Hopf群余代數(shù)上對角交叉積的Maschke型定理

羅曉芳，張穎穎，陳笑緣

Hopf群余代數(shù)上對角交叉積的Maschke型定理

羅曉芳1，張穎穎2，陳笑緣2

（1.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 金華 322000； 2.浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310053）

構(gòu)造了Hopf群余代數(shù)上對角交叉積代數(shù)結(jié)構(gòu)，給出了其為Hopf群余代數(shù)的充要條件，證明了其表示范疇同構(gòu)于Yetter-Drinfeld群模范疇，并將Hopf代數(shù)理論中經(jīng)典的Maschke型定理推廣至Hopf群余代數(shù)的對角交叉積。

Hopf群余代數(shù)；對角交叉積； Maschke型定理

Quasi-Hopf代數(shù)上的對角交叉積結(jié)構(gòu)由MAJID［3］引入。在交換Hopf代數(shù)上，將L-R Smash積和Kadison積作為對角交叉積的典型例子。文獻(xiàn)［4-5］不僅討論了相關(guān)結(jié)構(gòu)，而且證明了對角交叉積的表示范疇同構(gòu)于Yetter-Drinfeld模范疇。

首先構(gòu)造了Hopf群余代數(shù)上對角交叉積代數(shù)結(jié)構(gòu)，其次給出了Hopf群余代數(shù)的充要條件，再次證明了其表示范疇同構(gòu)于Yetter-Drinfeld群模范疇，最后將Hopf代數(shù)理論中的Maschke型定理［6］推廣至Hopf群余代數(shù)的對角交叉積。

顯然有，

引理1得證。

對極定義為

等式左邊為

等式右邊為

定理1獲證。

引理4獲證。

經(jīng)以上準(zhǔn)備，下面給出Maschke型定理。

［1］ VIRELIZIER A. Hopf group-coalgebras［J］. Journal of Pure & Applied Algebra， 2002，171（1）：75-122. DOI：10.1016/S0022-4049（01）00125-6

［2］ ZUNINO M .Yetter-Drinfeld modules for Turaev crossed structures［J］.Journal of Pure & Applied Algebra，2004，193（1-3）：313-343. DOI：10.1016/j.jpaa.2004.02.014

［3］ MAJID S. Quantum double for quasi-Hopf algebras［J］. Letters in Mathematical Physics，1998，45：1-9. DOI：10.48550/arXiv.q-alg/9701002

［4］ CAENEPEEL S ， MILITARU G， ZHU S. Frobenius and separable functors for generalized module categories and nonlinear equations［M］// Lecture Notes in Mathmatics 1787. Berlin：Springer Verlag， 2002.

［5］ HAUSSER F， NILL F. Diagonal crossed products by duals of quasi-quantum group［J］. Reviews in Mathematical Physics， 1999， 11（5）：563-629. DOI：10.1142/S0129055X99000210

［6］ MONTGONERY S. Hopf algebras and their actions on rings［M］// CBMS Regional Conference Series in Mathematics（Vol 82）. Los Angeles： AMS， 1993. DOI：10.1090/cbms/082

［7］ ZUNINO M.Double construction for crossed Hopf coalgebras［J］. Journal of Algebra， 2004，278（1）：43-75. DOI：10.1016/j.jalgebra.2004.03.019

The Maschke-type theorems of diagonal crossed products over Hopf group coalgebras

LOU Xiaofang1, ZHANG Yinyin2, CHEN Xiaoyuan2

1，322000，，；2，310053，）

In this paper, a diagonal crossed product over a Hopf group coalgebra is constructed, and the sufficient and necessary conditions for it being a Hopf group coalgebra are given. Then we prove that the representation category of a diagonal crossed product over a Hopf group coalgebra is isomorphic to the category of Yetter-Drinfeld π-modules and extend the classic Maschke-type theorem of Hopf algebra to diagonal crossed products over Hopf group coalgebras.

Hopf group coalgebra; diagonal crossed product; Maschke-type theorem

O 153.3

A

1008?9497（2023）01?016?04

2021?09?24.

羅曉芳（1964—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-5855-2890，女，碩士，主要從事數(shù)學(xué)與教學(xué)研究.