2016年中科大自主招生不等式試題的證明、變式及推廣

劉遠(yuǎn)桃 陳明萬 唐明坤

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 550025)

1 試題呈現(xiàn)

分析 此題是一道分式不等式證明題，每個分式項(xiàng)的分子都是一個二次單項(xiàng)式，分母都是二項(xiàng)式，由整式和根式組成，各分式項(xiàng)結(jié)構(gòu)對稱.由此入手，想到將根式化為整式，再利用基本不等式、權(quán)方和不等式等進(jìn)行證明．

2 試題證明

證法1由基本不等式和權(quán)方和不等式得

評注此證法利用基本不等式將式子中各項(xiàng)的分母代數(shù)式有理化，再利用權(quán)方和不等式進(jìn)行放縮，湊出(a+b+c)項(xiàng)，將條件式a+b+c=3代入得到證明．

證法2由柯西不等式得

評注此證法利用柯西不等式將原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到一個新的放縮不等式，再利用三元基本不等式求出放縮值的最小值，從而得到證明．

評注此證法利用基本不等式將式子中各項(xiàng)的分母代數(shù)式有理化，結(jié)合條件式a+b+c=3將原不等式進(jìn)行放縮，再利用函數(shù)凹凸性和琴生不等式求出放縮后的最小值，從而得到證明．

因此可以看出，本區(qū)鈾礦化產(chǎn)于主要受控于與斷裂構(gòu)造，區(qū)域性三級斷裂與其次級斷裂或破碎帶發(fā)育部位，即為礦床的有利構(gòu)造部位。

評注此證法利用基本不等式將式子中各項(xiàng)的分母代數(shù)式有理化，結(jié)合條件式a+b+c=3將原不等式進(jìn)行放縮，再利用切線不等式求出放縮后的最小值，從而得到證明．

3 試題變式

分析變式1與變式2是將試題中不等式的分母代數(shù)式進(jìn)行整體輪換得到的，其證明方法與試題的證明完全一致．此外，還可以對試題中不等式的分母代數(shù)式進(jìn)行部分輪換，得到其他的輪換不等式．

4 試題改編

5 試題推廣

推廣1 已知a,b,c,d>0，滿足a+b+c+d=3，求證：

分析將試題中的三元推廣到四元，推廣形式不變．

推廣2 已知a,b,c,d>0，滿足a+b+c+d=3，求證：

分析將試題中的三元推廣到四元，同時將分母代數(shù)式變成二元形式得到．注意，后面的推廣仍然可以將分母代數(shù)式保持在二元形式，下面不再贅述．

分析將試題中的三元推廣到n元，推廣形式不變．

分析將試題中的三元推廣到n元，條件式的結(jié)果從3推廣到t，推廣形式不變．

分析將試題中的三元推廣到n元，各項(xiàng)式子中分子的指數(shù)從2推廣到m，條件式的結(jié)果從3推廣到t．

推廣1～推廣5的證明方法是一樣的，下面給出推廣5的證明，推廣1～推廣4的證明過程不再贅述．

由n元基本不等式和權(quán)方和不等式，待證不等式左邊

推廣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)發(fā)展的重要手段和途徑．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，推廣可以加強(qiáng)對觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發(fā)現(xiàn)能力以及創(chuàng)新意識等的培養(yǎng)；在數(shù)學(xué)研究中，推廣可以加深對問題本身的認(rèn)識和理解，可以產(chǎn)生新問題和新方法；在數(shù)學(xué)發(fā)展中，推廣可以引導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，可以產(chǎn)生新定理和新理論[1]．