熱環(huán)境中多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁的自由振動特性分析

滕兆春 , 馬鈴權

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

功能材料的概念最初是由美國貝爾研究所Morton博士在1965年提出,后經(jīng)日本各研究所、大學及學會的大力提倡和重視,功能梯度材料(functionally graded material,FGM)的概念于1987年被新野正之、平井敏雄等日本學者提出.功能梯度材料是一種特殊的非均勻復合材料,通常由陶瓷和金屬復合而成,其材料性質一般沿某一方向而連續(xù)變化.其中陶瓷材料具有較好的耐熱性,而金屬材料具有良好的機械強度,因此功能梯度材料可以在保持韌性的同時能減緩熱應力以適應高溫環(huán)境.功能梯度材料起初由日本方面用于火箭引擎和箭體的熱防護材料,由于其較高的機械強度、獨特的抗熱沖擊和耐熱性能解決了由飛機高速飛行使機身形成極大內外溫差而產生的熱應力問題,引起很多國家宇航領域科技工作者的關注,功能梯度材料的研究迅速展開,國內外取得了顯著的成果.目前功能梯度材料的應用非常廣泛,如反應堆容器、聚變能源裝置、生物醫(yī)學部門、飛機、空間運載工具、國防工業(yè)和其他工程結構.隨著各個領域對功能梯度材料結構的不斷需求,人們對功能梯度材料及結構的力學行為進行了大量研究.早期研究成果詳細可見Reddy、Li和Sina等[1-3]諸多學者的系列研究工作.近年來,Tang等[4]基于非局部應變梯度積分模型研究了功能梯度材料 Timoshenko梁的屈曲載荷和振動頻率.Zhang[5]定義了功能梯度材料梁物理中面的表達式并考慮von Kármán應變-位移關系和高階剪切變形理論,實現(xiàn)了功能梯度材料梁的拉彎解耦,應用Ritz法給出了功能梯度材料梁熱過屈曲和非線性振動的近似解.Gupta等[6]基于非多項式高階剪切及正交變形理論研究了Winkler-Pasternak彈性地基上功能梯度板的自由振動和彎曲響應.蒲育等[7]基于n階廣義剪切變形梁理論(GBT)研究了熱-機載荷耦合作用下彈性地基功能梯度材料梁的振動特性和穩(wěn)定性.滕兆春等[8]基于Timoshenko梁理論,采用微分變換法(differential transform method,DTM)研究了彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動,分析了邊界條件、轉速、彈性地基模量和梯度指數(shù)對橫向自由振動無量綱固有頻率的影響.李萬春[9]等基于Euler-Bernoulli曲梁理論,分析了曲率變化系數(shù)和材料體積分數(shù)對變曲率功能梯度材料拱面內自由振動頻率的影響.Sayyad等[10]在考慮剪切變形和轉動慣量影響的基礎上應用各種等效的單層殼理論研究了功能梯度材料雙曲殼的靜態(tài)和自由振動響應.上述工作大多在功能梯度材料的理想狀態(tài)建立力學模型并進行力學分析,忽略了實際應用中材料孔隙的存在.

功能梯度材料在實際制備和生產中,由于制備方式和工藝的缺陷,使得材料內部往往產生微小孔隙.孔隙對功能梯度材料的剪切強度、彎曲強度和模量、拉伸強度和模量、壓縮強度和模量等有著較大的影響.已有一些學者對多孔功能梯度材料結構的靜動態(tài)力學行為展開研究.其中,Shafiei等[11]對多孔功能梯度材料雙向錐形納米梁的力學行為進行了計算和分析.結果表明多孔體積分數(shù)、功能梯度指數(shù)以及橫截面的改變對多孔功能梯度材料雙向錐形微、納米梁的屈曲行為有較大的影響.Akba[12]研究了多孔功能梯度材料梁在動載荷作用下的受迫振動問題,計算并分析了孔隙率參數(shù)、材料分布和孔隙率模型對功能梯度材料梁受迫振動響應的影響.滕兆春等[13]基于經(jīng)典薄板理論,考慮孔隙和梯度指數(shù)對功能梯度材料彈性常數(shù)的影響,采用DTM研究了四邊受壓多孔功能梯度材料矩形板的自由振動和屈曲特性.以上研究結果顯示,孔隙對功能梯度材料結構的靜動力響應有著直接的影響,因此對多孔功能梯度材料結構在不同工作環(huán)境和工況下的力學行為進行分析研究具有重要意義.

目前,對于熱環(huán)境中多孔功能梯度材料轉動梁的研究還鮮有文獻報道.本文基于Timoshenko梁理論和物理中面的概念并考慮均勻孔隙分布模型以及材料的溫度依賴特性,建立熱環(huán)境中多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁橫向自由振動的控制微分方程,采用微分變換法(DTM)對自由振動的無量綱控制微分方程及邊界條件進行變換求解來研究其固有頻率特性.將其退化為常溫下無轉速無孔隙的功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動,得到無量綱固有頻率和已有文獻結果對照,以驗證DTM求解的有效性和正確性.在計算結果的基礎上,進一步分析邊界條件、孔隙率、轉速、溫度、梯度指數(shù)和細長比對多孔功能梯度材料 Timoshenko梁無量綱固有頻率的影響.

1 數(shù)學模型及材料物性參數(shù)的描述

考慮如圖1所示熱環(huán)境中轉動的多孔功能梯度材料 Timoshenko矩形截面梁,取梁的軸線方向和厚度方向分別為x軸和z軸,建立笛卡爾三維坐標系xyz.梁的長為L,寬為b,高為h,繞z軸以角速度μ轉動,坐標系中x軸和y軸隨梁一同轉動.

圖1 多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁的幾何模型Fig.1 Geometric model of a porous functionally graded material rotating Timoshenko beam

多孔功能梯度材料 Timoshenko梁考慮僅由陶瓷和金屬兩種材料復合而成.梁的下表面為完全金屬,上表面為完全陶瓷,兩表面之間材料成分連續(xù)變化且包含微小孔隙,這樣材料性質沿厚度方向呈梯度分布,梁的物理性質參數(shù)P(彈性模量E、切變模量G、質量密度ρ、熱膨脹系數(shù)α、泊松比ν等) 均是關于坐標z、溫度T和孔隙率θ的函數(shù).考慮均勻孔隙分布,功能梯度材料梁的物性參數(shù)可由下列混合律模型[14]統(tǒng)一給出

(1)

式中：n為功能梯度材料的梯度指數(shù);下標c表示陶瓷;m表示金屬.考慮材料物性參數(shù)的溫度依賴性,則陶瓷和金屬材料的物性參數(shù)由文獻[15]可表示為

P(T)=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(2)

式中：P0、P-1、P1、P2和P3是與溫度有關的系數(shù),且不同材料所對應的系數(shù)不同.該數(shù)值由實驗直接給出,其值具體可見文獻[7]中表1.T=ΔT+T0為當前溫度,T0為初始溫度,這里取T0=300K,ΔT為溫度變化.

2 控制微分方程及參數(shù)的無量綱化

假設z=z0為多孔功能梯度材料 Timoshenko梁的物理中面,其計算公式為[16]

(3)

對于功能梯度材料轉動Timoshenko梁,Ganguli等[17]給出的幾何方程為

(6)

式中：u0、w分別為物理中面上任一點關于x、z軸方向的位移；φ表示梁橫截面的轉角；εxx表示梁截面上任一點的線應變；γxy和γxz表示切應變.則由彎曲應變產生的彎曲應變能為

(7)

將式(4)代入式(7)得

(8)

將式(8)展開并忽略某些高階小量得到

(9)

定義如下系數(shù)A1、A2、B1和B2：

式中：A1、A2、B1和B2分別稱為梁的拉伸剛度、彎曲剛度、慣性系數(shù)和轉動慣量.

多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁沿x軸方向的離心力FC為

(10)

由離心力產生的物理中面上一點的應變與軸向位移的關系為

(11)

聯(lián)立式(9～11),得到梁的彎曲應變能為

(12)

式中：C1為常數(shù).由剪切變形產生的應變能為

(13)

將式(5,6)代入式(13)得

(14)

式中：C為剪切剛度；ks為剪切修正系數(shù).由于本文分析的梁為矩形截面,根據(jù)參考文獻[18]取ks=5/6.再將式(12)與式(14)相加,得梁的總應變能為

(15)

梁的動能為

(16)

(17)

對熱環(huán)境影響下的多孔功能梯度材料轉動 Timoshenko梁,采用Hamilton原理[19]

(18)

式中：Π、U和W分別為系統(tǒng)的動能、彈性勢能和外力所做功;δ表示變分符號;t1和t2分別表示梁運動的開始時間和結束時間.

將式(15～17)代入式(18),可得熱環(huán)境影響下多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁橫向運動的控制微分方程組

對于功能梯度材料梁的自由振動,可令

(20)

(21)

將式(20)和式(21)代入式(19),得到熱環(huán)境影響下多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁自由振動的控制微分方程組

對上式進行如下無量綱化

式(22)經(jīng)無量綱化后,可得熱環(huán)境影響下多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁自由振動的兩個控制微分方程

取梁在實際工程中較常見的邊界條件：

固支(C)：

(24)

簡支(S)：

(25)

自由(F)：

(26)

3 控制微分方程及邊界條件的DTM變換

對邊界條件也進行DTM變換：

在ξ=0處：

固支(C)：

W1[0]=0,W2[0]=0

(28)

簡支(S)：

W1[1]=0,W2[0]=0

(29)

在ξ=1處：

固支(C)：

(30)

簡支(S)：

(31)

自由(F)：

(32)

4 計算結果及分析

邊界條件式(28～32)和DTM變換后的熱環(huán)境中的多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁自由振動的代數(shù)特征方程(27)通過MATLAB編程進行迭代求解即可得到給定精度要求的無量綱固有頻率.

表1 C-C邊界條件下的功能梯度材料 Timoshenko梁一階無量綱固有頻率Tab.1 First order dimensionless natural frequencies of FGM Timoshenko beams with C-C boundary conditions

表2 不同邊界條件下功能梯度材料 Timoshenko梁的一階無量綱固有頻率(h/L=1/20)Tab.2 First order dimensionless natural frequencies of FGM Timoshenko beams with different boundary conditions(h/L=1/20)

表1給出了在C-C邊界條件下,分別取細長比h/L為1/20、1/30和1/50,梯度指數(shù)n為0、0.5、1.0、2.0、5.0時,無轉速的功能梯度材料 Timoshenko梁通過DTM求解出的一階無量綱固有頻率與文獻[18]的Chebyshev 配點法所求的數(shù)值結果進行的比較.可以看出本文所得結果與其比較接近.

表2給出了梁在不同邊界條件下,取細長比h/L為1/20,功能梯度指數(shù)n分別為0、0.2、0.5、1.0、2.0、5.0、10.0時,通過DTM求解出的一階無量綱固有頻率,與文獻[22]所使用的Rayleigh-Ritz 法算得的數(shù)值結果進行的比較,可看出本文結果與其相接近.根據(jù)表1和表2這兩個算例,說明了DTM對于研究本問題的有效性與正確性.

功能梯度指數(shù)n、無量綱轉速η、變化溫度ΔT、孔隙率θ等不同參數(shù)對頻率的影響.對于熱環(huán)境影響下多孔功能梯度材料轉動 Timoshenko梁,取陶瓷和金屬材料分別為ZrO2和Ti-6Al-4V,環(huán)境的初始溫度為300 K,兩種材料的彈性模量、熱膨脹系數(shù)和密度的溫度相關系數(shù)見文獻[7]中表1(P-1和P3均為0).

圖2 C-S邊界條件下梯度指數(shù)n和孔隙率θ對功能梯度材料Timoshenko梁前三階的無量綱固有頻率Ω的影響Fig.2 The effects of gradient exponent n and porosity θ on the first three dimensionless natural frequencies the first three dimensionless natural frequencies Ω of FGM Timoshenko beams under C-S boundary conditions

圖3 C-F邊界條件下梯度指數(shù)和孔隙率對功能梯度材料Timoshenko梁前三階的無量綱固有頻率Ω的影響Fig.3 The effects of gradient exponent n and porosity θ on the first three dimensionless natural frequencies the first three dimensionless natural frequencies Ω of FGM Timoshenko beams under C-F boundary conditions

圖4表示了梁在四種邊界條件下,取無量綱轉速η=5、梯度指數(shù)n=1、細長比h/L=1/20和孔隙率θ=0.1時,梁前三階的無量綱固有頻率與變化溫度ΔT的關系曲線.由圖可看出,同樣在C-F邊界的一階無量綱固有頻率與溫度呈正相關,其余無量綱固有頻率隨升溫都呈現(xiàn)下降趨勢,其中,C-C、C-S和C-F三種邊界條件下的無量綱固有頻率的下降明顯程度：三階無量綱固有頻率>二階無量綱固有頻率>一階無量綱固有頻率；而S-S：一階>三階>二階,且S-S的無量綱一階固有頻率在ΔT到達475 K后降到0,由彈性穩(wěn)定性理論可知,梁在此溫度下將進入臨界屈曲狀態(tài),該溫度對應為屈曲臨界溫度.

圖4 不同邊界條件和變化溫度ΔT對功能梯度材料Timoshenko梁前三階的無量綱固有頻率Ω的影響Fig.4 The effects of different boundary conditions and varying temperatures ΔT on the first three dimensionless natural frequencies Ω of FGM Timoshenko beams

圖5表示了熱環(huán)境影響下多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁在變化溫度ΔT=300 K、梯度指數(shù)n=1、細長比h/L=1/20、孔隙率θ=0.1和C-C、C-S、S-S和C-F四種不同邊界的條件下,梁前三階的無量綱固有頻率與無量綱轉速η的關系曲線.由圖可看出,不同邊界條件下無量綱固有頻率都隨無量綱轉速η的增加而增加.其中在C-C、C-S、S-S三種邊界條件下的無量綱固有頻率隨無量綱轉速η增加而增加的明顯程度：一階無量綱固有頻率>二階無量綱固有頻率>三階無量綱固有頻率；在C-F時：二階>三階>一階.

圖5 不同邊界條件和無量綱轉速η對功能梯度材料Timoshenko梁前三階的無量綱固有頻率Ω的影響Fig.5 The effects of different boundary conditions and dimensionless rotational speed η on the first three dimensionless natural frequencies Ω of FGM Timoshenko beam

5 結論

本文基于Timoshenko梁理論,考慮材料的溫度依賴性質并確定梁的物理中面,利用Hamilton原理導出對于孔隙均勻分布的多孔功能梯度材料梁在熱環(huán)境中轉動時橫向自由振動的控制微分方程.采用微分變換法(DTM)對熱環(huán)境中轉動多孔功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動問題進行分析和求解.選取具體算例,將求解結果與文獻結果對比,驗證了求解方法的有效性和正確性.分析了不同邊界條件下孔隙均勻分布的功能梯度材料梁的孔隙率、無量綱轉速、溫度、細長比和梯度指數(shù)對多孔功能梯度材料轉動Timoshenko梁無量綱固有頻率的影響.

1) 隨著梯度指數(shù)n的增加,C-F邊界條件下一階無量綱固有頻率呈現(xiàn)增大趨勢,其余無量綱固有頻率都呈現(xiàn)下降趨勢,且階數(shù)越高變化越明顯.

2) C-F邊界條件下一階無量綱固有頻率隨升溫而上升,其余無量綱固有頻率都隨升溫而下降, S-S邊界條件下的無量綱固有頻率的下降程度在一階最為明顯,其余的無量綱固有頻率的下降程度在高階最明顯；S-S的一階無量綱固有頻率在ΔT到達475 K后降到0,表示梁將進入臨界屈曲狀態(tài).

3) 無量綱固有頻率均與無量綱轉速η呈正相關.在C-C、C-S、S-S三種邊界條件下,其無量綱固有頻率由無量綱轉速η增加而增加的程度在一階最明顯；在C-F邊界條件下,其上升程度在二階最明顯.