面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計

馬祥濤，王法垚，朱英杰，郝鵬，*，王博，劉觀日

1．大連理工大學 工程力學系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024

2．北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

加筋筒殼由于具有較高的比剛度和比強度，被廣泛應(yīng)用于運載火箭等航天裝備的主承力結(jié)構(gòu)當中［1］。其在發(fā)射過程中承受過載導致的巨大軸壓載荷，主要破壞模式為屈曲失穩(wěn)。因此，軸壓載荷下的極限承載能力是航天筒殼結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中的關(guān)鍵考核指標［2］。然而，筒殼結(jié)構(gòu)的屈曲載荷表現(xiàn)為強缺陷敏感性，即使微幅的幾何缺陷也會引起其極限承載的大幅折減，而缺陷又是加工、運輸、裝配等過程無法避免的。因此在航天薄壁筒殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計過程中必須考慮缺陷對其極限承載的影響。

在傳統(tǒng)的筒殼結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中，是將完美結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷乘以一個較為保守的固定折減因子（Knock Down Factor， KDF）作為設(shè)計載荷。即其本質(zhì)仍是以完美結(jié)構(gòu)承載能力作為設(shè)計載荷，忽略了筒殼結(jié)構(gòu)設(shè)計的改變對缺陷敏感性的影響，用較低折減因子增加安全裕度來保障結(jié)構(gòu)的安全可靠，這無疑會導致結(jié)構(gòu)超重。因此，為了實現(xiàn)航天薄壁筒殼結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計，各國航天中心和學者們紛紛開展了筒殼缺陷敏感性和折減因子預(yù)測相關(guān)的研究工作，其通過高精度預(yù)測筒殼結(jié)構(gòu)的折減因子，減少不必要的安全裕度實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計。例如，美國NASA工程安全中心于2007年立項研究面向運載火箭中金屬及復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的折減因子（Shell Buckling Knockdown Factor，SBKF）設(shè)計規(guī)范［3］，并提出了筒殼結(jié)構(gòu)的實測幾何缺陷法［4］；歐盟于2012年立項研究面向航天復(fù)合材料薄殼結(jié)構(gòu)的缺陷敏感性方法（DESICOS）［5］，提出了單點擾動載荷法（Single Perturbation Load Ap?proach， SPLA）［6-7］；中 國 也 于2013年 立 項 研 究計及缺陷敏感性的網(wǎng)格加筋筒殼結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計理論與方法［8］，王博等［9-10］針對加筋筒殼結(jié)構(gòu)開展了基于非線性顯式后屈曲分析的高精度數(shù)值模擬、缺陷敏感性分析、高精度折減因子預(yù)測等研究工作，提出了多點最不利擾動載荷法（Worst Multiple Perturbation Loads Approach，WMPLA），并基于筒殼軸壓屈曲實驗進行了方法驗證［11］。上述筒殼折減因子方法已經(jīng)得到各國航天總體部門的認可，并已經(jīng)應(yīng)用到實際型號當 中。此 外，Zhang等［12］還 提 出 了 一 種 基 于SPLA的概率隨機擾動載荷法，用來預(yù)測筒殼的折減因子下限。Kim等［13］給出了一條基于SPLA的筒殼折減因子預(yù)測公式。還有很多學者開展了筒殼軸壓屈曲實驗，以為薄壁筒殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供幫助和指導。例如，Li等［14］開展了折疊點陣夾層筒殼結(jié)構(gòu)的軸壓屈曲實驗。Jiao等［15］通過實驗研究了非均勻軸壓筒殼折減因子和載荷分布的關(guān)系和規(guī)律。

盡管通過折減因子的高精度預(yù)測，可以實現(xiàn)航天筒殼結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計，但其只能被動地挖掘設(shè)計空間，設(shè)計潛力不足。特別是在中國新一代大直徑運載火箭對運載能力跨越式提高的要求下，箭體結(jié)構(gòu)的直徑和質(zhì)量將大幅提高，結(jié)構(gòu)輕量化需求導致航天復(fù)合薄壁筒殼等效厚度相對變薄，其缺陷敏感性問題將愈發(fā)突出，航天筒殼結(jié)構(gòu)地輕量化設(shè)計變得更加困難。

因此，為了提高航天筒殼結(jié)構(gòu)的承載效率，除了通過提高折減因子的預(yù)測精度，被動地挖掘減重設(shè)計空間，還需要進一步主動地挖掘設(shè)計空間。例如，Zhou等［16］基于拓撲優(yōu)化方法開展了薄壁筒殼創(chuàng)新網(wǎng)格構(gòu)型設(shè)計的研究，通過提出新穎的加筋構(gòu)型，提高筒殼的屈曲載荷和抗缺陷能力。但為了進一步提高航天筒殼結(jié)構(gòu)地輕量化設(shè)計水平，還需要開展面向缺陷容忍的筒殼結(jié)構(gòu)設(shè)計，在設(shè)計過程中充分考慮結(jié)構(gòu)設(shè)計與臨界失穩(wěn)載荷和結(jié)構(gòu)缺陷敏感性的耦合關(guān)系，通過同步提升結(jié)構(gòu)的屈曲載荷和抗缺陷能力，在保證航天結(jié)構(gòu)安全可靠的前提下，實現(xiàn)筒殼結(jié)構(gòu)的精細化和輕量化設(shè)計。其中郝鵬等［17-18］已經(jīng)開展了面向缺陷容忍的加筋筒殼和加筋錐殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計研究，并提出了一種能夠顯著提升筒殼結(jié)構(gòu)抗缺陷能力的多級加筋增強構(gòu)型［19］，可在給定的極限軸壓載荷約束下，實現(xiàn)筒殼結(jié)構(gòu)的大幅減重。但對于含加筋等豐富結(jié)構(gòu)細節(jié)的復(fù)雜薄壁筒殼結(jié)構(gòu)來說，考慮缺陷敏感性的單次承載分析極其耗時，其優(yōu)化所需的計算成本更是難以接受，因此亟需開展面向缺陷容忍的加筋筒殼結(jié)構(gòu)快速優(yōu)化設(shè)計方法研究。

針對上述問題，基于不完全折減剛度法（in?complete Reduced Stiffness Method， iRSM），提出了一種面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計框架，以解決大直徑加筋筒殼優(yōu)化過程由于非線性顯式后屈曲分析耗時導致計算成本高的問題。首先介紹了含缺陷非完善筒殼結(jié)構(gòu)的快速承載分析方法，隨后介紹了面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計框架，并以一個直徑1.6 m的正置正交網(wǎng)格加筋筒殼結(jié)構(gòu)為例，對所提出的優(yōu)化框架進行詳細說明。

1 含缺陷非完善筒殼結(jié)構(gòu)的極限承載分析

1.1 面向非完善筒殼的非線性顯式后屈曲分析

非線性顯式后屈曲分析可以準確地模擬網(wǎng)格加筋、蒙皮桁條等航天薄壁筒殼結(jié)構(gòu)的后屈曲行為，并可穩(wěn)定地計算其極限承載能力，已被應(yīng)用于網(wǎng)格加筋等航天薄壁筒殼結(jié)構(gòu)的后屈曲分析和優(yōu)化當中［18，20-21］。其可獲得每一時刻的結(jié)構(gòu)位移和當前的結(jié)構(gòu)構(gòu)型狀態(tài)，并且不存在收斂性問題。

而對于含缺陷非完善的筒殼結(jié)構(gòu)，可通過對模型初始構(gòu)型的修正，將缺陷引入到數(shù)值模型后，再開展非線性顯式后屈曲分析。對于有限元模型，可通過修調(diào)有限元模型節(jié)點坐標的方式，實現(xiàn)上述目的。其中，考慮初始幾何缺陷的非完善加筋筒殼結(jié)構(gòu)有限元模型初始構(gòu)型可表示如下形式：

式中：X為含缺陷非完善筒殼結(jié)構(gòu)有限元模型的初始構(gòu)型狀態(tài)；Xp為完善筒殼結(jié)構(gòu)有限元模型的初始構(gòu)型狀態(tài)；XI為缺陷引起的有限元節(jié)點坐標偏移；δ為缺陷的最大幅值；α為無量綱缺陷幅值；hr為筋條高度；ts為蒙皮厚度；N為歸一化后的缺陷基矢量，表示幾何缺陷的形式，可以為模態(tài)缺陷、正弦波、凹坑缺陷等形式。

盡管非線性顯式后屈曲分析可以較為準確地模擬加筋筒殼結(jié)構(gòu)從初始狀態(tài)到后屈曲直至破壞的全過程，并獲得其極限承載能力。但由于筋條等結(jié)構(gòu)細節(jié)特征會使得時間迭代步長很小，致使加筋筒殼結(jié)構(gòu)的極限承載分析非常耗時，最終導致面向加筋筒殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計需要極高的計算成本。因此，亟須開展面向含缺陷非完善筒殼結(jié)構(gòu)的承載快速分析方法研究，解決加筋筒殼等航天工程薄殼結(jié)構(gòu)分析及優(yōu)化效率低的瓶頸問題。

1.2 非完善筒殼的承載快速分析

為了實現(xiàn)含缺陷非完善筒殼結(jié)構(gòu)的承載快速分析，筆者［22］基于折減剛度法（Reduced Stiffness Method， RSM），提出了一種用于替代非線性顯式后屈曲分析方法的非完善筒殼承載快速分析方法——不完全折減剛度法（incomplete Re?duced Stiffness Method， iRSM），其通過建立筒殼缺陷和膜剛度的折減關(guān)系函數(shù)，可在線性屈曲的分析框架下實現(xiàn)含缺陷非完善筒殼的承載力快速計算。經(jīng)算例驗證，該方法可在滿足計算精度要求的同時，實現(xiàn)計算成本的大幅降低。下面對折減剛度法和不完全折減剛度法分別做簡要介紹。

折減剛度法是Croll［23］提出的一種用于快速估計筒殼等薄壁結(jié)構(gòu)折減因子下限的方法。在折減剛度法中，薄殼結(jié)構(gòu)的剛度被分為膜剛度和彎曲剛度2部分，其假設(shè)薄殼的膜剛度會由于初始缺陷的存在而折減甚至消失。具體而言，如果筒殼存在初始缺陷，在殼體初始后屈曲狀態(tài)，會因缺陷致使的多種模態(tài)相互競爭作用導致膜剛度成分的腐蝕甚至消失，從而引發(fā)承載力的大幅折減?；谏鲜黾僭O(shè)的折減剛度法可在線性屈曲的分析框架下，為筒殼折減因子下限的估計提供一個快速簡單的計算工具，其相關(guān)公式如下所示：

其中，式（4）為完美模型的全剛度線性屈曲分析控制方程。式中：K為完美模型的剛度矩陣；KG為幾何剛度矩陣；λ為完美模型的屈曲載荷；Φ為屈曲模態(tài)。式（6）為折減剛度模型的線性屈曲方程。式中：Km為結(jié)構(gòu)的膜剛度；Kb為彎曲剛度；λ′為折減剛度模型的線性屈曲載荷；Φ′為對應(yīng)的屈曲模態(tài)；β為膜剛度成分的衰減因子（β≥1）；η為所預(yù)測的折減因子。當β趨近于無窮時，筒殼的膜剛度成分即被完全消除，并可獲得筒殼結(jié)構(gòu)的折減因子下限。

折減剛度法能穩(wěn)定地預(yù)測筒殼結(jié)構(gòu)的折減因子下限是因為其對筒殼模型全域的膜剛度做了相同程度甚至完全的折減。但實際結(jié)構(gòu)的初始缺陷具有隨機性和不確定性，不同區(qū)域的缺陷表現(xiàn)各不相同。以幾何缺陷為例，不同區(qū)域的幾何缺陷幅值是完全不同和隨機的，有的區(qū)域甚至趨近于完美模型，沒有缺陷。根據(jù)假設(shè)，膜剛度的折減是由于初始缺陷誘發(fā)的。所以，應(yīng)對筒殼具有不同缺陷水平區(qū)域的膜剛度分別進行不同程度的折減，并且其膜剛度折減程度應(yīng)與缺陷水平相關(guān)。此外，通過把膜剛度成分完全消除來預(yù)測折減因子下限也是不合理的，若筒殼膜剛度成分為0，則其不能承受任何大小的軸壓載荷，所預(yù)測的折減因子應(yīng)該為0。因此，筆者［22］在折減剛度法的基礎(chǔ)上提出了不完全折減剛度法，并且繼承了折減剛度法的全部假設(shè)。

在不完全折減剛度法中，通過建立缺陷水平和膜剛度成分的折減關(guān)系函數(shù)f，可依據(jù)缺陷具體的水平和分布，對筒殼有限元模型各單元剛度進行準確的量化折減。然后通過組建并求解如式（8）所示的不完全剛度折減模型的線性屈曲方程，即可進行快速的缺陷敏感性分析，并獲得該非完善筒殼結(jié)構(gòu)的折減因子。

式中：Kem為單元的膜剛度矩陣；i為單元的編號；λ′′和Φ′′分別為不完全折減剛度模型的屈曲載荷和屈曲模態(tài)。另外，針對最為常見的幾何缺陷，筆者［22］給出了一個幾何缺陷相關(guān)的剛度折減關(guān)系函數(shù)范例，如下所示：

圖1 不同參數(shù)下的剛度缺陷折減關(guān)系函數(shù)曲線Fig. 1 Curves of reduction function with different parameters

可以看出，參數(shù)A控制著剛度折減關(guān)系函數(shù)的收斂速度，參數(shù)B控制著膜剛度折減程度的極限。當單元幾何缺陷水平為零時，不對單元的膜剛度進行折減，膜剛度折減程度隨著幾何缺陷水平的增加單調(diào)遞增，并逐漸收斂到一個固定值1/(1+B)。因此即使幾何缺陷水平非常大，殼體的膜剛度也不會完全消除。折減關(guān)系函數(shù)的單調(diào)遞減趨勢表明，筒殼缺陷水平越大，膜剛度折減越多，非完善筒殼折減因子也越小。另外，單元缺陷水平基于單元厚度做了歸一化處理，表明相同幾何缺陷幅值下，殼體越薄，對幾何缺陷越敏感。剛度折減關(guān)系函數(shù)的上述特征都符合現(xiàn)有實驗觀測到的薄壁筒殼結(jié)構(gòu)缺陷敏感性規(guī)律。因此，所提出的折減關(guān)系函數(shù)能夠描述模型膜剛度和缺陷之間的關(guān)系，只需要確定折減關(guān)系函數(shù)中的待定參數(shù)，就能在線性屈曲分析框架下實現(xiàn)非完善筒殼的承載快速分析。

另外，筆者［22］已經(jīng)針對含實測幾何缺陷的筒殼結(jié)構(gòu)，基于不完全折減剛度法開展了非完善筒殼的承載快速分析。結(jié)果顯示，相比非線性顯式后屈曲分析，不完全折減剛度法可在滿足分析精度的同時，實現(xiàn)計算成本降低90%左右。但需要說明的是，目前不完全折減剛度法所采用的剛度折減關(guān)系函數(shù)具有一定的局限性，因為其僅對單一類型的幾何缺陷有效，無法同時兼顧多種形式的幾何缺陷并保持滿意的分析精度。仍需繼續(xù)開展相關(guān)研究，提出能夠覆蓋多種形式幾何缺陷的剛度折減關(guān)系函數(shù)，并進一步揭示薄壁結(jié)構(gòu)幾何缺陷敏感性的內(nèi)在機理。

2 面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計框架

為了解決計及缺陷敏感性加筋筒殼分析優(yōu)化計算成本高的問題，本文基于不完全折減剛度法，提出了一種面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計框架。主要包含以下步驟：首先，基于加筋筒殼的初始設(shè)計，根據(jù)給定的幾何缺陷形式確定剛度折減關(guān)系函數(shù)，建立含缺陷非完善筒殼結(jié)構(gòu)的極限承載低保真度分析模型；然后使用不完全折減剛度法替代非線性顯式后屈曲分析，作為非完善筒殼結(jié)構(gòu)的承載分析方法，開展面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計；最后，針對優(yōu)化結(jié)果進行不完全折減剛度法的精度驗證，若不滿足分析精度，則基于優(yōu)化結(jié)果對剛度折減關(guān)系函數(shù)進行更新，若滿足精度則可獲得加筋筒殼的最終設(shè)計。其優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計框架Fig. 2 Flowchart of fast optimization design of stiffened cylindrical shell oriented to imperfection tolerance

3 算例說明

3.1 模型描述

本節(jié)以正置正交網(wǎng)格加筋筒殼結(jié)構(gòu)為例，對所提出的面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計框架進行詳細說明。其中，加筋筒殼的半徑為800 mm，高度為1 000 mm。初始設(shè)計的具體尺寸參數(shù)包括：蒙皮厚度ts=1.6 mm，筋條厚度tr=2.5 mm，筋條高度hr=11.9 mm，環(huán)筋數(shù)量NC=17，縱筋數(shù)量NA=138，如圖3所示。其材料為2A14鋁合金，彈性模量為76 169 MPa，密度為2 700 kg/m3。有限元模型分析中的載荷工況和邊界條件如下：筒殼下端為固支邊界條件，在筒殼上端面圓心處建立一個參考點和上端面完全耦合，固定耦合點除軸向位移外的其他所有自由度，并在參考點處施加軸壓載荷。

圖3 正置正交網(wǎng)格加筋筒殼初始設(shè)計Fig. 3 Initial design of orthogonal grid stiffened cylinder

3.2 基于iRSM的非完善加筋筒殼承載分析

為了建立基于iRSM的非完善加筋筒殼承載快速分析模型，本文以基于假設(shè)凹坑幾何缺陷的單點擾動載荷法（Single Perturbation Load Ap?proach， SPLA）為基準，采用優(yōu)化的方式獲得式（10）中的2個待定參數(shù)，從而確定剛度折減關(guān)系函數(shù)。

對于單點擾動載荷法，首先在筒殼外壁中部施加一個擾動載荷，以在筒殼上產(chǎn)生單個凹坑形式的幾何缺陷。然后，將幾何缺陷引入到筒殼完美的有限元模型中，并基于非線性顯式后屈曲分析獲得非完善筒殼結(jié)構(gòu)的極限承載能力。隨后，逐漸增加擾動載荷的大小，就可以獲得如圖4所示的幾何缺陷敏感性分析曲線?？梢钥闯觯瑢τ诩咏钔矚こ跏荚O(shè)計，其極限承載能力隨著擾動載荷的增加逐漸降低并趨于收斂。并且以擾動載荷為8 kN時，結(jié)構(gòu)的極限承載作為承載下限和設(shè)計載荷，可得初始設(shè)計的設(shè)計載荷為3 209.3 kN。

圖4 SPLA缺陷敏感性分析曲線Fig. 4 Imperfection sensitivity analysis curves by SPLA

然后，以上述SPLA 的分析結(jié)果為基準，采用如式（11）所示的優(yōu)化列式，進行折減剛度函數(shù)參數(shù)的求解。需要說明的是，對于加筋筒殼結(jié)構(gòu)，筋條的作用就是增加整體筒殼結(jié)構(gòu)的抗彎剛度，因此本文只對蒙皮的膜剛度按照如式（10）所示的函數(shù)關(guān)系進行折減，對筋條剛度不作任何處理。

通過優(yōu)化可得折減剛度關(guān)系函數(shù)的2個參數(shù)分別為A=51.39，B=1.30，而基于此剛度折減關(guān)系函數(shù)可得到缺陷敏感性分析曲線如圖 5所示?？梢?條曲線在收斂段基本重合，并且iRSM得到的設(shè)計載荷為3 205.6 kN，與非線性顯式后屈曲分析結(jié)果相比，誤差僅為?0.12%。而非線性顯式后屈曲分析大約需要13.5 min，iRSM僅需要1 min左右，計算成本僅為非線性顯式后屈曲分析的7.41%，這說明iRSM可實現(xiàn)非完善加筋筒殼結(jié)構(gòu)的承載力高精度快速分析。另外需要說明的是，本文所有的分析計算都是在配置為Intel（R） Xeon（R） CPU E5-2670 v3 @ 2.30 GHz and 128 GB RAM的工作站上進行的。

3.3 iRSM誤差評估

為了充分驗證iRSM的分析精度，本節(jié)在如表1所示的加筋筒殼結(jié)構(gòu)設(shè)計空間中，對iRSM進行整體的誤差評估，并驗證基于iRSM和非線性顯式后屈曲分析的非完善筒殼結(jié)構(gòu)承載在設(shè)計空間內(nèi)整體趨勢是否一致。

表1 加筋筒殼設(shè)計變量上下限Table1 Upper and lower limits of design variables for stiffened cylindrical shell

首先，在初始設(shè)計基礎(chǔ)上分別單獨改變不同設(shè)計變量的參數(shù)，進行誤差評估。①蒙皮厚度ts分別取0.8、1.2、1.6、2.0、2.4 mm，而其他變量參數(shù)與初始設(shè)計完全一樣，并分別使用iRSM和基于非線性顯式后屈曲分析的SPLA進行缺陷敏感性分析，可得結(jié)果如圖 5所示，其中當蒙皮厚度為2.4 mm時，iRSM的誤差最大為4.25%；②筋 條 厚 度tr分 別 取1.25、1.88、2.5、3.13、3.75 mm，并使其他參數(shù)不變，可得分析結(jié)果如圖 6所示，其中當筋條厚度為3.75 mm時，誤差最大為2.58%；③筋條高度hr分別取8.93 、11.9、14.88 mm，并使其他參數(shù)不變，可得分析結(jié)果如圖 7所示，其中當筋條厚度為14.88 mm時，誤差最大為5.7%。

圖5 不同蒙皮厚度參數(shù)下iRSM與SPLA結(jié)果對比Fig. 5 Comparison of iRSM and SPLA with different skin thickness

圖6 不同筋條厚度參數(shù)下iRSM與SPLA結(jié)果對比Fig. 6 Comparison of iRSM and SPLA with different stiffener thickness

圖7 不同筋條高度參數(shù)下iRSM與SPLA結(jié)果對比Fig. 7 Comparison of iRSM and SPLA with different stiffener heights

從分析和誤差評估的結(jié)果可以看出，當在一定范圍內(nèi)改變單一設(shè)計變量的參數(shù)時，采用iRSM獲得的非完善加筋筒殼結(jié)構(gòu)承載能力具有較高的精度。并且尺寸變量中，筋條高度的變化對iRSM的誤差影響最大。

然后，使用最優(yōu)拉丁超立方在設(shè)計空間中進行采樣，并使用不同方法對采樣點分別進行分析，完成設(shè)計空間的整體誤差評估。本文共采取20個樣本點，每個樣本點不同分析方法的承載結(jié)果如圖8所示。其中，大部分樣本點iRSM分析結(jié)果的誤差在10%以內(nèi)，盡管個別樣本點的誤差較大（?13.28%），但所有樣本點在整體設(shè)計空間中仍具有相同的趨勢。這說明基于iRSM的非完善筒殼承載力快速分析，可被用于面向缺陷容忍的加筋筒殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化當中，替代非線性顯式后屈曲分析。

圖8 樣本點非完善筒殼的屈曲載荷分布Fig. 8 Buckling load distribution of imperfect stiffened cylinders for sample points

3.4 面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計

接下來，以不超過加筋筒殼初始設(shè)計質(zhì)量為約束條件，提高缺陷作用下的軸壓極限承載能力為目標，開展面向缺陷容忍的軸壓加筋筒殼優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化列式如下所示：

式中：PSPLA為加筋筒殼在幾何凹坑缺陷作用下的極限承載能力；M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；M0為初始設(shè)計的質(zhì)量約束；Xil和Xiu分別為設(shè)計變量的下限值和上限值，如表1所示。并為了形成對比，基于非線性顯式后屈曲分析和iRSM分別開展優(yōu)化。此外，為了盡可能找到全局最優(yōu)解，本文使用混雜優(yōu)化策略，即先使用多島遺傳優(yōu)化算法，再使用序列二次規(guī)劃等梯度類算法開展優(yōu)化。

其中，考慮到非線性顯式后屈曲單次分析計算成本過高，多島遺傳算法的主要參數(shù)設(shè)置如下：種群數(shù)為30，島數(shù)為4，最大遺傳代數(shù)為10。從如圖 9所示的多島遺傳優(yōu)化迭代曲線可知，2個優(yōu)化在全局優(yōu)化過程中均已收斂。然后以遺傳算法的最優(yōu)解作為初始點，使用序列二次規(guī)劃方法進行梯度優(yōu)化，可得到最終優(yōu)化結(jié)果。其中基于iRSM的優(yōu)化結(jié)果為3 768.3 kN，使用非線性顯式后屈曲分析進行驗證，可得其SPLA設(shè)計載荷為3 630.5 kN，iRSM優(yōu)化結(jié)果的誤差為3.8%；而基于非線性顯式后屈曲分析優(yōu)化結(jié)果的SPLA設(shè)計載荷為3 672.2 kN，優(yōu)化結(jié)果詳情如表 2所示。

圖9 多島遺傳優(yōu)化迭代曲線Fig. 9 Optimization iteration curves of multi-island genetic

表2 面向缺陷容忍加筋筒殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of stiffened cylindrical shells oriented to imperfection tolerance

首先可以看出，相比初始設(shè)計，2個面向缺陷容忍加筋筒殼優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的SPLA設(shè)計載荷分別提升13.12%和14.55%，其通過同時提高屈曲載荷和抗缺陷能力，實現(xiàn)了加筋筒殼設(shè)計載荷的提升，在保證輕量化水平的同時，提高了筒殼結(jié)構(gòu)的安全裕度，他們的位移承載曲線如圖 10所示。另外，2個優(yōu)化結(jié)果的設(shè)計載荷近似但變量參數(shù)各不相同。這一方面是因為筒殼屈曲優(yōu)化問題的設(shè)計空間本身就具有強非線性、多峰值等特點，其可能存在多個性能表現(xiàn)相近卻存在明顯差異的設(shè)計結(jié)果。另一方面是因為基于iRSM的非完善加筋筒殼快速承載分析仍存在微小誤差導致的。其中可以發(fā)現(xiàn)，基于iRSM的優(yōu)化結(jié)果傾向于增加筋條厚度，而基于非線性顯式后屈曲的優(yōu)化結(jié)果傾向于增加蒙皮厚度，這是因為我們在構(gòu)建折減剛度模型的過程中只對蒙皮的膜剛度進行了折減，對筋條剛度不作任何處理。

圖10 優(yōu)化結(jié)果的位移載荷曲線Fig. 10 Load vs end-shortening curves of optimization results for stiffened cylinders

此外，可以發(fā)現(xiàn)基于iRSM優(yōu)化結(jié)果的設(shè)計載荷僅比基于非線性顯式后屈曲分析優(yōu)化結(jié)果的設(shè)計載荷低1.24%，但其花費的計算成本僅約為后者的16.67%（其中單次分析均包括1.5 min左右的建模和劃分網(wǎng)格的時間成本）。這說明僅通過將優(yōu)化過程中的非線性顯式后屈曲分析替換為不完全折減剛度法，就能在穩(wěn)定找到優(yōu)化結(jié)果的同時，減少80%以上的計算成本，實現(xiàn)面向缺陷容忍加筋筒殼結(jié)構(gòu)的快速優(yōu)化設(shè)計。另外，還可以通過剛度等效、模型降階、連續(xù)分步類優(yōu)化策略、創(chuàng)新優(yōu)化算法等技術(shù)途徑在此基礎(chǔ)上進一步減少優(yōu)化過程所需的計算成本。

4 結(jié) 論

針對航天大直徑加筋筒殼結(jié)構(gòu)分析效率低和優(yōu)化設(shè)計成本高的問題，本文擴展了不完全折減剛度法（iRSM）在加筋筒殼上的應(yīng)用，并基于凹坑形式的人工幾何缺陷，以顯式非線性分析方法為基準，驗證了不完全折減剛度法的精度和加筋筒殼結(jié)構(gòu)在設(shè)計空間中極限承載下限分布的一致性。同時建立了一種面向缺陷容忍的加筋筒殼快速優(yōu)化設(shè)計框架，其使用iRSM替代非線性顯式后屈曲分析，進行非完善加筋筒殼結(jié)構(gòu)的極限承載能力計算和優(yōu)化設(shè)計。算例結(jié)果顯示，相比初始設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果可在質(zhì)量不變的前提下，實現(xiàn)設(shè)計載荷提升10%以上，有效提高航天加筋筒殼結(jié)構(gòu)的承載效率；并且所提出方法能在保證穩(wěn)定找到優(yōu)化結(jié)果的同時，降低計算成本80%以上，實現(xiàn)面向缺陷容忍加筋筒殼結(jié)構(gòu)的高效優(yōu)化設(shè)計，為中國航天主承力薄壁加筋筒殼結(jié)構(gòu)的快速優(yōu)化設(shè)計提供技術(shù)支撐。