基于Kepler Q1-Q17數(shù)據(jù)對(duì)類太陽(yáng)型恒星的行星生成率估算*

張青欣 暴春暉 季江徽

(1 中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái) 南京 210023)

(2 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院 合肥 230026)

(3 中國(guó)科學(xué)院行星科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210023)

1 引言

截至2022年5月8日,約有5000顆已被證實(shí)的系外行星被人類發(fā)現(xiàn),包括810個(gè)多行星系統(tǒng),其中由Kepler空間望遠(yuǎn)鏡所發(fā)現(xiàn)的系外行星共有2344顆.這些發(fā)現(xiàn)告訴我們系外行星在宇宙中普遍存在的事實(shí).根據(jù)太陽(yáng)系行星的質(zhì)量大小與形態(tài),通常可將行星分為巖石行星(類地行星)、氣態(tài)巨行星(類木行星)和冰巨星(類海王星)等類型; 在系外行星中發(fā)現(xiàn)了很多軌道特殊的族群-熱木星、超級(jí)地球、溫暖海王星、超短周期行星等.由Kepler發(fā)現(xiàn)的不同類型宿主恒星的凌星系外行星的周期分布如圖1所示,半徑分布如圖2所示.首先,多樣的系外行星族群的不斷發(fā)現(xiàn)為了解宜居行星是否存在提供了可能,探測(cè)和發(fā)現(xiàn)其他恒星周圍的宜居行星是系外行星研究重要的科學(xué)問題,因此我們需要回答不同行星族群在宇宙中的分布與存在概率; 其次,宜居行星的深入研究也將回答是否存在“另外一個(gè)地球”或者“人類是否孤獨(dú)”這樣的哲學(xué)命題.研究不同行星族群的在其他恒星周圍分布規(guī)律和存在幾率有助于深入了解一般行星系統(tǒng)中行星的形成與演化,最終回答“太陽(yáng)系是否特殊”這樣的科學(xué)問題.大量的系外行星的觀測(cè)樣本使從統(tǒng)計(jì)上了解行星存在概率成為可能,即行星生成率的估計(jì),且由于不同的探測(cè)方法與探測(cè)任務(wù)對(duì)不同類型的系外行星的探測(cè)靈敏度不同,如凌星法與視向速度法都更容易發(fā)現(xiàn)質(zhì)量較大、周期較短的行星,因此獨(dú)立分析不同軌道周期半徑行星的生成率顯得十分必要.

圖1 宿主恒星為F、G、K型的Kepler系外行星周期分布Fig.1 Period distribution of Kepler exoplanets whose host stars are F,G,K spectral types

圖2 宿主恒星為F、G、K型的Kepler系外行星半徑分布Fig.2 Radius distribution of Kepler exoplanets whose host stars are F,G,K spectral types

早期對(duì)巨行星生成率的研究往往是利用視向速度探測(cè)項(xiàng)目[1-2]及Kepler空間望遠(yuǎn)鏡[3]發(fā)現(xiàn)的巨行星樣本開展,研究認(rèn)為類太陽(yáng)恒星周圍軌道周期短于數(shù)年的巨行星的行星生成率約為0.10,Cumming等[1]對(duì)于圍繞類太陽(yáng)恒星運(yùn)行的最小質(zhì)量在0.3-10MJup(MJup為一個(gè)木星質(zhì)量)及軌道周期范圍在2-2000 d的巨行星的生成率估計(jì)為0.105.還有研究認(rèn)為巨行星的行星生成率與軌道周期成冪律關(guān)系,但這種單一的冪律周期分布通常會(huì)過度預(yù)測(cè)距離較遠(yuǎn)(≥10 AU)的巨行星數(shù)量.為了更好地匹配觀測(cè)到的分布,Fernandes等[4]用分段冪律代替單一冪律且在軌道距離～2-3 AU時(shí)發(fā)現(xiàn)了巨行星的行星生成率存在一個(gè)潛在的峰值[5],分段冪律的實(shí)現(xiàn)將分布函數(shù)拓展到100 AU,對(duì)于質(zhì)量范圍0.1-20MJup和1-20MJup的系外行星生成率分別為

而對(duì)于較小的行星,大約一半的類太陽(yáng)恒星擁有至少一個(gè)軌道周期小于100 d且大小介于地球與海王星之間的行星.行星形成理論通常沒有預(yù)言如此豐富的近距離軌道行星,甚至一些理論詳細(xì)地預(yù)測(cè)了近距離軌道的超級(jí)地球或亞海王星是特別罕見的[6].小質(zhì)量行星生成率高得驚人的觀測(cè)結(jié)果推動(dòng)了新的行星形成理論的出現(xiàn),即小質(zhì)量行星可以在短周期軌道上原位形成,而不是先形成于距離恒星較遠(yuǎn)的地方而后向內(nèi)軌道遷移[7-8].對(duì)于軌道周期小于50 d、最小質(zhì)量3-30M⊕的行星(M⊕為一個(gè)地球質(zhì)量),兩個(gè)獨(dú)立的視向速度觀測(cè)項(xiàng)目得出的行星生成率分別為0.15±0.05[9]和0.27±0.05[2].然而,利用Kepler數(shù)據(jù),在相同的軌道周期范圍內(nèi),半徑2-4R⊕的行星生成率略小,為0.13±0.008[10].

觀測(cè)結(jié)果表明在各種類型恒星周圍都有系外行星,而不僅僅局限于類太陽(yáng)型恒星,還包括質(zhì)量非常小的恒星[11]、低金屬豐度恒星[12]、巨星[13]及其他演化階段的恒星(白矮星、脈沖星等)[14].因此,恒星屬性對(duì)于行星生成率存在一定影響,例如伴星、金屬豐度、質(zhì)量等.

對(duì)于Kepler觀測(cè)的候選行星,約有10% (30%)的主恒星被觀測(cè)到角距1＇＇(4＇＇)內(nèi)存在伴星,其中大部分相對(duì)于目標(biāo)恒星是相當(dāng)暗淡的[15].其對(duì)于凌星信號(hào)的稀釋效應(yīng)總體上平均只影響行星半徑幾個(gè)百分點(diǎn)[15],在半徑推導(dǎo)的不確定性范圍內(nèi),因此不會(huì)對(duì)一般的行星統(tǒng)計(jì)產(chǎn)生重大影響.但是行星半徑Rp≤2R⊕的系外行星的凌星信號(hào)更容易受到稀釋,相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可能受到更顯著的影響[15-16].除了凌星信號(hào)稀釋效應(yīng),伴星也可以通過許多動(dòng)力學(xué)過程影響行星的存在.基于視向速度和高分辨率成像觀測(cè)的研究表明,近距離恒星質(zhì)量伴星的存在通常與環(huán)繞主恒星行星的生成率較低有關(guān)[17-18].

通常主恒星的整體金屬豐度,與可供行星形成組分的總質(zhì)量有關(guān),因此認(rèn)為行星的生成率和性質(zhì)可能與主恒星的金屬豐度有關(guān)是合理的.對(duì)于通過視向速度觀測(cè)發(fā)現(xiàn)的巨行星,其生成率與恒星金屬豐度存在密切聯(lián)系[19-20].較小的行星,尤其是那些半徑Rp≤4R⊕的系外行星,其行星生成率與主恒星金屬豐度無(wú)明顯相關(guān)性[21-22].

行星生成率與主恒星質(zhì)量也可能存在相關(guān)性.質(zhì)量較低的恒星周圍不容易形成行星,特別是質(zhì)量較大的行星.一種理論上的可能性是恒星的質(zhì)量與原行星盤的總質(zhì)量相關(guān),從而與可供形成行星的固體物質(zhì)的質(zhì)量相關(guān),這與在(亞)毫米波長(zhǎng)直接對(duì)原行星盤的觀測(cè)一致[23-24].巨行星對(duì)恒星質(zhì)量的依賴性已經(jīng)用不同的探測(cè)方法進(jìn)行了許多研究[10,25].對(duì)長(zhǎng)達(dá)3 yr的視向速度觀測(cè)的1266顆巨行星樣本進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)在其生成率與恒星質(zhì)量之間存在線性關(guān)系[26].對(duì)于較小的行星,Kepler為研究它們與主恒星質(zhì)量之間的依賴關(guān)系提供了最好的樣本.研究表明,開普勒參數(shù)空間中的行星生成率與恒星質(zhì)量是反相關(guān)的[10,27].

本文通過分析Kepler的全部的Q1-Q17的最大恒星樣本與Kepler已發(fā)現(xiàn)確認(rèn)的系外行星,使用了逆檢測(cè)效率法(Inverse Detection Efficiency Method,IDEM)和納入貝葉斯(Bayesian)框架的最大似然法(Maximum Likelihood Analysis,ML)兩種方法,對(duì)Kepler樣本的行星生成率進(jìn)行了估算,分別討論了F、G、K型恒星周圍的行星生成率,比較了兩種估算方法在F、G、K型恒星周圍的估算結(jié)果的差異.同時(shí),在使用納入貝葉斯框架的最大似然法時(shí),我們對(duì)凈探測(cè)效率的估算采用了由Kepler團(tuán)隊(duì)開發(fā)的估算工具Kepler Planet Occurrence Rate Tools (KeplerPORTs),提高了對(duì)于Kepler空間望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行凌星觀測(cè)時(shí)各種選擇效應(yīng)的估算精度.在本文第2節(jié)將介紹估算行星生成率的兩種模型方法; 在第3節(jié)介紹具體的數(shù)據(jù)來源與分析方法,并給出估算結(jié)果; 第4節(jié)中我們討論了兩種方法的估算結(jié)果,比較了F、G、K型恒星的行星生成率,并做了對(duì)比分析.

2 估算行星生成率的模型方法

多數(shù)與行星生成率相關(guān)的研究中,都認(rèn)為由于宇宙中行星數(shù)量與恒星數(shù)量的比值隨著觀測(cè)樣本的擴(kuò)大會(huì)趨于一個(gè)定值而更有研究意義,因此本文研究的行星生成率也即每顆恒星擁有行星的平均數(shù)量,稱為行星的固有生成率np,我們令Np為觀測(cè)樣本的行星數(shù)量,N*為觀測(cè)樣本的恒星數(shù)量,np表示為:

由于目前觀測(cè)技術(shù)的限制,對(duì)于不同類型行星的探測(cè)能力具有差異,例如Kepler更容易發(fā)現(xiàn)周期在1-50 d的行星,在實(shí)際對(duì)行星生成率進(jìn)行估算時(shí),我們可以將行星限制在被預(yù)先定義的參數(shù)空間內(nèi),通常為周期-半徑平面(對(duì)于凌星法觀測(cè)到的系外行星).通過將參數(shù)空間人為劃分為多個(gè)網(wǎng)格區(qū)域[10],可以假設(shè)單個(gè)區(qū)域內(nèi)部行星生成率是一致的,且不同區(qū)域的行星生成率互相獨(dú)立.在此基礎(chǔ)上,對(duì)每一個(gè)網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)部的行星生成率ncell進(jìn)行估算是更為合理的,可以最大限度降低觀測(cè)靈敏度對(duì)行星樣本帶來的影響.類似地,本文主要研究F、G、K型的主序星,因此恒星樣本也被預(yù)先限制為同一類型的主序星.

下面介紹本文使用的兩種推算行星生成率的理論模型.

2.1 逆檢測(cè)效率法(IDEM)

IDEM是一項(xiàng)計(jì)算便捷且有效的快速估算行星生成率的方法,在很多行星生成率的相關(guān)研究中被采用[10].IDEM通過對(duì)觀測(cè)到的行星出現(xiàn)概率的計(jì)算來修正尚未被Kepler發(fā)現(xiàn)的可能存在行星的數(shù)量.網(wǎng)格內(nèi)的行星生成率ncell作為給定區(qū)域內(nèi)行星半徑和軌道周期的函數(shù),實(shí)際與分布在該區(qū)域的行星樣本數(shù)相關(guān).在每個(gè)區(qū)域中,統(tǒng)計(jì)Kepler探測(cè)到的行星的數(shù)量,同時(shí)篩選出有足夠觀測(cè)精度的恒星子集,在給定行星半徑與周期區(qū)域內(nèi),ncell與對(duì)應(yīng)的誤差σncell分別為[10]:

其中,Np,cell為給定區(qū)域內(nèi)的行星樣本數(shù),分子上的pj為行星j發(fā)生凌星現(xiàn)象的概率.通過對(duì)每顆行星凌星概率的計(jì)算修正來近似獲得區(qū)域內(nèi)真實(shí)的行星數(shù)量,在實(shí)際計(jì)算時(shí),使用其特定值1/pj=aj/R*(aj為行星半長(zhǎng)軸,R*為主恒星半徑),其值直接由開普勒測(cè)光法測(cè)量,而非使用比值計(jì)算,因?yàn)閱为?dú)測(cè)量恒星半徑和半長(zhǎng)軸精度較低.在分母上,N*,j為若存在行星j時(shí)滿足凌星信噪比大于閾值的恒星數(shù).公式中的所有參數(shù)均可在DR25中獲得.

上文提到IDEM的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算便捷,可以快速得到估算結(jié)果,但該方法并沒有利用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論作為支撐.另一個(gè)缺點(diǎn)在于忽略了凌星觀測(cè)參數(shù)中的不確定性,由于測(cè)量誤差會(huì)導(dǎo)致估計(jì)的凌星特性相關(guān)參數(shù)(例如,凌星深度、持續(xù)時(shí)間等參數(shù))偏離真實(shí)的凌星參數(shù),特別是對(duì)于在凌星探測(cè)信噪比閾值附近的樣本,真實(shí)的探測(cè)概率與估計(jì)之間存在較大的差異.

2.2 基于簡(jiǎn)化貝葉斯模型的最大似然法

鑒于IDEM忽略了探測(cè)中不確定性的缺點(diǎn),ML法被提出,該方法可以綜合考慮觀測(cè)凌星系外行星時(shí)的各種探測(cè)效率,得到行星生成率的ML估計(jì),記為nML.對(duì)于一個(gè)給定區(qū)域,假設(shè)存在Np顆系外行星與N*顆恒星,nML為[28]:

這里N*,eff≡N*〈p〉即恒星有效樣本數(shù)為恒星樣本與凈探測(cè)效率〈p〉的乘積.

Kepler望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)時(shí)的凈探測(cè)效率〈p〉,即探測(cè)事件發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)確行星的比例.對(duì)于凌星觀測(cè),影響探測(cè)效率的選擇效應(yīng)主要有3種,分別是在隨機(jī)軌道的行星發(fā)生凌星事件的隨機(jī)概率ptr≤1、觀測(cè)時(shí)該行星正處于凌星時(shí)刻的概率pdisc≤1以及Kepler觀測(cè)假陽(yáng)性事件的比例.不同的不相關(guān)選擇效應(yīng)相乘后便可得出凈探測(cè)效率〈p〉.

為了對(duì)每顆恒星進(jìn)行詳細(xì)的探測(cè)效率計(jì)算,在本文工作中考慮使用簡(jiǎn)化貝葉斯模型(Simplified Bayesian Model,SBM),該方法在近似貝葉斯模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)化,有效降低原本所需的大量計(jì)算資源.在貝葉斯模型中,將宇宙中每一顆行星的形成視為泊松過程,在預(yù)先劃分的行星周期半徑參數(shù)空間的網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)其泊松速率參數(shù)恒定,則網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的ncell分布也為泊松隨機(jī)變量.

當(dāng)我們觀測(cè)到N*個(gè)恒星且探測(cè)到這些恒星周圍所有的行星時(shí),單一網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)所有行星數(shù)量(Np,cell,all)是具有速率參數(shù)(ncellN*)的泊松隨機(jī)變量(N*此時(shí)已確定,速率參數(shù)簡(jiǎn)化為ncell).如果我們讓ncell的先驗(yàn)分布為具有形狀參數(shù)α0和逆尺度參數(shù)β0的伽馬分布,則ncell的后驗(yàn)分布為形狀參數(shù)α0+Np,cell,all和逆尺度參數(shù)β0+N*的伽馬分布[29].Hsu等[30]研究表明,對(duì)于大多數(shù)的周期半徑范圍,先驗(yàn)分布的選擇不會(huì)對(duì)后驗(yàn)分布的生成率結(jié)果產(chǎn)生明顯影響,基本被限制在幾個(gè)百分點(diǎn)的誤差范圍內(nèi).只有當(dāng)網(wǎng)格內(nèi)的約束數(shù)據(jù)非常少時(shí),如M型恒星周圍的行星樣本或Kepler樣本中周期較長(zhǎng)半徑較小的區(qū)域,先驗(yàn)分布的選擇才會(huì)顯著影響后驗(yàn)分布的估算結(jié)果.

實(shí)際上由于凌星幾何概率和探測(cè)效率,現(xiàn)在并不能探測(cè)到所有的行星.相反,只對(duì)目標(biāo)恒星的一個(gè)子集周圍的行星敏感,這主要取決于行星軌道平面的方向和每顆恒星的光度測(cè)量精度.假設(shè)在目標(biāo)恒星上探測(cè)到其行星的綜合概率〈p〉在區(qū)域內(nèi)是幾乎一致的,則有效恒星數(shù)N*,eff是凈探測(cè)概率〈p〉的伯努利隨機(jī)變量N*的總和.在這個(gè)模型中ncell的后驗(yàn)分布表示為形狀參數(shù)為α0+Np,cell和逆尺度參數(shù)為β0+N*,eff的伽馬分布[29]:

通過用期望值E[N*,eff]取代隨機(jī)變量N*,eff來近似ncell的后驗(yàn)分布.利用蒙特卡羅方法,對(duì)探測(cè)的有效恒星數(shù)的期望值進(jìn)行了估計(jì).對(duì)于每顆恒星和每個(gè)行星半徑周期范圍,繪制Nsamp顆行星(均勻分布在區(qū)間),這里令Nsamp=100,每個(gè)目標(biāo)恒星的pj的值就等于Nsamp顆模擬行星計(jì)算出探測(cè)概率pi,j的平均值,即有效恒星數(shù)的期望E[N*,eff]是所有目標(biāo)恒星概率總和,即在此基礎(chǔ)上,對(duì)各行星大小和軌道周期范圍內(nèi)的行星固有發(fā)生率進(jìn)行了后驗(yàn)近似[29]:

該后驗(yàn)分布的均值和誤差分別為[29]:

在這里可假設(shè)α0和β0,當(dāng)兩者都遠(yuǎn)小于Np,cell和E[N*,eff]時(shí),該后驗(yàn)均值本質(zhì)上是探測(cè)到的行星數(shù)量與有效樣本大小的比值,即(4)式所示.

3 Kepler數(shù)據(jù)來源與處理

3.1 數(shù)據(jù)來源

本文所使用的Kepler恒星觀測(cè)數(shù)據(jù)集來自2016年發(fā)布的Kepler DR25,也是通過Kepler數(shù)據(jù)處理管道在完整的17個(gè)季度中搜索凌星信號(hào)的任務(wù)數(shù)據(jù)集合的最終版本.該任務(wù)共包含了198709個(gè)恒星目標(biāo),其中112046個(gè)目標(biāo)在全部17個(gè)季度都有觀測(cè),另86663個(gè)目標(biāo)的被觀測(cè)季度少于17個(gè),這些恒星樣本的有效溫度與質(zhì)量分布如圖3所示.DR25可在米庫(kù)爾斯基太空望遠(yuǎn)鏡檔案庫(kù)1https://archive.stsci.edu/.(Mikulski Archive for Space Telescopes,MAST)或NASA(National Aeronautics and Space Administration)系外行星檔案庫(kù)2https://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/.下載(米庫(kù)爾斯基太空望遠(yuǎn)鏡檔案庫(kù)是一個(gè)天文數(shù)據(jù)檔案,聚焦于光學(xué)、紫外線和近紅外,擁有包括哈勃、開普勒、凌星系外行星巡天衛(wèi)星(Transiting Exoplanet Survey Satellite,TESS)和詹姆斯韋布空間望遠(yuǎn)鏡(James Webb Space Telescope,JWST)等十多個(gè)任務(wù)的數(shù)據(jù).)

圖3 Kepler DR25恒星樣本不同類型恒星的分布Fig.3 Distribution of stars with different spectral types in Kepler DR25

在Kepler DR25所釋放的目標(biāo)恒星數(shù)據(jù)列表中,第1列即為目標(biāo)恒星的Keplerid,可在simbad數(shù)據(jù)庫(kù)3http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/.中查詢對(duì)應(yīng)ID得到恒星更詳細(xì)的觀測(cè)數(shù)據(jù)(如Gaia數(shù)據(jù)等),其中有確切光譜型的恒星總數(shù)為31612,其中F型共10756顆,占比34.03%; G型11843顆,占比37.46%; K型共6097顆,占比19.29%.另外根據(jù)DR25中目標(biāo)恒星有效溫度(Teff)的數(shù)據(jù),不同類型的恒星分布如圖3所示,考慮K型恒星有效溫度范圍[31]為3900-5200 K,共有43601顆; G型恒星有效溫度范圍[31]為5200-6000 K,共有79969顆; F型恒星有效溫度范圍[31]為6000-7600 K,共有66345顆.最后為了確保恒星樣本凌星時(shí)的觀測(cè)精度足夠高,在以上基礎(chǔ)上,我們將篩選條件定為開普勒光度Kmag＜15且表面重力加速度的對(duì)數(shù)值lg(g/(cm·g·s-2))范圍在4.0-4.9.最后得到恒星樣本總數(shù)為77678,其中F型恒星有38384顆,G型恒星32433顆,K型恒星6861顆.本文所采用的部分恒星參數(shù)如表1所示.

表1 Kepler DR25恒星樣本中部分恒星參數(shù)Table 1 Part of the stellar parameters in the Kepler DR25

本文使用的Kepler發(fā)現(xiàn)的已確認(rèn)行星和候選行星相關(guān)數(shù)據(jù),是通過MSAT下載,獲得原始數(shù)據(jù)之后,根據(jù)行星的宿主恒星光譜型對(duì)行星進(jìn)行分類.最終獲得圍繞F型恒星的已發(fā)現(xiàn)系外行星樣本個(gè)數(shù)為472顆; 圍繞G型恒星的已發(fā)現(xiàn)系外行星樣本個(gè)數(shù)為1212顆; 圍繞K型恒星的已發(fā)現(xiàn)系外行星樣本個(gè)數(shù)為496顆.

3.2 KeplerPORTs的應(yīng)用

行星生成率的計(jì)算必須知道Kepler數(shù)據(jù)處理管道完整性的精確模型[32],開普勒?qǐng)F(tuán)隊(duì)于2017年發(fā)布了基于Burke等[33]的檢測(cè)輪廓計(jì)算方法,且采用了使用了更大數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行凌星注入與回收測(cè)試以提高準(zhǔn)確性的開普勒管道最終版本,并給出了計(jì)算工具KeplerPORTs.該程序可在Github上下載4https://github.com/nasa/KeplerPORTs..在KeplerPORTs中輸入預(yù)設(shè)的行星半徑與周期參數(shù),給定恒星的窗函數(shù)(Window Function)以及凌星深度函數(shù)(One-sigma Depth Function),可輸出若給定恒星周圍存在預(yù)設(shè)行星時(shí),Kepler空間望遠(yuǎn)鏡的檢測(cè)效率.

3.3 不同光譜型恒星的行星生成率估算

通過上面的統(tǒng)計(jì)樣本,我們分別采用IDEM和ML方法來推導(dǎo)出行星的生成率.首先將行星半徑周期平面上的參數(shù)空間分成等距的對(duì)數(shù)單元區(qū)域,由于行星周期和半徑的精度遠(yuǎn)小于單元區(qū)域的尺寸,我們忽略了行星參數(shù)的不確定性.在每個(gè)區(qū)域中,獨(dú)立計(jì)算出探測(cè)到的行星數(shù)量Np.

對(duì)于IDEM法,我們首先計(jì)算每顆候選行星的凌星幾何概率pg,i=R*/a.接著計(jì)算每顆候選行星i經(jīng)過目標(biāo)恒星j周圍被探測(cè)到的概率pd,i,j,假設(shè)這顆行星有相同的軌道周期,對(duì)于目標(biāo)恒星j,若存在這樣一顆行星,觀測(cè)到的凌星信號(hào)的信噪比為[10]

這里的δ=R2p/R2*為半徑Rp的行星在半徑R*的恒星前發(fā)生凌星時(shí),中心凌星的光變深度.ntr為90 d,即一個(gè)季度內(nèi),發(fā)生凌星的次數(shù),tdur為凌星持續(xù)時(shí)間.σCDPP為Kepler觀測(cè)凌星時(shí)量化的系統(tǒng)噪聲.

我們?cè)O(shè)定信噪比的閾值為10,只統(tǒng)計(jì)在給定行星的凌星深度和周期時(shí),SNR＞10的恒星數(shù)量.由(2)式可以估算得到每個(gè)單元區(qū)域內(nèi)的生成率.區(qū)域內(nèi)生成率的誤差可表示為δ=式中Nr,p為此半徑周期區(qū)域內(nèi)的行星數(shù)目.圖4到圖7分別為用IDEM方法估算得到的類太陽(yáng)主序星的整體行星生成率的分布以及F、G、K型恒星各自的行星生成率分布圖.對(duì)于本文選擇的行星半徑范圍0.5-20R⊕,軌道周期0.4-400 d的范圍內(nèi),每顆F、G、K型恒星周圍存在這類行星的數(shù)量分別為nIDEM_F=0.40±0.02、nIDEM_G=1.76±0.05和nIDEM_K=3.03±0.14.同時(shí)F、G、K型恒星周圍存在這類行星的整體生成率為nIDEM=1.41±0.03.

圖4 IDEM估算得到的F、G、K型恒星周圍整體生成率的分布Fig.4 Estimated distribution of the total planetary occurrence rates around F,G,K-type stars by IDEM

圖5 IDEM估算得到的F型恒星周圍生成率的分布Fig.5 Estimated distribution of planetary occurrence rates around F-type stars by IDEM

圖6 IDEM估算得到的G型恒星周圍生成率的分布Fig.6 Estimated distribution of planetary occurrence rates around G-type stars by IDEM

圖7 IDEM估算得到的K型恒星周圍生成率的分布Fig.7 Estimated distribution of planetary occurrence rates around K-type stars by IDEM

對(duì)于ML法的行星生成率(4)式,將該公式納入SBM框架.對(duì)于恒星樣本j,隨機(jī)生成100個(gè)行星粒子,其半徑、周期分別為Rpjk,Pjk,k取值范圍為1-100的自然數(shù),則該恒星樣本在區(qū)域內(nèi)的平均檢測(cè)效率為1/100S(Pjk,Rpjk),這里S(Pjk,Rpjk)是KeplerPORTs內(nèi)置函數(shù),變量為Pjk和Rpjk.對(duì)于所有的恒星樣本求和取平均便可得到區(qū)域內(nèi)的平均行星探測(cè)效率.

考慮行星生成率為扁平先驗(yàn),其后驗(yàn)分布可以描述為α0=1和β0=0的伽馬分布.每個(gè)區(qū)域內(nèi)伽馬分布的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差由(7)式和(8)式給出,分別作為估算值和相關(guān)的不確定度.圖8到圖11分別為用ML方法估算得到的類太陽(yáng)主序星的整體行星生成率的分布以及F、G、K型恒星各自的行星生成率分布圖.由于僅當(dāng)α0?Np時(shí),泊松分布的均值才可近似為我們所估算的生成率.在行星半徑小于1R⊕、周期大于40 d的范圍內(nèi),行星生成率的估算不確定性很大.我們考慮估算半徑范圍1-20R⊕,軌道周期小于400 d的系外行星的生成率.在F型恒星周圍存在這類行星的生成率nML_F=0.47±0.02,對(duì)應(yīng)的nIDEM_F=0.36±0.02; G型恒星周圍nML_G=1.23±0.04,對(duì)應(yīng)的nIDEMG=1.62±0.05;K型恒星周圍nML_K=2.73±0.13,對(duì)應(yīng)的nIDEM_K=2.61±0.12.同時(shí)F、G、K型恒星周圍存在這類行星的整體生成率為nML=0.90±0.06,對(duì)應(yīng)的nIDEM=1.16±0.03.

圖8 ML估算得到的F、G、K型恒星周圍整體的生成率分布Fig.8 Estimated distribution of the total planetary occurrence rates around F,G,K-type stars by ML

圖9 ML估算得到的F型恒星周圍生成率的分布Fig.9 Estimated distribution of planetary occurrence rates around F-type stars by ML

圖10 ML估算得到的G型恒星周圍生成率的分布Fig.10 Estimated distribution of planetary occurrence rates around G-type stars by ML

圖11 ML估算得到的K型恒星周圍生成率的分布Fig.11 Estimated distribution of planetary occurrence rates around K-type stars by ML

4 討論

本文通過對(duì)Kepler觀測(cè)數(shù)據(jù)中已確認(rèn)行星與DR25中的目標(biāo)恒星樣本進(jìn)行篩選分析,按照恒星的光譜型對(duì)樣本進(jìn)行分類.同時(shí)使用兩種不同的方法,分別估算了F型、G型、K型恒星周圍的系外行星生成率,兩種方法的估算結(jié)果在一定程度上相互匹配,且都可看出隨著恒星有效溫度的升高,其周圍的行星生成率呈下降趨勢(shì).對(duì)于半徑范圍1-20R⊕,軌道周期小于400 d的系外行星,K型恒星周圍的生成率遠(yuǎn)高于F型恒星周圍.

由于目前系外行星觀測(cè)技術(shù)的局限性,Kepler使用的凌星觀測(cè)技術(shù)更偏向探測(cè)到半徑更大、周期更短的系外行星,即對(duì)于不同周期半徑的系外行星,Kepler的探測(cè)效率是不同的.通過將行星的周期半徑參數(shù)空間劃分為多個(gè)網(wǎng)格空間(本文為5×15),并假設(shè)位于同一網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)部的行星其探測(cè)效率是相同的,在這一基礎(chǔ)上,我們通過先對(duì)單一區(qū)域內(nèi)求得相對(duì)可靠的區(qū)域生成率ncell,再求和獲得參數(shù)空間整體的生成率[10].

對(duì)于IDEM,通過假設(shè)已知的行星存在于樣本恒星周圍時(shí),計(jì)算凌星信號(hào)的信噪比來判斷,是否能夠發(fā)現(xiàn)該行星.當(dāng)信噪比超過設(shè)定的閾值時(shí)(本文為10)即計(jì)入有效恒星樣本.網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的行星樣本數(shù)和有效恒星樣本數(shù)的比值就是該片區(qū)域的行星生成率[10].我們估算出的對(duì)于1-20R⊕、周期小于400 d的整體行星生成率nIDEM=1.16±0.03,這一結(jié)果也符合之前的一些研究結(jié)論[28].

另一方面,在使用納入貝葉斯框架的最大似然法時(shí),生成率的整體計(jì)算公式依舊是行星樣本數(shù)除以有效恒星樣本數(shù).此時(shí)對(duì)于有效恒星樣本數(shù)并不依賴于所選取的行星樣本,而是通過模擬注入100次凌星信號(hào)[29],經(jīng)由KeplerPORTs程序求得對(duì)應(yīng)恒星平均探測(cè)效率[33].ML相比IDEM具有統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ),該模擬過程將行星的形成視為泊松過程,且不同區(qū)域相互獨(dú)立.對(duì)于有效恒星樣本的取值并不再依賴行星樣本的相關(guān)參數(shù),進(jìn)一步降低樣本選擇對(duì)估算的影響.本文估算出的對(duì)于1-20R⊕、周期小于400 d的整體行星生成率nML=0.90±0.02.Zhu等[28]給出的同樣周期半徑范圍的行星生成率np=1.23±0.06,本文估算結(jié)果相對(duì)偏小的原因在于對(duì)DR 25的恒星樣本進(jìn)行了更精細(xì)的篩選.在考慮了恒星樣本的Kepler光度以及表面重力加速度lgg的基礎(chǔ)上,有效溫度選擇范圍擴(kuò)大為3900-7600 K,使得樣本中F型恒星占比更多.因此F型恒星周圍較低的行星生成率拉低了整體生成率的估算值,同時(shí)K型恒星由于數(shù)量占比僅約9%,對(duì)整體生成率的貢獻(xiàn)不大.

在系外行星研究中,適宜生命生存的宜居行星是最關(guān)鍵的科學(xué)問題之一.目前唯一已知的宜居行星只有地球,因此我們更關(guān)注位于類太陽(yáng)恒星宜居帶內(nèi)的類地行星的生成率.近鄰宜居行星巡天計(jì)劃(Closeby Habitable Exoplanet Survey,CHES)所關(guān)注的便是這些靠近太陽(yáng)系的(距離太陽(yáng)系約10 pc)類太陽(yáng)型恒星的宜居帶內(nèi)的類地行星,其主要的科學(xué)目標(biāo)是通過天體測(cè)量法,在100顆近鄰的F、G、K恒星周圍尋找地球2.0或宜居帶內(nèi)的巖石行星[34].基于上述估算,得到對(duì)于軌道周期160-400 d、半徑范圍1-2R⊕的Kepler凌星系外行星,在F、G、K型恒星周圍的行星生成率分別為0.051±0.008、0.068±0.009和0.344±0.085.在有效溫度3900-7600 K的F、G、K型恒星周圍的宜居帶類地行星的整體生成率為0.064±0.007.Bryson等[35]得出Kepler樣本下G、K型周圍保守宜居帶內(nèi)的0.5-1.5R⊕的行星的生成率在0.37到0.60之間,本文估算的K型恒星周圍的宜居帶行星生成率為0.344,在其誤差范圍內(nèi).

行星生成率的估算結(jié)果與所選取的行星和恒星樣本關(guān)系甚大,本文僅選用了Kepler空間望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)到的凌星系外行星作為分析樣本.一方面,TESS作為Kepler任務(wù)的后繼者,自2018年發(fā)射升空以來已經(jīng)觀測(cè)到5000多顆凌星系外行星候選目標(biāo),同時(shí)計(jì)劃于2026年發(fā)射的PLATO (PLAnetary Transits and Oscillations)也將搜索更多恒星的凌星現(xiàn)象,并重點(diǎn)關(guān)注類太陽(yáng)恒星周圍存在的巖石行星.凌星系外行星和恒星樣本的擴(kuò)展會(huì)得到更準(zhǔn)確的凌星行星種群的分布規(guī)律.

另一方面,凌星法以及當(dāng)前同樣發(fā)現(xiàn)較多行星的視向速度法更容易探測(cè)到短周期大質(zhì)量的系外行星,而對(duì)于參數(shù)空間外圍的系外行星,如軌道周期大于1 yr的系外行星,Kepler空間望遠(yuǎn)鏡對(duì)其并不敏感.盡管可以通過統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估算,外圍區(qū)域估算的行星生成率誤差范圍也是相當(dāng)之大.未來隨著凌星法和視向速度法靈敏度的提高,可以更容易探測(cè)到半徑地球大小甚至更小的系外行星,同時(shí)在足夠長(zhǎng)的觀測(cè)時(shí)間覆蓋下,可拓展長(zhǎng)周期行星的樣本范圍.多種系外行星探測(cè)方法的結(jié)合(例如可探測(cè)地球大小系外行星的微引力透鏡法)也將可能更好地改善對(duì)行星生成率的估算結(jié)果.