最小二乘法在電路實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

王慧娟 崔桂彥 范海紅 馮文宏

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 保定 071003)

“電路理論”是電氣工程專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，電路實(shí)驗(yàn)是實(shí)踐理論知識、培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)技能、提高理論認(rèn)識水平的重要環(huán)節(jié)，電路實(shí)驗(yàn)在“電路理論”教學(xué)中具有重要作用[1-2]。課內(nèi)的電路實(shí)驗(yàn)內(nèi)容均采用按實(shí)驗(yàn)電路圖接線，改變參量，測量并記錄數(shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù)，進(jìn)而得到實(shí)驗(yàn)結(jié)論的步驟進(jìn)行，在實(shí)驗(yàn)過程中，由于測量的數(shù)據(jù)均是離散點(diǎn)，在有些實(shí)驗(yàn)中需要人為地去判斷電路參數(shù)的選擇，所以誤差較大。

近年來，曲線擬合技術(shù)在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用越來越廣泛，最小二乘法是其中最常用的一種[3-7]。當(dāng)擬合多項(xiàng)式為一次時，稱為線性回歸方程。在對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理過程中，如果能通過理論推導(dǎo)的方法，找到自變量和對應(yīng)因變量之間的函數(shù)關(guān)系，如果兩者滿足線性關(guān)系，那就可以通過測量的若干組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計算得到最小二乘法的線性回歸方程，進(jìn)而確定實(shí)驗(yàn)中所需要的更多參數(shù)。

文獻(xiàn)[8]對RLC 并聯(lián)電路暫態(tài)過程實(shí)驗(yàn)運(yùn)用最小二乘法，對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸，得出臨界阻尼電阻R0的數(shù)值。文獻(xiàn)[9] 采用最小二乘法直線擬合技術(shù),將過零點(diǎn)附近的數(shù)值擬合為一條直線,然后求解該直線方程得到真正的過零點(diǎn),進(jìn)而求得精確的電力系統(tǒng)頻率。目前，將最小二乘法應(yīng)用在電路實(shí)驗(yàn)的資料不多，將選取兩個典型的電路實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，得到線性方程，對測量數(shù)據(jù)運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行線性回歸，得到擬合函數(shù)的系數(shù)，進(jìn)而計算得到實(shí)驗(yàn)中待求的參量。

1 最小二乘法的基本概念

對于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi),1≤i≤N，可用下面的n階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，即：

為了使擬合出的近似曲線能盡量反應(yīng)所給數(shù)據(jù)的變化趨勢，要求在所有數(shù)據(jù)點(diǎn)上的殘差|δi|=|f(xi)-yi|都較小，為了達(dá)到上述目標(biāo),可以令上述偏差的平方和最小，即：

這種方法被稱為最小二乘原則，利用這一原則確定擬合多項(xiàng)式f(x)的方法即為最小二乘法多項(xiàng)式擬合。 最小二乘法從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn)(xi,yi),1≤i≤N的距離平方和為最小的曲線y=f(x)，f(x)中的系數(shù)ak,0≤k≤n的確定可利用偏差平方和最小時，關(guān)于ak,0≤k≤n的一階導(dǎo)數(shù)為零，從而列出方程組，對方程組利用克萊姆法則進(jìn)行計算，從而解出各系數(shù)ak,0≤k≤n，得到擬合方程。

當(dāng)函數(shù)f(x)為一次時，可記為：f(x)=a0+a1k,求解系數(shù)a0,a1的過程為為線性回歸[10]，經(jīng)計算可得：

(1)

(2)

利用最小二乘法可以簡便地推導(dǎo)出未測量的數(shù)據(jù)，并使得這些推導(dǎo)的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。

2 最小二乘法在電路實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

2.1 提高感性負(fù)載的功率因數(shù)實(shí)驗(yàn)

1)實(shí)驗(yàn)原理

該實(shí)驗(yàn)的目的是為了驗(yàn)證在感性負(fù)載的兩端并聯(lián)適當(dāng)?shù)碾娙菘梢蕴岣哒麄€電路的功率因數(shù)，實(shí)驗(yàn)電路如圖1 所示，等效電路圖如圖2所示。本實(shí)驗(yàn)以燈管、鎮(zhèn)流器和啟輝器組成的日光燈電路為負(fù)載，即可等效為電阻與電感串聯(lián)電路，呈感性，在日光燈正常工作后開始實(shí)驗(yàn)測量。投入并聯(lián)電容，調(diào)節(jié)不同的電容值，依次記錄電路的有功功率P，功率因數(shù)，電路的總電流，電感支路電流,電容支路電流，當(dāng)測量得到的功率因數(shù)最大時，即認(rèn)為該電路諧振。由于在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)中，電容值的調(diào)節(jié)不是連續(xù)的，很難找到理想諧振時的電容值，功率因數(shù)也達(dá)不到理想狀態(tài)的1，尤其是在諧振點(diǎn)附近時，電容增大或減小一點(diǎn)，功率因數(shù)相對變化較小，很難判斷在該點(diǎn)是否過補(bǔ)償。

圖1 實(shí)驗(yàn)電路圖

圖2 等效電路圖

2)最小二乘法應(yīng)用

該電路以端口電壓為參考向量，做出電流向量圖如圖3所示，其中φ為電路的功率因數(shù)角，φRL為電阻和電感支路的夾角。

圖3 感性負(fù)載并聯(lián)電容前后的向量圖

由此向量圖，據(jù)文獻(xiàn)[11][12]可推導(dǎo)出下式：

Ptgφ=PtgφRL-CωU2

(3)

變形得

(4)

y=a*x+b

(5)

根據(jù)最小二乘法原理，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，可以擬合得到線性方程的系數(shù)，當(dāng)電路諧振時，可得：

(6)

在該實(shí)驗(yàn)中測量得到的數(shù)據(jù)如表1所示：

表1 實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)及處理

根據(jù)最小二乘法線性回歸公式(1)(2)，計算得到：a=-0.5,b=1.61, 代入公式(6) 可得，當(dāng)電路諧振時，C=3.22 μF。測量點(diǎn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與最小二乘法擬合曲線如圖4 所示，可見測量數(shù)據(jù)與擬合曲線吻合較好。

圖4 測量點(diǎn)與最小二乘法擬合曲線對比

由上述可見，對若干組測量數(shù)據(jù)，應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行擬合，根據(jù)所得的系數(shù)，可以便捷地得到電路諧振時的電容值，可以指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)過程中對諧振點(diǎn)電容值的尋找。

2.2 RLC串聯(lián)電路幅頻特性及其諧振的研究

1)實(shí)驗(yàn)原理及分析

RLC串聯(lián)電路諧振實(shí)驗(yàn)是一個常規(guī)電路實(shí)驗(yàn)，對該實(shí)驗(yàn)方法的研究較多[13-15]，該實(shí)驗(yàn)電路圖如圖5所示，電源電壓為US,電阻為R，電感值為L，電容為C，電路電流為在該正弦穩(wěn)態(tài)RLC串聯(lián)電路中，當(dāng)正弦交流信號源的頻率f改變時，電路中的感抗、容抗隨之而變，電路中的電流也隨之變化，電阻電壓UR,電容電壓UC，電感電壓UL均會隨著頻率變化而變化，當(dāng)電源頻率滿足下式時，

(7)

電路呈純阻性，電阻電壓達(dá)到最大，從理論上講，此時UR=US，UL=UC，此時的頻率稱為諧振頻率。但在實(shí)際電路中，由于元件參數(shù)并不是理想?yún)?shù)，尤其是電感元件有一定的等效電阻，而非理想的純電感，所以實(shí)驗(yàn)中所測得的數(shù)據(jù)并不完全與理論值相符。

在實(shí)驗(yàn)過程中，保持激勵信號源的幅值不變,改變信號的頻率，用交流毫伏表測出相應(yīng)于各頻點(diǎn)下電阻、電容、電感上的電壓有效值UR,UL,UC，以 為橫軸，UR,UL,UC為縱軸，畫出電路的幅頻特性曲線，然而，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)過程中，頻率的調(diào)節(jié)不是連續(xù)的，頻點(diǎn)的選擇也是隨機(jī)的，因此只能通過若干測量點(diǎn)大致地繪制出電路的幅頻特性曲線，又由于在諧振點(diǎn)附近電阻電壓變化較小，不能很精確地找到電路的諧振點(diǎn)。最小二乘法可以通過若干組測量數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)，從而能方便地找到電路的諧振點(diǎn)。

圖5 RLC諧振電路的電路圖

由圖6可知：角度φ為電壓和電流之間的夾角，也是電路的功率因數(shù)角，由圖6可知：

圖6 電壓關(guān)系向量圖

(8)

ZL=jωL=j2πfL

(9)

(10)

(11)

將式(9)(10)代入(11)得：

(12)

y=a*x+b

(13)

從而轉(zhuǎn)換成了最小二乘法線性擬合的形式。

2)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在實(shí)驗(yàn)中，測量得到的若干組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示：

表2 實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)

對上述測量數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(8)計算得到tgφ,進(jìn)而得到表3計算結(jié)果。

表3 數(shù)據(jù)處理后結(jié)果

在本實(shí)驗(yàn)中，電路參數(shù)為：R=100 Ω，L=9 mH，C=0.47 μF，代入公式(7),得到該電路諧振頻率的理論值為：f0理論=2448 Hz，與利用最小二乘法計算得到的諧振頻率近似相等。最小二乘法的計算數(shù)據(jù)源于實(shí)驗(yàn)測量的數(shù)據(jù)，由于電路元件不是理想的，儀表本身也存在誤差，因此與理論值存在一定誤差，但在一定程度上減小了人為尋找近似諧振頻率的誤差。

3 結(jié)語

在功率因數(shù)提高實(shí)驗(yàn)和RLC串聯(lián)電路幅頻特性及其諧振實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)理論推導(dǎo)出的相關(guān)參量之間的線性關(guān)系，對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行計算整理，根據(jù)最小二乘法的線性回歸，可求出擬合函數(shù)的系數(shù)，進(jìn)而得到擬合直線的公式，根據(jù)擬合公式可準(zhǔn)確地計算出實(shí)驗(yàn)過程中不方便測量的量，比如，在RLC并聯(lián)電路暫態(tài)過程實(shí)驗(yàn)中臨界電阻的確定，功率因數(shù)提高實(shí)驗(yàn)中諧振點(diǎn)電容的取值，RLC串聯(lián)電路諧振實(shí)驗(yàn)中諧振頻率的確定。該方法減少了實(shí)驗(yàn)中反復(fù)測量的工作量，可直接與理論值進(jìn)行對比，減少了測量值與理論值的誤差。