N 量子比特系統(tǒng)的糾纏判據(jù)*

譚維翰 趙超櫻 郭奇志

1) (上海大學(xué)物理系,上海 200444)

2) (杭州電子科技大學(xué)物理系,杭州 310018)

3) (山西大學(xué)光電研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

在前文(2019 Int.J.Mod.Phys.B 33 1 950197;2020 Int.J.Mod.Phys.B 34 2050022)中,我們提出了一種判斷2 量子比特系統(tǒng)糾纏的方法,2 量子比特系統(tǒng)可分的充分必要條件是相關(guān)系數(shù)為正且主密度矩陣可分,否則系統(tǒng)糾纏.在本文中,通過數(shù)值計算與討論,先將2 量子比特系統(tǒng)糾纏判據(jù)的方法推廣到3 量子比特系統(tǒng)中去;接著,繼續(xù)將3 量子比特系統(tǒng)推廣到N 量子比特系統(tǒng)中去.這是一個復(fù)雜而有趣的問題.

1 引 言

自從上世紀(jì)三十年代Schr?dinger 提出量子糾纏態(tài)的概念以來,有關(guān)量子糾纏態(tài)的研究就從未間斷過.量子糾纏態(tài)在量子密鑰分配、量子密集編碼、量子隱形傳態(tài)、量子糾錯碼和量子計算等諸多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.但是,迄今為止,仍有許多理論問題沒有得到解決,這些都制約著實驗工作的進(jìn)展.量子糾纏理論的發(fā)展將為量子信息技術(shù)打開廣闊的應(yīng)用前景,其研究是當(dāng)前國際上量子信息論和量子光學(xué)等學(xué)科關(guān)注的前沿課題之一.

近年來,糾纏態(tài)在量子計算、量子糾錯等方面具有很大的應(yīng)用前景[1?3],但是關(guān)于糾纏本質(zhì)等的基本問題還沒有解決,一個非常引人注目的量子現(xiàn)象是復(fù)合量子系統(tǒng)的糾纏[4?6].Peres 的PPT 判據(jù)和Horodecki 的約化判據(jù).Peres 和Horodecki 等最早提出經(jīng)PPT 后系統(tǒng)特征值是否全為正來判別該系統(tǒng)為可分或糾纏.Peres 判據(jù),從物理本質(zhì)上來看就是對兩體中的任一單體做部分時間反演操作.對于2×2 維和2×3 維系統(tǒng),它是充要條件;對于其他情況,它是必要非充分條件.Horodecki 等采用約化判據(jù)對2×4 維和3×3 維系統(tǒng)做了詳細(xì)的研究.最近又有關(guān)于 2×N維和N×N維系統(tǒng)的研究報道,計算相當(dāng)繁瑣.Werner[7]基于對局部隱變量模型的分析和翻轉(zhuǎn)算子均值的正定性給出了一個判據(jù).Horodecki 等[8,9]得到了一個關(guān)于所謂熵的不等式形式的判據(jù).Peres[10]判據(jù)基于部分轉(zhuǎn)置后密度算符的正定性.由兩個子系統(tǒng)組成的量子系統(tǒng)是可分的,當(dāng)且僅當(dāng)密度矩陣可以寫成兩個子系統(tǒng)的密度矩陣,其中,權(quán)重滿足為正條件時,系統(tǒng)是可分的,否則系統(tǒng)是糾纏的.Peres-Horodecki 準(zhǔn)則是充要條件[11?16].

由于非對角矩陣元的存在,求密度矩陣ρ的解析解比獲得ρ可分的充要條件要困難得多.這是一個更為復(fù)雜和有趣的基礎(chǔ)物理問題.2019 年,我們課題組采用標(biāo)準(zhǔn)矩陣法研究了任意2×2 復(fù)合系統(tǒng)密度矩陣ρ的解析解.該解可以表示成主密度矩陣和可分離密度矩陣ρ1—ρ4的和,如果這些幾率是全正的,則密度矩陣ρ可分,并且分離后的密度矩陣也一并求出來了.如果這些幾率不是全正的,則復(fù)合系統(tǒng)就是糾纏的.可以很容易就驗證出幾個已知2×2 系統(tǒng)的不可分判據(jù)與PPT 判據(jù)一致[17].2020 年,我們研究任意3×3 復(fù)合系統(tǒng)密度矩陣ρ的解析解.將密度矩陣ρ分解為主密度矩陣ρp和六個約化密度矩陣ρ1—ρ6的總和,給出判斷兩個三量子態(tài)(0,1,2)系統(tǒng)糾纏的充要條件,并得出幾率是全正的解[18].在這篇文章中,只討論二量子態(tài)(0,1),即通常說的量子比特.我們試圖將前文[17]用方法推廣到N量子比特系統(tǒng).第一步是3 量子比特系統(tǒng);第二步到N量子比特系統(tǒng).本文的安排是:第2 節(jié)對2 量子比特系統(tǒng)糾纏判據(jù)的簡介.第3 節(jié)將上述解決方案推廣到N量子比特系統(tǒng).第4 節(jié)是關(guān)于2 量子比特和3 量子比特系統(tǒng)的數(shù)值計算.

2 量子比特系統(tǒng)糾纏態(tài)解析解簡介

對于一個單量子比特系統(tǒng),上能級 |1〉,下能級|0〉 .2 量子比特的基向量 |00〉,|01〉,|10〉,|11〉 是所有糾纏態(tài)的基.一般的,假設(shè)密度矩陣元素是實數(shù),2 量子比特系統(tǒng)的密度矩陣ρII具有如下的形式:

3 N 量子比特系統(tǒng)糾纏判據(jù)

3.1 3 量子比特系統(tǒng)糾纏判據(jù)

應(yīng)用上方法研究了3 量子比特的糾纏態(tài)問題.這個方法包括寫出基函數(shù),由此構(gòu)成的可分離的密度矩陣,進(jìn)一步便是3 量子系統(tǒng)主矩陣(詳細(xì)見附錄B).先按附錄A 導(dǎo)出(2)式的辦法導(dǎo)出下面3 量子系統(tǒng)的相應(yīng)方程(3).這過程很復(fù)雜,很難被推廣到N量子比特系統(tǒng).但有趣且有用的是我們發(fā)現(xiàn)3 量子系統(tǒng)主矩陣可表示為2 量子系統(tǒng)的對角矩陣(見附錄(B2)式).這就為下面推廣到N量子比特系統(tǒng)成為可能:

3.2 N 量子比特系統(tǒng)糾纏判據(jù)

一般來說,N量子比特系統(tǒng)的密度矩陣可以由矩陣ρn=AN表示出來,其秩為N=2n.對于3 量子比特系統(tǒng),矩陣的秩為N=23=8 .假設(shè)密度矩陣元素是實數(shù),3 量子比特系統(tǒng)有如下形式[19]:

其中

圖1 糾纏態(tài)的“N-AB-tree 結(jié)構(gòu)”Fig.1.24-AB-tree to four 2 qubit string.

3 量子比特密度矩陣的解析解可以由兩個2 量子比特系統(tǒng)密度矩陣表示.n量子比特密度矩陣的解析解可以由兩個n–1 量子比特系統(tǒng)密度矩陣表示.即密度矩陣ρn的解析求解轉(zhuǎn)化為ρn?1,A,ρn?1,B.計算過程只需將(7)式的本征函數(shù)改寫為CD=[d0,···,dN],本征值改寫為(b0,···bN/2,b?N/2···b0) ,相應(yīng)的CA=(d0,···,dN/2) ,CB=(dN/2+1,···,dN).

4 2 量子比特和3 量子比特系統(tǒng)主糾纏態(tài) pp 的數(shù)值計算

對于2 量子比特與3 量子比特系統(tǒng)主糾纏態(tài)pp的計算分別由圖2 和圖3—圖5 給出.(2)式右端的系數(shù)分別表示為a0+a1+a2+a3=r2,a0=0.5×(rcos[θ])2+Δ,a3=0.5(rcos[θ])2?Δ,a1=(rsin[θ]×cos[ω])2,a2=(rsin[θ]sin[ω])2,參照(1)式密度矩陣ρII,a0,a1,a2,a3分別表示對角矩陣元,考慮到參量a0,a3分別為兩個二能級原子分別同時取基態(tài)或激發(fā)態(tài)的幾率.故a0?a3=2Δ 就代表集居數(shù)的差.這個差與驅(qū)動場的失諧有關(guān)Δω+iγ=(ω21?ω)+i(1/T1+γc) ,T1即縱弛豫時間,γc即碰撞系數(shù)[20].

圖2 2 量子比特系統(tǒng)主密度矩陣系數(shù) pp 隨 { θ,0,0.2} ,{ w,?π,π} 變化的三維曲線圖,r =1 (a) Δ =0.002 ;(b) Δ =0.00103 ;(c) Δ =0.0002 ;(d) Δ=0.0001Fig.2.Principal entangled state pp of 2 qubit system with the parameters { θ,0,0.2} ,{ w,?π,π} ,r =1 : (a) Δ =0.002 ;(b)Δ=0.00103 ;(c) Δ =0.0002 ;(d) Δ =0.0001 .

圖3 3 量子比特系統(tǒng)主密度矩陣系數(shù) pp 隨 { θ,0,0.2} ,{ w,?π,π} 變化的三維曲線圖 (a) r a=0.867 ,Δ =0.0001 ;(b) r b=0.547,Δ=0.001,ξ+η=+=1Fig.3.Principal entangle state pp of 3 qubit system with the parameters { θ,0,0.2} ,{ w,?π,π} : (a) r a=0.867 ,Δ =0.0001 ;(b) rb=0.547 ,Δ =0.001 ,ξ +η=+=1 .

圖4 3 量子比特系統(tǒng)主密度矩陣系數(shù) pp 隨 { θ,0,0.2} ,{ w,?π,π} 變化的三維曲線圖 (a) r a=0.724 ,Δ =0.0001 ;(b) r b=0.652,Δ=0.001,ξ+η=+=1Fig.4.Principal entangled state pp of 3 qubit system with the parameters { θ,0,0.2} ,{ w,?π,π} : (a) r a=0.724 ,Δ =0.0001 ;(b) r b=0.652 ,Δ =0.001 ,ξ +η=+=1 .

圖5 3 量子比特系統(tǒng)主密度矩陣系數(shù) pp 隨 { θ,0,0.2} ,{ w,?π,π} 變化的三維曲線圖,r a=rb=0.707 (a) Δ =0.0001 ;(b) Δ=0.0002 ;(c) Δ=0.00103Fig.5.Principal entangled state pp of 3 qubit system with the parameters { θ,0,0.2} ,{ w,?π,π} ,r a=rb=0.707 ;(a) Δ =0.0001 ;(b) Δ =0.0002 ;(c) Δ =0.00103 .

1) 2 量子比特系統(tǒng)

2) 3 量子比特系統(tǒng)

在圖2 和圖3—圖5 描述了2 量子比特和3 量子比特系統(tǒng)的主密度矩陣系數(shù)pp的數(shù)值計算結(jié)果.一般的,存在兩種類型的糾纏: 一個是淺糾纏,處于初始階段,最大值從10 到100;另一個是深度糾纏,處于末了階段,最大值達(dá)到1000.擁有大量的深糾纏的2 量子比特系統(tǒng).所謂深淺只是對糾纏程度一個唯象的描述,并沒嚴(yán)格定義.糾纏對失諧參數(shù)的的變化很敏感.圖6 描繪出了圖2(b)曲線的輪廓.圖7 描繪出了圖5(c)曲線的輪廓.

圖6 和圖7 的結(jié)果顯示曲線的輪廓依賴于糾纏度.在初始階段,糾纏度從0 逐漸變到100.隨后,快速變化到–600 (見圖6)和–1400 (見圖7).最后,突然返回0.從上面的關(guān)系可以獲知:

圖6 圖2(b)曲線的輪廓.Fig.6.The profile of Fig. 2(b).pp vs (Δ=0.00102+x×10?5).

圖7 圖5(c)曲線的輪廓.Fig.7.The profile of Fig. 5(c).pp vs (Δ=0.00102+x×10?5).

1) 越大粒子量子比特系統(tǒng)會產(chǎn)生更深的糾纏度和更窄的輪廓帶寬.

2) 曲線的輪廓與線性色散理論的線型相似[20].使用拉普拉斯變換可以得到糾纏度將隨時間τ衰減為∝e?γτ,γ=1/T1+γc為色散曲線的帶寬.產(chǎn)生大糾纏的物理條件是上下能級的集居數(shù)差即2Δ要求比較小,但不要求反轉(zhuǎn).

5 結(jié) 論

1) 在前文的基礎(chǔ)上,我們用同樣方法求得3 量子比特系統(tǒng)的主密度矩陣,并發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)恰是兩個2 量子比特系統(tǒng)的主密度矩陣的對角矩陣.我們稱此為A-B分裂.并在這個基礎(chǔ)上,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求得n量子比特系統(tǒng)的主密度矩陣解,我們將其稱之為“ 2N-AB-樹”.

2) 通過數(shù)值計算2 量子比特和3 量子比特揭示出存在2 種類型的糾纏: 淺糾纏和深糾纏,曲線的輪廓具有典型的洛倫茲線型[20].經(jīng)過對線型的拉普拉斯變換可得出: 1) 糾纏態(tài)的衰變時間反比于線型的寬度;2) 線型的寬度又反比于 2n,n為參與糾纏的粒子數(shù).換句話說,參與的粒子數(shù)n越大,線型的寬度越乍糾纏態(tài)存在時間越長.

附錄A 關(guān)于(2)式的計算及分離態(tài)的矩陣形式

1) (2)式的計算

(1) 式對角化元素相等,有如下的方程:

根據(jù)(A1)式—(A4)式,可以得到(2)式:

附錄B 3 量子系統(tǒng)的基函數(shù),可分離矩陣及主矩陣