限制Heisenberg李超代數(shù)的限制上同調(diào)

郝博茹，遠(yuǎn)繼霞

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

李代數(shù)與李超代數(shù)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中都起著重要的作用.限制李代數(shù)和限制李超代數(shù)在李代數(shù)及李超代數(shù)理論中占據(jù)著重要的地位.李(超)代數(shù)的上同調(diào)是研究拓?fù)鋵W(xué)、光滑向量場、全純函數(shù)等領(lǐng)域問題的重要工具.文獻(xiàn)[1]給出了李代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)復(fù)形；文獻(xiàn)[2]給出了李代數(shù)的上同調(diào)理論；文獻(xiàn)[3]首次構(gòu)造出限制李代數(shù)的限制上同調(diào).近年來，限制李代數(shù)的限制上同調(diào)理論引起了許多研究者的興趣[4-5]；文獻(xiàn)[6-7]介紹了李超代數(shù)的上同調(diào)；在限制李代數(shù)的限制上同調(diào)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)者進(jìn)一步研究了限制李超代數(shù)的限制上同調(diào)[8-9]；Heisenberg李超代數(shù)是一類重要的冪零李超代數(shù)，對于其上結(jié)構(gòu)的研究引起眾多學(xué)者的興趣；文獻(xiàn)[10]證明了具有偶中心的Heisenberg李超代數(shù)同構(gòu)于超外代數(shù)的商代數(shù)，并且具有奇中心的Heisenberg李超代數(shù)同構(gòu)于超外代數(shù)的直和；文獻(xiàn)[11]提出Heisenberg李超代數(shù)的中心擴(kuò)張；文獻(xiàn)[12]計(jì)算出了2維Heisenberg李超代數(shù)的Heisenberg的Rota-Baxter算子.

本文研究了Heisenberg限制李超代數(shù)的系數(shù)取自1維平凡模的1，2維限制上同調(diào).給出了具有偶(奇)中心的Heisenberg李超代數(shù)的限制結(jié)構(gòu)，使其成為一個限制李超代數(shù)，計(jì)算了具有偶(奇)中心的限制Heisenberg李超代數(shù)的系數(shù)取自1維平凡模的1，2維限制上同調(diào)，并計(jì)算了系數(shù)取自伴隨模的1階限制上同調(diào).

1 預(yù)備知識

文獻(xiàn)[13]指出Heisenberg李超代數(shù)分為具有偶中心的Heisenberg李超代數(shù)Hm，n和具有奇中心的Heisenberg李超代數(shù)Hn：

關(guān)于李超代數(shù)上同調(diào)的概念以及李超代數(shù)的限制上同調(diào)，詳細(xì)的定義可參考文獻(xiàn)[8-9].

設(shè)L是一個李超代數(shù)，且M是一個L-模，當(dāng)q>0時，令Cq(L；M)=Hom(ΛqL，M)，這里ΛqL為L的q次超外積；當(dāng)q=0時，令Cq(L；M)=Hom(F，M)?M；當(dāng)q<0時Cq(L；M)=0.

下面給出計(jì)算需要的相關(guān)公式：

(1)

ind1(φ)(x)=φ(x[p])-xp-1φ(xp)；

(2)

(3)

2 系數(shù)取自1維平凡模的限制Heisenberg李超代數(shù)的限制上同調(diào)

為了計(jì)算方便，分別給出Hm，n和Hn的系數(shù)取自1維平凡模的上鏈復(fù)形的基底.Hm，n的系數(shù)取自1維平凡模的上鏈復(fù)形的基底如下：

C0(Hm，n；F)Ω0={1}，C1(Hm，n；F)Ω1={ui，z*，ωj|1≤i≤2m，1≤j≤n}，

C2(Hm，n；F)Ω2={ui，j，ωk，l，usz*，usωj，z*ωk|1≤i，j，s≤2m，i

C2(Hm，n；F)Ω3={ui，j，k，ωr，s，t，ua，bz*，ua，bωe，ucωe，f，ucz*ωe，z*ωe，f|1≤i，j，k，a，b，c≤2m，

i

Hn的系數(shù)取自1維平凡模的上鏈復(fù)形的基底如下：

C0(Hn；F)Ω0={1}，C1(Hn；F)Ω1={vi，z*，ωj|1≤i，j≤n}，

C2(Hn；F)Ω2={vi，j，ωk，l，z**，vsz*，vsωk，z*ωk|1≤i，j，s≤n，i

C3(Hn；F)Ω3={vi，j，k，ωr，s，t，z***，va，bz*，vcz**，z**ωe，z*ωe，f，va，bωr，vcωe，f，vcz*ωe|

1≤i，j，k，a，b，c≤n，i

Hm，n的系數(shù)取自1維平凡模的限制上鏈復(fù)形的基底如下：

Hn的系數(shù)取自1維平凡模的限制上鏈復(fù)形的基底如下：

由(1)式直接計(jì)算可得如下引理：

結(jié)論(ⅱ)證明方法與結(jié)論(ⅰ)類似，此處略去.

故由引理2.1可知結(jié)論成立.

由(3)式有

結(jié)論(ⅱ)證明方法與結(jié)論(ⅰ)類似，此處略去.

3 系數(shù)取自伴隨模的限制Heisenberg李超代數(shù)的限制上同調(diào)

引理3.1[14](ⅰ)設(shè)D是Hm，n的偶線性變換，則D是Hm，n的超導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)D在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣形式為

其中：A為任意m階方陣；B，C為任意m階對稱矩陣；R為任意n階反對稱矩陣；M，E為任意1×m階矩陣；λ∈F.并且有

(ⅱ)設(shè)D是Hm，n的奇線性變換，則D是Hm，n的超導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)D在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣形式為

其中J，K為任意n×m階矩陣，并且有

經(jīng)過簡單計(jì)算易得到如下定理：

定理3.1 (ⅰ)在標(biāo)準(zhǔn)基下，Hm，n內(nèi)導(dǎo)子的基底為

{e2m+1，i，e2m+1，i+m，e2m+1，f+2m+1|1≤i≤m，1≤f≤n}.

(ⅱ)在標(biāo)準(zhǔn)基下，Hn內(nèi)導(dǎo)子的基底為

{e2n+1，i+n，e2n+1，i|1≤i≤n}.

定理3.2 (ⅰ)系數(shù)取自伴隨模的具有偶中心的Heisenberg李超代數(shù)的一維限制上同調(diào)為

(ⅱ)系數(shù)取自伴隨模的具有偶中心的Heisenberg李超代數(shù)的一維限制上同調(diào)為

證明(ⅰ)設(shè)D∈Der(Hm，n)，采用引理3.1中的符號.先證D是一個限制導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)λ=0.當(dāng)D∈Der(Hm，n)時由引理3.1有D(z)=2λz.D是一個限制導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)

當(dāng)D∈Der(Hm，n)時由引理3.1有D(z)=0，則

從而D是一個限制導(dǎo)子，結(jié)論成立.

故Hm，n的限制導(dǎo)子在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣形式為

其中：A為任意m階方陣；B，C為任意m階對稱矩陣；F為任意n階反對稱矩陣；M，E為任意1×m階矩陣；λ∈F；F為任意1×n階矩陣；J，K為任意n×m階矩陣.故

Derres.(Hm，n)=spanF{ei，j-ej+m，i+m，es+m，t+et+m，s，es，t+m+et，s+m，ei，i+m，ei+m，i，

ek，l-el，k，ef+2m+1，i-ei+m，f+2m+1，ef+2m+1，i+m+ei，f+2m+1，e2m+1，i，

e2m+1，i+m，e2m+1，f+2m+1|1≤i，j≤m，1≤s，t≤m，2m+2≤k≤l≤2m+1+n，1≤f≤n}.

由引理3.2和定理3.1可得結(jié)論.

結(jié)論(ⅱ)證明方法與結(jié)論(ⅰ)類似.