序超半群的相對超理想

謝祥云, 李春燕, 趙云平

(五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣東 江門 529020)

1 引言與預(yù)備知識

若一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(S,·)滿足結(jié)合律,即(xy)z=x(yz),?x,y,z∈S[1],則稱(S,·)為半群.若(S,·)是一個(gè)半群,(S,≤)是偏序集且對于任意給定的a,b,c∈S,有a≤b?ac≤bc,ca≤cb,?c∈S，則稱(S,·,≤)為一個(gè)序半群[2].

序半群理論在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)、碼論、形式語言等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,理想論是研究半群代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)非常理想的途徑,大量的文獻(xiàn)涉及理想論的思想[1, 3-6].1962年,Wallace在半群上首次引入相對理想(H-理想)的概念,并在1963年繼續(xù)發(fā)文研究相對理想的拓?fù)湫再|(zhì)[7-8].1967年,Hrmova進(jìn)一步研究了相對理想的性質(zhì),并根據(jù)相對理想引入了Green關(guān)系[9],2020年Khan等將相對理想的概念進(jìn)一步推廣到序半群上,研究了序半群上理想、素理想、雙理想和擬理想的性質(zhì)并對半群進(jìn)行了刻畫[10-11].

1934年,法國數(shù)學(xué)家F.Marty提出了超結(jié)構(gòu)[12]的概念,作為經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)的泛化, 在超結(jié)構(gòu)中兩個(gè)元素的運(yùn)算是一個(gè)集合.真正地將半群代數(shù)理論與超結(jié)構(gòu)完美結(jié)合的是印度數(shù)學(xué)家M.K.Sen,他研究了模糊超半群的相關(guān)理論[13].從1999年以來,伊朗數(shù)學(xué)家B.Davvaz等在建立超半群的基本理論方面做了一些基礎(chǔ)工作,如超半群上的正則二元關(guān)系、超半群的超理想[14]、超半群上的同余[15-22]等.

在此基礎(chǔ)上,本文將半群上的相對理想概念推廣到了序超理想, 給出了相對超理想的基本性質(zhì).作為特例,文獻(xiàn)[10-11]的相關(guān)結(jié)論是本文的推論, 在論證過程中指出了文獻(xiàn)[10-11]中的相關(guān)錯(cuò)誤.

定義1[14]稱映射°:S×S→P*(S)為S上的一個(gè)超運(yùn)算,其中S是非空集,P*(S)是S的非空冪集, 稱(S,°)為一個(gè)超群胚.

令(S,≤)為一個(gè)偏序集,若a≤b蘊(yùn)含a°c≤b°c且c°a≤c°b,?c∈S，則稱(S,°,≤)[19]是一個(gè)序超半群.當(dāng)A,B是S的非空子集時(shí),我們定義A≤B當(dāng)且僅當(dāng)(?a∈A)(?b∈B)a≤b.為了方便，以下也常稱為序超半群S.

若序超半群S的一個(gè)非空子集I滿足

(ⅰ)S°I?I,I°S?I，

(ⅱ)若a∈I,b≤a,b∈S,則b∈I，

則稱I為超理想;類似地,我們可以引入序超半群的超左理想、超右理想等.

本文用到的基本概念和術(shù)語如果沒有說明可參考文獻(xiàn)[1,12].

2 相對超理想

定義3設(shè)S為一個(gè)序超半群,A,T為S的任意非空子集.若由A°T?A和Tx≤y∈A可得x∈A，則稱A為S的右T-超理想.類似可定義S的左T-超理想.若A既是S的左T-超理想, 又是S的右T-超理想，則稱A為S的T-超理想.若T=S, 則S的左T-超理想(右T-超理想,T-超理想)與S的左超理想(右超理想、超理想)一致.

注1序超半群S的一個(gè)超理想A對S的任意非空子集T是一個(gè)T-超理想, 反之不然.

例1設(shè)S=Z,對任意m,n∈Z, 定義S上的超運(yùn)算m°n={n,m}，則(S,°,≤)是S上關(guān)于一般序關(guān)系的序超半群.令T={2},A=2Z,則T°A=2Z?A，但S°A=S≠A.

例2設(shè)S=Z,則(S,·)在S上關(guān)于一般意義上的乘法構(gòu)成一個(gè)半群.對任意m,n∈Z, 定義m°n={x∈Z|x≤mn}，則(S,°,≤)是一個(gè)序超半群, 其中“≤”是S上的一般序關(guān)系.設(shè)A=2Z, 則

因此,A不是S的超理想.令T={2}, 則

T°A=A°T={x∈Z|x≤4n,n∈Z}=Z，

從而A不是S的T-超理想.令A(yù)={1,2,3,4,5,6},則A不是S的超理想.若T={1}, 則T°A=A°T=A.因此,A是S的T-超理想.

定義4令A(yù)和T為序超半群S的任意非空子集, 稱集合

(A]T∶={t∈T|t≤a,a∈A}

為A相對于T的下凸集.

引理1令S為序超半群, 則下列命題成立：

(ⅰ)對所有的A?T,有A?(A]T；(ⅱ)若A?B?T,則(A]T?(B]T；(ⅲ)若T為S的子超半群,則(A]T(B]T?

(AB]T；(ⅳ)對每一個(gè)T-理想A?T, 有(A]T=A；(ⅴ)((A]T]T=(A]T；(ⅵ)若T,A是S的非空子集,則A∩T?(A]T.

證明引理1中大部分命題容易驗(yàn)證,我們僅證明(ⅲ)和(ⅴ).

(ⅲ) 設(shè)t∈(A]T(B]T, 存在a∈(A]T,b∈(B]T, 使得a≤x,b≤y,x∈A,y∈B，t∈a°b≤x°y?AB.因?yàn)門為子超半群, 所以a°b?T, 從而t∈(AB]T.

(ⅴ)若x∈((A]T]T,則存在t∈(A]T使得x≤t.因?yàn)閠∈(A]T,存在a∈A使得t≤a,所以x≤a,從而x∈(A]T.

反之,若x∈(A]T,則對于一些a∈A,存在x∈T,使得x≤a.因?yàn)閤≤x∈(A]T,x∈T,所以x∈((A]T]T,從而(A]T?((A]T]T.設(shè)x∈((A]T]T,則存在y∈(A]T使得x≤y, 所以x∈(A]T. 反之顯然.

性質(zhì)1(ⅰ) 設(shè)(S,°,≤)是序超半群,T是S的子超半群.若A,B是S關(guān)于T的超理想,則(AB]T,A∩B均為S中的T-超理想.

(ⅱ) 設(shè)(S,°,≤)是一個(gè)序超半群,若T是S的子超半群,則對任意a∈S,(T°a°T]T是S中關(guān)于T的超理想.

證明(ⅰ) 若A,B是S中關(guān)于T的超理想,對于任意t∈T,x∈(A°B]T,存在a∈A,b∈B使得x≤a°b,則

t°x≤t°(a°b)=(t°a)°b?A°B.

因?yàn)門是S的子超半群,所以t°x?T,從而t°x?(A°B]T.易知,若a≤b∈(A°B]T,a∈T,則a∈(A°B]T.類似于上面的證法,我們可以證明x°t?T.因此(AB]T是S中關(guān)于T的超理想.

由T°(A∩B)=T°A∩T°B?A∩B,(A∩B)°T=A°T∩B°T?A∩B以及a≤b∈A∩B,a∈T可知a∈A∩B,從而A∩B均為S中關(guān)于T的超理想.

(ⅱ)若T是S的子超半群,對于任意t∈T,x∈(T°a°T]T,存在t1,t2∈T使得x≤t1°a°t2,則t°x≤(t°t1)°a°t2?T°a°T.因?yàn)門是S的子超半群,所以t°x?T,t°x?(T°a°T]T.類似地,可以證明x°t?(T°a°T]T.若c∈T,c≤b∈(T°a°T]T,則c∈(T°a°T]T.

注2由于序半群是序超半群的特例,在性質(zhì)1的證明中我們同時(shí)改正了文獻(xiàn)[10]引理2.3中的一些錯(cuò)誤.

下面我們進(jìn)一步推廣相對超理想.

定義5令S為一個(gè)序超半群,A1,A2是S的任意非空子集.若S的一個(gè)非空子集A滿足A1°A?A,A°A2?A且對y∈A,A1∪A2x≤y, 有x∈A，則稱A為S的一個(gè)(A1,A2)-超理想或(A1,A2)-相對超理想.若A1=?或A2=?, 則S的(A1,A2)-超理想為單邊相對超理想.

我們將S的所有(A1,A2)-超理想表示為I(A1,A2).由S的(A1,A2)-超理想的定義易知(A1,A2)-超理想是左T-超理想、右T-超理想和雙邊T-超理想的推廣.

例3設(shè)集合S={a,b,c,d},帶有超運(yùn)算“°”(表1)和序“≤”關(guān)系：

表1 S上的超運(yùn)算(例3)

≤∶={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,d),(a,c),(d,c),(a,b),(d,b)}.

(1)

我們給出S的哈斯圖(圖1).

圖1 序關(guān)系(1)的哈斯圖(例3)

容易驗(yàn)證(S,°,≤)是一個(gè)有序超半群.令A(yù)1={a},A2=j5i0abt0b,A={a,d}, 則A1°A?A;A°A2?A.對y∈A,A1∪A2x≤y,有x∈A.從而A是S的一個(gè)(A1,A2)-超理想.S°A={a,d}且?x∈S, 若對y∈A, 有x≤y, 則x∈A.因此A是S的左超理想.由于S是交換的,同理,A是S的右超理想.

若在例3中令序關(guān)系如下：

≤1∶={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,b),(d,a)},

(2)

圖2 偏序關(guān)系(2)的哈斯圖

下列性質(zhì)容易證得.

性質(zhì)2設(shè)S是一個(gè)序超半群, 則下列命題成立:

(ⅰ)若A1?A′1,A2?A′2,則I(A′1,A′2)?

I(A1,A2);

(ⅱ)I(A1,A2)=I(A1,?)∩I(?,A2).

定理1設(shè)S是一個(gè)序超半群,H1,H2是S的序子超半群，則下列命題成立:

(ⅰ)(H1°a]H1∈I(H1,?),a∈S;

(ⅱ)(a°H2]H2∈I(?,H2),a∈S;

(ⅲ)(H1°a°H2]H∈I(H1,H2),a∈S,H=H1∪H2?H1°H2;

(ⅳ)若L∈L(H1,?),R∈I(?,H2),則

(L°R]H∈I(H1,H2),H=H1∪H2?H1°H2;

(ⅴ)若A,B∈I(H1,H2)使得A∩B≠?, 則

(A°B]H,A∩B∈I(H1,H2),H=H1∪H2?H1°H2.

證明(ⅰ)因?yàn)?H1°a]H1={t∈H1|(?k∈H1°a)t≤k}, 所以

對任意x∈h°j?H1(H1°a]H1(j∈(H1°a]H1), 因?yàn)镠1是子超半群, 所以x∈h°j?H1.由于h°t≤h°k, 存在y∈h°k使得x≤y, 又因?yàn)镠1是子超半群,所以y∈h°k?h°(H1°a)?H1°a.又x∈H1,x∈(H1°a]H1，所以H1°(H1°a]H1?(H1°a]H1.

若x≤y,x∈H1,y∈(H1°a]H1,則存在z∈H1°a使得x≤y≤z, 所以x≤z, 從而x∈(H1a]H1.由以上證明可得(H1a]H1∈I(H1,?).

(ⅱ)證明過程與(ⅰ)類似.

h°k≤h°l?h°(H1°a°H2)?(H1°a°H2).

由于h°k≤h°l, 存在y∈h°l使得x≤y,從而有x∈H,x∈(H1°a°H2]H.所以H1°(H1°a°H2]H?(H1°a°H2]H.同理可證(H1°a°H2]H°H2?

(H1°a°H2]H.

若x≤y,x∈H,y∈(H1°a°H2]H,則存在z∈H1°a°H2使得x≤y≤z, 從而x≤z，所以x∈(H1°a°H2]H.由以上證明可得(H1°a°H2]H∈I(H1,H2),a∈S.

若x≤y,x∈H,y∈(L°R]H, 則y∈H且存在z∈L°R, 使得x≤y≤z.因此,x≤z,x∈(L°R]H.

(ⅴ) 若A,B∈I(H1,H2),A∩B≠?, 則由(ⅳ)可得(A°B]H∈I(H1,H2). 因?yàn)?/p>

H1°(A∩B)=H1°A∩H1°B?A∩B，

(A∩B)°H2=A°H2∩B°H2?A∩B，

且Hx≤y,y∈A∩B, 所以x∈A,x∈B.

例4令S={a,b,c,d}且在S上有超運(yùn)算“°”(表2)和序關(guān)系“≤”:

表2 S上的超運(yùn)算(例4)

≤∶={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(d,b),(d,c),(a,b)}.

圖3 覆蓋關(guān)系(3)的哈斯圖

∶={(a,b),(a,c),(d,b),(d,c)}.

(3)

令H1=,H2=j5i0abt0b, 則H1,H2是S的子超半群.但H1∪H2不是S的子超半群, 因?yàn)閎°d={a,d}?H1∪H2(H1°H2?H1∪H2).令H=H1∪H2, 則

(H1°c°H2]H=((b°c)°d]H=

({a,c,d}°d]H=({a,d}]H=j5i0abt0b.

因?yàn)镠1°(H1°c°H2]H=H1°j5i0abt0b=b°d={a,d}?(H1°c°H2]H, 所以(H1°c°H2]H?I(H1,?), 當(dāng)然 (H1°c°H2]H?I(H1,H2).

注3通過定理1和例4,我們改正了文獻(xiàn)[10]引理2.10中的一些條件錯(cuò)誤.

定理3令S是序超半群,H1,H2是S的子超半群,H=H1∪H2是S的子超半群且A?H1,B?H2.若A∈I(H1,?),B∈I(?,H2)且C∈Im(H1,H2),則對于任意c∈C,有C=(A°c°B]H.

證明因?yàn)锳∈I(H1,?),B∈I(H2,?),根據(jù)引理1(ⅲ)可得

H1°(A°c°B]H?(H1]H°(A°c°B]H?

(H1°A°c°B]H?(A°c°B]H.

類似地,可得(A°c°B]H°H2?(A°c°B]H.

令x∈H,x≤y∈(A°c°B]H,則存在a∈A,b∈B,使得x≤y∈a°c°b,從而x∈(A°c°B]H.

另一方面,因?yàn)?A°c°B]H?(A°C°B]H?(H1°C°H2]H?(C]H=C且C∈Im(H1,H2),所以C=(A°c°B]H.

若A=H1,B=H2,則可得以下結(jié)論.

推論1令S是序超半群,H1,H2,H1∪H2是S的子超半群.若A∈Im(H1,H2),則對于任意a∈A,有A=(H1°a°H2]H.

例5令S={a,b,c,d},定義S上的一個(gè)超運(yùn)算“°”(表3)和一個(gè)序關(guān)系“≤”：

表3 S上的超運(yùn)算(例5)

≤∶={(a,a)(b,b)(c,c)(d,d)(a,b)}，

則(S,°,≤)是S中的一個(gè)序超半群.令H1={a,b,c},H2={a,c},則H1,H2和H1∪H2是S的子超半群.令A(yù)={a,b}?H1,B={a}?H2,易證A∈I(H1,?),B∈I(?,H2),C={a,b}∈Im(H1,H2)以及C=(A°a°B]H=(A°b°B]H.

類似于定理3的證明,易得以下兩個(gè)定理.

定理4令S是序超半群,H1,H2是S的子超半群.若A∈Im(?,H2)(A∈Im(H1,?)), 則對于任意h2∈H2有(A°h2]H2∈Im(?,H2)(對于任意h1∈H1有(h1°A]H1∈Im(H1，?)).

定理5令S是序超半群,H1,H2,H1∪H2是S的子超半群.若A∈Im(H1,?)且A?H1,B∈Im(?,H2)且B?H2,則對于任意c∈S,有(A°c°B]H∈Im(H1,H2).

定理6令S是交換序超半群,H1,H2,H1∪H2是S的子超半群.若B?H=H1∪H2且A∈I(H1,H2), 則

(A∶B)={x∈S|b°x?A,?b∈B}

證明令x∈(A∶B),h1∈H1,h2∈H2,則對任意b∈B,有

b°(h1°x)=h1°(b°x)?h1°A?A,b°(x°h2)=(b°x)°h2?A°h2?A.

因此h1°x,x°h2?(A∶B).令b∈B,y∈(A∶B),若存在h滿足h≤y,則對于任意b∈B,有b°h≤b°y.因?yàn)閎°y?A,b°h?H,所以b°h?A，從而h∈(A∶B).

定義7設(shè)S為一個(gè)序超半群.若對于任意a∈S,存在x∈S,使得a≤x°a2(a≤a2°x)，則稱S為左(右)正則的.若對于任意a∈S,存在x∈S,使得a≤a°x°a，則稱S為正則的.

對偶地,我們可以證明B也是S的右超理想.

3 展望

一般半群上相對理想的提出已超過了半個(gè)世紀(jì),其研究者不多,近期印度學(xué)者將它們推廣到序半群上并給出序半群相對理想的概念及其一系列性質(zhì),其中有很多問題都出現(xiàn)在序結(jié)構(gòu)上.本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上將相對理想推廣到序超半群，給出了序超半群上相對超理想的基本性質(zhì).這是一個(gè)大的飛躍,但還有很多問題需要進(jìn)一步討論,例如，相對超理想的序結(jié)構(gòu)如何定義,會有幾種方式等,將在未來的工作中進(jìn)一步研究.