類光曲線的類空達(dá)布侶線

錢金花，孫銘雨，殷 沛，田雪倩

(東北大學(xué)理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819)

在三維Minkowski空間中，貝特朗曲線和曼哈姆曲線作為特殊的伴隨曲線已有大量研究成果[1-3].本文在此基礎(chǔ)上，定義類光達(dá)布曲線及其達(dá)布侶線，這里僅討論達(dá)布侶線為類空曲線時(shí)，伴隨曲線對(duì)的幾何性質(zhì)，并給出它們的具體表達(dá)形式.

1 預(yù)備知識(shí)

其中：〈N，N〉=〈T，B〉=1，〈T，T〉=〈B，B〉=〈T，N〉=〈B，N〉=0.T，N，B分別稱為曲線r(s)的切向量、主法向量和副法向量，κ(s)稱為曲線r(s)的曲率函數(shù).

(1)若r(s)為第一類類空曲線或第二類類空曲線，則滿足Frenet公式

其中：〈T，T〉=1，〈N，N〉=ε，〈B，B〉=-ε，〈T，N〉=〈N，B〉=〈T，B〉=0.當(dāng)ε=1時(shí)，r(s)為第一類類空曲線；當(dāng)ε=-1時(shí)，r(s)為第二類類空曲線.

(2)若r(s)為零型類空曲線，則滿足Frenet公式：

其中：〈T，T〉=〈N，B〉=1，〈N，N〉=〈B，B〉=〈T，N〉=〈T，B〉=0.T，N，B分別稱為曲線r(s)的切向量、主法向量和副法向量，κ(s)和τ(s)分別稱為曲線r(s)的曲率和撓率.

在空間曲線論中，當(dāng)曲線r(s)做即時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在一個(gè)向量D(s)為旋轉(zhuǎn)軸，稱其為曲線r(s)的達(dá)布向量，其滿足如下的達(dá)布方程：

注1 給出三維Minkowski空間中各類空間曲線r(s)的達(dá)布向量場(chǎng)：

(1)當(dāng)r(s)為類光曲線時(shí)，D(s)=-κ(s)T(s)-B(s)；

(2)當(dāng)r(s)為第一類類空曲線時(shí)，D(s)=-τ(s)T(s)+κ(s)B(s)；

(3)當(dāng)r(s)為第二類類空曲線時(shí)，D(s)=τ(s)T(s)-κ(s)B(s)；

(4)當(dāng)r(s)為零型類空曲線時(shí)，D(s)=κ(s)T(s)-N(s)；

(5)當(dāng)r(s)為類時(shí)曲線時(shí)，D(s)=τ(s)T(s)+κ(s)B(s).

2 主要結(jié)論

(1)

在(1)式兩端對(duì)s求導(dǎo)，可得

(2)

對(duì)(2)式兩邊分別與其自身做內(nèi)積，并化簡(jiǎn)可得

(3)

把(3)式代入(2)式，可得

(4)

2.1 類光曲線的第一類類空達(dá)布侶線

(5)

對(duì)(5)式兩邊分別與其自身做內(nèi)積，得

(6)

對(duì)(4)和(5)式兩邊做內(nèi)積，有

(7)

把(7)式代入(6)式，可得

(8)

把(4)、(7)和(8)式代入(5)式，可得

(9)

對(duì)(4)和(9)式兩邊做外積，得

(10)

在(10)式兩邊對(duì)s求導(dǎo)，可得

(11)

(12)

因此，λ(s)=as+b，a≠0，b∈.通過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q，可令b=0，則κ(s)=c/s+(2a+1)/(2a2)，c∈.且(7)和(8)式可化簡(jiǎn)為進(jìn)一步地，和r(s)之間標(biāo)架的關(guān)系可以表示為

根據(jù)上述討論過(guò)程，可得如下結(jié)論：

定理1 類光達(dá)布曲線與它的第一類類空達(dá)布侶線之間的距離函數(shù)是關(guān)于s的線性函數(shù)，即

λ(s)=as+b，a≠0，b∈.

定理2 設(shè)r(s)是具有第一類類空達(dá)布侶線的類光達(dá)布曲線，那么它的類光曲率為

其中：0≠a=λ′(s)；c∈；ε3=±1.

其中：0≠a=λ′(s)；ε0，ε3=±1.

定理5 設(shè)r(s)是具有第一類類空達(dá)布侶線的類光達(dá)布曲線，則它可以表示為

其中：Z1(s)是柱函數(shù)，J1(s)是第一類Bessel函數(shù)，Y1(s)是第二類Bessel函數(shù).

證明根據(jù)定理2，類光達(dá)布曲線r(s)的類光曲率κ(s)可以表示為κ(s)=c/s+(2a+1)/(2a2)，根據(jù)引理1，通過(guò)做適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q，r(s)滿足如下微分方程s2r(4)-2csr″+cr′=0.解上述微分方程，可得

其中：Z1(s)是柱函數(shù)，J1(s)是第一類Bessel函數(shù)，Y1(s)是第二類Bessel函數(shù)[10].

其中：0≠a=λ′(s)；c∈；

證明根據(jù)定理5給出的類光達(dá)布曲線r(s)表達(dá)式，通過(guò)直接計(jì)算，達(dá)布向量D(s)可以表示為

D(s)=C1(2uu″+2u′2-2cu2/s)+C2(2u′v′+u″v+uv″-2cuv/s)+C3(2vv″+2v′2-2cv2/s).

根據(jù)定理1和注2，計(jì)算并化簡(jiǎn)可得結(jié)論.

2.2 類光曲線的第二類類空達(dá)布侶線

(13)

對(duì)(13)式兩邊分別與其自身做內(nèi)積，得

(14)

對(duì)(4)和(13)式兩邊分別做內(nèi)積，有

(15)

定理6 類光達(dá)布曲線的達(dá)布侶線不能是第二類類空曲線.

2.3 類光曲線的零型類空達(dá)布侶線

(16)

對(duì)(16)式兩邊分別與其自身做內(nèi)積，得

(17)

對(duì)(4)和(16)式兩邊做內(nèi)積，有

(18)

把(17)式代入(18)式，可得1-λκ′=0，則(4)式可化簡(jiǎn)為

(19)

在(19)式兩邊對(duì)s求導(dǎo)，可得

(20)

對(duì)(20)式兩邊做內(nèi)積，得κ′=0.因此，根據(jù)1-λκ′=0，得0=1，顯然矛盾.

定理7 類光達(dá)布曲線的達(dá)布侶線不能是零型類空曲線.

注3 類光達(dá)布曲線的類時(shí)達(dá)布侶線與第一類類空達(dá)布侶線有相似的結(jié)論，本文不予詳細(xì)討論.

3 結(jié)語(yǔ)

本文在三維Minkowski空間中定義了類光達(dá)布曲線并得到了類光曲線及其類空達(dá)布侶線的性質(zhì)和具體表達(dá)式.這為今后在Minkowski空間開展更深層次達(dá)布曲線的研究提供了很好的思路和方法.