高等數(shù)學(xué)在化工熱力學(xué)中的應(yīng)用

摘要：化工熱力學(xué)本身是一門理論性比較強(qiáng)的課程，課程中不僅涉及較多抽象概念，同樣涉及眾多復(fù)雜的公式以及它們對應(yīng)的繁瑣推導(dǎo)過程，對學(xué)生邏輯思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有較高要求。如果沒有強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)，就會直接影響該門課程的順利教學(xué)。立足化工熱力學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀，重點(diǎn)對高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用意義與對策進(jìn)行了論述，旨在可以夯實(shí)化工熱力學(xué)課程知識教學(xué)的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：化工熱力學(xué)；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)策略作為化學(xué)化工類專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，化工熱力學(xué)課程本身以物理化學(xué)為基礎(chǔ)，不僅包含熱力學(xué)方面的兩大定律，同樣需要借助高等數(shù)學(xué)課程知識開展建模與計(jì)算分析，保證化工生產(chǎn)活動中不同種類能量彼此可以進(jìn)行有效轉(zhuǎn)換，提高它們的利用率。然而，鑒于化工熱力學(xué)課程具有的上述特性，為了可以很好地融入化工生產(chǎn)實(shí)踐中，就必須要強(qiáng)化高等數(shù)學(xué)課程知識的滲透，抓住數(shù)學(xué)思想與工具來開展化工生產(chǎn)問題剖析。因此，如何才能在化工熱力學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化高等數(shù)學(xué)知識的融合與應(yīng)用值得深入討論。

1化工熱力學(xué)中高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

1.1解釋化工熱力學(xué)課程知識

化工熱力學(xué)本身的課程特性是具有非常強(qiáng)的理論性，課程中包含著許多抽象繁雜的概念，眾多復(fù)雜的公式以及它們的繁瑣推導(dǎo)過程等方面的內(nèi)容，對學(xué)生自身的邏輯和抽象思維等具有非常高的要求，容易使學(xué)生在理解的過程中遇到一些問題。實(shí)際上，這些課程知識本身同高等數(shù)學(xué)知識之間具有緊密聯(lián)系，如流體的PVT關(guān)系中所涉及的PR、SRK和RK等方程本身都同高等數(shù)學(xué)知識密切相關(guān)［1］。如果學(xué)生在高等數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中對方程部分知識形成了深刻認(rèn)知，那么就可以類比到這些流體的PVT關(guān)系方程當(dāng)中，保證學(xué)生可以深刻理解這些繁雜推導(dǎo)過程的根本原理所在。比如，可以在實(shí)際教學(xué)中導(dǎo)入高等數(shù)學(xué)中臨界點(diǎn)一階/二階導(dǎo)數(shù)是0所獲取的這些參數(shù)的值，并且針對性為學(xué)生補(bǔ)充不同狀態(tài)方程彼此之間的差異性以及各自的適用范圍等知識。從這個(gè)角度來講，如果學(xué)生可以學(xué)好高等數(shù)學(xué)課程知識，那么可以在學(xué)習(xí)化工熱力學(xué)方面的學(xué)科知識中更加深入透徹地明確它們各自的含義與意義，降低了該門課程知識學(xué)習(xí)的難度。因此，在化工熱力學(xué)教學(xué)中滲透高等數(shù)學(xué)課程知識可以為學(xué)生提供一個(gè)更為簡單理解繁雜課程知識的“臺階”，讓他們可以更容易接觸和掌握這些課程知識。

1.2提高化工熱力學(xué)教學(xué)質(zhì)量

隨著經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展需求越發(fā)迫切，加強(qiáng)化學(xué)化工類專業(yè)基礎(chǔ)學(xué)科研討，推進(jìn)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量不斷提升是擺在各所學(xué)校面前的一個(gè)首要任務(wù)。同理，化工熱力學(xué)本身是化工類專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，本身也應(yīng)該在全新形勢下不斷提升自身的教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生能夠深刻理解、牢固掌握與靈活應(yīng)用學(xué)科知識去解決自己在化工生產(chǎn)實(shí)踐活動中碰到的實(shí)際問題。而在化工熱力學(xué)課程教學(xué)中，涉及熱力學(xué)壓力系數(shù)（r）、等溫壓縮系數(shù)（β）、熱膨脹系數(shù)（α）等眾多系數(shù)，并且它們的公式都可以利用微分形式進(jìn)行表達(dá)或轉(zhuǎn)換。如果可以在該部分知識教學(xué)中有效融合高等數(shù)學(xué)中有關(guān)微分方面的知識點(diǎn)，那么可以輔助學(xué)生更好地理解與把握這部分化工熱力學(xué)課程知識，降低教師授課難度的同時(shí)，可以提高該部分課程知識教學(xué)的質(zhì)量［2］。

2化工熱力學(xué)中高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用對策

2.1應(yīng)用Matlab軟件，解決化工熱力學(xué)問題

化工熱力學(xué)本身是一個(gè)源自化學(xué)工程與技術(shù)領(lǐng)域的重要分支，是化學(xué)化工類專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，主要是基于高等數(shù)學(xué)等一些學(xué)科知識運(yùn)用，在化學(xué)工程技術(shù)領(lǐng)域中融入熱力學(xué)原理等知識。由于該門課程本身主要面對的是流體相平衡問題計(jì)算以及抽象的流體熱力學(xué)性質(zhì)方面的知識分析，具有廣闊的知識面和眾多計(jì)算公式，實(shí)際的問題分析中會涉及到較大的計(jì)算量，尤其是如果單純采取手算的方式，那么最終的計(jì)算效率低下，并且非常容易在問題分析中犯錯(cuò)。而Matlab軟件是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)非常重要的軟件，其中包含海量的數(shù)學(xué)計(jì)算方法，單單數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)數(shù)量就達(dá)到了數(shù)百個(gè)。用戶可以基于Matlab軟件便捷地調(diào)用有關(guān)的計(jì)算方法開展運(yùn)算［3］。因?yàn)榛崃W(xué)領(lǐng)域的相關(guān)問題計(jì)算中常常會涉及到眾多計(jì)算方法的應(yīng)用。在氣液相平衡問題或者流體熱力學(xué)領(lǐng)域各種問題分析或計(jì)算中，如果可以創(chuàng)新應(yīng)用Matlab軟件，那么能夠?qū)φ麄€(gè)計(jì)算過程進(jìn)行簡化，顯著提高問題分析及計(jì)算的整體效率。

例如，基于高等數(shù)學(xué)中Matlab軟件的應(yīng)用，可以對fzero函數(shù)、fsolve函數(shù)或fminsearch函數(shù)等不同的函數(shù)問題進(jìn)行快速求解，并且整個(gè)求解過程不需要進(jìn)行數(shù)值求解中算法程序的編寫操作，只需要對待求函數(shù)進(jìn)行定義即可，同時(shí)該軟件不會對初值設(shè)定較高要求，所以整個(gè)求解過程非常便捷、高效，能夠快速求解復(fù)雜工程計(jì)算問題。

例如，基于RK方程，對異丙醚蒸汽在10×105 Pa，473 K條件下的摩爾體積進(jìn)行計(jì)算？（注：已知其臨界溫度Tc=508.3 K，Pc=47.64×105 Pa。）

解析：本道化工熱力學(xué)題目本身屬于考察學(xué)生對純流體的PVT關(guān)系方面問題的計(jì)算能力，需要基于RK方程開展計(jì)算，是工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的一種情況?？紤]到本道題本身已經(jīng)給出了壓力、溫度兩個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)，需要對體積V進(jìn)行求解。這個(gè)求解過程實(shí)際上可以看成求解一個(gè)非線性方程的過程，一般采取手工計(jì)算的方式需要在RK方程中代入異丙醚的有關(guān)數(shù)據(jù)來進(jìn)行計(jì)算，具體如下：106=3 932.522/（V-7.786×10-5）-1.661 3/V（V+7.786.10）。

如果采用手算方式，那么會非常耗費(fèi)時(shí)間與精力。但是如果學(xué)生可以使用高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的Matlab軟件語言，那么可以快速進(jìn)行求解，具體的求解程序與步驟如下：

（1） 函數(shù)文件編寫（以fun.m作為文件保存名）Function y=fun（V）y=3 932.522/（V-7.786×10-5）-1.661 3/V（V+7.786.10）-1 000 000；

（2） 求解文件編寫（以main.m作為文件保存名）V0=［0.006］;%初值V=fsolve（fun’，V0）；%摩爾體積運(yùn)行main.m文件即可得到最終求解結(jié)果，即V=0.003 564 m3/mol。

由此可見，基于高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的Matlab軟件的有效應(yīng)用，可以快速求解一些繁雜的化工熱力學(xué)問題。此外，在應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行問題求解中也不需要進(jìn)行求解文件編寫，只需要在軟件默認(rèn)文件夾中保存函數(shù)文件，然后可以直接在主窗體界面上面的命令欄窗口當(dāng)中直接輸入待求解函數(shù)fzero（fun’， ［0.005］）即可相應(yīng)得到求解結(jié)果。如果采取手算方式進(jìn)行非線性方程求解，那么不僅需要獲取精確初值，還需要借助數(shù)次迭代計(jì)算方可獲取最終精確結(jié)果。而借助Matlab軟件中的專門數(shù)據(jù)程序，則可以快速得到最終準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，更容易使學(xué)生上手。

2.2重組數(shù)學(xué)內(nèi)容，輔助理解課程的知識點(diǎn)

考慮到化工熱力學(xué)中涉及較多抽象、繁雜的數(shù)學(xué)概念，如果在導(dǎo)入這部分知識過程中采取直接講授式方式，那么學(xué)生會感覺整個(gè)學(xué)習(xí)過程異?？菰?，更無法使他們持久保持主動學(xué)習(xí)的熱情，課程知識點(diǎn)的理解效果不佳。特別是針對基本熱力學(xué)關(guān)系式等抽象性比較強(qiáng)的化學(xué)知識點(diǎn)的呈現(xiàn)，單純依賴于學(xué)科知識解讀，學(xué)生會陷入思考的泥潭，整體思考與理解效果不佳。而在指導(dǎo)學(xué)生理解這部分課程知識期間，可以創(chuàng)新重組高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，那么有利于輔助他們理解、記憶以及應(yīng)用這部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容，降低了整體理解難度。

例如，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)化工熱力學(xué)公式方面的知識期間，由于涉及較多的公式及其他的推導(dǎo)過程方面知識，在學(xué)生理解這部分繁雜知識中容易遇到困難。但是如果可以在導(dǎo)入這部分知識之前提前準(zhǔn)備必要的高等數(shù)學(xué)知識，那么可以充分利用它們來輔助理解這部分化工熱力學(xué)知識。比如，針對偏摩爾性質(zhì)本身的定義公式及其對應(yīng)的物理意義而言，如果指導(dǎo)學(xué)生直接理解這一關(guān)鍵的化工熱力學(xué)概念，那么容易使學(xué)生感覺非常抽象，無法形成深刻認(rèn)知，整體理解效果不佳。此時(shí)如果在指導(dǎo)學(xué)生對偏摩爾性質(zhì)本身的定義進(jìn)行理解中，充分結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的偏導(dǎo)數(shù)概念，那么可以幫助學(xué)生更加容易理解與掌握這一關(guān)鍵的化工熱力學(xué)概念。同理，針對摩爾性質(zhì)M在不同狀態(tài)下的計(jì)算而言，一般會涉及化工熱力學(xué)性質(zhì)圖的運(yùn)用，它們是化工設(shè)計(jì)或計(jì)算過程中比較多用的一類關(guān)鍵參考資料，但是它們都能夠借助數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)，并且可以借助偏離函數(shù)等數(shù)學(xué)知識點(diǎn)來輔助學(xué)生對壓力、溫度等關(guān)鍵知識進(jìn)行學(xué)習(xí)，最終可以幫助學(xué)生深刻理解這些課程知識點(diǎn)的具體含義。

2.3融合數(shù)學(xué)知識，突破課程教學(xué)的重難點(diǎn)

在化工熱力學(xué)知識學(xué)習(xí)中涉及許多關(guān)鍵的知識點(diǎn)或者難題，它們都是學(xué)生必須要攻克的知識學(xué)習(xí)難點(diǎn)，如果采取單學(xué)科知識講授方式，那么整個(gè)教學(xué)會非?？菰铮焕诩ぐl(fā)學(xué)生主動思考與探索的興趣，更不利于幫助他們攻克這部分課程教學(xué)重難點(diǎn)。針對這種教學(xué)情況，可以創(chuàng)新融合高等數(shù)學(xué)方面的知識來突破化工熱力學(xué)課程教學(xué)方面的重難點(diǎn)［4］，具體如下：

（1） 基于高等數(shù)學(xué)對熱力學(xué)系數(shù)內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行分析。狀態(tài)方程是化工生產(chǎn)中比較多用的一種式子，主要用來對流體PTV之間關(guān)系進(jìn)行描述。在單向區(qū)之內(nèi)，純物質(zhì)PTV行為可以借助f（P，T，V）=0進(jìn)行標(biāo)識，主要反映平衡條件下，純均勻流體壓力、溫度和體積3者之間的關(guān)系。只需要知道3者之中任意兩個(gè)條件，即可對第3個(gè)變量進(jìn)行求解?，F(xiàn)階段除了借助狀態(tài)方程對流體PTV之間關(guān)系進(jìn)行描述外，還可以在熱力學(xué)函數(shù)計(jì)算等領(lǐng)域進(jìn)行廣泛應(yīng)用。其中化工熱力學(xué)系數(shù)主要對某種物質(zhì)在某條件下對應(yīng)的狀態(tài)進(jìn)行表達(dá)。通過有效利用高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識轉(zhuǎn)換這些式子，以此可以對有關(guān)關(guān)系進(jìn)行明確。比如，可以利用高等數(shù)學(xué)中的微分知識來對熱膨脹系數(shù)、等溫壓縮系數(shù)、熱壓力系數(shù)等一系列熱力學(xué)系數(shù)內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行剖析。以等溫壓縮系數(shù)為例，主要是指相同溫度條件下物體壓縮性大小情況的一種描述性系數(shù)。如果利用高等數(shù)學(xué)中的公式進(jìn)行描述，可以采用β=-1VVPT這一數(shù)學(xué)形式進(jìn)行表達(dá)，主要含義是指在溫度保持不變的情況下，物體體積在單位壓強(qiáng)下形成的壓縮量占總體的百分率。

（2） 基于高等數(shù)學(xué)，對化工生產(chǎn)狀態(tài)的變化進(jìn)行分析?；どa(chǎn)中一般會涉及氣體反應(yīng)，為了保證生產(chǎn)效率，一般需要借助給定條件來對氣體狀態(tài)進(jìn)行改變?；跀?shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式的有效應(yīng)用，能夠?qū)σ粋€(gè)化工生產(chǎn)中突變過程起始狀態(tài)之間的必然聯(lián)系進(jìn)行直觀分析。比如，針對一等熵膨脹路徑，理想氣體P1和V1在特定途徑轉(zhuǎn)化之下可以到達(dá)另一個(gè)狀態(tài)（P2，V2），已知r=CP/CV是常數(shù)。為了可以對兩種狀態(tài)之間的關(guān)系進(jìn)行求解，此時(shí)可以指導(dǎo)學(xué)生充分利用高等數(shù)學(xué)方面的知識，通過構(gòu)建氣體狀態(tài)方程，可以相應(yīng)得到PV=nRT和R=CP-CV，并且已經(jīng)確定CP是定壓熱容，這樣有dH=CP×dH，CV主要表示定容熱容，有dU=CV×dT，假定氣體摩爾質(zhì)量n為1。根據(jù)這些數(shù)學(xué)關(guān)系式以及已知和未知條件，可以相應(yīng)地對上述關(guān)系式逐步進(jìn)行推導(dǎo)和演算。

（3） 基于高等數(shù)學(xué)對化學(xué)工程中狀態(tài)方程進(jìn)行分析?；跀M合PVT方面的海量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得到維里方程這一解析式，主要是一種伴隨著周圍狀況改變而改變的方程，一般需要借助多項(xiàng)式進(jìn)行表達(dá)。通過運(yùn)用高等函數(shù)方面的表達(dá)式，可以相應(yīng)地表達(dá)為Z=PVRT=1+BV+CV2+…=1+Bρ+Cρ2+…。在式中，…主要表征第二、第三，…維里系數(shù)。針對維里系數(shù)而言，其本身包含有特定的物理意義，主要表征的是分子彼此之間的相互作用，如三分子彼此之間的相互作用。從理論上來講，給定物質(zhì)維里系數(shù)一般僅僅是溫度函數(shù)，判定中需要基于溫度和系數(shù)之間關(guān)系進(jìn)行確定?；蛘撸梢曰诤Ａ繉?shí)驗(yàn)開展測定，甚至能夠開展統(tǒng)計(jì)力學(xué)推導(dǎo)來對維里系數(shù)進(jìn)行確定。如果擁有非常準(zhǔn)確、全面的低壓PVT實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，借助下述公式可以對維里系數(shù)進(jìn)行求解：B=limρ→0Zρr，C=12limρ→02Zρ2r，D=16limρ→03Zρ3r。通常而言，B與C一般可以進(jìn)行精準(zhǔn)獲取，故維里方程通?？梢源_定為第二或第三維里系數(shù)對應(yīng)的維里方程。在非理想氣體分子理論發(fā)展期間，分子間作用力和維里系數(shù)之間具有緊密聯(lián)系。經(jīng)過推導(dǎo)之后，可以對維里系數(shù)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)方程進(jìn)行確定，即：B=-2πN∫∞0exp-εpkT-1r2dr?；谠摴降倪\(yùn)用，可以對不同情況下N個(gè)分子集群對應(yīng)的第二維里系數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)。比如，針對硬球相互作用位能，當(dāng)r＞σ，εp=0時(shí)，B=-2πN∫∞0［1-1］r2dr=0，經(jīng)由求解可以發(fā)現(xiàn)這時(shí)候硬球彼此之間處于理想狀態(tài)，不存在相互作用?；崃W(xué)中涉及眾多種類的狀態(tài)方程，但是流體能量交換與傳遞是不變的，可以應(yīng)用狀態(tài)方程來推導(dǎo)能量變化中的熵與焓，進(jìn)而可以確立熱力學(xué)關(guān)鍵數(shù)值。

3結(jié)語

高等數(shù)學(xué)融入化工熱力學(xué)教學(xué)是學(xué)生解釋化工熱力學(xué)課程知識的需要，也是提高化工熱力學(xué)教學(xué)質(zhì)量的要求。在化工熱力學(xué)教學(xué)中應(yīng)用高等數(shù)學(xué)，可以從應(yīng)用Matlab軟件解決化工熱力學(xué)問題入手，注重重組數(shù)學(xué)內(nèi)容，輔助學(xué)生理解課程的知識點(diǎn)，同時(shí)還要善于融合數(shù)學(xué)知識來突破課程教學(xué)的重難點(diǎn)，確保不斷提升化工熱力學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

［1］楊樺，郭玉鵬.物理化學(xué)中的熱力學(xué)方法、拓展及應(yīng)用［J］.化學(xué)教育（中英文），2023，44（8）：118119.

［2］張譽(yù)騰，楊春華，王帝淞，等.基于工程教育認(rèn)證的《化工熱力學(xué)》課程教學(xué)大綱設(shè)計(jì)［J］.山東化工，2021，50（15）：182183.

［3］朱娜，王潔.《化工熱力學(xué)》教學(xué)方法的探索和思考［J］.廣州化工，2020，48（5）：185186.

［4］向麗，宣愛國，閆志國，等.基于應(yīng)用技術(shù)型化工人才培養(yǎng)的“化工熱力學(xué)”教學(xué)改革［J］.中國成人教育，2017，24（1）：6061.

［5］姜占坤，彭翠娜，高道偉，等.OBE理念在化工熱力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.山東化工，2021，50（2）：209210.

作者簡介：李丹丹，女，河南新鄉(xiāng)人，講師，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。