加速環(huán)境下基于終身保修的最優(yōu)預(yù)燒時(shí)間

王洪慶，王亞男，宋云濤

(中國(guó)消防救援學(xué)院，北京 102202)

眾所周知，在當(dāng)今競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的市場(chǎng)中，產(chǎn)品的保修政策對(duì)于產(chǎn)品的銷售起著至關(guān)重要的作用。為了保護(hù)消費(fèi)者的權(quán)益，以及引起他們購(gòu)買產(chǎn)品的興趣，耐用的產(chǎn)品在銷售的時(shí)候都會(huì)采用一定的保修政策。從消費(fèi)者的角度來(lái)講，當(dāng)然希望產(chǎn)品有較長(zhǎng)的保修期。但是對(duì)于生產(chǎn)商來(lái)說(shuō)，更長(zhǎng)的保修期通常會(huì)伴隨著更大的保修費(fèi)用的支出，這樣保修的費(fèi)用在產(chǎn)品的完整生產(chǎn)、銷售過(guò)程成本中占有相當(dāng)大的比重，所以如果產(chǎn)品在整個(gè)生命周期的早期具有較高的產(chǎn)品可靠度將會(huì)顯著的減少生產(chǎn)商的保修支出。

隨著產(chǎn)品市場(chǎng)的不斷發(fā)展，生產(chǎn)商已經(jīng)開(kāi)始提供長(zhǎng)期的保修政策，并且保修期越來(lái)越長(zhǎng)，具體的例子可以參考文獻(xiàn)[1-3]。事實(shí)上，在現(xiàn)在的商品市場(chǎng)中，許多生產(chǎn)商已經(jīng)開(kāi)始提供終身保修政策。例如，安裝在汽車電路系統(tǒng)上的繼電器的保修期，抽油煙機(jī)的過(guò)濾網(wǎng)的保修期等都是終身保修的，此處的“終身”指的就是汽車和抽油煙機(jī)的壽命，容易看出這個(gè)保修期是一個(gè)隨機(jī)變量。

G.Chattopadhyay和A.Rahman[1]定義了終身保修，生產(chǎn)商承諾如果售出的產(chǎn)品在使用期間由于設(shè)計(jì)缺陷或者制造缺陷等原因產(chǎn)生故障，那么生產(chǎn)商將提供免費(fèi)或者分?jǐn)傎M(fèi)用的維修或者更換服務(wù)。

1 保修策略

在本文中，我們研究與G.Chattopadhyay和A.Rahman[1]中不同的兩種典型終身保修策略。

保修策略①(終身免費(fèi)保修)在此策略下，對(duì)于所有因?yàn)樯a(chǎn)控制或者設(shè)計(jì)等原因造成的產(chǎn)品缺陷以及故障，生產(chǎn)商要承擔(dān)完全責(zé)任。如果可以修理就進(jìn)行修理，不能修理直接更換。

保修策略②(單次保修費(fèi)用有上限的終身保修)在此策略下，如果每次保修的花費(fèi)不超過(guò)約定的費(fèi)用上限，那么費(fèi)用由生產(chǎn)商全部承擔(dān)；如果超過(guò)約定的費(fèi)用上限，則由生產(chǎn)商承擔(dān)費(fèi)用上限，超出的部分由消費(fèi)者承擔(dān)。

以上兩種策略中的保修期與通常的保修期不同，終身保修的保修期是一個(gè)不確定的隨機(jī)變量。這兩種保修策略是非常有代表性的，在工業(yè)設(shè)備以及各種家用電器的生產(chǎn)銷售中有著廣泛的應(yīng)用。

由于產(chǎn)品越早失效將會(huì)導(dǎo)致越高的保修費(fèi)用，所以經(jīng)常采用預(yù)燒的辦法來(lái)避免產(chǎn)品在實(shí)際應(yīng)用階段初期失效。也就是說(shuō)，產(chǎn)品在生產(chǎn)出來(lái)之后，銷售之前在與現(xiàn)實(shí)工作近似相同的條件下模擬工作一段時(shí)間，在這段時(shí)間內(nèi)失效的產(chǎn)品將不會(huì)被出售。預(yù)燒測(cè)試起源1940年代晶體管被發(fā)明出來(lái)，關(guān)于預(yù)燒知識(shí)的介紹可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-8]，Cha[8]和Finkelstein[9]分別給出了新的預(yù)燒策略。由于預(yù)燒時(shí)間過(guò)長(zhǎng)會(huì)對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)生損害，過(guò)短起不到應(yīng)有的作用，因此需要確定預(yù)燒測(cè)試所應(yīng)持續(xù)的時(shí)間，即最佳預(yù)燒時(shí)間。Nguyen和Murthy[10]在20世紀(jì)80年代首先提出運(yùn)用模型來(lái)確定帶有保修期的產(chǎn)品的最佳預(yù)燒時(shí)間，Mi[7]和Chou、Tang[11]在此模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。

現(xiàn)在，由于科技進(jìn)步和生產(chǎn)水平的提高，許多產(chǎn)品都具有較高的可靠度，其潛在的缺陷需要較長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)進(jìn)行探測(cè)。為了節(jié)省預(yù)燒時(shí)間，Block和Savits[4]提出了在加速環(huán)境下進(jìn)行預(yù)燒的方法。Cha[12]在加速環(huán)境下提出了一個(gè)新的失效率模型。

Block、Savits和Singh[13]指出，大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明許多產(chǎn)品，特別是電子產(chǎn)品的失效率函數(shù)具有浴盆形狀。即失效率函數(shù)最初遞減，隨后的一段時(shí)間里保持不變，后期由于老化、磨損等原因而遞增。

定義1[13]一個(gè)失效率函數(shù)r(t)稱為浴盆形失效率函數(shù)，如果存在著0≤t1≤t2≤∞， 使得

此處t1，t2稱為r(t)的變點(diǎn)。區(qū)間[0,t1)稱為早期失效期；區(qū)間[t1,t2]稱為正常工作期，在此區(qū)間內(nèi)r(t)達(dá)到最小值而且保持不變，所以也稱為平穩(wěn)失效期；區(qū)間(t2,∞]稱為耗損失效期。

浴盆形失效率函數(shù)的圖像參看圖1。

圖1 浴盆型失效率函數(shù)

本文第2節(jié)介紹了所要使用的一些記號(hào)以及相關(guān)的假設(shè),第3節(jié)描述了加速環(huán)境下的失效率模型,第4節(jié)通過(guò)4個(gè)定理給出了本文的重要結(jié)果,最后在第5節(jié)進(jìn)行了簡(jiǎn)要的總結(jié)。

2 記號(hào)及假設(shè)

2.1 記號(hào)

X，XA—非負(fù)、連續(xù)的隨機(jī)變量，分別用來(lái)表示產(chǎn)品在正常工作環(huán)境、加速工作環(huán)境下的壽命；

F(t)，F(xiàn)A(t)—X，XA的累積分布函數(shù)；

f(t)—X的密度函數(shù)；

r(t)，rA(t)—X，XA的失效率函數(shù)；

T—保修策略1及保修策略2中的“壽命”；

b—預(yù)燒時(shí)間；

Di—可修產(chǎn)品在保修期內(nèi)發(fā)生第i次失效時(shí)的隨機(jī)維修費(fèi)用；

H(t)—Di的累積分布函數(shù)；

c0—每個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本(沒(méi)有經(jīng)過(guò)預(yù)燒測(cè)試)；

c1—每個(gè)產(chǎn)品在加速環(huán)境下預(yù)燒單位時(shí)間的費(fèi)用；

c2—不可修產(chǎn)品每次失效所需的替換費(fèi)用；

c3—可修產(chǎn)品在預(yù)燒期間每次失效所需的維修費(fèi)用；

c4—保修期間產(chǎn)品每次失效的維修或者替換所需的附加費(fèi)用；

cI—保修策略2中約定的費(fèi)用上限；

h1(b)—成功預(yù)燒一個(gè)不可修產(chǎn)品的隨機(jī)費(fèi)用；

v1(b)=Eh1(b)；

W1(b)—不可修產(chǎn)品在保修期間的隨機(jī)費(fèi)用；

C1(b)—預(yù)燒及保修一個(gè)不可修產(chǎn)品的總費(fèi)用；

N1(T)—不可修產(chǎn)品在保修期間的失效次數(shù)；

h2(b),v2(b),W2(b),C2(b)，N2(T)分別是可修產(chǎn)品的相關(guān)記號(hào)；

2.2 假設(shè)

本文有如下合理假設(shè)

產(chǎn)品具有浴盆型失效率函數(shù)；

T與X獨(dú)立；

c1>c5；

Di(i=1,2,…，)具有相同的分布函數(shù)。

本文中的維修指的是最小維修，當(dāng)維修結(jié)束時(shí)，經(jīng)過(guò)最小維修的產(chǎn)品的失效率與產(chǎn)品失效前的瞬時(shí)失效率相同。

3 加速環(huán)境下的失效率模型

在實(shí)際中，加速壽命測(cè)試(ALT)經(jīng)常用來(lái)在可接受的時(shí)間內(nèi)獲得可靠度較高的產(chǎn)品的壽命與時(shí)間之間的關(guān)系。在此測(cè)試過(guò)程中，被測(cè)試的產(chǎn)品的使用頻度要比實(shí)際工作環(huán)境更高，或者進(jìn)行測(cè)試的環(huán)境比實(shí)際工作環(huán)境更惡劣。進(jìn)而可以用在這種更強(qiáng)的工作環(huán)境下得到的產(chǎn)品的壽命信息預(yù)測(cè)產(chǎn)品在正常的工作環(huán)境下的壽命信息。Nelson[14]提供了加速測(cè)試的廣泛的背景材料、實(shí)踐方法、基本理論以及若干例子。Meeker和Escobar[15]對(duì)有關(guān)ALT的研究狀況進(jìn)行了綜述。

加速失效時(shí)間(AFT)回歸模型是使用最廣泛的參數(shù)化失效時(shí)間回歸模型，這種模型可表達(dá)為

FA(t)=F(ρ·t)，?t≥0

(1)

其中ρ是依賴于加速環(huán)境的常數(shù)。Meeker和Escobar[15]給出了一個(gè)更加一般的模型

FA(t)=F(ρ(t))，?t≥0

(2)

此處ρ(t)依賴于加速環(huán)境。由于加速環(huán)境與產(chǎn)品的正常工作環(huán)境相比，工作壓力更大。因此假設(shè)在模型(1)中ρ≥1，在模型(2)里對(duì)所有的t，ρ(t)≥t，ρ(0)=0。 進(jìn)一步假設(shè)ρ(t)是嚴(yán)格遞增，連續(xù)且可微的。對(duì)于模型(2)，產(chǎn)品在加速環(huán)境下的失效率為

對(duì)于一個(gè)在加速環(huán)境下預(yù)燒了一個(gè)固定的時(shí)間b的新產(chǎn)品，如果把它的壽命轉(zhuǎn)化為在一般的預(yù)燒環(huán)境下的壽命應(yīng)該不小于b。因此，Cha[12]假設(shè)產(chǎn)品在加速環(huán)境下預(yù)燒了時(shí)間b之后，在正常的工作環(huán)境下繼續(xù)工作時(shí)壽命的生存函數(shù)為

(3)

這里a(b)≥b，?b≥0，a(0)=0，且a(b)是嚴(yán)格遞增、可微的函數(shù)。(3)式說(shuō)明一個(gè)產(chǎn)品在加速環(huán)境下工作了時(shí)間b就相當(dāng)于在正常的工作環(huán)境下工作了時(shí)間a(b)。由(3)容易得到加速環(huán)境下預(yù)燒了時(shí)間b之后，在正常的工作環(huán)境下繼續(xù)工作時(shí)產(chǎn)品的失效率為

r(a(b)+u)，?u≥0

聯(lián)合加速預(yù)燒階段和實(shí)際工作階段，產(chǎn)品在加速預(yù)燒時(shí)間為b的情形下的失效率函數(shù)rb(t)可以表達(dá)為

(4)

注意到，在一般的預(yù)燒環(huán)境下(即ρ(t)=t，?t≥0；a(b)=b，?b≥0)。有rb(t)=r(t)對(duì)所有的t成立，因此此處考慮的加速預(yù)燒模型是一般預(yù)燒模型的推廣。

4 主要結(jié)論

本節(jié)，我們首先推導(dǎo)出在加速環(huán)境下預(yù)燒以及終身免費(fèi)保修和單次保修費(fèi)用有上限的終身保修策略下的費(fèi)用模型。總的費(fèi)用包括預(yù)燒及保修一個(gè)產(chǎn)品的總費(fèi)用。假設(shè)預(yù)燒時(shí)間為b，η-1是直到每次預(yù)燒成功一個(gè)產(chǎn)品之前，失效的產(chǎn)品個(gè)(次)數(shù),{XAi,i≥1}是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，分布為FA。

4.1 不可修產(chǎn)品

成功預(yù)燒一個(gè)不可修產(chǎn)品的隨機(jī)費(fèi)用h1(b)為

(5)

h1(b)的均值

(6)

這樣就得到了預(yù)燒一個(gè)不可修產(chǎn)品的費(fèi)用，接下來(lái)在前述兩種保修策略下分別得到總費(fèi)用并得到最佳預(yù)燒時(shí)間的上界。

4.1.1 終身免費(fèi)保修

首先來(lái)討論在終身免費(fèi)保修策略下的總費(fèi)用的均值最小的最佳預(yù)燒時(shí)間。不可修產(chǎn)品在終身免費(fèi)保修策略下的保修費(fèi)用為

W1(b)=N1(T)·[v1(b)+c4]

則總費(fèi)用C1(b)=h1(b)+W1(b)=h1(b)+N1(T)·[v1(b)+c4]

這樣可以推導(dǎo)出平均總費(fèi)用為

E[C1(b)]=v1(b)+E[N1(T)]·[v1(b)+c4]

(7)

(8)

的最佳預(yù)燒時(shí)間。

定理1不可修產(chǎn)品在終身免費(fèi)保修策略下的平均費(fèi)用為

(9)

證明通過(guò)以上討論，(9)式顯然成立。如果預(yù)燒的時(shí)間為a-1(t1)， 則平均預(yù)燒費(fèi)用為

分別用rb(t)和ra-1(t1)(t)來(lái)表示Fb(t)和Fa-1(t1)(t)的失效率函數(shù)，易見(jiàn)rb(t)=r(a(b)+t)，ra-1(t1)(t)=r(t1+t)。因此，可以得到

以及

因此

同時(shí)v1(b)當(dāng)b≥0時(shí)是遞增函數(shù)，所以對(duì)于所有的b>a-1(t1)

E[C1(b)]≥E[C1(a-1(t1))]

4.1.2 單次保修費(fèi)用有上限的的終身保修

接下來(lái)研究在單次保修費(fèi)用有上限的的終身保修策略下的最佳預(yù)燒時(shí)間。根據(jù)保修策略以及第2節(jié)中的相關(guān)假設(shè)，可以得到以下結(jié)論。

定理2不可修產(chǎn)品在單次保修費(fèi)用有上限的的終身保修策略下的平均費(fèi)用為

(10)

證明令I(lǐng)(b)=min[v1(b)+c4,c1]，則I(b)即為產(chǎn)品在保修期內(nèi)每次失效所產(chǎn)生的保修費(fèi)用，則不可修產(chǎn)品在單次保修費(fèi)用有上限的的終身保修策略下的保修費(fèi)用為

W1(b)=I(b)N1(T)

4.2 可修產(chǎn)品

成功預(yù)燒一個(gè)可修產(chǎn)品的隨機(jī)費(fèi)用為

h2(b)=c0+c1b+c3(η-1)

(11)

(12)

本小節(jié)，同樣在兩種保修策略下分別得到總費(fèi)用并得到最佳預(yù)燒時(shí)間的上界。

4.2.1 終身免費(fèi)保修

在保修期間產(chǎn)品第i次失效產(chǎn)生的保修費(fèi)用包括兩部分，一部分是固定的附加費(fèi)用c4，另一部分是隨機(jī)的維修費(fèi)用Di，分布函數(shù)為H(t)，i=1,2,…。則

W2(b)=(c4+ED1)N2(T)。

定理3可修產(chǎn)品在終身免費(fèi)保修策略下的平均費(fèi)用為

(13)

證明產(chǎn)品在實(shí)際工作階段的失效率為rb(t)=r(a(b)+t)，則保修期間的平均保修費(fèi)用為

E[W2(b)]=(c4+ED1)E[N2(T)]

這樣就得到了(13)式。

由ρ(t)≥t并且ρ(t)是嚴(yán)格遞增的可知，v2(b)關(guān)于b是遞增的， 又因?yàn)閞(t)是浴盆型的并且a(b)是嚴(yán)格遞增的， 所以當(dāng)b>a-1(t1)時(shí)，

4.2.2 單次保修費(fèi)用有上限的的終身保修

定理4可修產(chǎn)品在終身免費(fèi)保修策略下的平均費(fèi)用為

(14)

E[W2(b)]=E[N2(T)]·E[min(c4+Di,cI)]

這樣就證明了(14)式。

注意到v2(b)當(dāng)b>0時(shí)嚴(yán)格遞增， 并且E[W2(b)]在區(qū)間(a-1(t1),+∞)內(nèi)是遞增的， 所以最佳預(yù)燒時(shí)間b*≤a-1(t1)。

5 結(jié) 論

許多產(chǎn)品在早期具有較高的失效率，因此為了避免產(chǎn)品在實(shí)際應(yīng)用階段初期失效，我們常采取預(yù)燒測(cè)試的辦法提高產(chǎn)品質(zhì)量，同時(shí)為了減少預(yù)燒的花費(fèi)，預(yù)燒過(guò)程通常在加速環(huán)境下進(jìn)行。終身保修是一個(gè)非常重要的保修策略，在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用會(huì)越來(lái)越廣泛。本文選擇了兩種典型的終身保修策略，結(jié)合加速預(yù)燒測(cè)試分別對(duì)可修產(chǎn)品和不可修產(chǎn)品的平均費(fèi)用進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)最佳預(yù)燒時(shí)間總是不超過(guò)a-1(t1)。

對(duì)于結(jié)合預(yù)燒測(cè)試以及終身保修策略研究最佳預(yù)燒時(shí)間還有很多值得思考的問(wèn)題，比如把產(chǎn)品的失效進(jìn)一步分類為最小失效和災(zāi)難(毀滅)性失效以及其他的更加合理的終身保修策略等。