飽和輸入下一類多項(xiàng)式系統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制

樓 旭 陽， 張 智 豪

( 江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院， 江蘇 無錫 214122 )

0 引 言

對(duì)于未知的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)來說，控制器的設(shè)計(jì)總是充滿挑戰(zhàn)[1]．一種常見的思路是先通過系統(tǒng)辨識(shí)重構(gòu)出系統(tǒng)的模型，再對(duì)重構(gòu)后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器．然而，由這種思路設(shè)計(jì)的控制器會(huì)帶來一些問題．其一，有的系統(tǒng)辨識(shí)困難，或者無法得到可靠的辨識(shí)模型．其二，控制器性能依賴于系統(tǒng)辨識(shí)的精度[2]．因此，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的概念應(yīng)運(yùn)而生．?dāng)?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制是通過測量數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)控制器的一種方法，比如在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)中經(jīng)常只能獲取數(shù)據(jù)信息[3]，那么數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法便為NCS的控制器設(shè)計(jì)提供了一種可行方案．?dāng)?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制分為間接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制和直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制兩種．前者先通過測量數(shù)據(jù)獲得系統(tǒng)模型，再基于獲得的模型設(shè)計(jì)控制器[4]．顯然，控制器的控制效果與獲得模型的精度高度相關(guān)．嚴(yán)格來說，這也屬于先辨識(shí)后控制的范疇．后者顧名思義是一種跳過系統(tǒng)辨識(shí)環(huán)節(jié)直接完成控制器設(shè)計(jì)的一種方法．目前，相關(guān)研究尤其是非線性系統(tǒng)的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制研究引起了廣泛關(guān)注，也取得了一些成果[5]．文獻(xiàn)[6]針對(duì)一類非線性系統(tǒng)提出了一種基于直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的跟蹤控制方法，該方法沒有明確地推導(dǎo)出系統(tǒng)模型，而是通過結(jié)合在線和離線手段直接設(shè)計(jì)出了時(shí)變狀態(tài)的反饋控制器．文獻(xiàn)[7]以自來水廠混凝投藥大時(shí)滯過程為研究對(duì)象，在迭代反饋整定(IFT)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合Smith預(yù)估控制結(jié)構(gòu)，提出了一種混凝投藥過程數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)直接控制算法．不過，有關(guān)多項(xiàng)式系統(tǒng)直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制的研究結(jié)果還較少．

實(shí)際應(yīng)用中，輸入飽和是一個(gè)很常見的現(xiàn)象，它會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)性能下降甚至不穩(wěn)定[8]．所以，從實(shí)際出發(fā)，研究飽和輸入下系統(tǒng)的控制問題具有很大的應(yīng)用價(jià)值．近些年，相關(guān)問題的研究也吸引了廣大學(xué)者的關(guān)注[9]．文獻(xiàn)[10]針對(duì)一類飽和輸入下帶有時(shí)滯的線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了全局漸近穩(wěn)定的控制器，并指出設(shè)計(jì)方法可以應(yīng)用于多智能體系統(tǒng)．文獻(xiàn)[11]針對(duì)一類含有輸入飽和及擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)采用了采樣控制策略，通過設(shè)計(jì)一種新的輔助控制信號(hào)簡化了控制器設(shè)計(jì)流程．文獻(xiàn)[12]研究了飽和輸入下一類多輸入多輸出非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題，提出了一種靈活的基于性能的控制方案．對(duì)于多項(xiàng)式系統(tǒng)，盡管在一些現(xiàn)有的控制結(jié)果中已經(jīng)解決了控制器飽和問題，如文獻(xiàn)[13]研究了一類用T-S模糊模型表示的多項(xiàng)式系統(tǒng)的跟蹤控制問題，同時(shí)考慮了輸入飽和及外部干擾．然而，有關(guān)飽和輸入下多項(xiàng)式系統(tǒng)的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制研究少有報(bào)道．

對(duì)于線性系統(tǒng)來說，任何輸入輸出的軌跡都可以由有限個(gè)之前測量的輸入輸出數(shù)據(jù)的線性組合表示[14]．因而，可以通過基于數(shù)據(jù)的線性矩陣不等式(LMI)方法來解決線性系統(tǒng)的控制問題．而對(duì)于多項(xiàng)式系統(tǒng)來說，若可以將其寫成線性狀態(tài)依賴的形式，便可以采用平方和(SOS)方法來處理對(duì)其的控制問題．事實(shí)上，SOS方法也正是LMI方法在多項(xiàng)式系統(tǒng)領(lǐng)域的升級(jí)與補(bǔ)充．

本文將研究飽和輸入下一類多項(xiàng)式系統(tǒng)的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制問題．這類多項(xiàng)式系統(tǒng)可以寫成線性狀態(tài)依賴的形式，因而采用SOS方法進(jìn)行分析處理．引入飽和輸入約束的優(yōu)勢在于可以根據(jù)實(shí)際需要滿足輸入的限幅要求．與常規(guī)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制不同，本文所考慮的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)方法，僅需離線采集輸入輸出數(shù)據(jù)，利用有限的輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建Hankel矩陣來建立系統(tǒng)非參數(shù)化模型，從而避免系統(tǒng)辨識(shí)．最后，通過數(shù)值實(shí)例和電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提出控制方法的有效性．

1 問題描述

考慮一類具有線性狀態(tài)依賴形式[15]的多項(xiàng)式系統(tǒng)：

(1)

式中：系統(tǒng)狀態(tài)x∈Rn，控制輸入u∈Rm，向量Z(x)∈PN和矩陣G(x)∈Pq×m包含所有關(guān)于x的單項(xiàng)式，A∈Rn×N和B∈Rn×q是未知的常數(shù)矩陣．Rn是n維歐幾里得空間，Rn×m是n×m維實(shí)矩陣空間，P是多項(xiàng)式集合，Pn是n維多項(xiàng)式向量空間，Pn×m是n×m維多項(xiàng)式矩陣空間．

(2)

其中多項(xiàng)式矩陣H(x)∈PN×p．

對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制，首先需要對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行離線采集，采樣數(shù)據(jù)以矩陣的形式定義如下：

式中：(t0，t0+(T-1)τ)是采樣總時(shí)間，T∈N>0是采樣數(shù)據(jù)數(shù)量，τ∈R>0是采樣周期，R>0是正實(shí)數(shù)集，N>0是正整數(shù)集．

注3離線采集系統(tǒng)的狀態(tài)導(dǎo)數(shù)信息可能有些嚴(yán)格，在實(shí)際中可以在數(shù)據(jù)采集設(shè)備條件允許情況下通過加大采樣頻率，以盡可能精確地獲得狀態(tài)導(dǎo)數(shù)信息．同時(shí)，本文所提出的方法也容易推廣應(yīng)用于離散系統(tǒng)，只需要將X1中狀態(tài)導(dǎo)數(shù)信息數(shù)據(jù)換成下一時(shí)刻離散狀態(tài)值即可．

于是，可以計(jì)算得到：

Z0∶=(Z(x(t0))Z(x(t0+τ)) …

Z(x[t0+(T-1)τ]))

G(x[t0+(T-1)τ])u[t0+(T-1)τ])

測量噪聲定義如下：

D0∶=(d(t0)d(t0+τ) …d[t0+(T-1)τ])

其中d(t)∈Rn．

考慮噪聲影響，矩陣X1滿足

(3)

為方便處理，矩陣D0和B滿足如下合理的假設(shè)條件．

在實(shí)際離線采樣過程中，噪聲影響不應(yīng)該無窮大，因而對(duì)噪聲有一個(gè)上界約束是合理的．

B作為系統(tǒng)控制輸入前的未知常數(shù)矩陣，為了后文的證明，需要將其和一個(gè)已知常數(shù)矩陣建立聯(lián)系，因而給其一個(gè)上界約束也是合理的．

定義

S∶=(BD0)，QS∶=(QBQD)

則在假設(shè)1和2的條件下，有

(4)

2 基于直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的飽和控制設(shè)計(jì)

首先給出以下3個(gè)必要的引理．

引理1[16]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣L和M，對(duì)任意的常數(shù)δ∈R>0，有

-LMT-MLT≤δLLT+δ-1MMT

(5)

(6)

引理3[18]考慮如下線性系統(tǒng)：

(7)

式中：x∈Rn是狀態(tài)變量，u∈Rm是控制輸入，A∈Rn×n、B∈Rn×m和κ∈Rm×n是常數(shù)矩陣．

定義非線性函數(shù)φ(v)∶=sat(v)-v，則對(duì)于任意正定對(duì)角矩陣Ξ∈Rm×m，有如下不等式成立：

φT(v)Ξ(φ(v)+v)≤0

(8)

定理1對(duì)于多項(xiàng)式系統(tǒng)(1)，在假設(shè)1和2的條件下，如果存在正定對(duì)稱矩陣P∈Rp×p，正定對(duì)角矩陣?！蔙m×m，多項(xiàng)式矩陣Y(x)∈PT×p以及常數(shù)ε∈R>0，使得

Z0Y(x)=H(x)P

(9)

(10)

其中

則在狀態(tài)反饋飽和控制器

(11)

的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)(1)全局漸近穩(wěn)定．

利用式(3)、(9)，閉環(huán)系統(tǒng)(1)等價(jià)于如下由Hankel矩陣所描述的系統(tǒng)：

(12)

考慮Lyapunov函數(shù)

沿著閉環(huán)系統(tǒng)(11)的狀態(tài)軌跡，計(jì)算其對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，可得

(13)

(14)

將式(14)代入式(13)可得

(15)

ε-1qTGT(x)BTBG(x)q≤

(16)

將式(16)代入式(15)得

(17)

(18)

將式(18)代入式(17)有

(19)

整理并化簡式(19)可得

(20)

其中

利用Schur補(bǔ)引理2進(jìn)一步可得

(21)

其中

令Γ=Ξ-1，對(duì)多項(xiàng)式矩陣不等式(10)兩邊同時(shí)左乘、右乘diag{Ip，Ξ，Iq+T，In}，可得

(22)

注4由于本文研究的多項(xiàng)式系統(tǒng)可以寫成線性狀態(tài)依賴形式，故可以使用MATLAB的平方和工具箱SOSTOOLS[19]求解獲得可行解．本文沒有研究系統(tǒng)在飽和輸入下的最優(yōu)控制問題，主要考慮這樣會(huì)得到一個(gè)雙線性矩陣不等式(BMI)的充分條件，使得定理變得不易求解．

注5當(dāng)輸入u前的控制矩陣與x無關(guān)時(shí)，多項(xiàng)式系統(tǒng)(1)可以寫成如下形式：

(23)

其中B∈Rn×m．

在這種情況下，類似于式(12)，閉環(huán)系統(tǒng)(23)可以進(jìn)一步描述為

(24)

于是，可以得到如下推論．

推論1對(duì)于多項(xiàng)式系統(tǒng)(23)，在假設(shè)1和2的條件下，如果存在正定對(duì)稱矩陣P∈Rp×p，正定對(duì)角矩陣?！蔙m×m，多項(xiàng)式矩陣Y(x)∈PT×p以及常數(shù)ε∈R>0，使得

Z0Y(x)=H(x)P

(25)

(26)

其中

則在狀態(tài)反饋飽和控制器

(27)

的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)(23)全局漸近穩(wěn)定．

3 仿真實(shí)例

考慮van der Pol振蕩器[20]系統(tǒng)：

(28)

其中u為控制輸入．

無控制輸入時(shí)系統(tǒng)(28)的仿真結(jié)果如圖1所示．由圖可知，在不施加控制輸入時(shí)該系統(tǒng)呈周期運(yùn)動(dòng)．

由于輸入u前的控制矩陣與x無關(guān)，利用推論1，先離線采集一組輸入輸出數(shù)據(jù)如下：

圖1 無控制輸入時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2的時(shí)間響應(yīng)曲線

U0=(u(0)u(0.5)u(1.0)u(1.5)u(2.0))=

(0.814 7 -0.905 8 0.127 0

-0.913 4 0.632 4)

進(jìn)而計(jì)算得到飽和控制器：

sat(x1(0.507 8x1x2+0.507 8)-

x2(3.159 7×10-14x1x2+1.173 9))

(29)

選取飽和函數(shù)界0.8，狀態(tài)初始條件為x(0)=(-1 1)T．在飽和控制器(29)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖2所示，可以看出閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到原點(diǎn)．

圖2 飽和控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2的時(shí)間響應(yīng)曲線

飽和控制器輸入u的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)控制輸入滿足[-0.8，0.8]幅值限制．

圖3 飽和控制器的時(shí)間響應(yīng)曲線

為了體現(xiàn)飽和控制器的性能，將推論1中的結(jié)果與文獻(xiàn)[21]中定理1的結(jié)果進(jìn)行比較．文獻(xiàn)[21]同樣基于直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)出控制器，不過沒有考慮飽和輸入約束．由此求解出來的非飽和控制器為

(30)

在非飽和控制器(30)作用下系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖4所示，可見非飽和控制器也確保了閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性．

圖4 非飽和控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2的時(shí)間響應(yīng)曲線

基于非飽和控制器(30)的輸入u時(shí)間響應(yīng)曲線如圖5所示，同時(shí)給出了前0.10 s輸入u時(shí)間響應(yīng)曲線的局部放大圖．由圖可知，由于沒有飽和輸入限制，控制輸入信號(hào)的絕對(duì)值在開始階段從較大幅值瞬間減小到10左右．

對(duì)比圖2、4，非飽和控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)的收斂效果更好．飽和控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)歷約60 s收斂到原點(diǎn)，而對(duì)于相同的初始條件，非飽和控制器作用下的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡則只需16 s左右就趨于原點(diǎn)．然而，非飽和控制器付出的代價(jià)是產(chǎn)生足夠大控制力．由于飽和輸入約束，飽和控制器的幅值被限制在了給定的范圍內(nèi)，而非飽和控制輸入雖然可以使系統(tǒng)更快收斂到原點(diǎn)，但其控制輸入幅值太大，在實(shí)際應(yīng)用中可能無法實(shí)現(xiàn)．

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提控制器的有效性，針對(duì)van der Pol系統(tǒng)設(shè)計(jì)了電路，并通過Multisim仿真軟件對(duì)其進(jìn)行電路仿真．利用運(yùn)算放大器和模擬乘法器可以實(shí)現(xiàn)van der Pol振蕩器系統(tǒng)(28)，其中運(yùn)算放大器采用UA741CD，模擬乘法器采用AD633AN．

令電路的輸出電壓分別為Vx和Vy，它們滿足的微分方程為

(31)

定義變量x1∶=Vx和x2∶=Vy，則系統(tǒng)(31)與系統(tǒng)(28)等價(jià)．由于負(fù)阻的作用，電路中的熱噪聲可以引起振蕩，由此得到系統(tǒng)電壓輸出波形如圖6所示．從圖6可知，搭建的仿真電路可以很好地模擬無控制輸入時(shí)van der Pol振蕩器系統(tǒng)的振蕩特性．

圖6 無控制輸入時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線

引入飽和控制器作用后，通過MATLAB分別繪制示波器XSC1和XSC2的波形圖如圖7、8所示．可以看出原來振蕩的電壓變量Vx和Vy在約50 s時(shí)收斂到原點(diǎn)且控制輸入滿足[-0.8，0.8] V幅值限制，從而表明通過仿真電路同樣驗(yàn)證所設(shè)計(jì)飽和控制器具有良好的控制效果．

圖7 飽和控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線

圖8 飽和控制輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)曲線

4 結(jié) 語

針對(duì)一類未知的多項(xiàng)式系統(tǒng)，提出了一種基于直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的飽和控制策略．所提出的控制策略無須知道系統(tǒng)的精確模型，只需通過離線采樣系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)以及SOS方法獲得控制器增益后，將控制輸入作用于系統(tǒng)即可．與需要事先重構(gòu)或標(biāo)定模型參數(shù)的基于模型控制方法相比，直接數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法更直接也具有更廣的應(yīng)用范圍．由于實(shí)際中測量數(shù)據(jù)容易受到未知噪聲的干擾，在設(shè)計(jì)控制器的過程中也考慮了測量噪聲的影響，引入的飽和約束機(jī)制更加貼合實(shí)際應(yīng)用場景．最后，通過數(shù)值仿真和電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出控制策略的有效性．鑒于利用SOS方法設(shè)計(jì)出控制器計(jì)算量依然較大，之后可以深入研究如何提升控制器設(shè)計(jì)效率．此外，本文提出的飽和控制策略具備一定的通用性，未來可以探究將飽和輸入約束加入雙線性系統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制中．