立足圖形變化 提升推理能力*

蔣惠麗

(江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué)校 215009)

1 基本情況

為配合疫情防控的要求，我校上半年經(jīng)歷了由線下教學(xué)轉(zhuǎn)為線上教學(xué)．本節(jié)課是學(xué)生線上學(xué)完《全等三角形》，轉(zhuǎn)線下學(xué)習(xí)后的一節(jié)單元復(fù)習(xí)課．因環(huán)境的改變，不少學(xué)生還不能完全適應(yīng)線下課堂，因此，在結(jié)束了本章學(xué)習(xí)后，筆者開(kāi)設(shè)了一節(jié)借助全等三角形紙片的運(yùn)動(dòng)變化，鞏固基本知識(shí)、基本技能的單元復(fù)習(xí)課．

(1)教材與學(xué)情分析

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是在完成《全等三角形》一章的學(xué)習(xí)后，為進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，主要是從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他結(jié)論的能力．利用全等三角形可以證明線段、角等基本幾何元素相等，所以本章的內(nèi)容也是后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形、四邊形、圓等幾何圖形的基礎(chǔ)，教材以平移、翻折、旋轉(zhuǎn)為主線展開(kāi)“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)．

線上教學(xué)中教師沒(méi)有辦法實(shí)時(shí)關(guān)注所有學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，且通常會(huì)存在網(wǎng)絡(luò)延時(shí)的問(wèn)題、偶爾會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)異常、家庭學(xué)習(xí)氛圍不濃、同伴互助缺失等因素，線上學(xué)習(xí)期間，學(xué)生的聽(tīng)課、作業(yè)等情況都與線下授課有差異，而由此積累下來(lái)的學(xué)習(xí)習(xí)慣也對(duì)后續(xù)的線下學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的影響．由于學(xué)習(xí)環(huán)境不同導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果存在一定的差異，學(xué)生推理能力的發(fā)展也存在著不同程度的差異．

借助“靶向教學(xué)”進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，能夠給班級(jí)和學(xué)生提供個(gè)性化、針對(duì)性的指導(dǎo)，可以提升復(fù)習(xí)的效益．[1]基于此，筆者對(duì)前測(cè)調(diào)研數(shù)據(jù)進(jìn)行了靶向分析，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在幾何解題書(shū)寫的規(guī)范性、條件與結(jié)論之間的邏輯性分析方面還存在一些問(wèn)題，亟需一節(jié)針對(duì)性較強(qiáng)的單元復(fù)習(xí)課以彌補(bǔ)不足，幫助學(xué)生解決難點(diǎn)、痛點(diǎn)問(wèn)題，及時(shí)清理幾何學(xué)習(xí)道路上的障礙．

(2)教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo) 復(fù)習(xí)全等三角形的概念、性質(zhì)和判定；建構(gòu)全等三角形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生初步體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的方法；通過(guò)自主設(shè)計(jì)、合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考獲得證明的思路，注重遵循小步走、多層次的原則，由易到難、由淺入深地發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力．

教學(xué)重點(diǎn) 掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，建構(gòu)全等三角形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．

教學(xué)難點(diǎn) 規(guī)范解題書(shū)寫，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣．

2 教學(xué)過(guò)程

教師展示三組三角形紙片(圖1)，分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，疊合每組圖形后均重合，自然引出本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容，并幫助學(xué)生回憶全等三角形的定義．

圖1

2.1 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，建構(gòu)知識(shí)體系

問(wèn)題1如圖2，△ABC≌△DEF，你能得到哪些結(jié)論？

圖2

師：任取其中一組三角形(圖1(3))，如圖2放置，你能得到哪些結(jié)論？

生1：AB=DE，CB=FE，AC=DF．(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)

生2：∠A=∠D，∠C=∠DFE，∠ABC=∠E．(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)

師：很好！這些都是全等三角形的性質(zhì)．除此以外，你們還能得到其他結(jié)論嗎？

生3：AC∥DF，AB∥DE．

師：依據(jù)是什么？

生3：同位角相等，兩直線平行．

師：完全正確！還能得到什么結(jié)論？

生4：CF=BE．

師：它們?yōu)槭裁聪嗟龋?/p>

生4：因?yàn)镃B=FE，同時(shí)減去BF，剩下的部分仍然相等．

師：依據(jù)是什么？

生4：等式的性質(zhì)．

師：非常好！你不僅擁有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，還擁有一個(gè)積極思考的大腦．

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題1比較基礎(chǔ)，意在幫助學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的性質(zhì)——全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等．除此以外，聯(lián)系之前學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)，還有些結(jié)論需要轉(zhuǎn)化才能得到，通過(guò)復(fù)習(xí)幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)．

問(wèn)題2如圖2，在△ABC和△DEF中，要說(shuō)明△ABC≌△DEF，需要添加幾個(gè)條件？

師：反過(guò)來(lái)，如果要說(shuō)明△ABC≌△DEF，我們需要添加幾個(gè)條件？

生：三個(gè)．

師：具體是哪三個(gè)條件呢？

生5：AB=DE，∠A=∠D，AC=DF．

師：判定的依據(jù)是什么？

生5：SAS．

師：表達(dá)得很正確．還有另外的判定方法嗎？

生6：AB=DE，∠A=∠D，∠ABC=∠E．其實(shí)只要有兩組對(duì)應(yīng)的角相等，再加任意一組邊即可．

師：判定的依據(jù)是什么？

生6：ASA或者AAS．

師：很好！描述清楚到位．

生7：還可以添加AB=DE，CB=FE，AC=DF，依據(jù)是SSS．

師：回答非常完整！同學(xué)們，如果我們當(dāng)初的選擇是一對(duì)直角三角形(圖1(2))呢？

生7：只要加兩個(gè)條件了，因?yàn)樗詭б唤M直角．

師：非常好！你來(lái)試試．

生7：如果加兩條直角邊相等，那就是用SAS；如果加一組銳角相等，并且任意一組邊相等，那就是用AAS或者ASA；如果加一組直角邊相等，并且斜邊也相等，那就是用HL．

師：總結(jié)得很好！對(duì)于直角三角形，一般三角形全等的判定仍然適用．當(dāng)然，因?yàn)橐阎唤M直角相等的緣故，SSS這一判定需要添加三個(gè)條件，顯得有些“浪費(fèi)資源”，是被舍棄的．同時(shí)也因?yàn)橹苯侨切蔚奶厥庑裕c一般三角形相比，它還擁有一個(gè)特殊的判定方法(HL)．如果我們把這兩張鈍角三角形紙片放置到另一特殊的位置(圖3)，此時(shí)需要添加幾個(gè)條件呢？

圖3

問(wèn)題3如圖3，在△ABC和△DEF中，要說(shuō)明△ABC≌△DEF，需要添加幾個(gè)條件？

生8：兩個(gè)．因?yàn)樗鼈冇幸唤M公共邊，所以只要加兩角、兩邊或者一角一邊即可．

師：觀察得很仔細(xì)，表達(dá)得也很清楚．我們把公共邊這樣的條件叫做隱含條件，善于挖掘隱含條件，會(huì)為我們解決問(wèn)題提供很大的幫助．

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題2和問(wèn)題3也屬于非?；A(chǔ)的題目，目的是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的判定，強(qiáng)化判斷一組三角形全等需要三個(gè)條件，其中一組邊相等是必備條件．問(wèn)題3引導(dǎo)學(xué)生善于挖掘題目中的隱含條件——公共邊、公共角、對(duì)頂角等，從而有助于問(wèn)題的順利解決．

從大容量習(xí)題的學(xué)案走向簡(jiǎn)約呈現(xiàn)、內(nèi)涵豐富的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，可有效促進(jìn)學(xué)生思維卷入高質(zhì)量問(wèn)題中，從而追求探索未知的有效教學(xué)．[2]在問(wèn)題1～3的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生從定義、性質(zhì)、判定三個(gè)方面回憶了《全等三角形》這一章的知識(shí)點(diǎn)，這也是繼續(xù)研究其他幾何圖形的策略．同時(shí)，圖2和圖3還可以看成由△ABC平移、翻折而來(lái)，讓學(xué)生感悟圖形的運(yùn)動(dòng)變化是研究幾何的重要手段之一．

2.2 例題示范，規(guī)范解題格式

例1如圖2，已知AC∥DF，AC=DF，CF=BE．求證：AB∥DE．

例2如圖3，在△ABC和△DBC中，AC=DC，AB=DB，連結(jié)AD，試說(shuō)明CB與AD的位置關(guān)系．

在原有圖2和圖3的基礎(chǔ)上進(jìn)行命題，通過(guò)學(xué)生板書(shū)、師生合作點(diǎn)評(píng)，幫助學(xué)生梳理邏輯關(guān)系，明確幾何解題的規(guī)范，同時(shí)鞏固了位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系、間接條件和直接條件之間的相互轉(zhuǎn)化等知識(shí)點(diǎn)．因使用原圖，學(xué)生接受情況良好，節(jié)省了重新審題的時(shí)間，可以把更多的精力轉(zhuǎn)移到規(guī)范書(shū)寫上來(lái)．

例題過(guò)后設(shè)計(jì)一個(gè)開(kāi)放的變式，如把鈍角三角形替換成銳角三角形或者直角三角形、把平移和翻折結(jié)合起來(lái)或者加上旋轉(zhuǎn)均可，這一選擇由學(xué)生自己來(lái)決定，師生合作完成．有了前期問(wèn)題的鋪墊，學(xué)生進(jìn)而會(huì)思考這兩張三角形紙片還可以如何放置，一般放置到某一特定位置，一定會(huì)生成一些新的特殊圖形，這是一個(gè)命題者極容易捕捉到的信息，根據(jù)這一信息，可以命制出一些新的題目來(lái)．

2.3 自主設(shè)計(jì)，落實(shí)四基四能

課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀[3]．

例題是教師命題學(xué)生做，最后教師把命題解題的自主權(quán)交給學(xué)生．學(xué)生利用手中的全等三角形，圍繞本節(jié)課的主題來(lái)設(shè)計(jì)圖形，繼而發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，并能夠分析和解決問(wèn)題．在此活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生拼搭出很多作品，并在此基礎(chǔ)上嘗試命題解題．

學(xué)生部分作品如下：

作品1 將兩個(gè)全等三角形如圖4放置，∠A=75°，∠DBC=40°，求∠DCB的度數(shù)．

作品2 如圖5，已知△ABC≌△CDA，求證：AB∥DC，AD∥BC．

圖4 圖5

作品3 在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，將兩個(gè)全等的直角三角形如圖6放置，B,C,D三點(diǎn)在同一條直線上，求證：∠ACE=90°．

圖6 圖7

作品4 將三個(gè)全等的三角形如圖7放置，若∠ABC=18°，∠ACB=29°，求∠DAE的度數(shù)．

不少學(xué)生經(jīng)歷了近30分鐘的學(xué)習(xí)后，有些疲憊和懈怠，通過(guò)這一活動(dòng)環(huán)節(jié)，自主設(shè)計(jì)圖形、自主或者互相命題、獨(dú)立或者合作解決問(wèn)題，不僅能幫助學(xué)生鞏固本章知識(shí)，還能拓寬學(xué)生思維，同時(shí)調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增進(jìn)同伴互助，提高課堂實(shí)效．當(dāng)然，因?yàn)闂l件的限制，本節(jié)課生成出的作品大都是直接使用拼搭的圖形本身，已知三角形全等，求邊求角的問(wèn)題．課后教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用拼搭好的圖形，逐步添加線條，使得圖形更加豐富；也可以反過(guò)來(lái)通過(guò)添加合適的條件，轉(zhuǎn)而證明三角形全等．

2.4 課堂小結(jié)，布置作業(yè)(略)

3 回顧與反思

3.1 分析學(xué)情，定位精準(zhǔn)

學(xué)生剛剛恢復(fù)線下學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的狀態(tài)和以往相比還是略有不同，處于線上線下學(xué)習(xí)的過(guò)渡期．學(xué)生剛剛學(xué)完《全等三角形》這一章，許多知識(shí)點(diǎn)還有待進(jìn)一步鞏固提高，通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)幫助學(xué)生串聯(lián)全等的相關(guān)知識(shí)，初步建構(gòu)全等三角形的知識(shí)體系，感悟幾何學(xué)習(xí)的方法．

在選題設(shè)計(jì)方面充分考慮學(xué)情，選擇的圖形簡(jiǎn)潔清晰．課堂中出現(xiàn)的所有圖形都是由兩個(gè)全等的三角形構(gòu)成，學(xué)生比較容易厘清邊、角之間的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生建立解題自信；同時(shí)注重基本圖形的變化，讓學(xué)生感知復(fù)雜圖形可以由簡(jiǎn)單圖形運(yùn)動(dòng)變化獲得，逐步幫助學(xué)生完成從簡(jiǎn)單圖形到復(fù)雜圖形的過(guò)渡；在學(xué)生完全掌握了基本知識(shí)，積累一定的解題基本經(jīng)驗(yàn)后，再逐步接觸比較復(fù)雜的圖形，從而減少學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏難情緒．

3.2 動(dòng)手設(shè)計(jì)，自主命題

通過(guò)學(xué)生訪談，了解到他們也不是故意不聽(tīng)課，有些時(shí)候聽(tīng)著聽(tīng)著就走神了，等到回過(guò)神來(lái)的時(shí)候已然聽(tīng)不懂了，長(zhǎng)此以往學(xué)生也就慢慢失去了數(shù)學(xué)課堂的參與能力．基于此，把課堂還給學(xué)生，把命題解題的自主權(quán)交給學(xué)生，讓他們利用兩張全等的三角形紙片進(jìn)行拼搭，設(shè)計(jì)圖形—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題，通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生過(guò)了一把當(dāng)老師的癮，學(xué)習(xí)勁頭就上來(lái)了．從簡(jiǎn)單的拼搭開(kāi)始，慢慢添加線條，圖形越來(lái)越復(fù)雜，學(xué)生能解決的問(wèn)題越來(lái)越多，自信和興趣便隨之增多．

在“做”數(shù)學(xué)的活動(dòng)中，要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生是否能在教師的引導(dǎo)下，積極主動(dòng)進(jìn)行操作、探索、歸納；能否有條理地思考和表達(dá)；能否有意識(shí)地反思探索的過(guò)程，獲得分析問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)．此外，教師不僅要關(guān)注學(xué)生參與操作、探索、歸納活動(dòng)的程度，而且要關(guān)注

學(xué)生能否通過(guò)獨(dú)立思考獲得證明的思路，能否運(yùn)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證的過(guò)程．

活動(dòng)的順利進(jìn)行基于小組合作，如果學(xué)生只會(huì)拼搭圖形，但解決問(wèn)題的能力偏弱些，組內(nèi)的成員們會(huì)幫助他一起解決，同時(shí)其本人也會(huì)更加專注別人解決問(wèn)題的方法，更有針對(duì)性地去關(guān)注自己當(dāng)時(shí)的難點(diǎn)，為下一次自己能夠獨(dú)立解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ)．

3.3 適當(dāng)放手，留有余地

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，作為教師應(yīng)該把更多的時(shí)間和空間留給學(xué)生自己，而不是急于表達(dá)教師想表達(dá)的，應(yīng)當(dāng)多關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，給予更多學(xué)生表達(dá)自己的機(jī)會(huì)．有了輕松民主的課堂氛圍，學(xué)生思維的火花就能精彩頻出．

課后一位學(xué)生分享了他的思考．他認(rèn)為使用三角形紙片不妥，他拿出自己使用毛根(一種可彎曲定型的手工材料)制作的三角形，很認(rèn)真地說(shuō)，這才是三角形，而且疊合時(shí)前面的三角形也擋不住后面的．確實(shí)如此，他的想法是正確的，筆者大力表?yè)P(yáng)了他勤于動(dòng)手、善于觀察、專于思考、敢于發(fā)問(wèn)．然后解釋，用他的道具更好，只是不太常見(jiàn)，同學(xué)們不容易找到，解題時(shí)不能及時(shí)應(yīng)急，紙片雖然不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但是能表達(dá)清楚題目意圖，關(guān)鍵是它隨時(shí)可取，在必要的時(shí)候能夠幫助我們解決問(wèn)題．不過(guò)紙片三角形也好，毛根三角形也罷，它們都只是協(xié)助我們思考的“腳手架”，當(dāng)我們能夠順利解決問(wèn)題時(shí)，也可以無(wú)需通過(guò)道具就能解決問(wèn)題，但是毋庸置疑，這些道具在幫助我們?cè)O(shè)計(jì)圖形、分析問(wèn)題時(shí)發(fā)揮了極其重要的作用．