基于TGARCH-偏態(tài)t分布模型的美元兌人民幣匯率波動(dòng)實(shí)證分析

李瀟怡 李 芳 王忠輝

（山東工商學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005）

在經(jīng)濟(jì)全球化背景下，匯率對(duì)經(jīng)濟(jì)體間的交易越來越重要。長期看來，匯率的變動(dòng)受到多方面因素的影響，有貨幣互換、資產(chǎn)特性、匯率制度等因素，而且不同國家不同時(shí)間的主導(dǎo)因素和影響程度又有區(qū)別。然而，中國目前實(shí)行以市場(chǎng)供求為基礎(chǔ)、參考一籃子貨幣進(jìn)行調(diào)節(jié)、有管理的浮動(dòng)匯率制度。市場(chǎng)供求因素在匯率形成中發(fā)揮決定性作用，價(jià)格機(jī)制的發(fā)揮使得短期內(nèi)匯率的波動(dòng)影響因素與長期因素有所不同。同時(shí)短期內(nèi)匯率對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展具有重要影響，國際貿(mào)易和進(jìn)出口、資本流動(dòng)、國內(nèi)市場(chǎng)價(jià)格以及居民對(duì)金融資產(chǎn)的選擇都受到匯率的影響。自從2017年8月，美國前總統(tǒng)特朗普簽署備忘錄指示美國貿(mào)易代表辦公室（USTR）對(duì)中國開展“301調(diào)查”以來，美元兌人民幣匯率持續(xù)下跌。2019年突發(fā)的新冠肺炎疫情，又一次出現(xiàn)下跌情況，但與上一次波動(dòng)變化完全不同。在短期內(nèi)，找到在不同消息沖擊下對(duì)匯率具有良好擬合、預(yù)測(cè)效果的模型，將有效指導(dǎo)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)投資決策，降低生產(chǎn)經(jīng)營的不確定性。

程魯敏[1]（2013）、郭菊喜[2]（2015）、曹俊秋等[3]（2016）對(duì)匯率預(yù)測(cè)研究多使用GARCH（1，1）模型，發(fā)現(xiàn)擬合曲線幾乎完全跟得上實(shí)際匯率走勢(shì)，主要論證了GARCH 模型對(duì)預(yù)測(cè)匯率數(shù)據(jù)具有可行性。越來越多學(xué)者關(guān)注匯率數(shù)據(jù)出現(xiàn)的非線性特征和杠桿效應(yīng)，楊露露[4]（2019）、魯媛媛[5]（2022）、孫穎[6]（2022）還提出其他GARCH族模型，有GARCH-M模型、EGARCH模型、GARCH模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ELMAN混合模型、GKREGARCH模型以及非參數(shù)GARCH模型，這些衍生模型都有助于對(duì)匯率變化進(jìn)行更深入的研究。

目前，GARCH族模型成為研究金融數(shù)據(jù)使用最廣泛的回歸模型。它不僅具有傳統(tǒng)金融數(shù)據(jù)計(jì)量模型的估計(jì)結(jié)果，還對(duì)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性進(jìn)行了深入的建模分析，使它具有及時(shí)反映市場(chǎng)時(shí)變的優(yōu)勢(shì)，并且能夠有效捕捉金融波動(dòng)的集聚效應(yīng)和異方差效應(yīng)，特別適用于匯率數(shù)據(jù)的分析和預(yù)測(cè)。本文將繼續(xù)選擇GARCH模型，參考不同的數(shù)據(jù)分布類型，選取擬合精度更好的匯率擬合模型。

1 研究方法

1.1 移動(dòng)均值模型ARIMA

20世紀(jì)70年代初，博克思（Box）和詹金斯（Jenkins）提出了ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Model）時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，即自回歸差分滑動(dòng)平均模型。在ARIMA（p，d，q）中，AR是自回歸項(xiàng)，p為自回歸項(xiàng)階數(shù)；MA為移動(dòng)平均項(xiàng)，q為移動(dòng)平均項(xiàng)階數(shù)，d為對(duì)時(shí)間序列使用差分方法使其平穩(wěn)的差分階數(shù)。ARIMA模型是指將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量僅對(duì)它的滯后期值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后期值進(jìn)行回歸所建立的模型。模型的最大特點(diǎn)是可以從時(shí)間序列的過去值和現(xiàn)在值來預(yù)測(cè)未來值。ARIMA模型的實(shí)質(zhì)就是差分運(yùn)算和ARMA模型的組合。ARMA模型的基本形式：

1.2 波動(dòng)模型GARCH模型族

ARCH模型，全稱自回歸條件異方差模型（Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model）是特別用來建立條件方差模型并對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)的模型。ARCH模型由ENGLE[7]（1982）提出，并由BOLLERSLEV[8]（1986）不斷發(fā)展成為GARCH（Generalized ARCH）族。通常對(duì)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性描述用方差來刻畫。對(duì)于有波動(dòng)性的時(shí)間序列，不同的時(shí)間包含的歷史信息量不同，所以相應(yīng)的條件方差也不同。ARCH模型的本質(zhì)就是將歷史波動(dòng)信息作為條件，表現(xiàn)隨時(shí)間變化而變化的條件方差。

ARCH建模的主要思想是時(shí)刻t的平方誤差依賴于t-1時(shí)刻的平方誤差的大小，即依賴于。已知?dú)v史數(shù)據(jù)的情況下，假設(shè)零均值、純隨機(jī)殘差序列具有異方差性，即，異方差等價(jià)于殘差平方的均值，使用殘差平方序列的自相關(guān)系數(shù)，可以考察異方差函數(shù)的自相關(guān)性，考察的結(jié)果有以下兩種。

自相關(guān)系數(shù)恒為零，pk=0，k=1，2，3…，說明異方差函數(shù)是純隨機(jī)的。此時(shí)，歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來異方差的估計(jì)沒有任何作用。

或存在某個(gè)自相關(guān)系數(shù)不為零，即pk≠0，k≥1，這意味著在殘差平方序列中，蘊(yùn)含著某種相關(guān)信息，可以通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，提取這些相關(guān)信息，以獲得序列異方差波動(dòng)特征。

那么為q階ARCH模型，簡記ARCH（q）形式如下：

然而，在實(shí)際操作中，往往需要高階的ARCH模型才能充分刻畫金融數(shù)據(jù)的波動(dòng)率過程，特別是高頻數(shù)據(jù)，但是高階的ARCH模型意味著需要用有限的數(shù)據(jù)去估計(jì)更多的參數(shù)，又會(huì)產(chǎn)生參數(shù)精度降低的問題。在1985年，BOLLERSLEV為了修正這個(gè)問題，提出了廣義自回歸條件異方差GARCH模型結(jié)構(gòu)：

GARCH模型對(duì)波動(dòng)性的描述，為分析大量金融數(shù)據(jù)提供了行之有效的方法，也成為最常用、高效的擬合異方差序列的模型。此后，研究人員不斷拓寬GARCH模型的使用范圍和模型結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出了多個(gè)GARCH模型的衍生模型，如EGARCH（Exponential GARCH）指數(shù)GARCH模型，放寬了GARCH模型參數(shù)非負(fù)的約束，同時(shí)引入?yún)?shù)來刻畫杠桿效應(yīng)；TGARCH模型（Threshold ARCH）門限GARCH模型，進(jìn)一步修正了EGARCH模型對(duì)正負(fù)擾動(dòng)的反應(yīng)對(duì)稱問題。

2 數(shù)據(jù)選取與檢驗(yàn)

2.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取來自2015年1月至2022年9月工作日美元兌人民幣匯率日度數(shù)據(jù)。

2.2 數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

2.2.1 描述性統(tǒng)計(jì)

如圖1所示，匯率值在一些時(shí)間段波動(dòng)明顯，而在一些時(shí)間段卻波動(dòng)較小，表現(xiàn)出大的波動(dòng)后跟著一個(gè)大的波動(dòng)，小的波動(dòng)后面跟著一個(gè)小的波動(dòng)，體現(xiàn)出波動(dòng)的集群效應(yīng)。并且有上升趨勢(shì)，是典型的非平穩(wěn)時(shí)間序列。為了消除其趨勢(shì)因素，采用差分的方法。記2015Y至2020Y的序列為a，記一階差分后的序列為b。序列b的均值為0.0002151801接近于0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.01745822，偏度為0.3353162，說明序列分布有右拖尾性，峰度為5.866074大于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰值3，說明序列b具有尖峰厚尾的分布特征。正態(tài)性檢驗(yàn)J-B統(tǒng)計(jì)量為2267.2，p值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05，說明序列拒絕服從正態(tài)分布，如圖2所示。

圖1 2015年1月至2022年9月工作日美元兌人民幣匯率日度數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)

圖2 序列b的描述統(tǒng)計(jì)圖

2.2.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

平穩(wěn)性檢驗(yàn)使用ADF檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)的假設(shè)條件為：

H0：一階差分后序列是不平穩(wěn)的 VS H1：一階差分后序列是平穩(wěn)的。

經(jīng)過計(jì)算一階差分后的a序列（b序列）的ADF統(tǒng)計(jì)檢量為-10.6020，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1%水平下的臨界值-3.4330，且對(duì)應(yīng)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量的P值顯著，說明b序列平穩(wěn)性良好。

2.2.3 相關(guān)性檢驗(yàn)

對(duì)序列進(jìn)行L-B檢驗(yàn)，取滯后期數(shù)為30，得到的自相關(guān)、偏自相關(guān)系數(shù)（見表1），說明這個(gè)序列均具有前后相關(guān)性。

3 模型建立

3.1 建立均值方程

根據(jù)自相關(guān)、偏自相關(guān)系數(shù)結(jié)果（見表1），大部分函數(shù)值在正負(fù)0.04以內(nèi)，顯示序列b具有很弱的自相關(guān)性，因此在條件期望模型中不需要引入自相關(guān)性部分。序列b的均值近似為0，且通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，建立無截距項(xiàng)形式。借助R軟件建立多個(gè)模型，按照AIC最小準(zhǔn)則且估計(jì)參數(shù)盡量少的原則下，最后選擇ARMA（1，0）模型，模型對(duì)應(yīng)的AIC值為-9616.388。對(duì)序列a建立選擇ARMA（1，1，0）模型。均值模型估計(jì)結(jié)果為:

表1 自相關(guān)ACF和偏自相關(guān)PACF系數(shù)結(jié)果

3.2 建立波動(dòng)模型

3.2.1 ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)用來驗(yàn)證序列是否具有異方差性，且由特定的自相關(guān)關(guān)系造成的。常用的ARCH檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法LM檢驗(yàn)，即拉格朗日乘子檢驗(yàn)。該檢驗(yàn)的構(gòu)造思想是：如果殘差序列方差非齊，且具有集群效應(yīng)，那么殘差平方序列通常具有自相關(guān)性。

檢驗(yàn)的假設(shè)條件為：H0：殘差平方序列純隨機(jī)，備擇假設(shè)為H1：殘差平方序列自相關(guān)。當(dāng)原假設(shè)成立，LM（q）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度q-1的卡方分布。當(dāng)LM（q）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值小于顯著性水平時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列方差非齊，可以用q階自回歸模型擬合殘差平方序列中的自相關(guān)關(guān)系。

對(duì)ARMA（1，0）模型的殘差序列進(jìn)行ARCHLM檢驗(yàn)，取滯后期數(shù)為12，得到的LM（q）值為219.25，對(duì)應(yīng)的p值遠(yuǎn)小于0.05，相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)被拒絕，說明殘差序列存在條件異方差性。

3.2.2 建立GARCH族模型

首先建立GARCH模型。GARCH模型的定階方法研究不多，一般用試錯(cuò)法嘗試較低階的GARCH模型。由于b序列均值近似為零，設(shè)定模型不存在截距項(xiàng)。由于其他階數(shù)模型AIC信息量與GARCH（1，1）模型差距不大，但不如GARCH（1，1）簡潔，故本文選用GARCH（1，1）模型，也符合一般的GARCH模型階數(shù)設(shè)定。選定的GARCH（1，1）模型AIC值為-5.8377。

GARCH（1，1）條件異方差模型為：

ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)估計(jì)參數(shù)0.0711、0.9277都大于0，并且兩者之和小于1，滿足GARCH參數(shù)估計(jì)條件。并且兩項(xiàng)系數(shù)估計(jì)值顯著，反映了異方差性和波動(dòng)聚集性的存在。

進(jìn)一步嘗試EGARCH（1，1）模型、TARCH（1，1）模型，并且對(duì)殘差序列的分布假設(shè)分別為t分布、偏態(tài)t分布、ged分布和偏態(tài)ged分布，通過R軟件建立八組模型，八組模型估計(jì)結(jié)果均顯著，按照AIC信息準(zhǔn)則，選取TGARCH（1，1）-sstd分布模型，AIC信息量為-5.9819，模型的參數(shù)結(jié)果如表2所示。

表2 序列b的TGARCH（1，1）-sstd分布估計(jì)結(jié)果

因此可以建立參數(shù)如下的條件異方差估計(jì)方程為:

其中虛擬變量dt-1滿足的條件是：當(dāng)εt-1＜0時(shí)，為1；當(dāng)εt-1＞0時(shí)，為0。γ不為0，說明序列具有杠桿效應(yīng)。γ＞0，ARCH系數(shù)（α+β）依賴于歷史誤差項(xiàng)的符號(hào)為正，驗(yàn)證了壞消息將比好消息對(duì)條件方差產(chǎn)生更大的影響，說明序列存在杠桿效應(yīng)，并且信息存在不對(duì)稱性。在正干擾下（εt-1＞0），美元兌人民幣數(shù)值上升的消息對(duì)波動(dòng)率的影響系數(shù)為0.093，在負(fù)干擾下（εt-1＜0），美元兌人民幣數(shù)值上升下降對(duì)波動(dòng)率的影響系數(shù)為0.320。

殘差序列{μt}估計(jì)為偏度為0.9406，自由度為3.9869的偏態(tài)t分布。

進(jìn)一步對(duì)估計(jì)殘差作加權(quán)ARCHLM檢驗(yàn)，可發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量P值接近于1，接受原假設(shè)TGARCH模型的殘差不具有ARCH效應(yīng)，說明條件異方差現(xiàn)象得到有效消除。

根據(jù)方差模型，5個(gè)工作日的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示。

圖3 基于方差模型的5個(gè)工作日預(yù)測(cè)結(jié)果

4 結(jié)論

ARIMA（1，1，0）-TGARCH（1，1）-SSTD模型能良好地刻畫人民幣匯率的波動(dòng)特征及其規(guī)律。從短期來看，美元兌人民幣匯率有上升趨勢(shì)。匯率數(shù)據(jù)有明顯的集聚性。由殘差檢驗(yàn)得到人民幣匯率存在明顯的波動(dòng)集聚性，即存在ARCH效應(yīng)，具有“尖峰厚尾、有偏分布”的分布特征，表現(xiàn)為匯率值在一些時(shí)間段波動(dòng)明顯，而在一些時(shí)間段波動(dòng)較小，而且表現(xiàn)出大的波動(dòng)后跟著一個(gè)大的波動(dòng)，小的波動(dòng)后面跟著一個(gè)小的波動(dòng)。

在利用TGARCH和EGARCH的非對(duì)稱研究中，TGARCH模型對(duì)一階差分的美元兌人民幣匯率序列的擬合效果比EGARCH模型的擬合效果更好，且都優(yōu)于GARCH模型。對(duì)于殘差序列有偏且比具有尖峰厚尾特點(diǎn)的偏態(tài)t分布的擬合效果模型最優(yōu)。一階差分的美元兌人民幣匯率序列具有杠桿效應(yīng)，反映了外匯市場(chǎng)對(duì)人民幣匯率收益率的升值或貶值消息存在不同反應(yīng)，外匯市場(chǎng)對(duì)美元貶值消息更敏感。人民幣匯率的條件方差與前一期的條件方差成正比。

根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)理論可知，人民幣匯率的走勢(shì)對(duì)進(jìn)口商品的國內(nèi)價(jià)格和國內(nèi)消費(fèi)者購買外國商品的價(jià)格都有顯著影響，同時(shí)對(duì)我國進(jìn)出口貿(mào)易結(jié)構(gòu)以及外商直接投資規(guī)模和投資結(jié)構(gòu)都有較大影響。美元兌人民幣匯率的下降，會(huì)使出口商品的價(jià)格上升，進(jìn)口商品的價(jià)格下降，導(dǎo)致我國商品在國內(nèi)外市場(chǎng)都失去競爭力，從而影響我國的進(jìn)出口貿(mào)易。反之，則有利于我國的進(jìn)出口貿(mào)易。

對(duì)于居民來說（尤其是留學(xué)人員），匯率數(shù)據(jù)的波動(dòng)即時(shí)影響著生活、購物、出行等方方面面。美元兌人民幣匯率的預(yù)測(cè)可以避免一些不必要的損失。需要注意的是，單一匯率數(shù)據(jù)的短期預(yù)測(cè)模型可以作為參考，盡量避免因匯率波動(dòng)帶來的損失，而不能作為個(gè)人投資者的追求短期投機(jī)利益的工具。