基于高低頻混合模型的近斷層脈沖型地震動(dòng)的模擬

周龍龍，陳輝國，雷屹欣，張左群

（陸軍勤務(wù)學(xué)院，重慶 401331）

引言

近斷層脈沖型地震動(dòng)相比于遠(yuǎn)場地震動(dòng)有很大的不同，其具有明顯的方向性和脈沖特征，在速度時(shí)程中含有大幅值、長周期的脈沖波，對(duì)大跨度建筑、高邊墻特種工程等工程結(jié)構(gòu)具有更大的破壞力［1－2］。為此，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)近斷層脈沖型地震動(dòng)的模擬做出了大量研究，相繼提出了不同的模擬方法，并受到工程界的廣泛關(guān)注。

早期的專家和學(xué)者在近斷層地震動(dòng)模擬研究上，主要將精力放在速度脈沖特性上，得到了大量的基于速度時(shí)程的理想化脈沖特征參數(shù)模型，主要的形式有三段線性的三角形模型［3］、帶包絡(luò)函數(shù)的分段三角函數(shù)模型［4］、Baker模型［5］、Gabor小波模型［6］、MP03脈沖模型［7］等。但這些脈沖模型頻率成分單一，缺少高頻成分，與實(shí)際地震動(dòng)的頻譜組成相差甚遠(yuǎn)。Prisetley［8］于1965年首次提出演變隨機(jī)過程理論之后，國內(nèi)外學(xué)者在時(shí)頻非平穩(wěn)地震動(dòng)的模擬研究上相繼提出了Kameda模型［9］，非均勻函數(shù)調(diào)制模型［10－11］，Kanai－Tajimi模型［12－13］以及后來改進(jìn)的基于雙模態(tài)時(shí)變修正的完全非平穩(wěn)地震動(dòng)Kanai－Tajimi模型［14］，這些模型能夠反映出更符合真實(shí)地震數(shù)據(jù)的時(shí)頻非平穩(wěn)特性，對(duì)高頻成分模擬也具有較好的優(yōu)勢。為此，文中通過確定性方法（簡化速度脈沖模型）模擬地震動(dòng)低頻脈沖分量，隨機(jī)性方法（功率譜函數(shù)模型）來模擬地震動(dòng)的高頻分量，然后將高低頻分量在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行疊加模擬頻率成分更為寬泛的脈沖型地震動(dòng)時(shí)程。這種混合模型方法綜合了確定性方法和隨機(jī)性方法的優(yōu)點(diǎn)，既能夠表現(xiàn)出近斷層地震動(dòng)的脈沖特性，又包含了其高頻成分的時(shí)頻非平穩(wěn)特性。

1 低頻脈沖分量的擬合模型

近斷層地震動(dòng)（距離斷層破裂面30 km以內(nèi)）因其獨(dú)特的特性，相比于遠(yuǎn)場地震動(dòng)有很大的不同，尤其是因方向性效應(yīng)引起的大幅值速度脈沖特性，對(duì)工程結(jié)構(gòu)會(huì)造成更復(fù)雜的影響［15］。文中選取以下2種不同速度脈沖模型進(jìn)行研究。

Dickinson等［6］通過從具有代表性的地面運(yùn)動(dòng)記錄樣本中統(tǒng)計(jì)表征地面運(yùn)動(dòng)，提出了采用Gabor小波對(duì)低頻脈沖速度時(shí)程vp模擬的模型，該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（1）所示：

式中：Vp表示脈沖峰值速度；Tp為脈沖周期；TPK為脈沖峰值時(shí)刻；Nc為脈沖循環(huán)數(shù)；φ為脈沖相位角。其中，Nc和φ為隨機(jī)變量，可以實(shí)現(xiàn)不同脈沖數(shù)且脈沖峰值不等的速度脈沖。

Mavroeidis等［7］通過對(duì)比多個(gè)簡化速度脈沖模型（方波，三角函數(shù)和正弦波），發(fā)現(xiàn)其有很大的不足。因此，他們提出了如下的等效速度脈沖模型（簡稱MP03脈沖模型）。該模型由鐘形包絡(luò)函數(shù)和諧波函數(shù)組成，具有簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如式（2）所示，各個(gè)參數(shù)有明確的物理意義，能夠模擬較大頻率范圍的脈沖波形。

式中：Vp表示脈沖信號(hào)的幅值；Tp為脈沖周期；θ為脈沖信號(hào)的相位角；γ為信號(hào)諧振特性參數(shù)γ>1；t0為速度峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。ts和te分別表示脈沖開始和結(jié)束的時(shí)刻，且ts=t0-0.5γTp,te=t0+0.5γTp。

2 高頻隨機(jī)分量的擬合模型

Vlachos等［14］于2016年在前人眾多改進(jìn)的基礎(chǔ)上對(duì)Kanai－Tajimi地震動(dòng)模型進(jìn)行了時(shí)變修正優(yōu)化，提出了采用雙模態(tài)時(shí)變修正Kanai－Tajimi模型模擬地震動(dòng)的時(shí)變功率譜，該模型考慮了地震是由不同頻率的各分量波釋放能量的原理以及地震波中的P波、S波和面波到達(dá)記錄點(diǎn)的時(shí)差，能夠較好地描述地震動(dòng)的時(shí)頻非平穩(wěn)特性。其表達(dá)式如式（3）：

式中：S(f,t)代表該模型的時(shí)變功率譜；fc為截止頻率，fc=0.20 Hz；N=4；k代表不同的模態(tài)，可取1或2；ζ(k)g,f(k)g,S(k)0分別表示地表土層的阻尼比，卓越頻率和模態(tài)參與因子。

3 實(shí)際地震動(dòng)數(shù)據(jù)分析

上文描述了模擬低頻脈沖分量的Gabor小波模型和MP03脈沖模型，模擬高頻隨機(jī)分量的完全非平穩(wěn)時(shí)變Kanai-Tajimi模型，為驗(yàn)證模型的有效性，確定最優(yōu)速度脈沖模型，最后疊加高低頻分量生成合成的地震動(dòng)時(shí)程，現(xiàn)采用18條實(shí)際近斷層脈沖地震動(dòng)記錄作為此次分析的數(shù)據(jù)，如表1。根據(jù)Shahi等［16］提出的脈沖識(shí)別的量化指標(biāo)PI進(jìn)行脈沖驗(yàn)證，表中PI值均大于0，證實(shí)了該18條原始地震動(dòng)均為脈沖型地震動(dòng)。

表1 18條近斷層脈沖型地震記錄Table 1 18 near-fault pulse seismic records

田玉基等［17］對(duì)11次地震動(dòng)、28條地震記錄分析后發(fā)現(xiàn)近斷層速度脈沖是小于1 Hz的低頻成分，為此，文中采用趙國臣［18］提出的多尺度分析方法將18條近斷層脈沖型地震動(dòng)分解為界限頻率定為1 Hz的低頻脈沖分量和高頻隨機(jī)分量。圖1為地震動(dòng)LANDERS_YER360經(jīng)分解后的高低頻分量。

圖1 LANDERS_YER360地震動(dòng)經(jīng)過分解后的低頻、高頻分量Fig.1 Low-frequency and high-frequency components of LANDERS_YER360 ground motion after decomposition

3.1 地震動(dòng)低頻脈沖分量模擬

為驗(yàn)證不同脈沖模型的精確度，首先需要對(duì)分解得到的低頻分量數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，獲取不同模型的模型參數(shù)值。其識(shí)別過程如下：采用Baker［16］方法對(duì)低頻分量進(jìn)行脈沖提取，從實(shí)際速度時(shí)程中提取最優(yōu)脈沖波形，然后，將Gabor小波模型和MP03脈沖模型分別和提取到的脈沖波形進(jìn)行擬合，獲得相應(yīng)的模型參數(shù)。對(duì)于Gabor小波模型而言，其含有Vp，Tp，TPK，Nc，φ共5個(gè)未知參數(shù)，同樣，MP03脈沖模型也含有5個(gè)未知參數(shù)Vp，Tp，θ，γ，t0，針對(duì)此類模型5個(gè)未知參數(shù)的識(shí)別問題是一個(gè)典型非線性特征的多參數(shù)函數(shù)的優(yōu)化問題。為此，我們引入人工蜂群（artificial bee colony，簡稱ABC）算法。ABC算法最早由土耳其學(xué)者Karaboga等［19］于2005年提出，并用于解決多變量函數(shù)優(yōu)化問題。由于該方法基本不需借用外部信息，僅采用適應(yīng)度函數(shù)作為進(jìn)化的依據(jù)，目前已被廣泛應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、語音識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)、組合優(yōu)化等應(yīng)用領(lǐng)域［20］，對(duì)地震動(dòng)脈沖模型的識(shí)別也非常有效。

圖2為LANDERS_YER360地震動(dòng)低頻分量提取的脈沖波形，采用人工蜂群算法對(duì)Gabor小波模型和MP03脈沖模型分別進(jìn)行參數(shù)提取，可得到如表2、表3所示的最優(yōu)參數(shù)。其中LANDERS_YER360地震動(dòng)不同模型的擬合結(jié)果如圖3所示，從圖中可以看出Gabor小波模型和MP03脈沖模型擬合結(jié)果均能夠較好的反映速度脈沖波形，擬合效果良好。

圖2 LANDERS_YER360地震動(dòng)分解的低頻分量提取的速度脈沖Fig.2 Velocity pulse extracted from low-frequency component of LANDERS_YER360 ground motion decomposition

表3 各速度脈沖波形與MP03脈沖模型擬合得到的最優(yōu)參數(shù)Table 3 The optimal parameters obtained by fitting each velocity pulse waveform with MP03 pulse model

圖3 LANDERS_YER360地震動(dòng)速度脈沖不同模型的擬合結(jié)果Fig.3 Fitting results of different models of LANDERS_YER360 ground motion velocity pulse

表2 各速度脈沖波形與Gabor小波模型擬合得到的最優(yōu)參數(shù)Table 2 The optimal parameters obtained by fitting each velocity pulse waveform with Gabor wavelet model

為準(zhǔn)確的描述Gabor小波模型和MP03脈沖模型的模擬精度，體現(xiàn)出模型的適用性，現(xiàn)對(duì)表1中的18條地震動(dòng)擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行速度反應(yīng)譜分析，其中列舉了阻尼比分別為0.05，0.1這2種情況，模型的精度由模型速度反應(yīng)譜與實(shí)際脈沖速度反應(yīng)譜的比值Rsv來表示。從圖4～圖5中可以看出，當(dāng)Rsv接近于1時(shí)，該模型的彈性結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)與實(shí)際越一致，其模擬精度也越高，圖中黑色實(shí)線表示各條地震動(dòng)的Rsv，黑色粗實(shí)線為該18條地震動(dòng)Rsv的均值。

圖4 Gabor小波模型Rsv曲線Fig.4 Rsv curve of Gabor wavelet model

圖5 MP03脈沖模型Rsv曲線Fig.5 Rsv curve of MP03 pulse model

從圖4～圖5中可以看出，不同地震動(dòng)由同一模型模擬時(shí)，其模擬精度也存在著較大差別，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比為0.1時(shí)，離散程度小，其差別??；阻尼比為0.05時(shí)，離散程度大，差別大；在Tn＞3的區(qū)間內(nèi)，上述2種模型在不同阻尼比下的Rsv均值都接近于1，此時(shí)通過近似模型可以得到接近于實(shí)際地震動(dòng)的反應(yīng)譜值；0＜Tn＜3的區(qū)間內(nèi)，MP03脈沖模型在不同阻尼比下Rsv的離散程度均大于Gabor小波模型。

總體而言，Gabor小波模型模擬結(jié)果Rsv較MP03脈沖模型模擬結(jié)果Rsv的離散程度較小，為此，文中選用Gabor小波模型用于低頻分量擬合的模型。

3.2 地震動(dòng)高頻隨機(jī)分量模擬

完全非平穩(wěn)時(shí)變Kanai-Tajimi模型中，存在f(1)g(t),f(2)g(t),ζ(1)g(t),ζ(2)g(t),S(1)0(t),S(2)0(t)6個(gè)未知參數(shù)，取S(1)0(t)=1，此時(shí)原模型中含有5個(gè)未知參數(shù)，依然采用人工蜂群算法（ABC算法）進(jìn)行分析，具體識(shí)別過程借鑒鐘庭等［21］雙模態(tài)時(shí)變K－T模型參數(shù)取值流程。圖6為經(jīng)過多重濾波技術(shù)得到的LANDERS_YER360地震動(dòng)高頻分量的時(shí)變功率譜圖。

圖6 LANDERS_YER360地震動(dòng)高頻分量的實(shí)際時(shí)變功率譜Fig.6 Actual time-varying power spectrum of high frequency components of LANDERS_YER360 ground motion

利用漢明窗平滑技術(shù)［22］對(duì)各高頻分量的實(shí)際時(shí)變功率譜進(jìn)行平滑，利用式（3），通過人工蜂群算法對(duì)平滑后的時(shí)變功率譜進(jìn)行擬合，可得到阻尼比ζ(1)g(t),ζ(2)g(t)，取其平均值為ζ(1)g=0.002 2，ζ(2)g=0.467 0。將ζ(1)g，ζ(2)g作為已知參數(shù)代入式（3），利用人工蜂群算法對(duì)該模型進(jìn)行二次擬合，得到f(1)g(t),f(2)g(t),S(2)0(t)與各時(shí)間點(diǎn)的關(guān)系曲線，根據(jù)高斯分布函數(shù)對(duì)f(1)g(t),f(2)g(t),S(2)0(t)進(jìn)行曲線擬合，擬合結(jié)果如圖7所示，擬合得到的參數(shù)見表4。

圖7 (t),(t),(t)擬合Fig.7 The fitting of (t),(t),(t)

表4 LANDERS_YER360地震動(dòng)(t)(t),(t)參數(shù)值Table 4 (t)(t),(t)parameter values of LANDERS_YER360 ground motion

表4 LANDERS_YER360地震動(dòng)(t)(t),(t)參數(shù)值Table 4 (t)(t),(t)parameter values of LANDERS_YER360 ground motion

參數(shù)f(1)g(t)f(2)g(t)S(2)0(t)F1 0.026 5 1 484 0.571 9 a1 16.91－263.9 16.78 b1 0.850 7 115.5 2.455 F2 0.026 8 2.077×1013 0.082 5 a2 14.82－1 499 24.14 b2 0.29 274.7 10.22

根據(jù)擬合的結(jié)果，將擬合得到的各參數(shù)值代入式（3）得到經(jīng)過模型化的時(shí)變功率譜。圖8為經(jīng)過模型化的功率譜圖。

圖8 模型化后的時(shí)變功率譜Fig.8 Time-varying power spectrum after modeling

利用Shinozuka等［23］提出的基于時(shí)變功率譜的加速度時(shí)程合成方法對(duì)高頻隨機(jī)分量的加速度時(shí)程進(jìn)行擬合，如式（4）所示：

式中：x(t)表示擬合的加速度時(shí)程；Δf表示頻率間隔；G(t,2πfk)表示不同時(shí)刻的瞬時(shí)時(shí)變功率譜值；φk表示（0，2π）內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相位角。

將模型化的時(shí)變功率譜代入式（4）得到擬合的高頻分量加速度時(shí)程，如圖9所示。

圖9 擬合的加速度時(shí)程曲線Fig.9 Curve of fitting acceleration time history

為驗(yàn)證完全非平穩(wěn)時(shí)變Kanai-Tajimi模型的有效性，下面對(duì)比擬合分量和實(shí)際高頻分量的加速度反應(yīng)譜、歸一化累積能量、強(qiáng)度包線和累積穿零次數(shù)，如圖10～圖13所示。

圖10 加速度反應(yīng)譜比較Fig.10 The comparison of acceleration response spectra

圖11 歸一化累積能量對(duì)比Fig.11 Comparison of normalized cumulative energy

圖12 強(qiáng)度包線比較Fig.12 Comparison of strength envelope

圖13 累積穿零次數(shù)對(duì)比Fig.13 Comparison of cumulative upward zero-crossing times

由圖10～圖13可以看出，擬合分量和實(shí)際高頻分量之間在時(shí)域非平穩(wěn)和頻域非平穩(wěn)特性上保持了較好的一致性。表明了完全非平穩(wěn)時(shí)變Kanai-Tajimi模型的有效性。

3.3 高低頻分量疊加擬合近斷層脈沖型地震動(dòng)

近斷層脈沖型地震動(dòng)由低頻脈沖分量和高頻隨機(jī)分量2部分組成，以地震動(dòng)LANDERS_YER360為例，將3.1節(jié)得到的擬合低頻脈沖速度時(shí)程求導(dǎo)，獲得其加速度時(shí)程，如圖14所示。此時(shí)，將獲得的低頻脈沖加速度時(shí)程和3.2節(jié)獲得的高頻分量加速度時(shí)程疊加得到模擬的近斷層脈沖型地震動(dòng)，如圖15所示。圖16為LANDERS_YER360地震動(dòng)原始加速度時(shí)程。

圖14 LANDERS_YER360地震動(dòng)擬合脈沖分量Fig.14 LANDERS_YER360 ground motion fitting pulse component

圖15 擬合地震動(dòng)加速度時(shí)程Fig.15 Acceleration time history of fitting ground motion

圖16 原始地震動(dòng)加速度時(shí)程Fig.16 Acceleration time history of original ground motion

為驗(yàn)證該混合模型的有效性，下面對(duì)比擬合地震動(dòng)和實(shí)際地震動(dòng)的加速度反應(yīng)譜、歸一化累積能量來分析該混合模型的擬合效果。

由圖17～圖18可以看出，擬合地震動(dòng)時(shí)程和實(shí)際地震動(dòng)時(shí)程之間能夠保持較好的一致性。表明了該混合模型的有效性。

圖17 加速度反應(yīng)譜比較Fig.17 Comparison of acceleration response spectra

圖18 歸一化累積能量對(duì)比Fig.18 Comparison of normalized cumulative energy

4 結(jié)論

文章通過選取實(shí)際近斷層脈沖型地震動(dòng)，對(duì)其低頻脈沖分量進(jìn)行Gabor小波模型和MP03脈沖模型參數(shù)識(shí)別、擬合，得到模型化后的速度脈沖；對(duì)其高頻隨機(jī)分量進(jìn)行完全非平穩(wěn)時(shí)變Kanai－Tajimi模型參數(shù)識(shí)別，得到模型化后的時(shí)變功率譜，進(jìn)而合成高頻分量加速度時(shí)程，最后疊加高低頻加速度分量，得到擬合的近斷層地震動(dòng)時(shí)程。主要得到以下結(jié)論：

（1）通過對(duì)比不同脈沖模型擬合速度反應(yīng)譜與實(shí)際脈沖速度反應(yīng)譜的比值Rsv，可以發(fā)現(xiàn)Gabor小波模型的模擬精度高于MP03脈沖模型。

（2）通過比較擬合高頻分量和實(shí)際高頻分量的加速度反應(yīng)譜、歸一化累積能量、強(qiáng)度包線以及累積穿零次數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)擬合分量和實(shí)際高頻分量較為吻合，能夠?qū)崿F(xiàn)高頻隨機(jī)分量的擬合。

（3）通過對(duì)比擬合地震動(dòng)時(shí)程和實(shí)際地震動(dòng)時(shí)程的加速度反應(yīng)譜、強(qiáng)度包線以及歸一化累積能量，發(fā)現(xiàn)兩者之間能夠保持較好的一致性。

因此，近斷層脈沖型地震動(dòng)的模擬可以通過Gabor小波模型和完全非平穩(wěn)時(shí)變Kanai-Tajimi模型來實(shí)現(xiàn)。