具有非局部邊界條件的拋物型方程的爆破解

岳麗霞, 孟海霞

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

本文研究具有非局部邊界條件的非線性反應(yīng)擴散方程解的性質(zhì):

(ⅱ)a(x)>0,x∈Ω,a(x)=0,x∈?Ω.

許多物理、化學(xué)和生物種群動力學(xué)現(xiàn)象都可以用具有非局部源的拋物型方程來描述, 具體可參考文獻[1-8]. 例如, 方程(1)描述了一些牛頓流體通過多孔介質(zhì)時的濃度擴散以及某些生物種群在遷移過程中的密度擴散. 此外, 熱彈性學(xué)中的一些現(xiàn)象也可以抽象為具有非局部邊界條件的拋物型方程. 近些年, 具有非局部反應(yīng)源的拋物型方程已被廣泛研究. 特別地, Song[1]利用輔助函數(shù)構(gòu)造法及微分不等式技巧研究了具有Neumann和Dirichlet邊界條件的非線性反應(yīng)擴散方程爆破時間的上、下界. 王玉蘭等[2]利用上下解方法研究了Dirichlet非局部邊界條件下具有阻尼項的反應(yīng)擴散方程全局解存在和不存在的條件并對爆破解的速率作了估計. Cui等[3]利用上下解方法研究了具有非局部邊界條件以及非局部反應(yīng)源的反應(yīng)擴散方程爆破解、全局解存在的條件, 并估計了爆破速率. 劉丙辰等[4]利用上下解方法研究了Neumann非局部邊界條件下具有非線性非局部源的反應(yīng)擴散方程的爆破現(xiàn)象, 得到了該問題的解全局存在的條件、一維空間中的爆破率以及高維空間中爆破時間的上、下界.本文的主要目的是結(jié)合文獻[2,4]的方法研究具有非局部反應(yīng)源和非局部邊界條件的問題. 具體而言, 考慮非局部非線性項、阻尼項和非局部邊界對問題(1)解的影響. 由于本文研究的是與文獻[2,4]不同的反應(yīng)項和擴散項, 需構(gòu)造完全不同的上解和下解, 利用上下解方法得到該問題的整體解和爆破解的存在性定理. 此外, 當爆破發(fā)生時, 構(gòu)造新的輔助函數(shù), 利用微分不等式技巧對爆破時間的上、下界作了估計.

1 預(yù)備知識

則稱u(x,t)在有限時間內(nèi)爆破.

下解的定義類似于每個不等式的逆解.

則問題(1)的解u(x,t)也一定在有限時間內(nèi)爆破.

2 解的存在性

設(shè)μ和φ是特征值問題

定理3若p+q

證明假設(shè)存在0<ε<1, 選擇一個l, 使得

其中

則有

對于x∈?Ω, 有

3 爆破

設(shè)λ和φ是特征值問題

的第一特征值及其對應(yīng)的特征函數(shù), 其中λ>0,φ>0.

引理1設(shè)v(t)是問題

的唯一解, 其中v(0)≥φ(x),則v(t)發(fā)生爆破.

定理4若p+q>s,u0(x)≥φ(x),則問題(1)存在爆破解.

λφ(x)eλt-Δφ(x)eλt-

2λφ(x)eλt-a(x)φp+q(x)eλ(p+q)t+eλstφs(x)≤0.

定理5設(shè)0

由文獻[5]引理2.1得

其中

由H?lder不等式得

定理6設(shè)1

由H?lder不等式得

則

由Young不等式得

所以

Φ′(t)≥

其中

由H?lder不等式得

Φ′(t)≥M1Φp+q(t)-M2,

對上式在(0,t*)上積分可得結(jié)果.證畢.

4 結(jié)論

本文研究了具有阻尼項的反應(yīng)擴散方程(1)的爆破問題, 采用上下解方法得到了問題(1)整體解和爆破解的存在性定理. 將輔助函數(shù)法與微分不等式技巧相結(jié)合得到爆破時間的上、下界. 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn), 問題(1)的解是全局存在還是會發(fā)生爆破取決于參數(shù)的大小.