基于博弈論-未確知測(cè)度理論的圍巖穩(wěn)定性評(píng)價(jià)

彭意飛，張義平，2，黃 薇，侯天亮，蔣云萊

(1.貴州大學(xué) 礦業(yè)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2.貴州一和科技有限公司，貴州 貴陽(yáng) 550025)

0 引言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)和工程技術(shù)的迅速發(fā)展，隧道、水電站和地下硐室等建設(shè)規(guī)模不斷擴(kuò)大數(shù)量日益增加，圍巖穩(wěn)定性分類(lèi)方法也從定性到定量，單一到綜合發(fā)展，圍巖穩(wěn)定性關(guān)系到工程的設(shè)計(jì)和支護(hù)，故合理可靠的評(píng)價(jià)圍巖穩(wěn)定性等級(jí)備受關(guān)注，評(píng)價(jià)圍巖穩(wěn)定性受多種不確定性因素的影響，對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確評(píng)價(jià)有一定難度。對(duì)此，學(xué)者們基于不同理論建立各種評(píng)價(jià)圍巖穩(wěn)定性的模型方法如可拓方法、粗糙集理論、集對(duì)聯(lián)系數(shù)、模糊可變集合、改進(jìn)物元可拓模型、SVM-GIS模型、PCA-Fuzzy-PSO-SVC模型、模糊綜合評(píng)判法等[1-9]。這些方法在評(píng)價(jià)圍巖穩(wěn)定性方面都取得了一定進(jìn)展，但由于工程地質(zhì)的復(fù)雜性和每種方法的側(cè)重不同，可能導(dǎo)致評(píng)價(jià)結(jié)果存在差異，如：可拓方法采用的最大隸屬度原則不能全面反映待評(píng)價(jià)樣本模糊性，信息容易丟失導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)偏差；粗糙集理論在約簡(jiǎn)時(shí)可能會(huì)刪掉影響較大的評(píng)價(jià)指標(biāo)；主成分分析在特征值分解上有一定局限，在不屬于高斯分布情況下，得到的可能不是最優(yōu)主元；粒子群算法和地理信息系統(tǒng)需要掌握專(zhuān)業(yè)的計(jì)算機(jī)知識(shí)；模糊數(shù)學(xué)的隸屬度函數(shù)不易確定；一些評(píng)價(jià)方法受限于需要大量的樣本數(shù)據(jù)，以上方法不能很好解決評(píng)價(jià)指標(biāo)的不確定性，為合理評(píng)價(jià)圍巖穩(wěn)定性分級(jí)。在前人的研究基礎(chǔ)上，本文建立博弈論-未確知測(cè)度理論的圍巖穩(wěn)定性評(píng)價(jià)模型，通過(guò)博弈論對(duì)主、客觀權(quán)重進(jìn)行最優(yōu)線性組合，權(quán)衡專(zhuān)家主觀性和數(shù)據(jù)的客觀性，針對(duì)評(píng)價(jià)過(guò)程中諸多因素的不確定性，利用未確知測(cè)度理論和置信度判別準(zhǔn)則對(duì)圍巖穩(wěn)定性進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。博弈論權(quán)衡主、客觀因素同時(shí)對(duì)指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化組合，未確知測(cè)度則可處理各種不確定性并將指標(biāo)定量化，上述方法無(wú)需進(jìn)行繁瑣計(jì)算和掌握專(zhuān)業(yè)軟件技能，亦無(wú)需大量樣本數(shù)據(jù)。研究結(jié)果表明此模型較為簡(jiǎn)單準(zhǔn)確，為類(lèi)似圍巖穩(wěn)定性評(píng)價(jià)提供參考。

1 博弈論確定指標(biāo)權(quán)重

指標(biāo)權(quán)重確定是決策者綜合主觀經(jīng)驗(yàn)和客觀因素所得，反映指標(biāo)對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的重要性，為使所選指標(biāo)能夠最好地反映客觀事實(shí)，本文分別采用主客觀賦權(quán)法確定評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，通過(guò)博弈理論將所得的2種權(quán)重進(jìn)行賦權(quán)得到最終的組合權(quán)重。

1.1 G1法

G1法[10]是郭亞軍學(xué)者提出的主觀賦權(quán)法，能夠很好地反映專(zhuān)家的經(jīng)驗(yàn)，主要是根據(jù)指標(biāo)間的重要程度進(jìn)行排序，然后比較相鄰指標(biāo)的重要度從而確定指標(biāo)權(quán)重。

rk=wk-1/wk，k=n，n-1，n-2…，3，2

(1)

c.計(jì)算權(quán)重系數(shù)wi。

計(jì)算第n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重：

(2)

而，wk-1=rk·wk,k=n，n-1，n-2，…，3，2

(3)

根據(jù)步驟a中的順序關(guān)系得到評(píng)價(jià)指標(biāo){X1，X2，…，Xn}的權(quán)重向量wi。

1.2 變異系數(shù)法

變異系數(shù)[11]是一種客觀賦權(quán)的方法，變異系數(shù)法是根據(jù)實(shí)測(cè)值的差異程度來(lái)賦權(quán)，差異程度越大則該指標(biāo)的重要度越高，即權(quán)重值越大。

a.計(jì)算各指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差Sj。

b.計(jì)算各評(píng)價(jià)指標(biāo)的變異系數(shù)Vj。

(4)

式中：Xi表示各指標(biāo)的平均值。

c.計(jì)算各指標(biāo)權(quán)重。

(5)

1.3 博弈論組合賦權(quán)

主觀賦權(quán)很大程度上受決策者的主觀意識(shí)影響，而客觀賦權(quán)是基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，往往忽略主觀意向，單一使用其中一種都不可避免的存在片面性。故本文采用G1法和變異系數(shù)法分別計(jì)算出圍巖穩(wěn)定性評(píng)價(jià)指標(biāo)的主觀權(quán)重和客觀權(quán)重，結(jié)合博弈理論，在G1法和變異系數(shù)法所求得的權(quán)重之間尋求權(quán)重最優(yōu)解，從而得到圍巖穩(wěn)定性影響評(píng)價(jià)指標(biāo)的組合權(quán)重[12]。

設(shè)有L種方法對(duì)指標(biāo)賦權(quán)，得到權(quán)重集wk={wk1，wk2，…，wkn}，其中k=1，2，…，L。記L個(gè)權(quán)重向量的任意組合為w：

(6)

式中：αk為線性組合系數(shù)；w表示可能的權(quán)重向量集。根據(jù)博弈論的思想，可得對(duì)策模型：

(7)

由矩陣的微分性質(zhì)，得式(7)的最優(yōu)一階導(dǎo)數(shù)條件[9]：

(8)

式(8)對(duì)應(yīng)如下的線性方程組：

通過(guò)求解線性方程組可得(α1，α2，…，αL)，用式(9)對(duì)(α1，α2，…，αL)進(jìn)行歸一化處理，代入式(10)可得到組合權(quán)重。

(9)

(10)

2 未確知測(cè)度理論計(jì)算

假設(shè)m個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象Ri(i=1，2，…n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)x1，x2，…xn)，指標(biāo)集合X={x1，x2，…xn}，若Xij表示評(píng)價(jià)對(duì)象Ri的第j個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的測(cè)量值。設(shè)每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)Xij有p個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)，組成向量C=[c1，c2，…ck，…cp]，同時(shí)設(shè)ck為圍巖穩(wěn)定性等級(jí)，規(guī)定ck>ck+1表示k等級(jí)比k+1級(jí)高。若{c1，c2，…，cp}滿足c1>c2>…>cp，則稱(chēng){c1，c2，…，cp}是評(píng)價(jià)空間C的一個(gè)有序分割類(lèi)[13]。

2.1 單指標(biāo)未確知測(cè)度

令μijk=μ(Xij∈ck)表示測(cè)量值Xij屬于第k個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)ck，當(dāng)μ滿足0≤μ(xij∈ck)≤1，且μ滿足歸一和可加性。則稱(chēng)μ為未確知測(cè)度，簡(jiǎn)稱(chēng)測(cè)度。矩陣(11)為單指標(biāo)未確知測(cè)度矩陣[14]：

(11)

2.2 多指標(biāo)未確知測(cè)度

令μik=μ(Xij∈ck)表示圍巖Ri屬于第k個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)ck，有:

(12)

則多指標(biāo)測(cè)度評(píng)價(jià)矩陣為[15-16]：

(13)

這里引入置信度判別準(zhǔn)則對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行評(píng)價(jià)[17]，若c1>c2>c3>…>cp，令：

(14)

設(shè)λ為置信度(λ>0.5，常取0.6)，則可確定評(píng)價(jià)對(duì)象Ri屬于第k0個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)ck。

3 博弈論—未確知測(cè)度評(píng)價(jià)模型

3.1 選取評(píng)價(jià)指標(biāo)和等級(jí)劃分

為驗(yàn)證所構(gòu)建模型的準(zhǔn)確性和合理性，本文以汪明武、周智勇等[18-19]提供的廣州抽水蓄能電站隧洞1洞段圍巖樣本研究對(duì)象，選定的巖石質(zhì)量指標(biāo)RQD/%(X1)、巖石單軸抗壓強(qiáng)度/MPa(X2)、巖石完整性系數(shù)(X3)、結(jié)構(gòu)面強(qiáng)度系數(shù)(X4)、地下水滲水量/L·(min·10 m)-1(X5)等因素為評(píng)價(jià)指標(biāo)，結(jié)合《工程巖體分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)》[20]和文獻(xiàn)[18]、文獻(xiàn)[19]將圍巖穩(wěn)定性記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ級(jí)，即對(duì)應(yīng)穩(wěn)定、較穩(wěn)定、一般穩(wěn)定、不穩(wěn)定、極不穩(wěn)定，如表1所示，樣本實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表1 圍巖穩(wěn)定性等級(jí)劃分[18-20]Table 1 Classification of stability of surrounding rock[18-20]指標(biāo)分級(jí)巖石質(zhì)量指標(biāo)(X1)/%單軸抗壓強(qiáng)度(X2)/MPa巖石完整性系數(shù)(X3)結(jié)構(gòu)面強(qiáng)度系數(shù)(X4)地下水滲水量(X5)/[L·(min·10 m)-1]Ⅰ90～100120～2000.75～10.8～10～5Ⅱ75～9060～1200.45～0.750.6～0.85～10Ⅲ50～7530～600.30～0.450.4～0.610～25Ⅳ25～5015～300.20～0.300.2～0.425～125Ⅴ0～250～150～0.200～0.2125～300

表2 各評(píng)價(jià)指標(biāo)原始數(shù)據(jù)樣本[18-19]Table 2 Sample raw data of each evaluation index[18-19]樣本X1X2X3X4X5P126.036.00.220.355P250.040.20.500.5010P352.025.00.200.505P471.090.00.350.3018P575.095.00.700.500P677.590.00.570.4510P750.070.00.500.255P850.934.00.320.3521

3.2 確定組合權(quán)重

利用G1法和變異系數(shù)法分別求出各指標(biāo)的主、客觀權(quán)重，隨后基于博弈論的組合賦權(quán)求5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的綜合權(quán)重，結(jié)果如表3所示。

表3 各評(píng)價(jià)指標(biāo)組合賦權(quán)值Table 3 Weighting value of each evaluation index combinati指標(biāo)wiwjα1α2w′iX10.233 6 0.135 9 0.812 60.187 40.215 3X20.166 8 0.218 60.812 60.187 40.176 5X30.086 9 0.188 0 0.812 60.187 40.105 8X40.139 0 0.112 1 0.812 60.187 40.134 0X50.373 7 0.345 40.812 60.187 40.368 4

3.3 構(gòu)建單指標(biāo)測(cè)度函數(shù)

(15)

式中：ai、ai+1表示指標(biāo)等級(jí)的取值范圍。

根據(jù)式(15)將表2中的樣本數(shù)據(jù)代入未確知測(cè)度函數(shù)，得出指標(biāo)的測(cè)度矩陣。本文以巖石質(zhì)量指標(biāo)(X1)為例，其測(cè)度函數(shù)為：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

同理，可得各評(píng)價(jià)指標(biāo)的單測(cè)度函數(shù)如圖1所示。

將表2中5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的實(shí)測(cè)值分別代入圖1中，得到單指標(biāo)測(cè)度評(píng)價(jià)矩陣為：

(a)巖石質(zhì)量指標(biāo)的測(cè)度曲線

(21)

3.4 計(jì)算多指標(biāo)測(cè)度評(píng)價(jià)向量

根據(jù)表2中樣本1的指標(biāo)組合權(quán)重，結(jié)合式(12)和單指標(biāo)測(cè)度矩陣(21)得樣本1的多指標(biāo)測(cè)度評(píng)價(jià)向量：{0.368 4，0，0.139 4，0.230 6，0.261 6}。同理，可得其余樣本的多指標(biāo)測(cè)度評(píng)價(jià)向量，如表4所示。

表4 各個(gè)樣本評(píng)價(jià)等級(jí)Table 4 Evaluation grade of each sampe樣本c1c2c3c4c5本文評(píng)價(jià)模糊可變集合可拓方法[18]聯(lián)系云[18]物元分析法[19]P10.368 400.139 40.230 60.261 6ⅣⅣⅣⅣⅣP200.335 10.519 60.145 30ⅢⅢⅢⅢⅢP30.368 400.278 50.247 30.105 8ⅢⅢⅢⅢⅢP400.271 20.573 60.155 20ⅢⅢⅢⅢⅢP50.468 40.316 90.214 700ⅡⅡⅡⅡⅡP600.706 00.260 50.033 50ⅡⅡⅡⅡⅡP70.368 40.156 80.233 10.174 70.067 0ⅢⅢⅡⅢⅢP800.022 40.644 30.333 30ⅢⅢⅢⅢⅢ

采用置信度準(zhǔn)則對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象作最后的等級(jí)評(píng)定[17]，一般取λ=0.6，此時(shí)c1，c2，c3，c4，c5分別表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ。從c1到c5：0.368 4+0.139 4+0.230 6=0.738 4>0.6，故樣本P1圍巖穩(wěn)定性等級(jí)為Ⅳ。同理可得其余實(shí)測(cè)樣本的圍巖穩(wěn)定性等級(jí)(見(jiàn)表4)：樣本P2、P3、P4、P7、P8屬于Ⅲ級(jí)，樣本P5、P6屬于Ⅱ級(jí)。將博弈論-未確知測(cè)度模型與模糊可變集合、可拓方法[18]、聯(lián)系云[18]和物元分析法[19]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得該模型與模糊可變集合、聯(lián)系云、物元分析法的評(píng)價(jià)結(jié)果一致，表明基于博弈論-未確知測(cè)度模型評(píng)價(jià)圍巖穩(wěn)定性是可靠的。而可拓法在計(jì)算關(guān)聯(lián)度時(shí)可能存在遺漏重要約束條件導(dǎo)致樣本P7的評(píng)價(jià)結(jié)果出現(xiàn)誤差，本文采用博弈思想組合主、客觀權(quán)重，避免單一賦權(quán)使評(píng)價(jià)結(jié)果不準(zhǔn)確，既考慮決策者的主觀經(jīng)驗(yàn)，又反映原始數(shù)據(jù)的客觀性，一定程度上消除了評(píng)價(jià)指標(biāo)間的差異性，同時(shí)以未確知測(cè)度為基礎(chǔ)引用置信度判別準(zhǔn)則對(duì)圍巖穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià)，解決評(píng)價(jià)指標(biāo)的不確定性，使得評(píng)價(jià)結(jié)果準(zhǔn)確。博弈論-未確知測(cè)度模型比可拓方法的評(píng)價(jià)結(jié)果準(zhǔn)確，且該模型原理和計(jì)算過(guò)程較聯(lián)系云的可拓模型、物元分析云模型簡(jiǎn)單，故博弈論-未確知測(cè)度模型具有較好的實(shí)用性。

4 結(jié)論

a.針對(duì)影響圍巖穩(wěn)定性因素的不確定性，運(yùn)用博弈論組合權(quán)重的思想將G1法的主觀權(quán)重和變異系數(shù)法的客觀權(quán)重進(jìn)行組合，減少了主觀人為影響和避免了客觀數(shù)據(jù)差異，使得各指標(biāo)權(quán)重更為可靠。

b.對(duì)巖石質(zhì)量指標(biāo)、單軸抗壓強(qiáng)度、巖體完整性系數(shù)、結(jié)構(gòu)面強(qiáng)度系數(shù)和地下水涌水量等5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)建立單指標(biāo)測(cè)度函數(shù)，結(jié)合博弈論組合權(quán)重求出多指標(biāo)測(cè)度向量，引入置信度準(zhǔn)則，建立綜合評(píng)價(jià)模型對(duì)圍巖樣本進(jìn)行等級(jí)判定，避免了可拓方法遺漏重要信息的缺陷。

c.將構(gòu)建的博弈論-未確知測(cè)度模型與模糊可變集合、可拓方法、聯(lián)系云的可拓模型、物元分析云模型的評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，本文模型與模糊可變集合、聯(lián)系云的可拓模型和物元分析云模型的評(píng)價(jià)結(jié)果一致，表明博弈論-未確知測(cè)度模型用于評(píng)價(jià)圍巖穩(wěn)定性是可行的，且無(wú)需收集大量樣本數(shù)據(jù)就能反映圍巖穩(wěn)定性情況，相比之下該評(píng)價(jià)模型更便于實(shí)際應(yīng)用。