行星探測光學(xué)導(dǎo)航方法及誤差分析

吳 鵬，穆榮軍，鄧雁鵬，崔乃剛

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

環(huán)形山具有明確、穩(wěn)定、易于提取結(jié)構(gòu)等優(yōu)點，廣泛分布于月球[1]、火星[2]、小行星[3]、衛(wèi)星[4]等天體表面，環(huán)形山圖像匹配被廣泛應(yīng)用于光學(xué)導(dǎo)航中。環(huán)形山檢測算法（Crater Detection Algorithm,CDA）是在探測器獲取的光學(xué)圖像或激光高程信息基礎(chǔ)上，提取圖像中環(huán)形山的算法。環(huán)形山檢測方法眾多，目前已有采用形態(tài)學(xué)、明暗分析、Canny 邊緣檢測、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、深度學(xué)習(xí)、極大熵閾值三值化[5]等算法的CDA 得以提出并應(yīng)用于月球及行星探測中[6-9]。CDA及因其而發(fā)展的曲線擬合、半圓擬合等方法應(yīng)用廣泛，相應(yīng)算法在行星際航行的天文導(dǎo)航中也有應(yīng)用[10]。

近年來，隨著月球、火星等深空探測任務(wù)的實施與發(fā)展，眾多研究者針對基于環(huán)形山檢測的光學(xué)導(dǎo)航算法（CDA based Optical Navigation,CDA-OPNAV）開展研究，將其與慣導(dǎo)進(jìn)行組合，獲得了較為豐富成果。文獻(xiàn)[11]對基于特征的可觀測性進(jìn)行分析，并采用Fisher 信息計算誤差下界；美國火星漫游者號采用序列圖像特征點提取和匹配的方式進(jìn)行相對導(dǎo)航[12]；文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步將特征點觀測擴(kuò)展為特征點矢量信息與慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行組合，但仍存在難以計算地理系下絕對導(dǎo)航參數(shù)等問題；Cui 等研究者將曲線特征引入系統(tǒng)中，基于環(huán)形山邊緣曲線特征實現(xiàn)了較高精度的光學(xué)導(dǎo)航[14]。在以往研究中，主要存在以下兩方面問題：一是對特征信息利用不充分，未能充分挖掘探測器在空間中所處位置的分布特性；二是對特征擬合等觀測誤差在OPNAV 系統(tǒng)中的傳遞關(guān)系缺乏明確分析與有效處理。

本文提出一種基于探測器空間位置分布(Spatial Position Distribution)模型的光學(xué)導(dǎo)航方法。在實現(xiàn)魯棒環(huán)形山檢測后，以阿貝爾李群空間圓環(huán)面描述探測器在獲取天體表面特征條件下，其所在位置的空間分布，形成Torus-OPNAV 導(dǎo)航方法；將其與慣導(dǎo)進(jìn)行組合，實現(xiàn)行星探測器高精度導(dǎo)航。在此基礎(chǔ)上，用成像余弦方差貢獻(xiàn)函數(shù)描述了環(huán)形山擬合誤差對光學(xué)導(dǎo)航定位、定姿的影響。

1 環(huán)形山檢測及考慮誤差的橢圓擬合

將月面環(huán)形山建模為橢圓，方程如式(1)，X為環(huán)形山邊緣灰度坐標(biāo)點集，A、b為橢圓參數(shù)矩陣。

采用最小二乘法計算式(2)中的參數(shù)A和b。

因此擬合后的橢圓中心坐標(biāo)Xo為：

2 基于環(huán)形山檢測的探測器光學(xué)導(dǎo)航方法

2.1 光學(xué)導(dǎo)航成像測量模型

構(gòu)建環(huán)形山成像齊次坐標(biāo)系Puv、環(huán)形山中心的月表固連地理系齊次坐標(biāo)系Pf和相機(jī)系PC。

環(huán)形山j(luò)成像模型如式(12)，U i、V i為環(huán)形山Xi成像等效坐標(biāo)，f為焦距。

將探測器位姿信息與光學(xué)成像結(jié)果聯(lián)系起來：

CDA-OPNAV 就是求式(10)(11)中12 個待解變量。

2.2 Torus-OPNAV 探測器空間定位分布模型

傳統(tǒng)基于環(huán)形山探測信息的探測器定位方法通常需要4 座環(huán)形山。當(dāng)環(huán)形山數(shù)量低于4 座時，為保障導(dǎo)航系統(tǒng)正常運行，常以觀測矢量誤差為觀測量構(gòu)建誤差傳遞方程進(jìn)行導(dǎo)航。部分觀測條件下，探測器位置求解的解空間可能呈現(xiàn)扁平特征，如圖1 所示，給迭代求解方法帶來挑戰(zhàn)。

圖1 光學(xué)導(dǎo)航求解空間及梯度方向Fig.1 Solution space and gradient direction of OPNAV

此外，當(dāng)提取出的環(huán)形山等特征地形較多時，為提升算法效率，需要從所有探測環(huán)形山中選取幾座進(jìn)行光學(xué)導(dǎo)航，這使得光學(xué)導(dǎo)航解算結(jié)果無法達(dá)到最優(yōu)。文獻(xiàn)[11]通過計算Fisher 信息矩陣和Cramer-Pao 界，分析了n個特征地形條件下，光學(xué)導(dǎo)航位置估計誤差下界：

式中，F(xiàn)n為Fisher 信息矩陣、σu為量測噪聲方差、zc為觀測特征在相機(jī)坐標(biāo)系下z方向投影。式(14)表明，探測器高度一定時，位置估計誤差下界隨探測特征增加而減小。實際過程中通常采用幾何分布法、信息熵法選取若干環(huán)形山進(jìn)行導(dǎo)航解算，誤差下界難以滿足導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計需求，因此要充分挖掘光學(xué)探測信息，分析誤差傳播特性的一般形式。

考慮環(huán)形山非齊次坐標(biāo)和探測器位置坐標(biāo)：

圖2 探測器空間位置分布示意圖Fig.2 Spatial position distribution diagram of lunar probe

圖2 描述的曲面是圓環(huán)面T2，定義為兩個圓之積，是一個阿貝爾李群[16]。

光學(xué)導(dǎo)航中圓環(huán)面(Torus)可由一組參數(shù)方程得到。參數(shù)方程包含兩部分：一部分為描述空間中定圓L的點集Pl∈L,另一部分為描述空間中探測器所處曲面S的點集P s∈S。

式中，d為兩環(huán)形山間歐氏距離。當(dāng)給定三座環(huán)形山時，可構(gòu)建出三組約束｛L,S｝對探測器所在位置P進(jìn)行精確計算。

三組約束能得出4 個符合約束的解，如圖3 所示，探測器位于其中一個解所在的位置。結(jié)合高度約束h＞ 0及速度方向約束，可唯一確定探測器在k時刻所處位置Pk，如式(20)所示。式中，為k時刻i點位置，[Pk]z為Pk在豎直方向投影。

圖3 三個曲面形成四個交點示意圖Fig.3 Four intersections from three surfaces

根據(jù)式(13)，給定探測器位置信息后，姿態(tài)信息與定位結(jié)果解耦，可直接進(jìn)行計算?？紤]環(huán)形山成像過程中的所有環(huán)形山地理系坐標(biāo)和相機(jī)系坐標(biāo)PC，它們之間有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

探測器姿態(tài)為：

3 擬合誤差分析及其對導(dǎo)航系統(tǒng)的影響

3.1 環(huán)形山最小二乘擬合誤差分析

環(huán)形山探測誤差υi服從正態(tài)分布[17]。

對式(24)進(jìn)行Taylor 展開，僅考慮一階項：

將式(2)(3)代入式(25)中，得：

則環(huán)形山觀測殘差方差為：

修正后的測量環(huán)形山中心坐標(biāo)為：

3.2 環(huán)形山擬合誤差對光學(xué)導(dǎo)航定位的影響

由于擬合誤差，橢圓圓心并不一定對應(yīng)真實環(huán)形山圓心坐標(biāo)。光學(xué)相機(jī)拍攝的環(huán)形山中心點像素坐標(biāo)Puv也存在誤差，如式(35)所示。

將式(42)代入式(39)中，

定義不含誤差的中間參量ti，tj和gi,j：

定義含有誤差的參數(shù)項λi,j，γi,j和φ：

將式(50)代入式(39)中，得：

聯(lián)立式(27)(33)(42)(52)，得：

定義環(huán)形山X成像余弦方差貢獻(xiàn)函數(shù) Ψ（X）：

用環(huán)形山成像余弦方差貢獻(xiàn)函數(shù) Ψ（X）表達(dá)環(huán)形山擬合誤差對光學(xué)導(dǎo)航定位的影響為：

4 仿真分析

4.1 Torus-OPNAV 算法可行性驗證

利用文獻(xiàn)[5]環(huán)形山數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)。設(shè)置仿真條件如表1 所示，進(jìn)行Torus-OPNAV 仿真試驗，打靶次數(shù)1000，定位和定姿結(jié)果如圖4-5 所示。

表1 仿真條件設(shè)置Tab.1 Simulation condition

圖4 Torus-OPNAV 定位蒙特卡洛仿真結(jié)果Fig.4 Monte Carlo positioning results of Torus-OPNAV

圖5 Torus-OPNAV 定姿蒙特卡洛仿真結(jié)果Fig.5 Monte Carlo attitude results of Torus-OPNAV

在此基礎(chǔ)上，將本文提出方法與基于特征點匹配的導(dǎo)航方法（Feature points matching based navigation,FPM-NAV）進(jìn)行對比，選取特征點為ORB 特征點,仿真定位結(jié)果如圖6 所示?？梢钥闯?，隨著導(dǎo)航時間增加，F(xiàn)PM-NAV 誤差逐漸積累，而Torus-OPNAV 一直維持較好的導(dǎo)航定位精度。

圖6 Torus-OPNAV 與FPM-NAV 定位結(jié)果Fig.6 Results of Torus-OPNAV and FPM-NAV

4.2 不同觀測條件下的Torus-OPNAV 仿真

在實際月球及火星等探測任務(wù)中，由于探測器搭載的導(dǎo)航相機(jī)分辨率和測量誤差方差不同，探測的環(huán)形山坐標(biāo)有所區(qū)別。設(shè)定多種導(dǎo)航相機(jī)測量誤差方差和環(huán)形山坐標(biāo)分布情況，如表2 和圖7 所示。圖7 為兩組環(huán)形山坐標(biāo)分布構(gòu)型示意圖。與構(gòu)型1 相比，構(gòu)型2 中環(huán)形山坐標(biāo)跨度更大。

圖7 兩組環(huán)形山分布構(gòu)型Fig.7 Two crater distribution configurations

表2 Torus-OPNAV 蒙特卡洛仿真條件Tab.2 Torus-OPNAV Monte Carlo simulation condition

進(jìn)行蒙特卡洛仿真實驗，打靶次數(shù)1000 次，結(jié)果如表3-4 所示。得出如下結(jié)論：(1)不同環(huán)形山分布構(gòu)型和測量誤差方差條件下，Torus-OPNAV 算法運行時間相差不大，實時性較好，在180 ms 內(nèi)即可完成定位定姿；(2)Torus-OPNAV 定姿定位精度受環(huán)形山幾何構(gòu)型影響。環(huán)形山坐標(biāo)跨度越大，定位定姿結(jié)果越好；(3)探測器天向定位精度更高，成像余弦對探測器高度更敏感。在探測器下降著陸過程中，由于探測器姿態(tài)變化、圖像畸變等誤差影響，在探測圖像分辨率1 m/pixel，測量誤差優(yōu)于N(0,22)m 的情況下，基于空間位置分布模型的Torus-OPNAV 定位精度可達(dá)到米級，定姿優(yōu)于6 °(3σ)。

表3 構(gòu)型1 條件下蒙特卡洛仿真結(jié)果Tab.3 Monte Carlo results under Configuration 1

4.3 Torus-OPNAV 與VAIN 方法對比分析

現(xiàn)有的OPNAV 方法通常不單獨使用，而是與慣導(dǎo)系統(tǒng)（Inertial Navigation System,INS）進(jìn)行組合，采用視線矢量作為量測信息，構(gòu)建行星探測器視覺輔助慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（Vision-aided Inertial Navigation,VAIN）。因此，將本文提出Torus-OPNAV 方法與慣導(dǎo)進(jìn)行組合，分別在2 km 和15 km 高度對月面進(jìn)行隨機(jī)觀測，再與VAIN 方法進(jìn)行對比。導(dǎo)航相機(jī)參數(shù)與表1 相同，INS 參數(shù)如表5 所示。

表4 構(gòu)型2 條件下蒙特卡洛仿真結(jié)果Tab.4 Monte Carlo results under Configuration 2

表5 慣導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)Tab.5 Parameters of INS

選取出觀測圖像中最大的三座環(huán)形山作為定位信息，采用收斂后的位置和姿態(tài)的均方根誤差（Root Mean Square Error,RMSE）作為評價指標(biāo)進(jìn)行評價，仿真結(jié)果如表6 所示?？梢钥闯?，本文提出方法的導(dǎo)航精度要好于傳統(tǒng)的VAIN 方法。原因是在相同高度條件下，隨機(jī)選定觀測區(qū)域后，本文提出的Torus-OPNAV 能根據(jù)當(dāng)前環(huán)形山探測結(jié)果，計算出符合這一次隨機(jī)觀測的方差貢獻(xiàn) Ψ（X），用 Ψ（X）直接替換誤差方差矩陣R，進(jìn)而調(diào)整導(dǎo)航系統(tǒng)對探測信息的信任程度（濾波增益K），使導(dǎo)航系統(tǒng)具有一定自適應(yīng)性；而傳統(tǒng)VAIN 方法預(yù)先設(shè)定導(dǎo)航系統(tǒng)中的誤差方差矩陣R，算法性能弱于本文提出方法。其中位置精度提升約10%。

表6 Torus-OPNAV 與VAIN 導(dǎo)航結(jié)果對比Tab.6 Errors of Torus-OPNAV+INS and VAIN

5 結(jié)論

理論分析及仿真試驗表明，與現(xiàn)有OPNAV 方法相比，本文提出方法有如下優(yōu)勢：（1）揭示了光學(xué)成像信息與探測器所處空間位置分布之間的關(guān)系，論證該位置空間分布曲面為一圓環(huán)面，并以一組參數(shù)方程對其予以描述，降低光學(xué)導(dǎo)航的計算量。（2）由于測量誤差存在，探測得到的環(huán)形山中心及其形狀與真值難以精確匹配。本文詳細(xì)推導(dǎo)了誤差在最小二乘擬合、成像余弦計算、非線性迭代等過程中的誤差傳播特性；并提出成像余弦方差貢獻(xiàn)函數(shù)，以此分析環(huán)形山觀測誤差對光學(xué)導(dǎo)航定位、定姿精度的影響。（3）成像余弦方差貢獻(xiàn)函數(shù) Ψ（X）可直接用于調(diào)節(jié)濾波器中誤差方差矩陣R，使光學(xué)導(dǎo)航系統(tǒng)對復(fù)雜環(huán)境具有適應(yīng)性、提升導(dǎo)航精度。（4）提出方法可直接解算探測器絕對位置信息，定位精度高、實時性好。