基于時頻域特征的CPM信號調(diào)制指數(shù)估計算法

龔 佩 李天昀 李鐘書 曹思鈺 張 昊

（信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院，河南鄭州 450001）

1 引言

連續(xù)相位調(diào)制信號（Continuous Phase Modulation，CPM）自產(chǎn)生便憑借其較高的頻譜利用率和功率利用率得到廣泛應用，除了廣為人知的全球第二代移動通信系統(tǒng)（Global System For Mobile Communications，GSM），美軍Link 16 數(shù)據(jù)鏈、MarkXIIA 模式5 等多種軍事系統(tǒng)也采用了連續(xù)相位調(diào)制信號。CPM 調(diào)制是一類包絡嚴格恒定的非線性調(diào)制方案，其通過半無限長的相位脈沖承載符號信息，使得調(diào)制信號的相位保持連續(xù)，避免了一般QPSK、MPSK等調(diào)制方案相位突變帶來的高頻分量問題，因此CPM 調(diào)制的主瓣寬度較窄。另外其平滑的成型脈沖使得信號頻譜旁瓣更快衰減，因此CPM 調(diào)制有較高頻譜利用率并且對相鄰信道的干擾較小。除此以外，CPM 調(diào)制的恒包絡特性使得其對非線性器件不敏感，保證了較高的功率利用率并降低了硬件成本。

近些年，CPM 調(diào)制仍在不斷發(fā)展。Sun Yanbo［1］對CPM 進行參數(shù)優(yōu)化設計，使得其具有二進制偏置載波（Binary Offset Carrier，BOC）和BPSK 調(diào)制相似的頻譜分布，以便在全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)應用。Chatzitheodoridi［2］優(yōu)化CPM 信號，為雙雷達通信系統(tǒng)提供了相關特性。Alencar［3］提出了符號周期顯著小于信號帶寬倒數(shù)的CPM 信號，使得比傳統(tǒng)CPM信號有更好的過零轉向。Landau 等人［4-5］基于CPM的連續(xù)相位特性，設計了適用于自適應過采樣接收機的1 比特量化CPM 信號。Renfors［6］提出在OFDM子載波中采用具有低峰值平均功率比和抗相位噪聲的3MSK信號以降低非相干接收難度。

CPM 調(diào)制在過去數(shù)十年不斷發(fā)展的主要原因在于豐富的調(diào)制子類使得信號能夠應用于多種通信場景。在不同通信場景下采用的CPM 調(diào)制往往存在較大差異。在長波、短波、超短波等窄帶通信系統(tǒng)下CPM 信號的調(diào)制階數(shù)一般較小，在微波等寬帶通信系統(tǒng)中采用高調(diào)制階數(shù)保證高數(shù)據(jù)傳輸速率時，信號的調(diào)制指數(shù)一般取較小的值，并且多為分子為1的值［1］。目前寬帶系統(tǒng)下CPM 信號的調(diào)制指數(shù)估計不要求過多先驗信息，適用于非合作條件，例如Bianchi 等人［7-8］提出的基于信號循環(huán)特性的調(diào)制指數(shù)、頻偏和符號速率的聯(lián)合估計算法。

然而，窄帶系統(tǒng)下現(xiàn)有的調(diào)制指數(shù)算法由于對相關長度等先驗信息的依賴，仍然不適用于非合作條件，例如Munawar 等人［9］提出的矩量估計算法、Khalid 等人［10-11］提出的自相關函數(shù)估計算法。原因在于現(xiàn)有相關長度估計算法也要求調(diào)制階數(shù)和調(diào)制指數(shù)的先驗信息，例如周家喜［12］提出的平均自相關函數(shù)相關長度估計算法。因此，在非合作條件下，窄帶系統(tǒng)中的部分響應CPM 信號仍然未形成不依賴相關長度的調(diào)制指數(shù)估計算法。為了解決這個問題，本文提出基于時頻域特征的調(diào)制指數(shù)算法，研究工作如下：

1）基于CPM 信號的循環(huán)平穩(wěn)特性，利用變換后信號的功率譜聯(lián)合估計頻偏和整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分母，并推導得出CPM 信號頻偏估計的克拉美羅下界（Cramer-Rao Bound，CRB）。

2）載波同步、定時同步，利用均值濾波器降低噪聲對相位的影響。

3）基于不同參數(shù)條件下周期相位的分布差異，對變換后信號計算三種符號長度下的周期相位分位函數(shù)，并與模板分位函數(shù)曲線計算歐式距離。選取最小歐式距離對應的信號參數(shù)，從而實現(xiàn)CPM 信號的調(diào)制指數(shù)估計。

4）仿真結果表明，本文算法不要求相關長度先驗信息，適用的調(diào)制指數(shù)范圍較廣并且在一定程度上能夠區(qū)分調(diào)制指數(shù)值接近的信號。實采信號參數(shù)估計試驗證明本文算法能夠有效估計CPM 信號的調(diào)制指數(shù)。

2 CPM信號模型

CPM信號的復基帶形式如下：

其中相位函數(shù)ψ(t)公式如下：

其中ai代表符號序列，所有可能的取值為±1，±3，…，±(M-1)，M為調(diào)制階數(shù)，當數(shù)據(jù)量足夠大時，ai取其中任意值的概率相等。T為符號周期，符號速率RB=，hi為調(diào)制指數(shù)。頻率脈沖g(t)和相位脈沖?(t)滿足如下關系：

現(xiàn)實通信場景中有三種常見相關長度為L的頻率脈沖：矩形脈沖（Rectangular Pulse，REC）、升余弦脈沖（Raised Cosine Pulse，RC）、高斯脈沖（Gaussian Pulse，GS）。當頻率脈沖為矩形脈沖時，信號為連續(xù)相位頻移鍵控（Continuous Phase Frequency Shift Keying，CPFSK）信號，當CPFSK 信號的調(diào)制指數(shù)h=、相關長度L=1時，信號為最小頻移鍵控（Minimum Shift Keying，MSK）。

矩形脈沖LREC表達式：

升余弦脈沖LRC表達式：

高斯脈沖GS近似表達式：

其中Q(x)函數(shù)形式如下：

上式中B為高斯濾波器的3 dB 帶寬，比特周期，Rb為比特速率。圖1（a）為不同帶寬時間積BTb下的GS頻率脈沖，可以發(fā)現(xiàn)BTb值越小，頻率脈沖g(t)越“矮胖”，需要截取的符號長度L越大，BTb值與相關長度L成反比。截取的符號長度L越大意味著碼間串擾越嚴重，這樣會導致接收端比特錯誤概率性能下降，然而BTb值越小也意味著頻譜越密集，所以BTb值的選擇需要根據(jù)實際信道的情況確定。如圖1（a）所示：在BTb<0.5 時截取的符號長度L取3，在BTb≥0.5 時截取的符號長度L取2，兩種情況下對應的相位脈沖如圖1（b）所示。

圖1 不同BTb下的GS脈沖Fig.1 Gaussian pulse with different BTb

當式（4）～（6）中的相關長度L=1 時，信號為全響應CPM 信號，L>1時信號為部分響應CPM 信號。實際通信中信號往往受到噪聲等環(huán)境因素的影響，因而接收端收到的信號存在延遲、衰落等問題，在這里假設信號傳輸過程中受到方差為σ2的高斯白噪聲v(t)的影響。通過功率譜粗估信號載頻并做下變頻處理，那么預處理后的接收信號r(t)形式如下：

其中A為信號增益，τ為時延，ΔF為殘余頻偏。

3 調(diào)制指數(shù)估計

在研究現(xiàn)有調(diào)制指數(shù)估計算法以及不同調(diào)制指數(shù)信號的識別算法后，創(chuàng)新性地提出基于時頻域特征的調(diào)制指數(shù)估計算法，算法分為兩大步驟：1）基于信號的循環(huán)平穩(wěn)特性，利用變換后信號的功率譜聯(lián)合估計整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分母和頻偏；2）基于周期相位的分布特性，利用分位函數(shù)估計整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分子。由于算法的第2）步利用的是不同調(diào)制指數(shù)、相關長度下信號的周期相位分布差異，豐富的相位脈沖類別無疑增加了該步驟的復雜度。因此，在非合作條件下為了降低未知相位脈沖對估計算法的影響，研究從工程應用的角度合并相近相位脈沖類別，進而減少相位脈沖類別，所以CPM 信號分類成為算法應用的前提。

3.1 CPM信號分類依據(jù)

頻率脈沖為相位脈沖的斜率曲線，觀察式（4）矩形頻率脈沖和式（5）升余弦頻率脈沖可以發(fā)現(xiàn)，不同于斜率為固定值的矩形相位脈沖，升余弦相位脈沖曲線斜率先增加后減小，兩種相位脈沖差異較大。觀察圖1（a）可以發(fā)現(xiàn)高斯相位脈沖的斜率也滿足先增加后減小的特性。從工程應用的角度，升余弦和高斯相位脈沖具有一定的相似性，矩形相位脈沖與其他相位脈沖差距較大，因此依據(jù)部分相位脈沖相似的特性，將CPM信號分為CPFSK類和非CPFSK類。

現(xiàn)對比相似相位脈沖曲線并研究脈沖相互替代對解調(diào)性能的影響，以此驗證分類的可靠性。圖2為帶寬時間積BTb=0.3的GS相位脈沖與3RC相位脈沖對比圖，可以發(fā)現(xiàn)兩者非常接近。圖3為發(fā)射端采用BTb=0.3 的GS 脈沖，接收端采用3RC 脈沖和BTb=0.3的GS脈沖時的解調(diào)誤碼率曲線對比圖（差異如表1 中“脈沖替代1”）。圖4 中BTb=0.9 的GS相位脈沖與2RC 相位脈沖也非常接近，接收端采用3RC 脈沖和BTb=0.3的GS脈沖時的解調(diào)誤碼率曲線對比如圖5（差異如表1中“脈沖替代2”）。由表1可知：對于通信接收端，3RC 相位脈沖可代替BTb=0.3的GS相位脈沖，2RC 相位脈沖可代替BTb=0.9的GS 相位脈沖，造成的解調(diào)性能損失可以忽略不計。由圖1（b）可知：GS脈沖的相關長度L=3時，帶寬時間積BTb<0.5，相關長度L=2 時，帶寬時間積BTb≥0.5。因此，當發(fā)射端信號采用的GS 脈沖BTb<0.5時，接收端可以選擇用3RC 解調(diào)，當BTb≥0.5時，接收端可以選擇用2RC解調(diào)。

表1 不同信噪比EbN0下脈沖替代造成的解調(diào)誤碼率差異Tab.1 The difference of bit error rate of demodulation caused by pulse substitution under different EbN0

表1 不同信噪比EbN0下脈沖替代造成的解調(diào)誤碼率差異Tab.1 The difference of bit error rate of demodulation caused by pulse substitution under different EbN0

圖2 3RC與BTb=0.3的GS相位脈沖對比圖Fig.2 Comparison of 3RC phase pulse and GS phase pulse with BTb=0.3

圖3 解調(diào)BERFig.3 Demodulation error rate

圖4 2RC與BTb=0.9的GS相位脈沖對比圖Fig.4 Comparison of 2RC phase pulse and GS phase pulse with BTb=0.9

圖5 解調(diào)BERFig.5 Demodulation error rate

綜合以上論述，可以得出結論：當發(fā)射端CPM信號的頻率脈沖為GS或LSRC時，接收端可以采用LRC替代進行解調(diào)，僅造成較小的性能損失。因此對于通信接收方，頻率脈沖可分為LREC和LRC兩類，即可以將CPM信號分為CPFSK信號和非CPFSK類信號。

3.2 頻偏與整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分母的聯(lián)合估計

CPM 信號y(t)的循環(huán)平穩(wěn)特性使得其期望函數(shù)E(y(t))具有周期特性，該周期特性受調(diào)制指數(shù)h的影響［13］，關系如下：

1）若調(diào)制指數(shù)h不是整數(shù)，那么E(y(t))=0；

2）若調(diào)制指數(shù)h為非0 偶整數(shù)，那么E(y(t))是周期為T的周期函數(shù)，對其進行傅里葉級數(shù)展開可以得到如下形式：

傅里葉級數(shù)中奇數(shù)項系數(shù)c2k+1為0、偶數(shù)項系數(shù)c2k不為0。偶數(shù)項系數(shù)c2k計算公式如下：

3）若調(diào)制指數(shù)h為非0 奇整數(shù)，那么E(y(t))是周期為2T的周期函數(shù)，對其進行傅里葉級數(shù)展開可以得到如下形式：

傅里葉級數(shù)中偶數(shù)項系數(shù)c2k為0、奇數(shù)項系數(shù)c2k+1不為0。奇數(shù)項系數(shù)c2k+1計算公式如下：

注：表中“脈沖替代1”代表接收端用3RC 脈沖代替BTb=0.3的GS脈沖造成的解調(diào)誤碼率差異；“脈沖替代2”代表接收端用2RC脈沖代替BTb=0.9的GS脈沖造成的解調(diào)誤碼率差異。為非0 偶整數(shù)時，m=2k，當y(t)的調(diào)制指數(shù)為非0奇整數(shù)時，m=2k+1。

可以發(fā)現(xiàn)，當信號的調(diào)制指數(shù)為非整數(shù)時，將信號的調(diào)制指數(shù)調(diào)整為整數(shù)后便可利用如上性質(zhì)。在這里暫時忽略噪聲的影響并假設接收信號的增益A=1，那么當信號總的采樣點數(shù)為U=N×D，其中N為符號點數(shù)為過采倍數(shù)，采樣后接收信號離散形式為r(nD+d)=y(nD+d) ?exp(j2πΔf(nD+d))。

對于任意正整數(shù)m，定義信號r(nD+d)m的頻譜函數(shù)為S(m，β)，計算公式如下：

在對信號r(nD+d)無任何先驗信息時，可以通過在所有m下搜索幅度函數(shù)|S(m，β)|整個頻譜范圍內(nèi)幅度值不為0的頻率對，其中幅度值之和最大的頻率對為最佳頻率對，憑借該最佳頻率對便能確定頻偏以及整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分母。為降低搜索的運算復雜度，假設已經(jīng)利用信號模譜估計得到符號周期一般情況下，常見CPM 信號的調(diào)制指數(shù)分母取值區(qū)間為[1，16]，所以m的搜索區(qū)間Im?[1，16]。在每個m下，整個采樣帶寬內(nèi)最多有個頻率對，頻率對的負頻率λi及正頻率?i搜索區(qū)間為

其中f0為最大頻偏。在確定的m條件下，搜索最佳頻率對的代價函數(shù)定義如下：

3.3 利用分位函數(shù)估計整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分子

去除原始信號r(nD+d)的頻偏完成載波同步，其次采用ML 與面向判決相結合的同步結構完成定時同步［16］，同步后的離散信號形式如下：

當信號總采樣點數(shù)為N×D時，其周期相位長度為(N-L+1)LD，則上式中k1的取值范圍為[0，N-L]，k2的取值范圍為[0，LD-1]。由3.2節(jié)可知，通過變換后信號的功率譜得到的整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分母使得信號的調(diào)制指數(shù)為非0整數(shù)。因此，在這里僅研究調(diào)制指數(shù)為非0整數(shù)的信號。由于在實際通信場景中，除了少數(shù)采用大相關長度的CPM調(diào)制方式（例如MIL-STD-188-181A 協(xié)議中采用的SOQPSK-TG），絕大多數(shù)CPM 信號的相關長度小于4［1，16］，因此在這里僅考慮相關長度小于4的信號。以調(diào)制指數(shù)h為1 的2CPFSK 信號為例，當信號的相關長度L分別為1、2和3時，周期分別為1、2和3個符號的相位眼圖如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)隨著信號相關長度增加，每個符號內(nèi)相位分布逐漸復雜。

圖6 h=1時不同L下的周期相位眼圖Fig.6 The eye diagram of periodic phase at different L when h=1

當接收信號過采倍數(shù)較低，即D值較小時，可以對周期相位進行每符號插值，以便于統(tǒng)計周期相位不同相位出現(xiàn)的頻次，得到如圖7 所示的周期相位直方圖。

圖7 h=1時不同L下的周期相位直方圖Fig.7 The histogram of periodic phase at different L when h=1

通過圖7 可以發(fā)現(xiàn)，不同相關長度下的相位直方圖存在較大差異，這表明相關長度會對周期相位中不同相位出現(xiàn)的頻次產(chǎn)生很大的影響。對于相關長度L為1 的2CPFSK 信號，當調(diào)制指數(shù)h分別為1、2和3時，信號周期為1的相位直方圖如圖8。

圖8 L=1時不同h下的周期相位直方圖Fig.8 The histogram of periodic phase at different h when L=1

通過圖8可以發(fā)現(xiàn)，不同調(diào)制指數(shù)條件下的周期相位的相位范圍不同，調(diào)制指數(shù)越大相位范圍越大，所以調(diào)制指數(shù)影響周期相位的相位范圍。綜上所述，相關長度和調(diào)制指數(shù)共同影響周期相位的相位分布。

在統(tǒng)計學上，將一組數(shù)據(jù)按照升序排列并將其分成100 個等分，第k個單位內(nèi)對應的數(shù)據(jù)值被稱為第k百分位數(shù)。百分位數(shù)能夠描述一組數(shù)據(jù)某個百分單位的水平，通過計算多個百分位數(shù)，可以得到該數(shù)據(jù)集的分布特征。

假設一組從小到大排列的數(shù)據(jù)為x0，…，xc，則第k百分位數(shù)Qk=x(c+1)k/100-1。對于相關長度為i、調(diào)制指數(shù)為j的CPM 信號，其周期為i的相位對應的分位函數(shù)fi，j(k)=Qk，10 ≤k≤80能夠反應相位的分布特征。當信號的相關長度為i、調(diào)制指數(shù)為j時，頻率脈沖分別為LREC 和LRC 的2CPM 信號的周期相位分位函數(shù)曲線fi，j(k)如圖9和圖10（1 ≤i≤3，1 ≤j≤3）。

圖9 頻率脈沖為LREC的信號周期相位分位函數(shù)Fig.9 Quantile function of periodic phase corresponding to the signal of LREC

圖10 頻率脈沖為LRC的信號周期相位分位函數(shù)Fig.10 Quantile function of periodic phase corresponding to the signal of LRC

通過圖9 和圖10 可以發(fā)現(xiàn)，不同相關長度L、調(diào)制指數(shù)h條件下的CPM 信號對應的周期相位分位函數(shù)存在一定差距。現(xiàn)針對不同相關長度L、調(diào)制指數(shù)h條件下的2CPM 信號，對周期為L的相位對應的分位函數(shù)曲線進行形式fL，h(z)=c3z3+c2z2+c1z1+c0的多項式擬合，得到表2～表4 頻率脈沖為LREC 的信號分位函數(shù)多項式系數(shù)，表5～表7 頻率脈沖為LRC 的信號分位函數(shù)多項式系數(shù)（這里僅列出1 ≤L≤3，1 ≤h≤10條件下的系數(shù)）。

表2 g(t)為1REC時Tab.2 When g(t) is 1REC

表3 g(t)為2REC時Tab.3 When g(t) is 2REC

表4 g(t)為3REC時Tab.4 When g(t) is 3REC

表5 g(t)為1RC時Tab.5 When g(t) is 1RC

表6 g(t)為2RC時Tab.6 When g(t) is 2RC

表7 g(t)為3RC時Tab.7 When g(t) is 3RC

3.4 算法步驟

基于時頻域特征的部分響應CPM 信號調(diào)制指數(shù)估計算法步驟如下：

1）信號預處理。利用信號平滑功率譜粗估載頻和帶寬，并做下變頻處理，然后采用差分的頻偏估計方法粗估頻偏［17］，并去除這部分頻偏。最后利用模譜估計符號速率

4）對信號進行平均濾波處理，降低相位噪聲的影響；

4 仿真及性能分析

4.1 頻偏與整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分母聯(lián)合估計

實驗1驗證3.2 節(jié)中頻譜函數(shù)S(m，β) ≠0 時的β集合是否正確。以4CPFSK 信號為例，假設符號個數(shù)N為2000，符號周期T為1/1000 s，采樣周期Ts為1/8000 s，頻偏ΔF為10 Hz。在信噪比為30 dB 的條件下，當調(diào)制指數(shù)h分別為1/2 和2/3 時，對復信號計算頻譜幅度函數(shù)|S(m，β)|，得到圖11。

圖11 不同h下4CPFSK信號的|S(m，β)|函數(shù)Fig.11 The |S(m，β)| function of 4CPFSK signal at different h

實驗2不同信噪比

由于復高斯白噪聲概率密度分布函數(shù)為P(v(n))=P(vI(n)) ?P(vQ(n))，所以信號r(n)的概率密度分布函數(shù)形式如下：

二次求導后得到：

對上式取數(shù)學期望后得到：

因此頻偏估計CRB形式如下：

其中E0為接收信號的功率。

圖12 不同EbN0下的頻偏估計NMSEFig.12 The NMSE of frequency offset estimation at differentEbN0

實驗3信號過采倍數(shù)對頻偏估計NMSE 的影響。本實驗研究變換后信號的功率譜頻偏估計算法在不同過采倍數(shù)條件下的性能。以頻偏ΔF為10 Hz的MSK 信號為例，假設接收信號符號個數(shù)N為500，符號周期T為1/1000 s，采樣周期Ts分別為1/4000 s、1/8000 s 和1/16000 s，即過采倍數(shù)D分別為4、8 和16 條件下，該算法頻偏估計NMSE 如圖13?？梢园l(fā)現(xiàn)過采倍數(shù)D越大，頻偏估計NMSE 值越大且與對應的CRB 的差距越大。由此得出結論：該算法能夠有效地估計過采倍數(shù)較低信號的頻偏，換而言之，該頻偏估計算法在不需要過高過采倍數(shù)的窄帶通信系統(tǒng)中有較好的性能。

圖13 不同過采倍數(shù)條件下的頻偏估計NMSEFig.13 The NMSE of frequency offset estimation at different oversampling points within a symbol

實驗4不同算法性能對比。本實驗研究不同頻偏估計算法在高斯白噪聲環(huán)境下的性能。信號為頻偏ΔF為10 Hz 的MSK 信號。假設接收信號符號個數(shù)N為250，符號周期T為1/1000 s，采樣周期Ts為1/4000 s。將本節(jié)的頻偏估計算法記作“NF 算法”，將D′Andrea［17］提出的差分估計算法和謝然［19］提出的循環(huán)譜估計算法分別記作“DF 算法”和“CY算法”。在每個信噪比EbN0下對三種算法分別進行1000次蒙特卡羅仿真，得到圖14頻偏估計NMSE圖。由圖可以發(fā)現(xiàn)，估計性能最優(yōu)的是本節(jié)的“NF算法”，其次是“CY 算法”，頻偏估計性能最差的是“DF 算法”，顯然“DF 算法”只能實現(xiàn)CPM 信號載頻的粗估計。在信噪比EbN0<7 dB 時，“CY 算法”估計的NMSE 比“NF 算法”小，原因在于信噪比較低時，信號被噪聲淹沒，“CY 算法”采用的循環(huán)譜具有一定的抑制噪聲特性，然而此時“NF算法”的變換功率譜無法有效反映信號的周期特性，因此變換功率譜無明顯攜帶頻偏信息的離散譜線。但是隨著信噪比提升，“NF 算法”憑借對信號周期特性的利用，頻偏估計性能明顯優(yōu)于“CY算法”。另外“CY算法”涉及到循環(huán)譜計算，其運算復雜度高于另外兩種算法。由此得出結論：本節(jié)提出的頻偏估計算法性能最優(yōu)，能夠有效地實現(xiàn)CPM信號的頻偏估計。

圖14 不同頻偏估計算法NMSEFig.14 The NMSE of different frequency offset estimation algorithms

4.2 調(diào)制指數(shù)估計

實驗5在不同信噪比EbN0下的調(diào)制指數(shù)估計性能。為了評估基于時頻域特征的調(diào)制指數(shù)估計算法在高斯白噪聲環(huán)境下的性能，本實驗將該算法應用到不同信噪比EbN0條件下的信號。所選用信號為相關長度L取自集合｛1，2，3｝的2CPM 信號，符號個數(shù)N為2000，符號周期T為1/1000 s，采樣周期Ts為1/8000 s。信號r(t)的頻偏ΔF為10 Hz。

現(xiàn)有研究僅能夠?qū)φ{(diào)制指數(shù)小于1的信號進行識別和估計。由于提出的算法適用于所有調(diào)制指數(shù)為有理數(shù)的情況，因此在這里分別使用該算法對調(diào)制指數(shù)h小于和大于1的信號進行性能研究。調(diào)制指數(shù)h<1 時取自集合｛1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5｝，調(diào)制指數(shù)h>1時取自集合｛3/2，4/3，5/4｝。針對頻率脈沖為LREC和LRC的信號，分別進行500次蒙特卡羅實驗，得到兩種調(diào)制指數(shù)情況下的平均識別準確率曲線，如圖15。由圖15（a）可以發(fā)現(xiàn)，對于頻率脈沖為LREC的信號，當信噪比EbN0大于16 dB時，調(diào)制指數(shù)h<1的信號平均識別準確率大于81%，當信噪比EbN0大于18 dB時，調(diào)制指數(shù)h>1的信號平均識別準確率大于85.3%。由圖15（b）可以發(fā)現(xiàn)，對于頻率脈沖為LRC 的信號，當信噪比EbN0大于16 dB時，調(diào)制指數(shù)h<1 的信號平均識別準確率大于81.5%，當信噪比EbN0大于18 dB時，調(diào)制指數(shù)h>1的信號平均識別準確率大于82.2%。

圖15 調(diào)制指數(shù)平均識別率Fig.15 The average recognition rate of modulation index

實驗6數(shù)據(jù)量對算法性能的影響。本實驗旨在研究接收信號符號個數(shù)N對算法性能的影響。實驗條件為：信噪比EbN0=10 dB，調(diào)制指數(shù)h為2/3的全響應2CPFSK 信號，符號周期T為1/1000 s，采樣周期Ts為1/8000 s。信號r(t)的頻偏ΔF為10 Hz。表8 為500 次蒙特卡羅實驗結果，可以看出算法性能隨著符號個數(shù)N的增加得到提升，在符號個數(shù)N=2000時識別準確率達到100%。

表8 不同N下識別準確率Tab.8 The recognition accuracy under different N

實驗7不同算法對比。目前針對窄帶系統(tǒng)下的CPM 信號調(diào)制識別算法較少，主要原因在于任意實數(shù)形式的調(diào)制指數(shù)模糊了不同參數(shù)條件信號的邊界，使得難以進行分類，因此可對比算法有限。本實驗將本文算法與Pawar［20］提出的利用近似熵特征結合支持向量機（Support Vector Machine，SVM）的方法進行對比。假設信號采樣點數(shù)為U=N?D，其中N為符號個數(shù)，D為過采倍數(shù)。

將Pawar［20］提出的算法記作“AE”算法，在信噪比EbN0=30 dB 的條件下，針對調(diào)制指數(shù)h取自集合｛1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5｝的2CPFSK 信號，將過采倍數(shù)D設定為40并選取500個符號，在多次實驗后確定相似判決閾值c為0.2，最終得到三種相關長度下不同調(diào)制指數(shù)信號的近似熵向量，如圖16。

圖16 信噪比EbN0=30 dB時不同相關長度L下信號的近似熵向量Fig.16 Approximate entropy vector of signals with different constraint lengths L when EbN0=30 dB

可以發(fā)現(xiàn)在高信噪比條件下，任意相關長度下的不同調(diào)制指數(shù)信號的近似熵向量均出現(xiàn)了混淆的情況，顯然該算法存在對信道噪聲敏感的問題。為了進一步驗證該算法在高斯白噪聲環(huán)境下的性能，將三種相關長度下任意信噪比條件的近似熵向量輸入到SVM（信噪比滿足0 ≤EbN0≤30），然后采用10折交叉驗證法確定最佳分類器，最終估算得到的分類器泛化誤差為0.89。這說明訓練得到的分類器無法有效預測訓練集合外的數(shù)據(jù)，原因在于輸入分類器的近似熵特征向量存在不同類別無法區(qū)分的問題，導致訓練分類器時無法學習到正確的決策邊界來區(qū)分不同的類別。信號的近似熵向量特征較差的主要原因在于近似熵計算時為達到提取信號細節(jié)信息的目的，選用的模式向量存在維度過小的問題，在信號受到高斯白噪聲影響的條件下，提取信號相位序列細節(jié)特征的同時也會累積相位噪聲的影響，因此該算法對信道噪聲敏感。

除此以外，“AE”算法還存在運算復雜度高的問題，近似熵運算過程中差值運算次數(shù)至少為2(U-2)U-2次，當U較大時，運算復雜度呈指數(shù)型增加。目前并沒有從理論上推導得到CPM 信號的近似熵向量與不同參數(shù)的關系式，當參數(shù)集合發(fā)生變化時，需要通過多次實驗確定最佳的相似判決閾值，這樣導致運算復雜度成倍增加。顯然，Pawar［20］提出的利用近似熵特征結合SVM 的不同調(diào)制指數(shù)識別算法實用性較差。

相比于直接估計調(diào)制指數(shù)的算法，本文提出的算法不要求相關長度先驗信息。在這里討論非合作條件下Munawar［9］提出的基于高階累積量的調(diào)制指數(shù)估計算法的局限性。圖17為發(fā)射端頻率脈沖為3REC的信號，接收端采用不同相關長度L時估計調(diào)制指數(shù)h的NMSE（圖中h1=23，h2=34），可以發(fā)現(xiàn)發(fā)射端與接收端相關長度不匹配對該算法影響較大，該算法依賴相關長度先驗信息，在非合作條件下應用受限。現(xiàn)分析該估計算法的運算復雜度，該算法的運算主要集中在最佳采樣點的四階累積量運算上，因此基于高階累積量的估計算法運算復雜度為6N-3。

圖17 調(diào)制指數(shù)估計NMSEFig.17 The NMSE of mudulation index estimation

最后分析本文提出的基于時頻域特征的調(diào)制指數(shù)估計算法運算復雜度。本文的運算復雜度主要集中在：1）計算變換功率譜涉及到的FFT 運算；2）利用分位函數(shù)時的實采信號分位函數(shù)曲線與模板分位函數(shù)曲線的匹配。在非合作條件下，調(diào)制指數(shù)分母最大取16，所以FFT運算最大復雜度為32U，匹配過程的運算復雜度主要由調(diào)制指數(shù)分子及相關長度范圍決定，因此匹配過程最大運算度為96D。因此，基于時頻域特征的估計算法總的運算復雜度為32U+96D。

通過前面對各個算法復雜度以及特點的分析，最終匯總得到表9。

表9 不同調(diào)制指數(shù)估計算法運算復雜度及特點Tab.9 Computational complexity and characteristics of different modulation index estimation algorithms

由表9 可知，基于近似熵的算法運算復雜度最高，基于高階累積量的算法運算復雜度最低。在較好的信噪比條件下能夠憑借人力確定調(diào)制指數(shù)分母，從而有效減少FFT 運算次數(shù)，最終將本文基于時頻域特征的估計算法的運算復雜度降低至2g0U+6Dg0+18D，其中g0為調(diào)制指數(shù)分母。綜合以上分析，在非合作條件下，運算復雜度最低的高階累積量算法對相關長度先驗信息的依賴使得算法局限性較強；基于近似熵的算法運算復雜度高并且存在對信道噪聲敏感的問題；本文算法不依賴相關長度先驗信息，適用于調(diào)制指數(shù)為任意有理數(shù)形式的部分響應CPM信號。

實驗8對相近調(diào)制指數(shù)信號的分類效果?；跁r頻域特征的估計算法針對的是調(diào)制指數(shù)為有理數(shù)的信號，在分別估計調(diào)制指數(shù)分母和分子后獲得調(diào)制指數(shù)，因此實現(xiàn)過程類似于不同調(diào)制指數(shù)信號的分類。實驗條件：信噪比EbN0=18 dB，相關長度L取自集合｛1，2，3｝的2CPM 信號，符號個數(shù)N為2000，符號周期T為1/1000 s，采樣周期Ts為1/8000 s。圖18 顯示不同頻率脈沖下使用該算法估計調(diào)制指數(shù)時，將其他相近調(diào)制指數(shù)誤判為目標調(diào)制指數(shù)時的混淆矩陣，可以發(fā)現(xiàn)本文算法在一定程度上能夠區(qū)分調(diào)制指數(shù)接近的CPM信號。

圖18 混淆矩陣Fig.18 Confusion matrix

綜合以上實驗可以得出結論：基于時頻域特征的調(diào)制指數(shù)估計算法不依賴相關長度先驗信息，適用于頻率脈沖為LREC 和LRC 的信號，能夠有效地估計調(diào)制指數(shù)h小于和大于1 的信號，并且在一定程度上能夠區(qū)分調(diào)制指數(shù)接近的信號。

注：表中U=N?D為信號總采樣點數(shù)，N為符號個數(shù)，D為過采倍數(shù)。

4.3 實采信號參數(shù)估計

為了驗證所提算法的有效性，本小節(jié)對兩類短突發(fā)CPM 信號進行參數(shù)估計。由于信道干擾的影響，接收的信號往往存在不同時間段載頻及最佳抽樣點不一致的問題。因此，將接收信號劃分為多個采樣點不重疊的信號段，分別對每段信號進行同步和調(diào)制指數(shù)估計，將所有信號段估計值的眾數(shù)作為最終的參數(shù)值。為驗證參數(shù)估計的有效性，在解調(diào)后利用符號序列重構信號并對比重構信號相位路徑和實采信號相位路徑。

試驗1某實采CPFSK 信號參數(shù)估計。針對某參數(shù)規(guī)格CPFSK 導頻序列，首先采用本文所提算法去除頻偏完成載波同步，再基于最大似然理論完成定時同步［18］，得到圖19一符號相位眼圖。

圖19 一符號相位眼圖Fig.19 A symbolic phase eye diagram

已知整個信號共有9 段導頻序列，每段大致170 個符號。采用本文算法分別估計每段導頻序列的調(diào)制指數(shù)，最終得到圖20所示調(diào)制指數(shù)估計值直方圖?？梢园l(fā)現(xiàn)調(diào)制指數(shù)估計值眾數(shù)為12，那么該參數(shù)規(guī)格導頻序列的調(diào)制指數(shù)便為

圖20 調(diào)制指數(shù)估計值直方圖Fig.20 Histogram of modulation index estimates

現(xiàn)對比重構信號相位路徑和實采信號相位路徑的差異。圖21 展示了重構信號相位路徑和實采信號相位路徑之間的比較結果。

由圖21 可知重構信號相位路徑與實采信號相位路徑基本重合，不存在誤碼的情況，由此體現(xiàn)了參數(shù)估計的有效性。

試驗2某實采非CPFSK 類信號參數(shù)估計。針對某頻率脈沖可近似為LRC的CPM 信號，首先采用本文所提算法去除頻偏完成載波同步，再基于最大似然理論完成定時同步［18］，得到圖22一符號相位眼圖。

圖22 一符號相位眼圖Fig.22 A symbolic phase eye diagram

將整個信號分為不重疊的30段序列，每段大致1000 個符號。采用本文算法分別估計每段序列的調(diào)制指數(shù)，最終得到圖23所示調(diào)制指數(shù)估計值直方圖。可以發(fā)現(xiàn)調(diào)制指數(shù)估計值眾數(shù)為，那么該信號的調(diào)制指數(shù)便為

圖23 調(diào)制指數(shù)估計值直方圖Fig.23 Histogram of modulation index estimates

現(xiàn)對比重構信號相位路徑和實采信號相位路徑的差異。圖24 展示了重構信號相位路徑和實采信號相位路徑之間的比較結果。

由圖24 可知重構信號相位路徑與實采信號相位路徑差別很小，僅在信號畸變較大的點存在誤碼的情況，由此體現(xiàn)了參數(shù)估計的有效性。

5 結論

本文針對窄帶系統(tǒng)下CPM信號的調(diào)制指數(shù)估計算法依賴相關長度先驗信息的問題，創(chuàng)新性地提出基于時頻域特征的CPM信號調(diào)制指數(shù)估計算法。在通信接收端，利用部分相位脈沖的相似特性將CPM 信號分為CPFSK信號和非CPFSK類信號。首先基于信號的循環(huán)平穩(wěn)特性，利用變換后信號的功率譜聯(lián)合估計頻偏和整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分母；其次完成信號同步并進行平滑處理；然后基于不同參數(shù)條件下信號的周期相位分布差異，利用周期相位的分位函數(shù)估計整數(shù)倍調(diào)制指數(shù)分子；最后綜合調(diào)制指數(shù)分母和分子估計的結果確定調(diào)制指數(shù)值。通過仿真實驗證明了本文算法不要求相關長度先驗信息，適用于任意調(diào)制指數(shù)條件的部分響應CPM 信號，并且在一定程度上能夠區(qū)分調(diào)制指數(shù)值接近的信號。通過實采信號的參數(shù)估計試驗證明了本文算法的實用性。