基于多項(xiàng)式求根的雙厚度透射率模型確定光學(xué)常數(shù)

楊百愚，武曉亮，王翠香，王偉宇，李 磊，范 琦，劉 靜

〈系統(tǒng)與設(shè)計(jì)〉

基于多項(xiàng)式求根的雙厚度透射率模型確定光學(xué)常數(shù)

楊百愚，武曉亮，王翠香，王偉宇，李 磊，范 琦，劉 靜

（空軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710051）

為解決光譜反演法確定物質(zhì)光學(xué)常數(shù)的一些問題，基于傳統(tǒng)的雙厚度透射率模型，建立厚度分別為和2的光譜透射率方程，通過代數(shù)運(yùn)算獲得與衰減系數(shù)有關(guān)的八次多項(xiàng)式方程，求解并選擇其大于0小于1的實(shí)數(shù)根來計(jì)算衰減系數(shù)和消光系數(shù)；再求解關(guān)于界面反射率的一元二次方程，選擇其大于0小于1的根來計(jì)算折射率。在確定光學(xué)常數(shù)的過程中，新方法沒有反演誤差和迭代計(jì)算耗時(shí)問題。利用已知文獻(xiàn)中庚烷的光學(xué)常數(shù)驗(yàn)證新方法的可靠性，并分析了雙厚度不滿足2倍關(guān)系時(shí)對計(jì)算結(jié)果的影響，結(jié)論是第二厚度2的相對誤差不超過1%時(shí)，消光系數(shù)的計(jì)算誤差不超過2.03%，不考慮3個(gè)強(qiáng)吸收點(diǎn)時(shí)，折射率的計(jì)算誤差不超過1%。

光學(xué)常數(shù)；折射率；消光系數(shù)；衰減系數(shù)；雙厚度透射率模型

0 引言

折射率和消光系數(shù)稱為物質(zhì)的光學(xué)常數(shù)，這兩個(gè)參量是隨光波長變化的，但習(xí)慣稱為常數(shù)。在電磁波理論中，光譜反射率和透射率等光學(xué)性質(zhì)可用物質(zhì)的光學(xué)常數(shù)來描述，因此可通過測量光學(xué)性質(zhì)來確定光學(xué)常數(shù)。方法主要有雙光譜反演法[1]、反射光譜反演法[2]、透射光譜反演法[3-5]、雙厚度透射光譜反演法[6-7]。

Bohren和Huffman[8]用電磁波理論建立了平板材料的光譜透射率模型、以及只考慮光在平板內(nèi)的多次反射，而忽略干涉效應(yīng)時(shí)的非相干透射率模型?；谇罢?，Tuntomo[6]等人采用玻璃-液體-玻璃三層平板結(jié)構(gòu)，測量兩個(gè)不同厚度液體的光譜透射率，在忽略玻璃影響的情形下通過迭代法反演確定了碳?xì)淙剂细楹凸锿榈墓鈱W(xué)常數(shù)?；诜窍喔赏干渎誓Ｐ停钊岬热薣7]通過測量不同厚度碲鎘汞晶片的光譜透射率，采用迭代法求解了碲鎘汞的光學(xué)常數(shù)；蘇星等人[9]測量了一種紅外硒化物玻璃的光學(xué)常數(shù)。李棟等人[10-12]以上述研究為基礎(chǔ)，提出了多種改進(jìn)透射率模型及反演算法，提高了三層平板結(jié)構(gòu)測量液體光學(xué)常數(shù)的精度；王程超等人[13]基于射線蹤跡法推導(dǎo)了三層結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總透射率模型，并采用粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）進(jìn)行反演計(jì)算了生物柴油的光學(xué)常數(shù)。

因?yàn)槎鄬咏Y(jié)構(gòu)的存在，上述測量液體光學(xué)常數(shù)的透射率模型和反演算法較為復(fù)雜。但對于半透明固體材料，如石英、金剛石、砷化鎵、氟化鎂和硒化鋅等紅外光學(xué)材料在光學(xué)窗口、像質(zhì)改善和液體光學(xué)測量等方面有重要應(yīng)用。這類固體材料可制備成單一材料結(jié)構(gòu)并基于雙厚度透射率模型測量其光學(xué)常數(shù)，這種情況下主要研究反演算法。如李棟等人[14-15]提出了簡化方程迭代法（Simplifie-Equation Iterative, SEI）和蒙特卡洛法（Monte-Carlo, MC）；吳國忠等人[16]對SEI、MC和PSO三種方法做了比較研究，結(jié)論是PSO方法精度更高。

使用反演迭代法確定光學(xué)常數(shù)的方法計(jì)算耗時(shí)且存在迭代誤差，上述學(xué)者在反演算法的設(shè)計(jì)、精度提升及誤差減小上做了很多研究，但直接去求解雙厚度透射率方程的嘗試還未見報(bào)道。本文在這一方面做了探索，只要將雙厚度透射率模型中的兩個(gè)厚度設(shè)定為2倍關(guān)系，則經(jīng)過代數(shù)推導(dǎo)，即可獲得與衰減系數(shù)（可換算出消光系數(shù)）有關(guān)的八次多項(xiàng)式方程，以及關(guān)于界面反射率的一元二次方程。這兩個(gè)方程均可求得精確數(shù)值解或解析解，從而避免了反演算法的耗時(shí)和誤差。本文以文獻(xiàn)[6]中庚烷的光學(xué)常數(shù)作為“理論值”，代入雙厚度透射率方程計(jì)算的透射率作為“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”，用多項(xiàng)式求根的方法確定庚烷的折射率和消光系數(shù)，驗(yàn)證了本文方法的可靠性。最后分析了雙厚度偏離2倍關(guān)系時(shí)對計(jì)算結(jié)果的影響。

1 多項(xiàng)式求根的雙厚度透射率模型

設(shè)半透明平板材料的折射率、消光系數(shù)分別為和，則衰減系數(shù)＝4p/，其中為光波長。將平板材料置于空氣（折射率為1，消光系數(shù)為0）中，當(dāng)光線垂直入射時(shí)，根據(jù)菲涅耳定律和斯涅耳定律，在平板材料與空氣分界面上的界面反射率＝[(－1)2＋2]/[(＋1)2＋2]。由于平板材料有兩個(gè)界面，考慮光在平板內(nèi)的多次反射，而忽略干涉效應(yīng)時(shí)，光垂直通過厚度為L的平板后的透射率T可表示為[8]：

則光通過厚度為和2的平板材料后的透射率和分別用式(2)、式(3)表示：

＝(1－)2/(1－22) (2)

＝(1－)22/(1－24) (3)

式中：＝exp(－)。給式(2)兩側(cè)同乘以，聯(lián)立式(3)消去兩式右側(cè)的分子，有：

－＝(－2)22(4)

將式(4)中的代入式(2)，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算可得：

()＝88＋77＋66＋55＋44＋33＋22＋

1＋0＝0 (5)

式中：8＝2，7＝－2(1＋)，6＝2(1＋)2，5＝2(1＋)，4＝－2(2＋22＋2)，3＝2(1－)，2＝2(1－)2，1＝－2(1－)，0＝2，式(5)是關(guān)于的一元八次多項(xiàng)式方程，通過數(shù)值求解可得到其8個(gè)根，但只有滿足0＜＜1的根才有實(shí)際物理意義。則平板材料的衰減系數(shù)和消光系數(shù)分為：

＝－ln()/(6)

＝－ln()/(4p) (7)

另由式(2)可得：

2(2＋)－2＋(－)＝0 (8)

式(8)是關(guān)于的一元二次方程，由于其判別式非負(fù)，又因0＜＜1，則方程(8)的解為：

則平板材料的折射率為：

只要測量出、2兩種厚度下的光譜透射率、，可由式(5)求多項(xiàng)式方程的根，再由式(6)、式(7)和式(10)計(jì)算出衰減系數(shù)、消光系數(shù)和折射率。上述方法不必經(jīng)過耗時(shí)的反演迭代來確定光學(xué)常數(shù)（多項(xiàng)式求根所用計(jì)算時(shí)間可忽略不計(jì)），所以結(jié)果中不存在反演誤差。

2 結(jié)果和討論

本文采用文獻(xiàn)[6]中庚烷在2.5～15mm的光學(xué)常數(shù)作為“理論值”。將上述光學(xué)常數(shù)代入式(2)、式(3)，計(jì)算厚度分別為＝15mm和2＝30mm下的透射率作為“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”，然后利用多項(xiàng)式求根的方法確定庚烷的光學(xué)常數(shù)，通過比較計(jì)算結(jié)果與理論值的相對誤差來驗(yàn)證本文方法的可靠性。需要指出，由于本文透射率模型與文獻(xiàn)[6]的透射率模型不同，這里的“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”與文獻(xiàn)[6]的真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是有差別的。此處僅是借用文獻(xiàn)[6]的數(shù)據(jù)構(gòu)造了適合本文透射率模型的“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”來代替實(shí)際實(shí)驗(yàn)，其好處是可以避免實(shí)際實(shí)驗(yàn)的其他誤差而專門研究多項(xiàng)式求根方法的可靠性。

基于多項(xiàng)式求根方法確定的庚烷光學(xué)常數(shù)如圖1所示，消光系數(shù)有3個(gè)峰值，對應(yīng)3個(gè)強(qiáng)吸收帶。從消光系數(shù)和折射率的相對誤差可以看出計(jì)算結(jié)果與理論值符合得很好，其中消光系數(shù)的最大相對誤差為－9.4×10－7%，折射率的最大相對誤差為1.4×10－5%。結(jié)果表明本文方法確定光學(xué)常數(shù)沒有反演迭代誤差。

圖1 基于多項(xiàng)式求根方法確定文獻(xiàn)[6]中庚烷的光學(xué)常數(shù)

由于本文方法要求材料的兩個(gè)厚度成2倍關(guān)系，如果第二厚度的制備或測量存在誤差，則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)誤差。假定第二個(gè)厚度2存在1%和5%的誤差，則實(shí)際的厚度為(2±0.02)和(2±0.1)，不妨取1.98和1.9，則相應(yīng)的透射率為￠＝(1－)21.98/(1－23.96)和2＝(1－)21.9/(1－23.9)。將文獻(xiàn)[6]中庚烷的光學(xué)常數(shù)代入此處公式計(jì)算的透射率作為“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”，但仍按照基于2倍厚度關(guān)系推導(dǎo)的多項(xiàng)式方程來計(jì)算光學(xué)常數(shù)，通過比較計(jì)算結(jié)果與理論值的相對誤差來評估厚度偏離2倍關(guān)系時(shí)對計(jì)算結(jié)果的影響，結(jié)果分別如圖2、3和圖4、5所示。

如圖2、3所示，第二個(gè)厚度2存在1%的誤差時(shí)，消光系數(shù)的相對誤差在(2～2.03)%之內(nèi)，而折射率在3.4mm、6.8mm、13.8mm吸收帶的誤差較大，分別為26.9%、3.8%和1.3%，其余波長處的誤差不超過1%?？梢?，不考慮強(qiáng)吸收點(diǎn)，就整個(gè)波段范圍來看，由于厚度不滿足2倍關(guān)系對消光系數(shù)計(jì)算結(jié)果的影響大于折射率；但在強(qiáng)吸收點(diǎn)，同樣的厚度改變，由于值較大所造成的透過率的相對誤差就比較大，折射率的計(jì)算對此比較敏感，而消光系數(shù)的計(jì)算卻不敏感。

圖2 第二厚度2L存在1%誤差時(shí)k的計(jì)算誤差

圖3 第二厚度2L存在1%誤差時(shí)n的計(jì)算誤差

如圖4、5所示，第二個(gè)厚度2存在5%的誤差時(shí)，消光系數(shù)的相對誤差在(10～10.15)%之內(nèi)，而折射率在3.4mm、6.8mm、13.8mm吸收帶的誤差較大，分別為134.9%、18.5%和6.4%，其余波長處的誤差不超過3.5%。其結(jié)論與厚度存在1%誤差時(shí)的情形相似。再比較厚度誤差1%和5%的計(jì)算結(jié)果，可以看出當(dāng)厚度誤差擴(kuò)大5倍時(shí)，消光系數(shù)、強(qiáng)吸收點(diǎn)折射率的計(jì)算誤差也擴(kuò)大5倍左右，但其余波長處折射率的計(jì)算誤差僅擴(kuò)大3.5倍，對厚度的誤差相對不敏感。

圖4 第二厚度2L存在5%誤差時(shí)k的計(jì)算誤差

圖5 第二厚度2L存在5%誤差時(shí)n的計(jì)算誤差

3 結(jié)論

基于傳統(tǒng)的雙厚度透射率模型，在將兩個(gè)厚度設(shè)定為2倍關(guān)系時(shí)，可獲得與衰減系數(shù)有關(guān)的八次多項(xiàng)式方程，以及關(guān)于界面反射率的一元二次方程。通過多項(xiàng)式方程求根的方法實(shí)現(xiàn)了光學(xué)常數(shù)的確定，從而避免了反演迭代法的耗時(shí)和誤差。借用文獻(xiàn)[6]中庚烷的光學(xué)常數(shù)驗(yàn)證了本文方法的可靠性，除了個(gè)別的強(qiáng)吸收點(diǎn)，即使模型中的兩個(gè)厚度偏離2倍關(guān)系時(shí)本方法仍能獲得較好的計(jì)算結(jié)果。

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Determination of Optical Constants by Double Thickness Transmittance Model Based on Polynomial Root

YANG Baiyu，WU Xiaoliang，WANG Cuixiang，WANG Weiyu，LI Lei，F(xiàn)AN Qi，LIU Jing

(Fundamentals Department, Air Force Engineering University, Xi'an 710051, China)

To solve some problems in the determination of substance optical constants by spectral inversion, based on the traditional double thickness transmittance model, spectral transmittance equations with thicknesses ofand 2are established. The eighth-order polynomial equation related to the attenuation coefficient is obtained through an algebraic operation. Real roots greater than 0 and less than 1 are solved to calculate the attenuation coefficient and extinction coefficient. Then, the quadratic equation with one unknown quantity about the interface reflectivity is solved, and the roots greater than 0 and less than 1 are selected to calculate the refractive index. In the process of determining the optical constants, the new method has no inversion error or iterative calculation time-consuming problems. The reliability of the new method is verified using the known optical constants of heptane from the literature, and the influence on the calculation results was analyzed when the double thickness does not satisfy the double relationship. In conclusion, when the relative error of the second thickness 2was no more than 1%, the calculation error of the extinction coefficient was no more than 2.03%, and when three strong absorption points were not considered, the calculation error of the refractive index was no more than 1%.

optical constants, refractive index, extinction coefficient, attenuation coefficient, double thickness transmittance model

O433.1；O434.3

A

1001-8891(2023)01-0091-04

2022-01-06；

2022-04-11.

楊百愚（1973-），男，副教授，研究方向?yàn)榧t外材料特性、光電檢測與信息處理技術(shù)。E-mail：yby0002@163.com.

范琦（1972-），男，副教授，研究方向?yàn)楣怆姍z測與信息處理技術(shù)。E-mail：af-fanqi@126.com.

國家自然科學(xué)基金（12004437）。