具有同步帶伺服傳動系統(tǒng)的振動誤差控制策略*

林子豪，方成剛

(南京工業(yè)大學機械與動力工程學院，南京 211800)

0 引言

高速數(shù)控機床是航空零件、發(fā)動機內(nèi)輸輪等復雜零件加工所需的重要加工設備，是高端設備和大型回轉支承制造業(yè)的基礎[1]。當前我國在高速加工中，加工效率和精度的同步提升是需要解決的關鍵問題。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因是在主軸加工過程中，由于傳動系統(tǒng)的自身模態(tài)特性引起的綜合誤差難以進行控制。為了在加工中降低誤差，提升精度，往往只能降低進給量和進給速度，加工效率會下降。因此保證主軸同步帶傳動系統(tǒng)在進行高速加工時能保證高的位置跟蹤精度，是實現(xiàn)加工效率和精度統(tǒng)一的重要一環(huán)。

機械系統(tǒng)的模態(tài)特性會影響輸出的速度、位移，因此產(chǎn)生相應的跟蹤誤差，也就是傳動系統(tǒng)的實際位置與指令位置的數(shù)量差[2]。在輸入高速信號時，主軸編碼器的位置指令反饋增多、伺服帶寬增大，也就需要更高的控制算法來對其進行改善，降低產(chǎn)生的跟蹤誤差和傳動系統(tǒng)幅頻響應效果。

改善控制系統(tǒng)的幅頻特性就是增強控制系統(tǒng)的帶寬。帶寬抑制會讓當前位置指令的高頻信號降低，輸入和輸出無法同步響應，形成了跟蹤誤差。當前，零相差跟蹤控制器(ZPETC)是降低相位滯后的代表性成果[3]，主要用在低頻區(qū)間，高頻的使用效果不是很明顯。ZPETC與前饋控制起到相同作用，TOMIZUKA等[4]采用前饋補償控制器，在位置環(huán)響應前對ZPETC增益降低現(xiàn)象進行補償,零相差誤差跟蹤控制器需要在機械系統(tǒng)建模后，誤差驗證要求較高，模型的準確性會影響整體控制效果，因此在相同問題上，TORFS等[5]在參數(shù)識別基礎上提出了拓展帶寬的改進跟蹤控制器算法，將前饋控制的模態(tài)抵消來對剩余的跟蹤誤差進行消除，實驗證明控制效果要比原方法提高72%，TUNG等[6]將零相差基本算法進行測試，應用在圓度軌跡加工，精度可以比之前的工業(yè)機床提高了很多倍。王麗梅等[7]將該方法和自適應控制器(ARC)進行結合，通過時間序列對跟蹤誤差進行補償，有效提升跟蹤性能。XIE等[8]將軌跡規(guī)劃和時間序列同步到機械模型中，通過補償扭矩損失對ZPETC進行改進，最小化扭矩干擾產(chǎn)生的跟蹤誤差。

濾波器的主要作用是對伺服帶寬進行提高，改善機械模態(tài)的抑制作用，降低在主軸加減速過程中的跟蹤誤差。對于典型的主軸傳動系統(tǒng)，同步帶的扭轉模態(tài)，一階、二階橫向振動模態(tài)都可能是影響因素，在濾波器研究中，LIU等[9]針對摩擦干擾運動誤差提出了軌跡濾波器通過參考位置對比來進行補償系數(shù)的設計對系統(tǒng)動態(tài)滑移進行預處理。KAMALZADEH等[10]采用陷波濾波器補償絲杠的扭轉模態(tài)， 提高了位置環(huán)帶寬。FERREIRA等[11]采用針對高頻的陷波濾波器來補償高頻模態(tài)影響，并設計控制器減小了對位置環(huán)的帶寬限制。ERKORKMAZ、SUN等[12-15]在傳統(tǒng)的PI控制框架上，增加了工作臺速度控制環(huán)，并將機械振動信號反饋給速度控制器，顯著提高了位置環(huán)帶寬。

在與主軸傳動存在同樣現(xiàn)象的進給系統(tǒng)控制方面，有一些相關研究。盧秉恒等[16]主要分析在高速工況下。切削頻率特性對機電耦合系統(tǒng)的影響。SAKHM、BARATIERI等[17-19]研究了基于滑模觀測器 的無傳感器伺服控制方法，呂盾等[20]針對進給系統(tǒng)的振動模態(tài)，提出了一種濾波器和控制器相結合，降低了高速進給下的跟隨誤差。

綜上所述，在國際上對高速傳動和進給系統(tǒng)的跟蹤誤差控制策略研究形成一定的成果，但是在國內(nèi)相關同步帶傳動系統(tǒng)機電耦合研究和控制器設計研究還需提升。

本文通過建立具有同步帶伺服傳動系統(tǒng)的動力學模型，分析機械系統(tǒng)引入的扭轉模態(tài)。設計相應的模態(tài)濾波器(MFC)與優(yōu)化的零相差跟蹤控制器組合控制方法，對傳動系統(tǒng)的模態(tài)進行抑制，研究主要影響的低、高階模態(tài)作用效果，優(yōu)化改善伺服系統(tǒng)的頻響特性，對高速下主軸的跟蹤誤差進行補償。

1 同步帶傳動系統(tǒng)的動力學模型

1.1 傳動系統(tǒng)結構

圖1所示為立式數(shù)控機床主軸傳動系統(tǒng)結構圖。主要由交流同步伺服電機、同步帶輪、編碼器構成。由于沒有減速器結構，因此電機提供驅(qū)動力直接向系統(tǒng)輸入力矩，通過同步帶輪將力矩傳至加工端，其中絕對式編碼器在電機端，與增量式編碼器形成全閉環(huán)控制。

圖1 永磁直驅(qū)式同步主軸動力學模型

1.2 帶式傳動剛性動力學模型

本文選擇針對主軸帶傳動扭轉振動進行分析，簡化主軸同步帶傳動系統(tǒng)機械部分的動力學模型。為表示同步帶的扭轉模態(tài)，將同步帶等效為彈簧，兩邊的同步帶輪等效為圓盤。此外，動力頭等部分等效為剛體。將各部分進行單獨分析，將其離散化處理，并進行如下等效：

(1)將同步帶拆分為多個單元，各個單元質(zhì)量均勻分布；

(2)同步帶所受的阻力由各單元均勻分布，且不計算慣性阻力；

(3)對帶傳動的振動進行針對分析。

主軸直驅(qū)同步帶動力學模型如圖2所示，同步帶采用橫向放置，采用單元分析法將左、右兩部分各分成N段和M段，構建N+M個有限單元體[11]。在傳動過程中，根據(jù)同步帶自身彈性和拉伸特性，將轉動慣量為I1、I2的同步帶輪和多單元組合帶通過Kelvin-Vogit進行連接。

圖2 永磁直驅(qū)式同步主軸動力學模型

圖2中，Ts為負載轉矩；JL、Jh、Jw分別為伺服電機、主動輪、從動輪的轉動慣量；mL、mh和mw分別為伺服電機、主動輪和從動輪的質(zhì)量；Ci(i=1,2,…,M+N)為各單元的黏性阻尼系數(shù)；ki為各單元的剛度系數(shù)ki為帶輪與電機之間軸支承剛度；Xi為不同單元在主軸傳動中產(chǎn)生的相對位移距離；mi為各部分的質(zhì)量；θA、θB分別為永磁電機、主動帶輪的轉角。

機械系統(tǒng)下電機的運動方程為：

(1)

式中，ωm為電機的機械角速度；C為阻尼系數(shù)；Ts為負載轉矩；JL為轉動慣量。

通過上述模型得到主軸帶傳動的運動方程為：

(2)

綜合式(1)和式(2)，主軸同步帶機械部分動力學模型為：

(3)

式中，M為各單元質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Q為系統(tǒng)外部激勵。

對式(3)進行拉普拉斯變換，可得到同步帶進給系統(tǒng)電機力矩-編碼器速度出的傳遞函數(shù)為：

(4)

式中，i為單元慣量位移響應的個數(shù)；j為與i對應的慣量激勵力。

根據(jù)式(4)，可以對其頻響曲線進行分析，獲得主軸動力學模型的扭轉振型及固有頻率，通過位置控制進行參數(shù)調(diào)節(jié)和對比分析，該動力學模型的基本參數(shù)如表1所示。

表1 動力學模型參數(shù)

1.3 模態(tài)分析

由于系統(tǒng)自身特性會影響固有頻率，所以在同步帶傳動系統(tǒng)進行模態(tài)分析時，系統(tǒng)的外部激勵Q和阻尼C=0，將式(4)進行條件改寫：

(5)

求解式(5)特征方程滿足：

|K-ω2M|=0

(6)

(7)

式中，ω和f為系統(tǒng)圓頻率之間的相互轉換。

設置同步帶和帶輪的材料參數(shù)如表2和表3所示。調(diào)節(jié)網(wǎng)格劃分的單元質(zhì)量，包括9664個單元和47 540個節(jié)點，如圖3所示。限制帶輪和同步帶的除扭轉振動以外的自由度影響。同步帶張緊力計算公式為：

表2 同步帶材料參數(shù)

表3 帶輪材料參數(shù)

圖3 同步帶網(wǎng)格劃分圖

F=29×bs-100

(8)

式中，d為帶寬；F為施加的張緊力。

進行模態(tài)分析，求解前4階固有頻率如表4所示。

表4 同步帶的固有頻率

1.4 動力學模型驗證

同主軸同步帶傳動模型的設計耦合性是后續(xù)模態(tài)濾波器設計的基礎，為了驗證動力學模型的準確性，對圖1的結構進行機械頻響測試。

根據(jù)式(2)的同步帶傳動系統(tǒng)動力學方程，采用Simulink進行系統(tǒng)耦合建模，模型辨識對PMSM電機模型施加隨機激勵信號，將電機的驅(qū)動扭矩設為固定的0.67 N·m，設置頻寬為4 kHz，主軸轉速達到穩(wěn)定運轉，通過ode45解算器進行計算，得到驅(qū)動平衡狀態(tài)下同步帶位移誤差如圖4所示。

圖4 機械系統(tǒng)振動位移誤差 圖5 實驗測試與理論頻響函數(shù)圖

在同步帶傳動系統(tǒng)進入驅(qū)動平衡時，可以看到傳動位移誤差呈現(xiàn)周期函數(shù)特征，基于上述公式的模態(tài)計算并使用機床內(nèi)置編碼器、霍爾傳感器等測試工具來滿足基本信息提供，通過西門子840D操作系統(tǒng)提供相關參數(shù)以及模塊工具Start-uptool進行同步帶系統(tǒng)的機械頻響測試，對電機施加內(nèi)部激勵設置。

在傳動系統(tǒng)進入平衡狀態(tài)中，負載位移誤差呈現(xiàn)周期函數(shù)特征，基于同步帶系統(tǒng)模態(tài)計算，對電機施加寬頻隨機激勵信號，進行頻率響應測試。

為便于分析，對機械頻率測試響應曲線進行光滑去噪，通過測試得到電機轉矩-編碼器速度頻響曲線如圖5所示。

由圖5的實驗與理論頻響對比可以得出，同步帶傳動系統(tǒng)在低頻模態(tài)的固有頻率、高頻模態(tài)存在的峰值；這與傳動系統(tǒng)中內(nèi)部激勵和扭轉振動的共振現(xiàn)象有關，說明內(nèi)部激勵對機械系統(tǒng)輸出有直接影響。

實驗結果表明該傳動系統(tǒng)具有34、343、1126和1473 Hz四階固有頻率。理論計算得到的一階、二階扭轉振動的固有頻率分別為34.2和348 Hz。

因為低頻模態(tài)無多個對應的固有頻率影響，無需做LMS二次測試即可得出結論：一階和二階扭轉振動固有頻率的實驗測試結果和理論計算結果基本一致，可以證明上述建立的動力學模型具有一定準確性。

2 模態(tài)濾波和改進補償跟蹤控制器設計

模態(tài)濾波器是改善帶傳動自身模態(tài)特性引起伺服帶寬限制的主要控制方法，提高伺服帶寬還可以對主軸轉動啟停響應時間進行優(yōu)化。本節(jié)基于前面驗證的同步傳動系統(tǒng)動力學模型，對模態(tài)濾波器、優(yōu)化零相差跟蹤控制器進行設計分析，研究所設計的綜合控制策略對跟蹤位移誤差的影響。

2.1 基本三環(huán)控制策略

圖1所示的永磁直驅(qū)式同步主軸系統(tǒng)采用雙編碼器進行全閉環(huán)控制，電流環(huán)和速度環(huán)采用伺服電機內(nèi)置編碼器進行反饋，對于表貼式三相PMSM，這里使用id=0控制實現(xiàn)d、q軸解耦。

工程上一般將電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)整定為I型系統(tǒng)，主要由電流調(diào)節(jié)器、電機、逆變器和慣性環(huán)節(jié)幾部分組成。大多采用比例和積分調(diào)節(jié)，電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(9)

式中，Kp1為電流環(huán)調(diào)節(jié)的比例系數(shù)；Kp為放大系數(shù)；R為繞組電阻；s、τ1分別為電流環(huán)的比例調(diào)節(jié)系數(shù)和積分時間常數(shù)。

考慮在后續(xù)控制系統(tǒng)調(diào)試，電機存在額定最高轉速，將速度環(huán)整定成Ⅱ型系統(tǒng)，設計的速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

(10)

式中，Kp2、s、τ2分別為速度環(huán)調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)、比例調(diào)節(jié)系數(shù)和積分時間常數(shù)；KT為轉矩常量；Jm為轉子轉動慣量。

位置環(huán)采用P控制，比例系數(shù)為Kp3，用于提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，Kp3的值采用試湊法得到。

Gp(S)=Kp3

(11)

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)特性做出伯德圖，如圖6所示，可以得到系統(tǒng)幅值和相角有足夠的裕度。

圖6 系統(tǒng)開環(huán)特性伯德圖

2.2 模態(tài)濾波器設計

通過對式(4)的傳遞函數(shù)進行一階和二階扭轉模態(tài)零極點求解，設計相應的模態(tài)濾波器H(z)，來減少傳動系統(tǒng)模態(tài)引起系統(tǒng)抖振及負載峰值造成的帶寬損失，并實現(xiàn)物理加速度轉換成模態(tài)加速度，進而在傳動系統(tǒng)模型空間完成速度、位移的轉換。

具體方法通過上述模態(tài)檢測結果設計相應的n個自適應濾波通道，由模態(tài)基礎理論，同步帶傳動振動響應δ可由低階模態(tài)表示：

(12)

針對研究的同步帶傳動模型存在位移、加速度和速度轉換，可得到不同階模態(tài)的控制力函數(shù)為：

(13)

在高階模態(tài)中共振峰阻尼較小，形成的峰值比較尖銳，難以求得零極點，因此模態(tài)濾波器主要消除低頻模態(tài)的限制作用。n階模態(tài)極點配置在λn=αn±βni處，將式(4)進行模態(tài)展開結合參數(shù)求得一階、二階對應零極點如表5所示。

表5 低頻模態(tài)零極點計算結果

綜上所述，根據(jù)零極點對消原則，所設計模態(tài)濾波器H(t)為：

(14)

式中，Repn和Impn分別為n階模態(tài)極點的實部和虛部；Rezn和Imzn分別為n階模態(tài)零點的實部和虛部。

在得到機械系統(tǒng)一、二階模態(tài)的零極點后，針對同步帶系統(tǒng)的振動問題可以進行系統(tǒng)阻尼的提高來對扭轉振動達到抑制作用，極點與虛軸的距離越遠對應矢量與實軸的夾角變小，因此會提高系統(tǒng)的阻尼。不改變系統(tǒng)的固有頻率，適當將極點進行平移操作，將調(diào)整后的零極點對應結果代入到式(14)中得到模態(tài)濾波器傳遞函數(shù)。

2.3 改進擾動補償控制器設計

傳動系統(tǒng)辨識模型采用差分方程進行描述，添加外部負載擾動和矩陣特性：

(15)

式中，u(k)和y(k)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出；f(k)為帶傳動引起的外部擾動以及系統(tǒng)參數(shù)時變。

通過添加帶傳動動力學模型的伺服傳動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行辨識，來對優(yōu)化零相差跟蹤控制器進行設計。主要是構建一個滿足輸入和輸出近似相等的傳遞函數(shù)，從而減少振動產(chǎn)生的相位滯后，來實現(xiàn)比較準確的跟蹤控制。

根據(jù)上述的辨識方法，得到伺服傳動系統(tǒng)離散傳遞函數(shù)為：

(16)

式中，B(z-1)和A(z-1)為離散的輸入，輸出多項式；z-d為輸出滯后；d為系統(tǒng)延時周期。其中，B(z-1)、A(z-1)離散傳遞函數(shù)形式如下：

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+…+amz-na

(17)

B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bnz-nb

(18)

B(z-1)u(k)z-d=A(z-1)y(k)

(19)

通過式(16)可以看出，設計優(yōu)化零相差跟蹤控制器F在理論上需要對伺服傳動系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gx(z)進行逆變換：

(20)

則加入優(yōu)化零相差跟蹤控制器的系統(tǒng)綜合傳遞函數(shù)為：

(21)

控制系統(tǒng)輸入u(k)中自變量需要和延遲周期、非穩(wěn)定零點個數(shù)進行累加，對系統(tǒng)提前輸入步數(shù)du(k)+s進行補償。式(21)可以視為正實數(shù)，因此相位全域為0，在伺服控制系統(tǒng)實際采樣周期很小的情況下，角頻率趨近于0，相應的正弦值約等于0，余弦值約等于1，式(21)可以改寫成：

(22)

可以看出，控制系統(tǒng)初期響應時，所設計的零相差跟蹤控制器約等于1，可以對跟蹤輸出響應進行優(yōu)化。

2.4 綜合控制策略仿真模型

將基于上述的基本三環(huán)控制框架，將模態(tài)濾波控制器嵌入到速度環(huán)內(nèi)，提升系統(tǒng)動態(tài)性能，優(yōu)化零相差跟蹤控制器放置在位置環(huán)反饋之前，建立綜合控制策略系統(tǒng)模型，其控制框圖如圖7所示。

圖7 綜合控制系統(tǒng)框圖

3 實驗驗證

根據(jù)上述綜合控制策略框圖和濾波器、控制器設計方法，引入同步傳動系統(tǒng)的模態(tài)特性，與傳統(tǒng)PID控制方法對比分析在主軸不同轉速傳動下的振動位移誤差的控制效果。

3.1 實驗裝置

為驗證本文設計模態(tài)濾波器和優(yōu)化零相差跟蹤控制器在帶傳動控制系統(tǒng)的工作性能，搭建試驗臺如圖8所示，研究對象是西門子機床，實驗裝置分為3部分，第1部分是本文所研究的主軸同步帶傳動系統(tǒng)，雙編碼器構成全閉環(huán)控制。第2部分是機床的控制部分和變頻器調(diào)速系統(tǒng)，通過CAN總線連接上位機實時查看電機參數(shù)。第3部分是發(fā)送運動指令的上位機。

圖8 實驗裝置圖

采用PMSM電機，通過內(nèi)置編碼器與驅(qū)動系統(tǒng)形成速度環(huán)進行控制反饋，從動輪輸出端的外置編碼器由端子進行輸入信號與上位機進行位置環(huán)控制，組成全閉環(huán)控制系統(tǒng)。查閱機床的參數(shù)手冊以及驅(qū)動器設定，綜合表1～表4和調(diào)節(jié)的速度環(huán)增益等數(shù)據(jù)進行實驗。

3.2 伺服傳動系統(tǒng)改進擾動補償控制器仿真

設置工況為初速1000 r/min、初始扭矩輸出0.2 N·m，保持轉速不變，0.2 s后負載變?yōu)?.4 N·m，通過前面所述方法對優(yōu)化零相差跟蹤控制器傳遞函數(shù)進行求解，電機的輸出轉速、輸出轉矩如圖9和圖10所示。

圖9 電機輸出轉速 圖10 電機輸出轉矩

由圖9和圖10可以看出，電機在本文設計的控制系統(tǒng)中能夠快速到達預設目標值1000 r/min，并且在轉矩進行突變時能夠在短時間迅速回到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)圖9可知，當向電機輸入1000 r/min的轉速信號時，電機轉速最大超調(diào)量為2.8%，峰值存在一定時間為2.6 ms，體現(xiàn)了優(yōu)化零相差跟蹤控制器嵌入系統(tǒng)后有著響應快速、超調(diào)量較小并且轉速穩(wěn)定的特點。

3.3 伺服傳動系統(tǒng)理論仿真和實際位置測試對比

為測試分析機床主軸同步帶傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性，令其做勻速轉動，實驗中向上位機輸入主軸轉速，對嵌入綜合控制策略前后的伺服控制系統(tǒng)輸入加速指令。目標指令速度為1000 r/min，初始定位坐標為0，循環(huán)終點坐標通過采集雙編碼器反饋的輸出位移信號進行對比。

圖11a中為實際運動位移的理論仿真與實驗測試結果，從圖11b中可以看出表明，在主軸同步帶運行平穩(wěn)后，其運動理想位移與實際位移的誤差圍繞4.04×10-4m波動，且波動幅值逐漸降低，運行逐漸進入平穩(wěn)階段，同步帶傳動系統(tǒng)模態(tài)引起的跟蹤誤差較小，證明了所建立的綜合控制策略仿真模型的有效性。

(a) 實驗測試與理論仿真對比 (b) 實驗結果與理論值之差圖11 伺服傳動系統(tǒng)實驗和仿真對比圖

3.4 綜合控制效果對比

在上述實驗驗證了模態(tài)濾波器和改進補償跟蹤控制器設計正確性的基礎上，利用該仿真模型進一步分析綜合控制策略對主軸中、低速下因傳動系統(tǒng)自身模態(tài)特性產(chǎn)生的跟蹤誤差補償?shù)目刂菩Ч?/p>

針對圖1所示同步帶傳動主軸，綜合控制策略采用前后伺服傳動控制系統(tǒng)的頻響曲線如圖12所示。 因同步帶存在的一、二階低頻模態(tài)引起的峰值變化可由模態(tài)濾波器進行“補充”，整體平滑度有明顯改善，低頻模態(tài)對伺服帶寬的限制也起到了抑制作用。將伺服控制帶寬由12 Hz提高到110 Hz。

圖12 綜合控制策略頻響效果對比 圖13 PID和綜合控制策略下跟蹤誤差隨時間變化

在仿真模型中輸入如下的速度指令，其速度分別為500、1000、3000和4500 r/min。圖13為2種控制策略下跟蹤誤差在固定行程中的補償效果。不難看出在傳動PID控制方法下，跟蹤誤差不能得到前期補償，最大值可達到17.865 mm，而在施加了本文的綜合控制策略，可以對誤差進行補償僅有0.023 mm。

4 結論

本文研究了具有同步帶主軸傳動系統(tǒng)的跟蹤誤差控制策略，通過與傳統(tǒng)PID控制方法對比得出以下結論：

(1)對于具有同步帶的主軸伺服傳動系統(tǒng)，由機械系統(tǒng)自身的低階模態(tài)是主要限制控制系統(tǒng)帶寬和加速指令響應能力的主要因素。根據(jù)零極點對消原理設計模態(tài)濾波器來改善傳動系統(tǒng)的相位滯后，大幅度提高了位置環(huán)帶寬，增強了響應速度。

(2)PID+模態(tài)濾波器+改進補償跟蹤控制器可以很好的改善機械傳動系統(tǒng)振動引起的跟蹤誤差，與其他兩種控制策略對比降低了92%。