度大于頻率曲線S。對(duì)50年一遇的管運(yùn)洪水，曲線M的風(fēng)險(xiǎn)度比曲線S高約14.3%；對(duì)1 000年一遇的管運(yùn)洪水，曲線M的風(fēng)險(xiǎn)度比曲線S高約30%；隨著管運(yùn)洪水的增加，兩者風(fēng)險(xiǎn)度的差距也越來(lái)越大?？梢?jiàn)，基于Copula函數(shù)推求出的管運(yùn)洪水偏于安全的，防洪不達(dá)標(biāo)。

圖3 基于Copula函數(shù)的洪水頻率曲線與年標(biāo)準(zhǔn)洪水頻率曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of flood frequency curve based on Copula function and annual standard flood frequency curve

表2 曲線S和M對(duì)應(yīng)的管運(yùn)洪水風(fēng)險(xiǎn)度Table 2 Risk degree of manage-flood corresponding to curves S and M

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了洪水次風(fēng)險(xiǎn)和年風(fēng)險(xiǎn)理念，2種洪水風(fēng)險(xiǎn)理念有本質(zhì)區(qū)別，現(xiàn)行設(shè)計(jì)洪水計(jì)算以第2類(lèi)洪水風(fēng)險(xiǎn)(年風(fēng)險(xiǎn))理念為基礎(chǔ)，基于Copula函數(shù)推求的分期管運(yùn)洪水以第1類(lèi)洪水風(fēng)險(xiǎn)(次風(fēng)險(xiǎn))理念為基礎(chǔ)?；贑opula函數(shù)推求的管運(yùn)洪水不符合現(xiàn)行設(shè)計(jì)洪水計(jì)算規(guī)范要求，防洪風(fēng)險(xiǎn)超標(biāo)，風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)和應(yīng)用分析表明，基于Copula函數(shù)推求的管運(yùn)洪水是不達(dá)標(biāo)的?？蛇M(jìn)一步研究次風(fēng)險(xiǎn)和年風(fēng)險(xiǎn)的合理轉(zhuǎn)換以推求出達(dá)標(biāo)的管運(yùn)洪水，或者在資料允許的條件下嘗試以分期內(nèi)年最大值為依據(jù)，基于Copula函數(shù)推求分期管運(yùn)洪水。