4.3 K ～ 299 K溫區(qū)Cu-ETP熱膨脹系數(shù)原位實(shí)驗(yàn)測(cè)量研究

劉文靜，張海洋，高 波，鄭嘉熹，韓東旭，羅二倉(cāng)，PITRE Laurent

1) 中國(guó)科學(xué)院理化技術(shù)研究所中法低溫計(jì)量科學(xué)與技術(shù)國(guó)際聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，北京 100190 2) 中國(guó)科學(xué)院理化技術(shù)研究所中國(guó)科學(xué)院低溫工程學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190 3) 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049 4) 北京石油化工學(xué)院，北京 102617 5) 法國(guó)國(guó)家計(jì)量院-法國(guó)國(guó)立科學(xué)技術(shù)與管理學(xué)院，拉普萊納-圣德尼 F93210

2019年5月20日世界計(jì)量日，國(guó)際單位制發(fā)生了重大變革，自此，七個(gè)基本單位全部由基本物理常數(shù)定義.其中，熱力學(xué)溫度單位開爾文（K）將根據(jù)玻爾茲曼常數(shù)重新定義[1].在基準(zhǔn)測(cè)溫領(lǐng)域，國(guó)際溫度咨詢委員會(huì)推薦了幾種基準(zhǔn)氣體測(cè)溫方法[2]：介電常數(shù)氣體測(cè)溫法[3]、聲學(xué)氣體測(cè)溫法[4]和折射率氣體測(cè)溫法[5?6].其中，聲學(xué)法和折射率法通常采用準(zhǔn)球形諧振腔結(jié)合微波諧振頻率測(cè)量技術(shù)進(jìn)行熱力學(xué)溫度測(cè)量.諧振腔的材料通常為金屬材料—電解瀝青銅（Cu-ETP）[7]，其一個(gè)特性是具有高導(dǎo)電性，微波諧振法使用的電磁波屬于交變電流，當(dāng)電磁波在金屬諧振腔體內(nèi)傳播時(shí)，電磁場(chǎng)會(huì)集中在材料的表面形成感應(yīng)電流，從而產(chǎn)生趨膚效應(yīng)[8]，Cu-ETP材料的高導(dǎo)電性使得諧振腔具有趨膚效應(yīng)低的優(yōu)點(diǎn)；該材料的另一特性是高導(dǎo)熱性，會(huì)使得諧振腔兼?zhèn)涞蜏責(zé)犴憫?yīng)快的優(yōu)點(diǎn)[9].

Cu-ETP是一種重要的材料，在航空航天和溫度計(jì)量等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，其準(zhǔn)確的材料特性是必不可少的，如熱膨脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)等.材料線性熱膨脹系數(shù)的測(cè)量在溫度計(jì)量行業(yè)至關(guān)重要，其溫度依賴特性在機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及應(yīng)用等領(lǐng)域是不可或缺的，特別是在低溫工程領(lǐng)域，實(shí)驗(yàn)裝置由具有不同熱性能和機(jī)械性能的部件組成.等溫壓縮系數(shù)在折射率氣體測(cè)溫中起著極其重要的作用[10?11]，精確的材料熱膨脹系數(shù)是獲得高準(zhǔn)確度等溫壓縮系數(shù)的前提之一.

由于Cu-ETP的熱膨脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)原位測(cè)量數(shù)據(jù)缺失，在基準(zhǔn)測(cè)溫領(lǐng)域國(guó)際同行通常以高導(dǎo)無(wú)氧銅（OFHC）物性作為Cu-ETP物性近似處理，這可能會(huì)引入固有測(cè)量誤差.因此，需要獲得一組高準(zhǔn)確的Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)，它也可用于檢驗(yàn)微波諧振頻率測(cè)量的準(zhǔn)確性和測(cè)溫的可靠性.

熱膨脹系數(shù)表示材料在熱載荷下的尺寸穩(wěn)定性[12]，其測(cè)定要求為對(duì)正在經(jīng)歷適當(dāng)熱循環(huán)的材料樣品測(cè)量?jī)蓚€(gè)物理量，分別為尺寸和溫度.當(dāng)樣品放置在真空下測(cè)量時(shí)是一種絕對(duì)技術(shù)，此時(shí)的測(cè)量精度最高[13].因此，本文的實(shí)驗(yàn)均是在真空條件下開展的線性熱膨脹系數(shù)測(cè)量.根據(jù)樣品的材料、尺寸、形狀、溫度范圍和要求的精度，可采用多種方法進(jìn)行溫度小于300 K[14]時(shí)材料的熱膨脹系數(shù)測(cè)量，例如，通過(guò)干涉式膨脹計(jì)[15]、電容式膨脹計(jì)[16]、光學(xué)膨脹計(jì)[17]、壓縮膨脹計(jì)[18]或微波諧振法[19?20]，其中，微波諧振法是一種原位、精度高的測(cè)量方法，已獲得較為廣泛的應(yīng)用[21?24].

本文基于多模式微波諧振法，采用降溫法和控溫法兩種實(shí)驗(yàn)方法原位測(cè)量了4.3 K到299 K溫區(qū)Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù).本文首先介紹了熱膨脹系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法，后續(xù)介紹了其實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)，最后介紹了兩種方法的測(cè)量結(jié)果，這兩種方法均采集了多組實(shí)驗(yàn)多個(gè)微波模式的微波諧振頻率數(shù)據(jù)，研究了各輪實(shí)驗(yàn)的重復(fù)性、微波模式一致性以及熱膨脹系數(shù)的測(cè)量不確定度，結(jié)果顯示Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)測(cè)量結(jié)果具有良好的微波模式一致性.通過(guò)原位實(shí)驗(yàn)測(cè)量，得到了一組準(zhǔn)確度高的線性熱膨脹系數(shù)數(shù)據(jù)，并基于此發(fā)展了線性熱膨脹系數(shù)關(guān)聯(lián)方程，這在等溫壓縮系數(shù)測(cè)量和數(shù)據(jù)的預(yù)處理中是必不可少的，也為熱力學(xué)溫度的測(cè)量提供了高準(zhǔn)確度的基礎(chǔ)物性數(shù)據(jù).

1 實(shí)驗(yàn)方法

1.1 微波諧振頻率測(cè)量方法

微波諧振頻率的測(cè)量過(guò)程如圖1所示.采用雙端口網(wǎng)絡(luò)分析儀（Agilent N5241A）作為微波信號(hào)源，微波信號(hào)經(jīng)1端口通過(guò)微波電纜、上天線傳輸至低溫端諧振腔中，在諧振腔中微波信號(hào)進(jìn)行諧振，諧振后的共振信號(hào)由下天線接收并通過(guò)另一根微波電纜傳回到網(wǎng)絡(luò)分析儀的2端口，實(shí)驗(yàn)所用源頻率f和散射參數(shù)S21通過(guò)Labview軟件采集記錄.為提高源頻率的準(zhǔn)確度，采用GPS/GNSS時(shí)間或頻率標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)（FS740）為網(wǎng)絡(luò)分析儀提供10 MHz頻率參考信號(hào).

圖1 微波諧振頻率測(cè)量示意圖Fig.1 The schematic of the microwave resonance frequency measurement

微波諧振頻率和半寬度通過(guò)擬合源頻率f和復(fù)數(shù)散射參數(shù)S21確定，擬合式如公式(1)所示[25]，擬合方法為L(zhǎng)evenberg–Marquardt方法.

其中，n=1、2、3分別代表x、y、z方向，An、B、C、D為待擬合的復(fù)常數(shù)，fn是每個(gè)共振峰的中心頻率，gn是半寬度，變量f*是所設(shè)置的任意頻率，本文中f*=f2.

實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，腔體材料的非完美導(dǎo)電性、波導(dǎo)效應(yīng)（天線孔、進(jìn)出氣孔）、形狀效應(yīng)等因素會(huì)使共振頻率偏離其理想值，因而需要進(jìn)行非理想修正[21?25].由于加工技術(shù)及加工精度所限，不能制造出完美球形，加工出的球形諧振腔會(huì)出現(xiàn)微波締合現(xiàn)象，難以獲得高品質(zhì)值共振頻率，導(dǎo)致諧振頻率測(cè)量精度大幅下降.針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，選擇采用可以分離微波締合模式的準(zhǔn)球形諧振腔.真空狀態(tài)下，準(zhǔn)球形諧振腔的半徑R可通過(guò)測(cè)量微波諧振頻率由公式(2)計(jì)算確定[9]：

其中，c0是真空光速，ξcorr是形狀修正后的特征根[24]，是半寬度修正后的平均微波諧振頻率.

1.2 準(zhǔn)球形諧振腔

準(zhǔn)球形諧振腔是完美球腔的一個(gè)微擾結(jié)構(gòu)，其在三維空間x、y、z方向上的半徑具有適當(dāng)?shù)牟町悾詫?shí)現(xiàn)微波頻譜締和的有效分離，可將微波諧振頻率測(cè)量準(zhǔn)確度提升3個(gè)數(shù)量級(jí)[25]，廣泛應(yīng)用于基準(zhǔn)測(cè)溫領(lǐng)域[2?6].

諧振腔材料為經(jīng)電解精煉后的Cu-ETP，具有很好的導(dǎo)熱性，更容易確保低溫溫度的均勻性[26].由于制造工藝的限制，每個(gè)準(zhǔn)球形諧振腔由兩個(gè)需組裝的半球組成，為了減少微波損耗，上、下半球的內(nèi)表面采用精密鉆石刀拋光.我們采用相對(duì)過(guò)量半寬度監(jiān)測(cè)方法，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)半球的精準(zhǔn)閉合[27]，保證了微波諧振頻率的高精度測(cè)量.

準(zhǔn)球形諧振腔內(nèi)表面可由公式(3)表示：

其中，R=50.00 mm是準(zhǔn)球腔在y軸方向的半徑，ε1=0.001和ε2=0.0005分別是z軸和x軸的形狀參數(shù)，殼體設(shè)計(jì)厚度為10.0 mm.準(zhǔn)球形諧振腔詳細(xì)結(jié)構(gòu)和參數(shù)參見文獻(xiàn)[4].

1.3 線性熱膨脹系數(shù)計(jì)算方法

線性熱膨脹系數(shù)α表示的是溫度T改變1 K時(shí)固態(tài)物質(zhì)長(zhǎng)度l的相對(duì)變化，其定義如公式(4)所示.

長(zhǎng)度l對(duì)溫度T的導(dǎo)數(shù)通過(guò)以下方法確定：首先將長(zhǎng)度擬合為溫度的一個(gè)合適的多項(xiàng)式函數(shù)，如公式(5)所示；然后，再對(duì)溫度求導(dǎo)獲得長(zhǎng)度對(duì)溫度的導(dǎo)數(shù)，如公式(6)所示.

其中，J為多項(xiàng)式擬合的階數(shù)，pj為待擬合的多項(xiàng)式系數(shù).

除特別說(shuō)明外，本文中的所有溫度值均是指1990年國(guó)際溫標(biāo)（ITS-90）[28]框架下的溫度值.

1.4 不確定度分析方法

除非另有說(shuō)明，本工作中的所有不確定度均為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，置信因子為k=1，對(duì)應(yīng)于68%的置信區(qū)間.如公式(4)所示，熱膨脹系數(shù)是由長(zhǎng)度值隨溫度的變化關(guān)系經(jīng)求導(dǎo)得出，因此，進(jìn)行熱膨脹系數(shù)的不確定度分析的前提是已知長(zhǎng)度的不確定度，本文中長(zhǎng)度均指代諧振腔半徑值.下面首先介紹半徑值的不確定度分析方法.

1.4.1 半徑不確定度計(jì)算

準(zhǔn)球形諧振腔的半徑值計(jì)算如公式(2)所示，主要與微波諧振頻率和修正后的特征根有關(guān)，從這兩個(gè)角度對(duì)半徑進(jìn)行不確定度分析，計(jì)算方法如公式(7)所示.微波諧振頻率是由微波信號(hào)按照公式(1)進(jìn)行頻率掃描和擬合得到，會(huì)存在擬合不確定度，即Levenberg–Marquardt方法的擬合精度，如公式(7)中的第一項(xiàng)u(ffit)所示；每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的結(jié)果是通過(guò)多次掃頻取平均得到，每次掃頻的微波諧振頻率會(huì)有細(xì)微差異，影響最終半徑值的計(jì)算，因此存在頻率穩(wěn)定性這個(gè)影響因素，等效為多組微波諧振頻率頻率數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，如公式(7)中的第二項(xiàng)u(fstability)所示；公式(2)中的特征根是指經(jīng)過(guò)非理想因素修正后的特征根，表征了實(shí)際和理論測(cè)量的差異，非理想修正的考慮與否也會(huì)影響半徑的測(cè)量，如公式(7)中的第三項(xiàng)u(fnon-ideal)所示.在進(jìn)行微波諧振頻率測(cè)量時(shí)，根據(jù)初始掃頻的不同，最終采集了多個(gè)微波模式的頻率數(shù)據(jù)，各微波模式的測(cè)量結(jié)果之間存在偏差，需要比較各微波模式頻率數(shù)據(jù)計(jì)算得出的半徑差，即微波模式一致性，控溫過(guò)程等效為各微波模式計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，降溫過(guò)程中由于溫度變化快，先進(jìn)行溫度修正后作標(biāo)準(zhǔn)差，為公式(7)中的第四項(xiàng)u(Rmode)；為減小隨機(jī)誤差的影響，測(cè)量過(guò)程中均進(jìn)行了多輪獨(dú)立測(cè)量，各輪測(cè)量結(jié)果間存在差異，與模式一致性分析方法相同，也是對(duì)所采集的多輪數(shù)據(jù)先進(jìn)行溫度修正后對(duì)所得多輪新數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差作為數(shù)據(jù)的重復(fù)性，如公式(7)中的第五項(xiàng)u(RRun repeability)所示.

1.4.2 熱膨脹系數(shù)不確定度計(jì)算

該系統(tǒng)中的熱膨脹系數(shù)是對(duì)半徑值隨溫度的變化關(guān)系經(jīng)求導(dǎo)得出，而在聯(lián)立半徑值隨溫度的變化關(guān)系時(shí)，受限于測(cè)量?jī)x器的采樣周期，所采集的數(shù)據(jù)是覆蓋整個(gè)溫區(qū)的溫度散點(diǎn).因此，需要將所采集的半徑和溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到半徑和溫度的確切關(guān)系后，對(duì)其進(jìn)行擬合從而得到熱膨脹系數(shù)值.半徑與溫度的擬合程度對(duì)于熱膨脹系數(shù)的計(jì)算至關(guān)重要，通過(guò)比較對(duì)半徑值增加一個(gè)半徑不確定度和原半徑值算出的熱膨脹系數(shù)值，從而確定半徑擬合不確定度，如公式(8)中的最后一項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)乘u(Rfit)所示.其他不確定度影響因素同上，計(jì)算方法與半徑擬合相同，均為比較對(duì)半徑值增加一個(gè)各分量的不確定度和原半徑值算出的熱膨脹系數(shù)的差異得到，最終不確定度分析方法如公式(8)所示，其中，前三項(xiàng)與半徑不確定度計(jì)算時(shí)的表達(dá)意義相同，而熱膨脹系數(shù)的計(jì)算中同樣會(huì)采用不同的微波模式頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，同樣會(huì)有微波模式一致性，這里表示為u(αmode)；與半徑不確定度分析方法相同，也是對(duì)所采集的多輪數(shù)據(jù)先進(jìn)行溫度修正后對(duì)所得多輪新數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差作為數(shù)據(jù)的重復(fù)性，如公式(8)中的第五項(xiàng)u(αRun repeability)所示.

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖2為定壓氣體折射率基準(zhǔn)測(cè)溫系統(tǒng)示意圖[29]，也是Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)圖，該恒溫器由脈沖管制冷機(jī)（Sumitomo RP-082B2）提供冷源，可以在4.2 K提供約1 W的冷量.為了獲得更低的工作溫度，采用了多級(jí)防輻射屏和柔性熱連接件，結(jié)合氣體熱開關(guān)，可將準(zhǔn)球形諧振腔的溫度最低降至4.3 K[30].每級(jí)法蘭上都布置有Cernox溫度計(jì)，以監(jiān)控溫度的變化.為獲得高穩(wěn)定的測(cè)量環(huán)境，控溫過(guò)程中，使用Cernox 1050型溫度計(jì)T2組合8? Keithley 2002數(shù)字多用表對(duì)二級(jí)法蘭進(jìn)行控溫、采用一支經(jīng)英國(guó)國(guó)家物理實(shí)驗(yàn)室（NPL）校準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)銠鐵溫度計(jì)（Tinsley，SN 226245，下文簡(jiǎn)稱為NPL2）配合AC交流電橋（ASL F18）對(duì)壓力腔進(jìn)行聯(lián)合控溫，最終，實(shí)現(xiàn)了諧振腔溫度的μK量級(jí)高穩(wěn)定性控制[31].受溫度計(jì)標(biāo)定范圍所限，降溫過(guò)程中采用序列號(hào)為X118726的CX-1050-CU-HT-1.4L型Cernox溫度計(jì)T10進(jìn)行降溫過(guò)程中諧振腔溫度采集，控溫過(guò)程中采用另一支經(jīng)NPL校準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)銠鐵溫度計(jì)（Tinsley，SN 226242，下文簡(jiǎn)稱為NPL1）進(jìn)行控溫過(guò)程中諧振腔溫度采集，各溫度計(jì)的布置如圖2所示.通過(guò)采用多重筒體和防輻射屏及在溫度計(jì)表面進(jìn)行絕熱、防輻射處理，減少與外界環(huán)境的影響，確保裝置內(nèi)部測(cè)溫環(huán)境的獨(dú)立與準(zhǔn)確，該裝置中涉及到的測(cè)量?jī)x器具體信息及其精度如下表1所示.

圖2 線性熱膨脹系數(shù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)圖Fig.2 The schematic of the linear thermal expansion experiment system

表1 本裝置中的儀表信息Table 1 Instrument information in this cryostat

2.2 實(shí)驗(yàn)步驟

本文中微波諧振頻率測(cè)量采用降溫法（動(dòng)態(tài)法）和控溫法（靜態(tài)法）兩種實(shí)驗(yàn)測(cè)量方案.方案1：需要將整個(gè)恒溫器從室溫降溫到低溫并同時(shí)進(jìn)行微波諧振頻率采集；方案2：將準(zhǔn)球形諧振腔降溫到目標(biāo)溫度，并進(jìn)行單個(gè)點(diǎn)的溫度控制和微波諧振頻率采集.

具體步驟如下：

(1) 記錄系統(tǒng)中各個(gè)溫度計(jì)的讀數(shù)溫度T.動(dòng)態(tài)法中，諧振腔溫度值由T10-Cernox溫度計(jì)進(jìn)行測(cè)量；靜態(tài)法中，諧振腔溫度值由NPL1標(biāo)準(zhǔn)銠鐵電阻溫度計(jì)確定，其由英國(guó)國(guó)家物理實(shí)驗(yàn)室標(biāo)定，詳見文獻(xiàn)[36]第三章節(jié)部分.

(2) 微波發(fā)射功率為?10 dBm，多個(gè)微波模式下的S21數(shù)據(jù)按照微波諧振頻率由低到高連續(xù)循環(huán)采集（比如，“TM11—TE11—TM12—TE13”，TM為橫磁模式，TE為橫電模式，后面的數(shù)字為區(qū)分的微波諧振頻率范圍）.動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí)，諧振腔溫度變化快，為實(shí)時(shí)響應(yīng)溫度變化、保證微波諧振頻率擬合結(jié)果收斂，應(yīng)加快頻率掃描速度，掃描帶寬設(shè)為50 Hz；靜態(tài)測(cè)量時(shí)，為降低微波測(cè)量噪聲，提高微波諧振頻率測(cè)量精度，應(yīng)降低頻率掃描速度，掃描帶寬設(shè)為5 Hz.

(3) 采用公式(1)實(shí)時(shí)擬合散射參數(shù)，并記錄相應(yīng)微波模式的微波諧振頻率、半寬度等數(shù)據(jù).對(duì)于靜態(tài)法，完成一個(gè)目標(biāo)溫度的測(cè)量后，需重復(fù)上述相應(yīng)測(cè)控過(guò)程，直到覆蓋整個(gè)研究溫區(qū)（4.3～26 K）.

為了檢驗(yàn)系統(tǒng)的可靠性，本文中我們采用兩種實(shí)驗(yàn)方案開展了多輪獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 降溫實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了消除隨機(jī)誤差的影響，得到可靠的結(jié)論，我們多次重復(fù)了降溫過(guò)程并進(jìn)行計(jì)算，為了使整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置降溫到最低溫度，需要在降溫過(guò)程開始之前向?qū)嶒?yàn)裝置中添加氦?4氣體，如圖2中藍(lán)色部分所示.而所充入氦?4氣體的量會(huì)影響降溫速度，本文中研究的不同輪實(shí)驗(yàn)的降溫過(guò)程如圖3所示，可以看到從室溫299 K到5 K的降溫過(guò)程持續(xù)約30 h，具體時(shí)間由室溫起始溫度和所充入氦?4氣體的量決定，當(dāng)起始充入的氦?4氣體越多時(shí)，實(shí)驗(yàn)裝置降溫越快.圖中紅線為Run12輪（第12次）實(shí)驗(yàn)，此時(shí)的降溫過(guò)程中水冷機(jī)發(fā)生了短暫暫停后并重啟，因此如圖中所示重啟后的降溫速率有所減慢.Run9到Run17之間圖中沒(méi)有的其他輪（Run11、Run13～Run16）實(shí)驗(yàn)由于停電導(dǎo)致制冷機(jī)停機(jī)、降溫中斷，未傳輸、保存溫度數(shù)據(jù)，降溫過(guò)快導(dǎo)致個(gè)別微波模式數(shù)據(jù)不收斂等原因，在降溫過(guò)程中均未采集完整、有效的降溫?cái)?shù)據(jù)，為此，本文中研究了如下四輪（Run9、Run10、Run12、Run17）降溫?cái)?shù)據(jù).

圖3 各輪實(shí)驗(yàn)的降溫過(guò)程Fig.3 The cooling procedure of different runs

3.1.1 諧振腔半徑

在降溫過(guò)程中，微波諧振腔的溫度由Cernox低溫電阻溫度計(jì)（T10）采集，低溫下該溫度計(jì)具有靈敏度高和穩(wěn)定性良好的優(yōu)點(diǎn)，其測(cè)量不確定度詳見其官方網(wǎng)站[35].按2.2章節(jié)實(shí)驗(yàn)方案，通過(guò)微波諧振頻率測(cè)量，由公式(2)可得到降溫過(guò)程中不同微波模式測(cè)得的微波諧振腔體半徑.

圖4為微波諧振腔半徑的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果.其中，圖4(a)描繪了Run9降溫過(guò)程中不同微波模式計(jì)算的半徑Rmode隨溫度的變化；并且，獲得了不同微波模式半徑計(jì)算值與第9輪平均值RRun9,avg的偏差，如圖4(b)所示，最大偏差為0.37 μm，表明半徑測(cè)量結(jié)果具有良好的微波模式一致性.

進(jìn)一步，為考察半徑測(cè)量的重復(fù)性，我們?cè)陂L(zhǎng)達(dá)兩年零三個(gè)月的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行了四輪獨(dú)立降溫實(shí)驗(yàn)（Run9、Run10、Run12、Run17），實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4(c)所示，可以看出，各輪半徑測(cè)量值RRun,avg與四輪結(jié)果平均值Ravg之間的偏差均在Ravg的測(cè)量不確定度內(nèi)，多次獨(dú)立降溫實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有良好的重復(fù)性.

最后，我們將各次實(shí)驗(yàn)平均半徑RRun,avg的平均值Ravg作為最終的測(cè)量半徑值，圖4(d)所示為半徑Ravg測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Ravg)的分析結(jié)果.在整個(gè)測(cè)量溫度范圍內(nèi)，半徑測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(RTotal)小于0.27 μm，其最大的不確定度源自不同微波模式測(cè)量半徑結(jié)果的一致性.在150 K～299 K之間，半徑測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性是其第二大來(lái)源，主要是由于四次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的開機(jī)降溫條件不同（室溫溫度、系統(tǒng)真空、熱開關(guān)充氣壓力等參數(shù)），導(dǎo)致該溫度區(qū)間降溫速率不同；低于150 K的溫度區(qū)間內(nèi)，微波測(cè)量的非理想性超過(guò)半徑測(cè)量重復(fù)性成為其第二大不確定度來(lái)源，可以看出，低溫區(qū)半徑測(cè)量結(jié)果幾乎不受室溫端開機(jī)實(shí)驗(yàn)條件的影響，從而更利于實(shí)現(xiàn)高準(zhǔn)確度的半徑測(cè)量.

圖4 降溫過(guò)程中的諧振腔半徑計(jì)算結(jié)果分析.(a) Run9單個(gè)微波模式測(cè)得的半徑; (b) Run9單個(gè)微波模式測(cè)得的半徑與平均半徑的偏差; (c) 不同輪實(shí)驗(yàn)測(cè)得的半徑平均值與最終半徑平均值的偏差(灰色背景為半徑平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度誤差帶); (d) 降溫過(guò)程中最終半徑平均值的不確定度分析Fig.4 Analysis of the resonator radius during cooling: (a) radius of each microwave mode of Run9; (b) deviation of the single microwave mode and the average radius of Run9; (c) radius deviation in different runs and the average value (the gray background is the error bar of the standard uncertainty in the average radius value); (d) uncertainty analysis of the final average radius during cooling

3.1.2 線性熱膨脹系數(shù)

為了降低擬合公式(5)的殘差影響、獲得合適的擬合階數(shù)，我們采用不同的多項(xiàng)式階數(shù)進(jìn)行了擬合，擬合結(jié)果Rfitting與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Rexperiment之間的對(duì)比結(jié)果如圖5所示.其中，圖5(a)為選取擬合階數(shù)J為7到12時(shí)諧振腔半徑的擬合殘差，圖5(b)為不同擬合階數(shù)對(duì)應(yīng)的殘差標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)擬合階數(shù)J=9時(shí)，殘差小于半徑測(cè)量不確定度且殘差標(biāo)準(zhǔn)差不再隨擬合階數(shù)的增加而大幅變化，可滿足計(jì)算要求.因此，在后續(xù)降溫過(guò)程線性熱膨脹系數(shù)的計(jì)算中，選取擬合階數(shù)Jopt=9.

圖5 不同擬合階數(shù)的擬合結(jié)果.(a) 不同擬合階數(shù)下半徑實(shí)驗(yàn)值與擬合值相對(duì)偏差的變化; (b) 不同擬合階數(shù)下擬合殘差標(biāo)準(zhǔn)差的變化Fig.5 Fitting result of different fitting sequences: (a) deviation of the experimental and fitting values of the radius with different fitting order; (b) change of standard deviation of the fitting residual with different fitting order

圖6為降溫過(guò)程中測(cè)得的5～299 K的Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)結(jié)果.其中，圖6(a)為Run9不同微波模式計(jì)算結(jié)果αmode與文獻(xiàn)[7]中高導(dǎo)無(wú)氧銅線性熱膨脹系數(shù)數(shù)據(jù)αNIST（其中高導(dǎo)無(wú)氧銅熱線性膨脹系數(shù)的關(guān)聯(lián)方程適用范圍為4 K≤T≤300 K，計(jì)算不確定度為 1.4×10?7K?1）的對(duì)比結(jié)果，可以看出，兩者偏差幾乎全部在文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度內(nèi)，最大偏差僅為 1.6×10?7K?1，且不同微波模式的線性熱膨脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有良好的一致性.

進(jìn)一步，基于四次獨(dú)立降溫實(shí)驗(yàn)，獲得了線性熱膨脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的重復(fù)性結(jié)果.圖6(b)呈現(xiàn)了不同輪實(shí)驗(yàn)線性熱膨脹系數(shù)平均值αRun,avg與多輪實(shí)驗(yàn)結(jié)果最終平均值αavg的偏差在5～299 K溫度范圍內(nèi)的變化趨勢(shì).可以看出，室溫附近不同輪實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏差較大，主要是由于四次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的開機(jī)降溫條件不同，導(dǎo)致室溫至270 K溫度范圍內(nèi)降溫速率不同；在低于25 K的溫區(qū)內(nèi)，偏差再次變大，主要是因?yàn)榈蜏叵轮C振腔比熱變小，降溫速度變快，可采集的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)較少導(dǎo)致，這也說(shuō)明了有必要采用控溫法對(duì)該溫區(qū)的線性熱膨脹系數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量.整體而言，5～299 K溫度范圍內(nèi)αRun,avg與αavg的偏差均小于 1.9×10?7K?1，這表明降溫?cái)?shù)據(jù)具有良好的重復(fù)性，結(jié)果可靠.

圖6 Run9降溫過(guò)程中線性熱膨脹系數(shù)計(jì)算結(jié)果分析.(a) 各微波模式線性熱膨脹系數(shù)計(jì)算值和文獻(xiàn)值的偏差; (b) 不同輪實(shí)驗(yàn)線性熱膨脹系數(shù)平均值與最終平均值的偏差; (c) 不同輪線性熱膨脹系數(shù)的最終平均值; (d) 線性熱膨脹系數(shù)的不確定度分析Fig.6 Analysis of the linear thermal expansion during the cooling of Run9: (a) deviation of linear thermal expansion of every microwave mode and the literature value; (b) deviation of the linear thermal expansions of different runs and the final average value; (c) final average value of the linear thermal expansion of different runs; (d) uncertainty analysis of the linear thermal expansion

最后，我們將各次實(shí)驗(yàn)αRun,avg取平均獲得了線性熱膨脹系數(shù)αavg，αavg及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(αTotal)隨溫度的變化分別如圖6(c)和圖6(d)所示.可以看出重復(fù)性是影響不確定度的最主要來(lái)源，其影響比其他各分項(xiàng)大2到3個(gè)數(shù)量級(jí)，并且在270 K以上和24.5 K以下影響更大，這是由于剛開始降溫時(shí)的降溫速率很快，而低溫下由于降溫很緩慢，可采集的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)比較少；微波模式一致性是重復(fù)性以外的第二大影響因素，剛開始降溫時(shí)和24.5 K以下的影響也比較大，因此，開展后續(xù)控溫過(guò)程中的線性熱膨脹系數(shù)計(jì)算很有必要，降溫過(guò)程線性熱膨脹系數(shù)最大標(biāo)準(zhǔn)不確定度為2.2×10?7K?1.

3.2 控溫實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2.1 諧振腔半徑

受基準(zhǔn)測(cè)溫裝置中制冷機(jī)冷量參數(shù)和加熱器的功率峰值限制，目前低溫區(qū)可控的溫度范圍為4.3～26 K，因此，在控溫過(guò)程中主要開展此溫度區(qū)間的熱膨脹系數(shù)測(cè)量研究.同降溫過(guò)程分析方法，圖7(a)為Run10控溫法各個(gè)微波模式測(cè)量的微波諧振腔半徑Rmode結(jié)果，圖7(b)為Run10各個(gè)微波模式測(cè)得的半徑Rmode與Run10平均半徑RRun10,avg之間的偏差.可以看出，不同微波模式測(cè)得的半徑Rmode隨溫度的變化趨勢(shì)并不完全相同，TE11模式的半徑與RRun10,avg的偏差最小，而TM11模式的半徑與RRun10,avg的偏差最大，在4.3～26 K溫度范圍內(nèi)，四種微波模式半徑與RRun10,avg的偏差量級(jí)是相同的，最大變化幅度為0.089 μm，半徑測(cè)量結(jié)果具有良好的微波模式一致性.

圖7(c)為多次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中各微波模式的平均半徑值RRun,avg與其最終平均值Ravg的偏差結(jié)果（其中，Run9實(shí)驗(yàn)在不拆機(jī)的情況下進(jìn)行了兩輪實(shí)驗(yàn)，分別表示為Run9-1和Run9-2如圖中圖例所示），偏差均在0.0056 μm內(nèi)，小于半徑測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Ravg)，具有良好的重復(fù)性.與降溫法半徑測(cè)量結(jié)果相比，控溫法半徑測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性提升約2倍，主要是因?yàn)槎鄠€(gè)微波模式連續(xù)循環(huán)采集存在時(shí)間差，降溫時(shí)各微波模式溫度不一致引起.

圖7 控溫過(guò)程中諧振腔半徑計(jì)算結(jié)果分析.(a) Run10控溫過(guò)程中各微波模式諧振腔半徑計(jì)算結(jié)果; (b) Run10控溫過(guò)程單個(gè)微波模式半徑和平均半徑的偏差; (c) 各輪控溫過(guò)程中半徑各模式平均值和最終平均半徑值的偏差; (d) 控溫過(guò)程中半徑的不確定度分析Fig.7 Analysis of the resonator radius during temperature control: (a) resonator radii of different microwave modes in Run10; (b) deviation of single microwave mode and average radius in Run10; (c) deviation of the average radii of different modes in different runs and the final average value; (d)uncertainty analysis of the resonator radius

最后，我們將各次實(shí)驗(yàn)平均半徑RRun,avg的平均值Ravg作為最終的測(cè)量半徑值，其不確定度分析u(Ravg)及不確定度分量占比如圖7(d)所示.可以看出，Ravg的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(RTotal)約為0.12 μm，這里列出了五個(gè)主要的不確定度分量.其中，非理想修正和頻率穩(wěn)定性是兩個(gè)主要因素，占比近乎相同；其次，微波模式一致性的影響比上述兩個(gè)分量小，但它們對(duì)半徑的影響在同一量級(jí)；而半徑測(cè)量重復(fù)性和頻率擬合的影響很小，與其他三個(gè)因素相比可以忽略不計(jì).為了更清楚地了解每個(gè)分量的占比，在表2中詳細(xì)列出了半徑Ravg在5、15和24.5 K時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度結(jié)果.

表2 5、15和24.5 K下準(zhǔn)球形諧振腔半徑的不確定度分析Table 2 Uncertainty analysis of the radius at 5, 15, and 24.5 K

3.2.2 線性熱膨脹系數(shù)

我們首先對(duì)整個(gè)溫區(qū)每個(gè)微波模式測(cè)得的半徑數(shù)據(jù)作多項(xiàng)式擬合，與降溫法分析思路一樣，根據(jù)擬合殘差、殘差標(biāo)準(zhǔn)以及半徑測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度，確定最佳的多項(xiàng)式擬合階數(shù)為Jopt=7，此時(shí)，擬合殘差的影響相對(duì)測(cè)量半徑的不確定度可以忽略不計(jì).

4.3～26 K溫區(qū)Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)結(jié)果如圖8所示.圖8(a)為Run10各微波模式實(shí)驗(yàn)測(cè)量值αmode和文獻(xiàn)值αNIST[9]的比較結(jié)果.在圖8(a)所示的整個(gè)溫度范圍內(nèi)，各微波模式線性熱膨脹系數(shù)結(jié)果與文獻(xiàn)值的偏差在2.1×10?8K?1范圍內(nèi)，比降溫實(shí)驗(yàn)結(jié)果（圖6(a)）小一個(gè)數(shù)量級(jí)，表明控溫法測(cè)量結(jié)果具有更好的微波模式一致性.

圖8(b)呈現(xiàn)了不同輪實(shí)驗(yàn)線性熱膨脹系數(shù)各微波模式平均值αRun,avg與多輪實(shí)驗(yàn)最終平均值αavg的偏差在4.3～26 K溫度范圍內(nèi)的變化趨勢(shì).可以看出，整個(gè)測(cè)量范圍內(nèi)αRun,avg與αavg的偏差小于 2.8×10?9K?1，這一結(jié)果比降溫法小一個(gè)數(shù)量級(jí)，再次表明控溫法測(cè)量結(jié)果具有更好的重復(fù)性.

圖8(c)和圖8(d)分別為各輪實(shí)驗(yàn)αRun,avg的平均值αavg及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(αTotal)的分析結(jié)果，控溫過(guò)程中線性熱膨脹系數(shù)的最大標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 2.9×10?9K?1.線性熱膨脹系數(shù)測(cè)量不確定度的來(lái)源主要有兩類：含有非理想修正的諧振頻率的實(shí)驗(yàn)測(cè)量和多微波模式頻率測(cè)量.在第一類中，主要包括由腔體非理想性導(dǎo)致的趨膚效應(yīng)[37]，由氣體管道和天線探針孔洞引起的波導(dǎo)修正[37]，準(zhǔn)球腔特殊設(shè)計(jì)形狀的二階形狀修正[38?39]以及基于相同溫度分析的溫度修正.第二類是多輪獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，多微波模式諧振頻率測(cè)量等引入的不確定度.其最大的測(cè)量不確定度來(lái)源為多模式微波測(cè)量結(jié)果的一致性；其次，是多次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的重復(fù)性，相比這兩個(gè)因素，其他不確定度來(lái)源的影響可以忽略不計(jì)，表3中列舉了5、15和24.5 K的αavg標(biāo)準(zhǔn)不確定度分析結(jié)果.

表3 5、15和24.5 K下線性熱膨脹系數(shù)不確定度分析Table 3 Uncertainty analysis of linear thermal expansion at 5, 15, and 24.5 K

圖8 控溫過(guò)程中線性熱膨脹系數(shù)計(jì)算結(jié)果分析.(a) Run10實(shí)驗(yàn)中各微波模式線性熱膨脹系數(shù)計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)值的偏差; (b) 不同輪實(shí)驗(yàn)線性熱膨脹系數(shù)平均值和最終平均值的偏差(粉色背景為平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度誤差帶); (c) 多輪控溫過(guò)程中線性熱膨脹系數(shù)的最終平均值; (d) 控溫過(guò)程中線性熱膨脹系數(shù)的不確定度分量占比Fig.8 Analysis of the linear thermal expansion during temperature control: (a) deviation of experiment and reported linear thermal expansion of Run10 for microwave different modes; (b) deviation of average thermal expansion for different runs and the final average value (the pink background is the error bar of the standard uncertainty of the final average value); (c) final average value of linear thermal expansion for different runs; (d) uncertainty analysis of the final linear thermal expansion

3.3 線性熱膨脹系數(shù)關(guān)聯(lián)方程

在3.1和3.2章節(jié)中，我們基于多輪、多微波模式實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得了定壓氣體折射率基準(zhǔn)測(cè)溫系統(tǒng)中Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)，為便于應(yīng)用，我們將所測(cè)得的線性熱膨脹系數(shù)平均值αavg及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(αavg)關(guān)聯(lián)為溫度的多項(xiàng)式函數(shù)，最佳的多項(xiàng)式階數(shù)值Jopt的確定與上述章節(jié)中半徑擬合時(shí)相同，這里不在贅述.為便于公式推廣于適用于一般情況，本章節(jié)中下標(biāo)αavg表示為α.

降溫法5～299 K線性熱膨脹系數(shù)α及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(α)與溫度的的擬合函數(shù)α(T)和u(α(T))分別為：

其中，公式(9)擬合殘差的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為3.3×10?8K?1，小于實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(α)，公式 (9)擬合殘差影響可以忽略不計(jì)；公式(10)計(jì)算的殘差僅為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(α)的2.2%，具有很好的復(fù)現(xiàn)性.

控溫法4.3～26 K線性熱膨脹系數(shù)α及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(α)的擬合函數(shù)α(T)和u(α(T))分別為：

公式(11)的擬合殘差的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為4.1×10?10K?1，實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)不確定度與溫度的關(guān)系如公式(12)所示，由于4.3～26 K控溫法測(cè)量結(jié)果更優(yōu)，實(shí)際使用時(shí)在4.3～26 K溫度區(qū)間內(nèi)建議采用公式(11)進(jìn)行計(jì)算，26～299 K溫度區(qū)間內(nèi)建議采用公式(9)進(jìn)行計(jì)算.

上述方程不僅可以用于等溫壓縮系數(shù)和熱力學(xué)溫度的計(jì)算，還可以用于真空實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)處理，不同溫度下微波諧振頻率可由公式(13)相互轉(zhuǎn)換.在真空實(shí)驗(yàn)中，如果在計(jì)劃之外缺少了某個(gè)實(shí)驗(yàn)狀態(tài)的微波諧振頻率，我們就可以利用公式(13)結(jié)合線性熱膨脹系數(shù)關(guān)聯(lián)方程α(T)計(jì)算獲得.

式中，f(T1,0)和f(T2,0)分別為真空狀態(tài)下溫度為T1和T2時(shí)所測(cè)得的微波諧振頻率.

4 結(jié)論

基于多模式微波諧振法，本文原位測(cè)量了定壓氣體折射率基準(zhǔn)測(cè)溫系統(tǒng)中Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)，采用降溫法和控溫法兩種實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法，獲得了4.3～299 K范圍內(nèi)一組完整、高精度的Cu-ETP熱膨脹系數(shù)數(shù)據(jù).

降溫法（5～299 K）線性熱膨脹系數(shù)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 2.2×10?7K?1，其中，重復(fù)性是其測(cè)量不確定度的主要來(lái)源，室溫區(qū)不確定度較大主要是由于重復(fù)實(shí)驗(yàn)的開機(jī)條件不同引起.控溫法（4.3～26 K）線性熱膨脹系數(shù)的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為2.9×10?9K?1，其中，微波模式一致性和重復(fù)性是其測(cè)量不確定度的兩大主要來(lái)源.這兩種測(cè)量方法都采集了多個(gè)微波模式數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果也反映了良好的微波模式一致性.控溫穩(wěn)定性高、微波測(cè)量噪聲低，控溫法獲得的線性熱膨脹系數(shù)結(jié)果更為精確，與降溫法相比，不確定度約小兩個(gè)數(shù)量級(jí)，控溫法更適用于高精度線性熱膨脹系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量.

最終，發(fā)展了定壓氣體折射率基準(zhǔn)測(cè)溫系統(tǒng)中Cu-ETP材料的線性熱膨脹系數(shù)方程，實(shí)現(xiàn)了線性熱膨脹系數(shù)與溫度的高精度關(guān)聯(lián)，可用于低溫計(jì)量領(lǐng)域等溫壓縮系數(shù)等物性測(cè)量計(jì)算、微波諧振頻率測(cè)量的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)以及真空條件下不同溫度微波諧振頻率的修正計(jì)算.