帶混合時滯的計算機(jī)病毒模型的最優(yōu)控制研究

李小妮

(陜西國際商貿(mào)學(xué)院 通識學(xué)院，陜西 西安 712046)

在大數(shù)據(jù)背景下,計算機(jī)已經(jīng)應(yīng)用于很多領(lǐng)域，成了人類不可或缺的工具.計算機(jī)在給人們生活帶來便利的同時，也給人們的生活帶來了一些危害.例如，計算機(jī)病毒.計算機(jī)病毒的暴發(fā)，使人們生活引發(fā)混沌，使人類經(jīng)濟(jì)遭受重創(chuàng)[1-2].因此，及時有效地對計算機(jī)病毒防控尤為重要.建立數(shù)學(xué)模型研究計算機(jī)病毒傳播規(guī)律，預(yù)測病毒發(fā)展情況，可以為防控工作者提供科學(xué)的理論依據(jù)[3-5].在計算機(jī)病毒暴發(fā)初期，由于缺乏相應(yīng)的殺毒軟件，政府的信息安全宣傳是防護(hù)計算機(jī)病毒傳播的主要方式[3-4].信息安全宣傳可以提高民眾安全防護(hù)觀念，是一種及時有效的防控措施.

此外，使用殺毒軟件作為一種更加直接有效的計算機(jī)病毒防控措施，可以在很大程度上遏制計算機(jī)病毒的大規(guī)模流行，通常與信息安全宣傳措施結(jié)合使用.

在病毒防治過程中，過度的信息安全宣傳和過量的使用殺毒軟件不僅會給人們的身心健康產(chǎn)生負(fù)面影響，也會浪費(fèi)有限的社會資源.所以，制定有效的防控措施尤為重要.在數(shù)學(xué)建模過程中，將控制策略作為決策變量建立最優(yōu)控制模型，可以求得相應(yīng)的最優(yōu)控制變量[3-6].因此，越來越多的學(xué)者考慮將信息安全宣傳、使用殺毒軟件作為控制變量研究最優(yōu)控制問題[3-4].在實(shí)際生活中，由于計算機(jī)病毒有一定的潛伏期，所以將時滯引入數(shù)學(xué)模型中，可以更貼近實(shí)際.因此，很多學(xué)者致力于研究帶時滯的計算機(jī)病毒模型[7-9].

本文將信息安全宣傳與殺毒軟件使用作為控制變量運(yùn)用到計算機(jī)病毒模型中，研究基于信息安全宣傳和殺毒軟件使用的混合時滯計算機(jī)病毒模型的最優(yōu)控制問題.

1 模型的建立

為了描述計算機(jī)病毒，提出了如下計算機(jī)病毒模型，

(1)

其中，S,E,I,R表示易感節(jié)點(diǎn)、暴露節(jié)點(diǎn)、感染節(jié)點(diǎn)和恢復(fù)節(jié)點(diǎn)，φ,Λ,r,λ,η表示從暴露節(jié)點(diǎn)到確診節(jié)點(diǎn)的比率、易感節(jié)點(diǎn)輸入率和感染節(jié)點(diǎn)的恢復(fù)率、感染系數(shù)、死亡率，α1表示飽和常數(shù).

將信息安全宣傳和殺毒軟件的使用作為控制變量引入計算機(jī)病毒模型 (1) 中，得到新的混合時滯的最優(yōu)控制模型，

(2)

其中，u1(t)表示信息安全宣傳強(qiáng)度，u2(t)為殺毒軟件的使用強(qiáng)度，α2為飽和常數(shù).

本文的目標(biāo)是尋求最優(yōu)控制量(u1(t),u2(t))，使得感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量降低.為此，定義如下形式的目標(biāo)函數(shù)，

2 最優(yōu)控制的存在性及其刻畫

首先證明最優(yōu)控制的存在性，然后對其進(jìn)行刻畫.

2.1 最優(yōu)控制的存在性

首先，令x=(S,E,I,R)T,u(t)=(u1(t),u2(t))T∈U，然后，給出最優(yōu)控制的存在性.

(3)

證明分三個部分證明最優(yōu)控制的存在性[10].

(ii)控制集U為凸緊集.

2.2 最優(yōu)控制的刻畫

對最優(yōu)控制 (2) 進(jìn)行刻畫.構(gòu)造Hamilton 函數(shù)，

(4)

將(4)代入上式可得方程(2)的伴隨方程，

其中，λi(T)=0，(i=1,2,3,4)為橫截條件.

(5)

其中，

(6)

由Hamilton 表達(dá)式可得，

(7)

化簡方程(7)可得，

由于ui(t)，(i=1,2)是有界得，所以方程(5)成立.因此，可得控制函數(shù)對u1(t),u2(t)的最優(yōu)解.證畢.

3 數(shù)值模擬

將對理論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬.模型(2)的參數(shù)取值如下，

T=200,Δ=0.01,τ=1.5,Λ=0.1,η=5.48×10-5,λ=0.0014,α1=1,α2=1,

權(quán)重A1=1.5×10-6,A2=2.5×10-7,B1=1,B2=3.1×10-5,C1=1,C2=0.1.模型(2)的初始值S(0)=10000,I(0)=50,R(0)=10,Z=1.

表1 最優(yōu)控制實(shí)現(xiàn)算法

數(shù)值算例結(jié)果如圖1所示.圖1中(a)和(c) 給出了兩種情況(無控制、有兩種控制措施)下，暴露節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)的時間序列圖.圖 1(b) 給出了控制變量u1,u2的取值.由圖1(a)和(c) 知，采取混合控制措施后，E(t),I(t)的值大幅下降.由圖 1(a) 知，在時間段60≤t≤100之間，E(t)下降速度快，后期雖有小幅上升，但最終E(t)得到控制.由圖 1(c) 知，在時間段60≤t≤120之間，I(t)下降速度快.因此可得，在計算機(jī)病毒暴發(fā)后，采取混合控制措施可以大幅減少感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量，對計算機(jī)病毒防控具有重要意義.

圖1 最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)控制

4 結(jié) 論

本文研究了一類混合時滯計算機(jī)病毒傳播模型的最優(yōu)控制問題.將信息安全宣傳和殺毒軟件使用作為干預(yù)措施引入計算機(jī)病毒模型，得到了新的混合時滯計算機(jī)病毒傳播模型，借助最優(yōu)控制理論，給出了最優(yōu)控制函數(shù).最后，數(shù)值算例驗(yàn)證了理論結(jié)果.由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得， 兩種干預(yù)措施可以有效控制感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量，對計算機(jī)病毒防控具有更好的效果.